数字信号处理
主讲
主要教学内容
? 绪论
? 时域离散信号和时域离散系统
? 时域离散信号和系统频域分析
? 离散傅里叶变换（ DFT）
? 快速付里叶变换（ FFT）
? 数字滤波器的设计
绪 论
一、数字信号处理的基本概念
信号处理的目的,
对信号进行分析、变换、综合、估值与识别。
信号的分类,
模拟信号：又称连续信号，它的幅度和时间都取连续变量。
数字信号：它的幅度和时间都取离散值。
信号处理的 方式,
数字 信号 处理是采用数值计算的方法，完成对信号的处理，而 模拟信
号处理 则是通过一些模拟器件，例如晶体管、电阻、电容、电感等，完成
对信号的处理。当然可以在系统中增加数模转换器和模数转换器，这样数
字信号处理系统也可以处理模拟信号，模拟信号处理系统也可以处理数字
信号。
二、信号处理的实现 方法
三、数字信号处理的 特点
模拟高通滤波器与数字高通滤波器的比较
延 时)( tx
a )( ty a
c
R
)( nx )( ny
a
信号处理的实现方法
基本上分为两种方法，一种是软件实现方法，另一种是硬
件实现方法。软件实现方法指的是按照原理和算法，自己编写
程序或者采用现成的程序在通用计算机上实现。硬件实现指的
是按照具体的要求和算法，设计硬件结构图，用乘法器、加法
器、延时器、控制器、存储器以及输入输出接口部件实现的一
种方法。前者灵活，但速度慢，达不到实时处理要求；后者速
度快，但是不够灵活。
采用专用的数字信号处理芯片（ DSP）是目前发展最快、应
用最广的一种方法。它内部配有乘法器和累加器，结构上采用
流水线工作方式以及并行结构、多总线，且配有适合数字信号
处理的指令，这种产品已经进入市场，速度高、体积小、性能
优良，价格也在不断下降。
数字信号处理的特点
（ 1）灵活性 —— 可以通过改变数字信号处理系统的参数来改变系
统的性能；另外灵活性还表现在数字系统可以分时复用，用
一套数字系统部件分时处理几路信号。
（ 2）高精度 —— 数字系统的特性不受环境的变化而变化，计算精
度是模拟系统所无法相比的，运算位数由 8位提高到 16,32、
64位。
（ 3）便于集成 —— 数字部件具有高度的规范性，容易大规模集成
和大规模生产，数字系统体积小、重量轻、可靠性强。
（ 4）可存储 —— 对数字信号可以存储、运算，系统可以获得高性
能指标。
第一章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 引言
信号通常是一种函数，包括一个自变量或几个自变量。如果仅
有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称
为多维信号。本书仅介绍以时间为自变量的一维信号。针对信号的
自变量和函数值的取值，可分为三种信号：
（ 1）模拟信号 ------自变量和函数值都是连续的，如语音信号、电
视信号等。
（ 2）时域离散信号 ------自变量取离散值，而函数值连续。这种信
号来源于对模拟信号的采样。
（ 3）数字信号 ------自变量和函数值均取离散值。它是信号幅度离
散化了的时域离散信号。
按照系统的输入输出是哪一类信号，系统也有模拟系统、时域
离散系统和数字系统之分。
1.2 时域离散信号
时域离散信号是对模拟信号 进行等间隔采样获得的，采
样间隔为 T，得到：
这里 n取整数。对于不同的 n值,是一个有序的数字序列，
该数字序列就是时域离散信号。 注意，这里的 n取整数，非整数时
无定义,另外，在数值上它等于信号的采样值，即
时域离散信号的表示方法：公式表示法
图形表示法
集合符号表示法，如
??????? nnTxtx anTta ),()(
)(txa
)(txa
?????? nnTxnx a ),()(
? ?,.,,9,8,7,3,2,1...)( ?nx
1.2,1 常用的典型序列
1,单位采样序列 注：任意序列，常用单位采样序
列的位移加权和表示。即
例如
??
?
?
???? ??
??? mn
mnmnmnmxnx
m 0,
1,)-( )()()( ?? 式中
0 1 2 3 4 5 6－ 1－ 2
1
2
－ 1
－ 2
x ( n )
)6()5(2)4(
)2(2)1()(2
)1(5.0)2(2)(
??????
????
??????
nnn
nnn
nnnx
???
???
??
1.2,1 常用的典型序列（续）
2,单位阶跃序列 3,矩形序列
4,实指数序列 5,正弦序列
6,复指数序列 7,周期序列
单位采样序列
单 位 信 号
0
)( t?
冲 激
t
?
?
?
?
?
?
0,0
0,1
)(
n
n
n?
单 位 采 样 序 列
- 2 - 1 0 1 2
1
)( n?
n
0 1 2 3
单 位 阶 跃 序 列 u （ n ）
?
?
?
?
?
?
0,0
0,1
)(
n
n
nu
)( nu
n
单位阶跃序列
矩形序列
0 1 2 3
矩 形 序 列
?
?
? ??
?
n,0
1Nn0,1
)(
其它
－
nR
N
)( nR
N
)(
4
nR
n
实指数序列
实 指 数 序 列
为实数a
nuanx
n
)()( ?
0 1 2 3 4 5 6 n
0 1 2 3 4 5 6 n
)( nua
n
)( nua
n
10 ?? a
1?a
正弦序列
正 弦 序 列
)s in ()( nnx ??
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 n
)
4
1
si n( n?
复指数序列
复指数序列
式中 w0为数字频率。
njenx )( 0)( ?? ??
周期序列
周期为 N 的周期序列：
??????? nNnxnx )()(
1.2,2 序列的运算
1,乘法
2,加法
3,位移
4,翻转
5,尺度变换
序列的加法运算
如 果 两 序 列 分 别 为 x1(n) 和 x2(n),两 序 列 的 和 是 指 同 序
号 n 的 序 列 值 逐 次 对 应 相 加 而 构 成 一 个 新 的 序 列 z(n),表
示为 z(n)=x1(n)+x2(n)。 如 图：
4
3
210
n
X 1 ( n )
2
1
4
3
210
n
X 2 ( n )
2
1
4
3
210
n
X 1 ( n ) + X 2 ( n )
2
1
3
序列的乘法运算
两 序 列 相 乘 是 指 同 序 号 (n) 的 序 列 值 逐 项 对 应 相 乘,
表 示为 x(n)=x1(n)x2(n)
如 图：
4
3
210
n
X 1 ( n )
2
1
4
3
210
n
X 2 ( n )
2
1
4
3
210
n
X 1 ( n ) x X 2 ( n )
2
1
3
序列的位移
设 某 一 序 列 为 x(n),当 m 为 正 时,则 x(n-m) 是 指 原 序 列
x(n) 逐 次 依 次 延 时 ( 右 移 )m 位 而 给 出 的 一 个 新 序 列,而
x(n+m) 则 指 依 次 超 前 (左 移 ) m位。 如 图：
－ 2
4
3
210
n
X ( n )
2
1
3
4210
n
X ( n － 2 )
2
1
3
0
n
X ( n ＋ 2 )
2
1
3
3
5 6
2
1
－ 1
序列的翻转
如 果 序 列 为 x(n),则 x(-n) 是 以 n=0 的 纵 轴 为 对 称 轴 将 序
列 x(n) 加 以 翻 转。 如 图：
4
3
210
n
X ( n )
2
1
3
－ 2 － 1 0
n
X ( － n )
2
1
3
－ 3－ 4
序列的尺度变换
如 果 序 列 为 x(n),则 x(m n) 是 x(n)序列每隔 m点取一个点形成的，
相当于时间轴 n压缩了 m倍。当 m=2时，其波形如图：
4
3
210
n
X ( n )
2
1
3
X ( 2 n )
210
n
2
1
3
X （ 2 n ） 为 原 序 列 每 隔 一 点 取 一 点 而
形 成 。
1.3 时域离散系统
一 个 时域离 散 系 统 是 将 输 入 序 列 x(n) 变 换 成 输 出 序
列 y(n) 的 一 种 运 算,以 T[.] 表 示 为：
y(n)=T[ x(n) ]
我 们 所 关 心 与 讨 论 的 主 要 是 线 性 系统 和 时不变系统,
内 容 包 括 它 的 概 念 表 征 和 性 质。另 外 还 将 解 释 与 它 有 关
的 系 统 因 果 性 和 稳 定性 。
1.3,1 线性系统
若 系 统 满 足 可加 性 与 比例 性,则 称 此 系 统 为 离 散 时 间 线 性
系 统。 这 就 是 说,若 输 入 序 列 为 x1(n) 与 x2(n),输 出 序 列 为 y1(n) 与
y2(n)。
如 果 用 T[ ]表示系统的运算 即
y1(n)=T[x1(n)]
y2(n)=T[x2(n)]
则 T[a1 · x1(n) + a2 · x2(n) ]= a1 · y1(n) + a2·y2(n)，其 中 a1,a2 为 任
意 常 数。
所 以 线 性 系 统 的 数 学 式 表 示 为,
T[a1·x1(n)+a2·x2(n)]= T[x1(n)]+T[x2(n)]=a1·y1(n)+a2·y2(n)。
例 1.3.1
1.3.2 时不变系统
若 系 统 的 响 应 与 激 励 加 于 系 统 的 时 刻 无 关,则 称 该
系 统 为 时 不 变 系 统。
也 就 是 说,若 输 入 x(n) 产 生 输 出 为 y(n),则 输 入 x(n-m)
相 应 地 产 生 输 出 为 y(n-m),即 输 入 移 动 任 意 位,其 输 出 也
移 动 相 同 位 数,并 且 其 幅 值 不 变。 若 用 T[ ] 表 示 系 统 的 运
算 即 y(n)=T[x(n)],则 时不变 系 统 的 数 学 式 表 示 为
T[x(n-m)]=y(n-m),其 中 m 为 任 意 整 数。
例 1.3.2
1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系
一、单位取样响应
设系统的输入为单位采样序列,即,系统输出
的初始状态为零，在这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应。
用公式表示为：
用来表征系统的时域特征。
二,线性时不变系统输入与输出之间的关系
线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应
的 卷积 。用公式表示为：
（ 证明 ）
)(nh
)(n? )()( nnx ??
)]([)( nTnh ??
)(nh
)()()( nxnhny ??
线性卷积计算及性质
线性卷积计算过程
（ 1）将 用 表示，并将 进行翻转，形
成 ；
（ 2）将 移位 n，得到 ；
（ 3）将 和 相同 m的序列值对应相乘后再相加。
注意！若两个序列长度为 N,M，卷积后的序列长度为 N＋ M－ 1。
线性卷积的性质
线性卷积服从交换律、结合律和分配律。
)()()()()]()([)(
)()]()([)]()([)(
)()()()(
2121
2121
nhnxnhnxnhnhnx
nhnhnxnhnhnx
nxnhnhnx
??????
?????
???
)(),( mhmx)(),( nhnx )(mh
)( mh －
)( mh － )( mnh ?
)(mx )( mnh ?
0 1 2 3
1
n
x ( m )
0 1 2 3
1
n
h ( m )
n
h ( 0 - m )
当 n = 0 时 x ( n ) * h ( n ) = 1
0 1 2 3
1
n
当 n = 1 时 x ( n ) * h ( n ) = 2
0 1 2 3
1
h ( 1 - m )
当 n = 2 时 x ( n ) * h ( n ) = 3
n
h ( 2 - m )
0 1 2 3
1
n
h ( 3 - m )
当 n = 3 时 x ( n ) * h ( n ) = 4
0 1 2 3
1
n
h ( 4 - m )
当 n = 4 时 x ( n ) * h ( n ) = 3
0 1 2 3
n
h ( 5 - m )
当 n = 5 时 x ( n ) * h ( n ) = 2
0 1 2 3
n
h ( 6 - m )
当 n = 6 时 x ( n ) * h ( n ) = 1
0 1 2 3
n
h ( 7 - m )
当 n = 7 时 x ( n ) * h ( n ) = 0
0 1 2 3
11
1 1
n
x ( n ) * h ( n )
0 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
证明, 线性时不变系统输入与输出之间的关系
证明：设系统的输入用下式表示：
那么系统的输出为：
根据线性系统的叠加性质
根据时不变性质有：
将之带入上式，得
????? ?? m mnmxnx )()()( ?
?
?
?
???
?
???
??
??
m
m
mnTmx
mnmxTny
)]([)(
])()([)(
?
?
)]([)( mnTmnh ??? ?
)()()(
)()()(
nhnxny
mnhmxny
m
??
?? ?
?
???
)()()( nhnxny ??
1.3.4 系统的因果性和稳定性
因 果 系 统 就 是 指 某 时 刻 的 输 出 只 取 决 于 此 时 刻 和
此 时 刻 以 前 时 刻 的 输 入 的 系 统,即 n=n0 的 输 出 y(n0) 只 取
决 于 n<= n0 的 输 入 x(n) (n<= n0)。 对 于 因 果 系 统,如 果 n< n0
时 x1(n)=x2(n),则 n< n0 时 y1(n)=y2(n)。如 果 系 统 现 在 的 输 出 还
取 决 于 未 来 的 输 入,则 不 符 合 因 果 关 系,因 而 非 因 果 系 统
是 不 实 际 的 系 统,
注意！对 于 线 性时不 变 系 统 是 因 果 系 统 的 充 分 且 必
要 的 条 件 是
h(n)=0,n<0。
稳 定 系 统 是 指 有 界 输 入 产 生 有 界 输 出 的 系 统。
注意！一 个 线 性时不 变 系 统 是 稳 定 系 统 的 充 分 且 必
要 的 条 件 是 。 即 单 位 取 样 响 应 绝 对 可 和。????
???n nh )(
单位取样响应
单位采样响应 是指输入为单位脉冲序列 时系统的输出，常
用 h(n) 表示。数学表达为：
)(n?
)]([)( nTnh ??
例 1.3.6
设线性时不变系统的单位取样响应,式中
是实常数，试分行该系统的因果稳定性。
解：由于 时，,所以系统是因果系统。
只有当 时
因此系统稳定的条件是 ；否则,时，系统是不稳定
的。
)()( nuanh n? a
0?n 0)( ?nh
n
N
nN
nN
n
n n a
aaanh
?
????
??
?
???
?
???
?
?
?? ? 11lim)( lim1
00
1?a
anhn ???
?
??? 1
1)(
1?a 1?a
例 1.3.7
设系统的单位取样响应,求对于任意输入序列 x(n) 的输出
y(n),并分析该系统的因果稳定性。
解：
因为当 时,； 时，,因此，求
和限为,所以
上式表明该系统是一个累加器，从加上输入序列之时开始，逐项累加，直
到 n 时刻为止。
下面分析其因果稳定性：
因此该系统是一个不稳定系统；自然该系统是一个因果系统。
)()( nunh ?
?
?
???
????
?
k
knukxnhnxny
nunh
）()()()()(
)()(
0??kn 0)( ?? knu 0??kn 1)( ?? knunk?
????? nk kxny )()(
???? ???? ?? 0 )()( n nunh
例 1.3.1
证明 （ 是常数）所代表的系统是非线性系统。
证明：
因此，该系统不是线性系统。
bnaxny ?? )()( ba和
)()()(
)()()]()([)(
)()]([)(
)()]([)(
21
2121
222
111
nynyny
bnaxnaxnxnxTny
bnaxnxTny
bnaxnxTny
??
?????
???
???
例 1.3.2
检查 代 表的系统是否是时不变系统，上式中的
和 是常数。
解：
因此该系统是时不变系统。
bnaxny ?? )()( a
b
)]([)(
)()(
)()(
00
00
nnxTnny
bnnaxnny
bnaxny
???
????
??
1,4 时域离散系统的输入输出描述法
—— 线性常系数差分方程
将系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之间
的关系，这种方法称为输入输出描述法。模拟系统采样微分方程描
述系统的输入输出之间的关系；时域离散系统用差分方程描述或研
究系统的输入输出之间的关系。
一个 N阶线性常系数差分方程一般形式：
或者
差分方程的阶数是指 y(n-i)项中 i的取值最大与最小之差确定。
? ?? ? ???? Mi Ni ii inyainxbny 0 1 )()()(
1 )()( 0
00
???? ??
??
ainxbinya M
i i
N
i i
，
1,4.1 线性常系数差分方程的求解
观察如下等式：
要知道 n时刻以及 n时刻以前的输入序列值，还要确定 n时刻以前的 N个输出
信号值。
差分方程的求解方法：
（ 1）经典法，通过奇次解和特解而获得。
（ 2）递推法，适合计算机求解，获得数值解。
（ 3）变换域法，如利用 z变换法求解。
? ?? ? ???? Mi Ni ii inyainxbny 0 1 )()()(
例 1.4.1
设系统用差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列 x(n)= (n),求输
出序列 y(n)。
解：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。假设
（ 1）设初始条件 y(-1)=0 2）设初始条件 y(-1)=1
y(n)=ay(n-1)+x(n) y(n)=ay(n-1)+x(n)
n=0时,y(0)=ay(-1)+ (0)=1 n=0时,y(0)=ay(-1)+ (0)=1+a
n=1时,y(1)=ay(0)+ (1)=a n=1时,y(1)=ay(0)+ (1)=a(1+a)
n=2时,y(2)=ay(1)+ (2)=a2 n=2时,y(2)=ay(1)+ (2)=a2(1+a)
… …
n=n时,y(n)=an n=n时,y(n)=an(1+a)
y(n)=an u(n) y(n)=an (1+a)u(n)
?
?
?
?
?
?
?
1.5 模拟信号数字处理方法
数字信号处理技术优于模拟信号处理技术，故人们将模拟信号数字
化，即经过采样、量化编码最终形成数字信号。
模拟信号数字处理框图
1.5.1 采样定理
首先研究理想采样前后信号频谱的变化，从而找出为了使采样
信号不失真地恢复原模拟信号，采样速率 f s与模拟信号最高频率 f c
之间的关系。
预 滤 A / D 数 字 信 号 处 理 D / A 平 滑 滤 波
)( tx a )( ty a
)( tx
a )(? tx
a
)( tp
?
)( tp
?
0
t
t
0
)(? tx
a
)(
1
d)()(
1
d )()(
2
2
1
)()(
2
1
)(
?
)]([)(
/2
3 8 )-pp( )(
2
)]([)(
3 4 )-pp( )()(
2
1
)(
?
)()()()()(?
)()(
s
k
a
s
k
a
k
sa
aa
aa
ss
k
s
aa
n
aaa
n
jkjX
T
kjX
T
kjX
T
jPjXjX
txFTjX
T
T
k
T
tPFTjP
jPjXjX
nTttxtPtxtx
nTttP
????
?????
??????
?????
??
???
??????
?????
????
??
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? ?
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?
?
?
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???
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???
????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
为采样周期
）采样角频率（这里
见教材
见教材
)(1)(? s
k aa
jkjXTjX ????? ??
???
上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴,每间隔采
样角频率 重复出现一次,或者说采样信号的频谱是原模拟信号的
频谱以 为周期,进行周期性延拓而成的 。
具体过程见演示程序
s?
s?
1.5.2 将数字信号转成模拟信号
如果用 f s（ f s 2 f c ）采样获得,可用一个理想低通滤波
器将愿模拟信号 恢复出来。
一、理想低通滤波器
这里 T采样周期,采样角频率。其对应的单位冲激响应 g(t)：
? )(? txa
)(txa
???
???
?
???
???
??
s
sT
jG
2
1 0
2
1
)(
2/
)2/s i n (
2
1
)(
2
1
)(
2/
2/
t
t
dTe
dejGtg
s
s
tj
tj
s
s
?
?
?
??
???
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
s?
0 t
T
2 T
3 T
1
g ( t )
二、理想低通滤波器的输入输出关系
假设输入输出分别为 和,则有：
由于满足采样定理，即,因此有：
)(? txa )(tya
/)(
)/)(s i n (
)(
)()(
)()]()([
)()(?)()(?)(
TnTt
TnTt
nTx
nTtgnTx
dtgnTnTx
dtgxtgtxty
n
a
n
a
a
n
aaa
?
?
?
??
???
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???
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??
?
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????
???
)()( txty aa ?
TnTt
TnTtnTxtx
n aa /)(
)/)(s i n ()()(
?
?? ??
??? ?
?
三、零阶保持器
零阶保持器是将前一个采样值进行保持，一直到下一个采样值
到来，再跳到新的采样值并保持，因此相当于进行常数内插。
2/
2/
)2/s i n (
)()(
Tj
tj
eT TT
dtethjH
??
?
??
??
?
??
?? ?
t
T 2 T
X a ( n T )
t
T 2 T
X a ( n T )
0
T
)( ?jH
T/2 ?? T/? T/4 ?
?
频 域 波 形
h ( t )
1
t
T0
时 域 波 形
主讲
主要教学内容
? 绪论
? 时域离散信号和时域离散系统
? 时域离散信号和系统频域分析
? 离散傅里叶变换（ DFT）
? 快速付里叶变换（ FFT）
? 数字滤波器的设计
绪 论
一、数字信号处理的基本概念
信号处理的目的,
对信号进行分析、变换、综合、估值与识别。
信号的分类,
模拟信号：又称连续信号，它的幅度和时间都取连续变量。
数字信号：它的幅度和时间都取离散值。
信号处理的 方式,
数字 信号 处理是采用数值计算的方法，完成对信号的处理，而 模拟信
号处理 则是通过一些模拟器件，例如晶体管、电阻、电容、电感等，完成
对信号的处理。当然可以在系统中增加数模转换器和模数转换器，这样数
字信号处理系统也可以处理模拟信号，模拟信号处理系统也可以处理数字
信号。
二、信号处理的实现 方法
三、数字信号处理的 特点
模拟高通滤波器与数字高通滤波器的比较
延 时)( tx
a )( ty a
c
R
)( nx )( ny
a
信号处理的实现方法
基本上分为两种方法，一种是软件实现方法，另一种是硬
件实现方法。软件实现方法指的是按照原理和算法，自己编写
程序或者采用现成的程序在通用计算机上实现。硬件实现指的
是按照具体的要求和算法，设计硬件结构图，用乘法器、加法
器、延时器、控制器、存储器以及输入输出接口部件实现的一
种方法。前者灵活，但速度慢，达不到实时处理要求；后者速
度快，但是不够灵活。
采用专用的数字信号处理芯片（ DSP）是目前发展最快、应
用最广的一种方法。它内部配有乘法器和累加器，结构上采用
流水线工作方式以及并行结构、多总线，且配有适合数字信号
处理的指令，这种产品已经进入市场，速度高、体积小、性能
优良，价格也在不断下降。
数字信号处理的特点
（ 1）灵活性 —— 可以通过改变数字信号处理系统的参数来改变系
统的性能；另外灵活性还表现在数字系统可以分时复用，用
一套数字系统部件分时处理几路信号。
（ 2）高精度 —— 数字系统的特性不受环境的变化而变化，计算精
度是模拟系统所无法相比的，运算位数由 8位提高到 16,32、
64位。
（ 3）便于集成 —— 数字部件具有高度的规范性，容易大规模集成
和大规模生产，数字系统体积小、重量轻、可靠性强。
（ 4）可存储 —— 对数字信号可以存储、运算，系统可以获得高性
能指标。
第一章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 引言
信号通常是一种函数，包括一个自变量或几个自变量。如果仅
有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称
为多维信号。本书仅介绍以时间为自变量的一维信号。针对信号的
自变量和函数值的取值，可分为三种信号：
（ 1）模拟信号 ------自变量和函数值都是连续的，如语音信号、电
视信号等。
（ 2）时域离散信号 ------自变量取离散值，而函数值连续。这种信
号来源于对模拟信号的采样。
（ 3）数字信号 ------自变量和函数值均取离散值。它是信号幅度离
散化了的时域离散信号。
按照系统的输入输出是哪一类信号，系统也有模拟系统、时域
离散系统和数字系统之分。
1.2 时域离散信号
时域离散信号是对模拟信号 进行等间隔采样获得的，采
样间隔为 T，得到：
这里 n取整数。对于不同的 n值,是一个有序的数字序列，
该数字序列就是时域离散信号。 注意，这里的 n取整数，非整数时
无定义,另外，在数值上它等于信号的采样值，即
时域离散信号的表示方法：公式表示法
图形表示法
集合符号表示法，如
??????? nnTxtx anTta ),()(
)(txa
)(txa
?????? nnTxnx a ),()(
? ?,.,,9,8,7,3,2,1...)( ?nx
1.2,1 常用的典型序列
1,单位采样序列 注：任意序列，常用单位采样序
列的位移加权和表示。即
例如
??
?
?
???? ??
??? mn
mnmnmnmxnx
m 0,
1,)-( )()()( ?? 式中
0 1 2 3 4 5 6－ 1－ 2
1
2
－ 1
－ 2
x ( n )
)6()5(2)4(
)2(2)1()(2
)1(5.0)2(2)(
??????
????
??????
nnn
nnn
nnnx
???
???
??
1.2,1 常用的典型序列（续）
2,单位阶跃序列 3,矩形序列
4,实指数序列 5,正弦序列
6,复指数序列 7,周期序列
单位采样序列
单 位 信 号
0
)( t?
冲 激
t
?
?
?
?
?
?
0,0
0,1
)(
n
n
n?
单 位 采 样 序 列
- 2 - 1 0 1 2
1
)( n?
n
0 1 2 3
单 位 阶 跃 序 列 u （ n ）
?
?
?
?
?
?
0,0
0,1
)(
n
n
nu
)( nu
n
单位阶跃序列
矩形序列
0 1 2 3
矩 形 序 列
?
?
? ??
?
n,0
1Nn0,1
)(
其它
－
nR
N
)( nR
N
)(
4
nR
n
实指数序列
实 指 数 序 列
为实数a
nuanx
n
)()( ?
0 1 2 3 4 5 6 n
0 1 2 3 4 5 6 n
)( nua
n
)( nua
n
10 ?? a
1?a
正弦序列
正 弦 序 列
)s in ()( nnx ??
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 n
)
4
1
si n( n?
复指数序列
复指数序列
式中 w0为数字频率。
njenx )( 0)( ?? ??
周期序列
周期为 N 的周期序列：
??????? nNnxnx )()(
1.2,2 序列的运算
1,乘法
2,加法
3,位移
4,翻转
5,尺度变换
序列的加法运算
如 果 两 序 列 分 别 为 x1(n) 和 x2(n),两 序 列 的 和 是 指 同 序
号 n 的 序 列 值 逐 次 对 应 相 加 而 构 成 一 个 新 的 序 列 z(n),表
示为 z(n)=x1(n)+x2(n)。 如 图：
4
3
210
n
X 1 ( n )
2
1
4
3
210
n
X 2 ( n )
2
1
4
3
210
n
X 1 ( n ) + X 2 ( n )
2
1
3
序列的乘法运算
两 序 列 相 乘 是 指 同 序 号 (n) 的 序 列 值 逐 项 对 应 相 乘,
表 示为 x(n)=x1(n)x2(n)
如 图：
4
3
210
n
X 1 ( n )
2
1
4
3
210
n
X 2 ( n )
2
1
4
3
210
n
X 1 ( n ) x X 2 ( n )
2
1
3
序列的位移
设 某 一 序 列 为 x(n),当 m 为 正 时,则 x(n-m) 是 指 原 序 列
x(n) 逐 次 依 次 延 时 ( 右 移 )m 位 而 给 出 的 一 个 新 序 列,而
x(n+m) 则 指 依 次 超 前 (左 移 ) m位。 如 图：
－ 2
4
3
210
n
X ( n )
2
1
3
4210
n
X ( n － 2 )
2
1
3
0
n
X ( n ＋ 2 )
2
1
3
3
5 6
2
1
－ 1
序列的翻转
如 果 序 列 为 x(n),则 x(-n) 是 以 n=0 的 纵 轴 为 对 称 轴 将 序
列 x(n) 加 以 翻 转。 如 图：
4
3
210
n
X ( n )
2
1
3
－ 2 － 1 0
n
X ( － n )
2
1
3
－ 3－ 4
序列的尺度变换
如 果 序 列 为 x(n),则 x(m n) 是 x(n)序列每隔 m点取一个点形成的，
相当于时间轴 n压缩了 m倍。当 m=2时，其波形如图：
4
3
210
n
X ( n )
2
1
3
X ( 2 n )
210
n
2
1
3
X （ 2 n ） 为 原 序 列 每 隔 一 点 取 一 点 而
形 成 。
1.3 时域离散系统
一 个 时域离 散 系 统 是 将 输 入 序 列 x(n) 变 换 成 输 出 序
列 y(n) 的 一 种 运 算,以 T[.] 表 示 为：
y(n)=T[ x(n) ]
我 们 所 关 心 与 讨 论 的 主 要 是 线 性 系统 和 时不变系统,
内 容 包 括 它 的 概 念 表 征 和 性 质。另 外 还 将 解 释 与 它 有 关
的 系 统 因 果 性 和 稳 定性 。
1.3,1 线性系统
若 系 统 满 足 可加 性 与 比例 性,则 称 此 系 统 为 离 散 时 间 线 性
系 统。 这 就 是 说,若 输 入 序 列 为 x1(n) 与 x2(n),输 出 序 列 为 y1(n) 与
y2(n)。
如 果 用 T[ ]表示系统的运算 即
y1(n)=T[x1(n)]
y2(n)=T[x2(n)]
则 T[a1 · x1(n) + a2 · x2(n) ]= a1 · y1(n) + a2·y2(n)，其 中 a1,a2 为 任
意 常 数。
所 以 线 性 系 统 的 数 学 式 表 示 为,
T[a1·x1(n)+a2·x2(n)]= T[x1(n)]+T[x2(n)]=a1·y1(n)+a2·y2(n)。
例 1.3.1
1.3.2 时不变系统
若 系 统 的 响 应 与 激 励 加 于 系 统 的 时 刻 无 关,则 称 该
系 统 为 时 不 变 系 统。
也 就 是 说,若 输 入 x(n) 产 生 输 出 为 y(n),则 输 入 x(n-m)
相 应 地 产 生 输 出 为 y(n-m),即 输 入 移 动 任 意 位,其 输 出 也
移 动 相 同 位 数,并 且 其 幅 值 不 变。 若 用 T[ ] 表 示 系 统 的 运
算 即 y(n)=T[x(n)],则 时不变 系 统 的 数 学 式 表 示 为
T[x(n-m)]=y(n-m),其 中 m 为 任 意 整 数。
例 1.3.2
1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系
一、单位取样响应
设系统的输入为单位采样序列,即,系统输出
的初始状态为零，在这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应。
用公式表示为：
用来表征系统的时域特征。
二,线性时不变系统输入与输出之间的关系
线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应
的 卷积 。用公式表示为：
（ 证明 ）
)(nh
)(n? )()( nnx ??
)]([)( nTnh ??
)(nh
)()()( nxnhny ??
线性卷积计算及性质
线性卷积计算过程
（ 1）将 用 表示，并将 进行翻转，形
成 ；
（ 2）将 移位 n，得到 ；
（ 3）将 和 相同 m的序列值对应相乘后再相加。
注意！若两个序列长度为 N,M，卷积后的序列长度为 N＋ M－ 1。
线性卷积的性质
线性卷积服从交换律、结合律和分配律。
)()()()()]()([)(
)()]()([)]()([)(
)()()()(
2121
2121
nhnxnhnxnhnhnx
nhnhnxnhnhnx
nxnhnhnx
??????
?????
???
)(),( mhmx)(),( nhnx )(mh
)( mh －
)( mh － )( mnh ?
)(mx )( mnh ?
0 1 2 3
1
n
x ( m )
0 1 2 3
1
n
h ( m )
n
h ( 0 - m )
当 n = 0 时 x ( n ) * h ( n ) = 1
0 1 2 3
1
n
当 n = 1 时 x ( n ) * h ( n ) = 2
0 1 2 3
1
h ( 1 - m )
当 n = 2 时 x ( n ) * h ( n ) = 3
n
h ( 2 - m )
0 1 2 3
1
n
h ( 3 - m )
当 n = 3 时 x ( n ) * h ( n ) = 4
0 1 2 3
1
n
h ( 4 - m )
当 n = 4 时 x ( n ) * h ( n ) = 3
0 1 2 3
n
h ( 5 - m )
当 n = 5 时 x ( n ) * h ( n ) = 2
0 1 2 3
n
h ( 6 - m )
当 n = 6 时 x ( n ) * h ( n ) = 1
0 1 2 3
n
h ( 7 - m )
当 n = 7 时 x ( n ) * h ( n ) = 0
0 1 2 3
11
1 1
n
x ( n ) * h ( n )
0 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
证明, 线性时不变系统输入与输出之间的关系
证明：设系统的输入用下式表示：
那么系统的输出为：
根据线性系统的叠加性质
根据时不变性质有：
将之带入上式，得
????? ?? m mnmxnx )()()( ?
?
?
?
???
?
???
??
??
m
m
mnTmx
mnmxTny
)]([)(
])()([)(
?
?
)]([)( mnTmnh ??? ?
)()()(
)()()(
nhnxny
mnhmxny
m
??
?? ?
?
???
)()()( nhnxny ??
1.3.4 系统的因果性和稳定性
因 果 系 统 就 是 指 某 时 刻 的 输 出 只 取 决 于 此 时 刻 和
此 时 刻 以 前 时 刻 的 输 入 的 系 统,即 n=n0 的 输 出 y(n0) 只 取
决 于 n<= n0 的 输 入 x(n) (n<= n0)。 对 于 因 果 系 统,如 果 n< n0
时 x1(n)=x2(n),则 n< n0 时 y1(n)=y2(n)。如 果 系 统 现 在 的 输 出 还
取 决 于 未 来 的 输 入,则 不 符 合 因 果 关 系,因 而 非 因 果 系 统
是 不 实 际 的 系 统,
注意！对 于 线 性时不 变 系 统 是 因 果 系 统 的 充 分 且 必
要 的 条 件 是
h(n)=0,n<0。
稳 定 系 统 是 指 有 界 输 入 产 生 有 界 输 出 的 系 统。
注意！一 个 线 性时不 变 系 统 是 稳 定 系 统 的 充 分 且 必
要 的 条 件 是 。 即 单 位 取 样 响 应 绝 对 可 和。????
???n nh )(
单位取样响应
单位采样响应 是指输入为单位脉冲序列 时系统的输出，常
用 h(n) 表示。数学表达为：
)(n?
)]([)( nTnh ??
例 1.3.6
设线性时不变系统的单位取样响应,式中
是实常数，试分行该系统的因果稳定性。
解：由于 时，,所以系统是因果系统。
只有当 时
因此系统稳定的条件是 ；否则,时，系统是不稳定
的。
)()( nuanh n? a
0?n 0)( ?nh
n
N
nN
nN
n
n n a
aaanh
?
????
??
?
???
?
???
?
?
?? ? 11lim)( lim1
00
1?a
anhn ???
?
??? 1
1)(
1?a 1?a
例 1.3.7
设系统的单位取样响应,求对于任意输入序列 x(n) 的输出
y(n),并分析该系统的因果稳定性。
解：
因为当 时,； 时，,因此，求
和限为,所以
上式表明该系统是一个累加器，从加上输入序列之时开始，逐项累加，直
到 n 时刻为止。
下面分析其因果稳定性：
因此该系统是一个不稳定系统；自然该系统是一个因果系统。
)()( nunh ?
?
?
???
????
?
k
knukxnhnxny
nunh
）()()()()(
)()(
0??kn 0)( ?? knu 0??kn 1)( ?? knunk?
????? nk kxny )()(
???? ???? ?? 0 )()( n nunh
例 1.3.1
证明 （ 是常数）所代表的系统是非线性系统。
证明：
因此，该系统不是线性系统。
bnaxny ?? )()( ba和
)()()(
)()()]()([)(
)()]([)(
)()]([)(
21
2121
222
111
nynyny
bnaxnaxnxnxTny
bnaxnxTny
bnaxnxTny
??
?????
???
???
例 1.3.2
检查 代 表的系统是否是时不变系统，上式中的
和 是常数。
解：
因此该系统是时不变系统。
bnaxny ?? )()( a
b
)]([)(
)()(
)()(
00
00
nnxTnny
bnnaxnny
bnaxny
???
????
??
1,4 时域离散系统的输入输出描述法
—— 线性常系数差分方程
将系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之间
的关系，这种方法称为输入输出描述法。模拟系统采样微分方程描
述系统的输入输出之间的关系；时域离散系统用差分方程描述或研
究系统的输入输出之间的关系。
一个 N阶线性常系数差分方程一般形式：
或者
差分方程的阶数是指 y(n-i)项中 i的取值最大与最小之差确定。
? ?? ? ???? Mi Ni ii inyainxbny 0 1 )()()(
1 )()( 0
00
???? ??
??
ainxbinya M
i i
N
i i
，
1,4.1 线性常系数差分方程的求解
观察如下等式：
要知道 n时刻以及 n时刻以前的输入序列值，还要确定 n时刻以前的 N个输出
信号值。
差分方程的求解方法：
（ 1）经典法，通过奇次解和特解而获得。
（ 2）递推法，适合计算机求解，获得数值解。
（ 3）变换域法，如利用 z变换法求解。
? ?? ? ???? Mi Ni ii inyainxbny 0 1 )()()(
例 1.4.1
设系统用差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列 x(n)= (n),求输
出序列 y(n)。
解：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。假设
（ 1）设初始条件 y(-1)=0 2）设初始条件 y(-1)=1
y(n)=ay(n-1)+x(n) y(n)=ay(n-1)+x(n)
n=0时,y(0)=ay(-1)+ (0)=1 n=0时,y(0)=ay(-1)+ (0)=1+a
n=1时,y(1)=ay(0)+ (1)=a n=1时,y(1)=ay(0)+ (1)=a(1+a)
n=2时,y(2)=ay(1)+ (2)=a2 n=2时,y(2)=ay(1)+ (2)=a2(1+a)
… …
n=n时,y(n)=an n=n时,y(n)=an(1+a)
y(n)=an u(n) y(n)=an (1+a)u(n)
?
?
?
?
?
?
?
1.5 模拟信号数字处理方法
数字信号处理技术优于模拟信号处理技术，故人们将模拟信号数字
化，即经过采样、量化编码最终形成数字信号。
模拟信号数字处理框图
1.5.1 采样定理
首先研究理想采样前后信号频谱的变化，从而找出为了使采样
信号不失真地恢复原模拟信号，采样速率 f s与模拟信号最高频率 f c
之间的关系。
预 滤 A / D 数 字 信 号 处 理 D / A 平 滑 滤 波
)( tx a )( ty a
)( tx
a )(? tx
a
)( tp
?
)( tp
?
0
t
t
0
)(? tx
a
)(
1
d)()(
1
d )()(
2
2
1
)()(
2
1
)(
?
)]([)(
/2
3 8 )-pp( )(
2
)]([)(
3 4 )-pp( )()(
2
1
)(
?
)()()()()(?
)()(
s
k
a
s
k
a
k
sa
aa
aa
ss
k
s
aa
n
aaa
n
jkjX
T
kjX
T
kjX
T
jPjXjX
txFTjX
T
T
k
T
tPFTjP
jPjXjX
nTttxtPtxtx
nTttP
????
?????
??????
?????
??
???
??????
?????
????
??
?
? ?
??
?
?
?
?
???
?
???
?
??
?
???
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???
?
???
?
???
????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
为采样周期
）采样角频率（这里
见教材
见教材
)(1)(? s
k aa
jkjXTjX ????? ??
???
上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴,每间隔采
样角频率 重复出现一次,或者说采样信号的频谱是原模拟信号的
频谱以 为周期,进行周期性延拓而成的 。
具体过程见演示程序
s?
s?
1.5.2 将数字信号转成模拟信号
如果用 f s（ f s 2 f c ）采样获得,可用一个理想低通滤波
器将愿模拟信号 恢复出来。
一、理想低通滤波器
这里 T采样周期,采样角频率。其对应的单位冲激响应 g(t)：
? )(? txa
)(txa
???
???
?
???
???
??
s
sT
jG
2
1 0
2
1
)(
2/
)2/s i n (
2
1
)(
2
1
)(
2/
2/
t
t
dTe
dejGtg
s
s
tj
tj
s
s
?
?
?
??
???
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
s?
0 t
T
2 T
3 T
1
g ( t )
二、理想低通滤波器的输入输出关系
假设输入输出分别为 和,则有：
由于满足采样定理，即,因此有：
)(? txa )(tya
/)(
)/)(s i n (
)(
)()(
)()]()([
)()(?)()(?)(
TnTt
TnTt
nTx
nTtgnTx
dtgnTnTx
dtgxtgtxty
n
a
n
a
a
n
aaa
?
?
?
??
???
????
?
?
? ?
?
?
???
?
???
?
??
?
???
?
??
?
?
????
???
)()( txty aa ?
TnTt
TnTtnTxtx
n aa /)(
)/)(s i n ()()(
?
?? ??
??? ?
?
三、零阶保持器
零阶保持器是将前一个采样值进行保持，一直到下一个采样值
到来，再跳到新的采样值并保持，因此相当于进行常数内插。
2/
2/
)2/s i n (
)()(
Tj
tj
eT TT
dtethjH
??
?
??
??
?
??
?? ?
t
T 2 T
X a ( n T )
t
T 2 T
X a ( n T )
0
T
)( ?jH
T/2 ?? T/? T/4 ?
?
频 域 波 形
h ( t )
1
t
T0
时 域 波 形
