数字信号处理
第二章
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域
分析方法，本章学习序列的傅立叶变换，它和模拟域中的傅
立叶变换是不一样的。
2.1 序列的傅立叶变换的定义
FT:
IFT:
nj
n
j enxeX ?? ??
???
?? )()(
?
?
??
???
?
??
???
?
???
?
??
?
??
?
?
?
?
?
????
deeXnx
nxdeeX
mnde
denx
deenxdeeX
njj
njj
nmj
n
nmj
mj
n
njmjj
)(
2
1
)(
)(2)(
)(2
)(
])([)(
)(
)(
?
?
?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
???
?
?
? ?
?
???
?
?
?
??
?
?
式中
IFT:
X(n)和 X(ejw)是一对傅立叶变换对,FT存在的充分必要条件是：
如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅立
叶变换可用冲激函数的形式表示出来。
例 2.2.1 见教材 pp-29
???
?
??
)( nx
2.2 序列的傅立叶变换的性质
1,FT的周期性
2,FT的线性性
3,FT的时移和频移特性
4,FT的对称性
5,时域卷积定理
6,频域卷积定理
FT 的周期性
由序列的傅立叶变换公式：
N取整数，可以把频率分成两部分
其中的 M为整数。因此序列的傅立叶变换是频率的周期函数。
nj
n
j enxeX ?? ??
???
?? )()(
M??? 2??
nMj
n
nj
n
j enxenxeX )2()()()( ???? ???
???
??
???
?? ??
FT的线性性
设
那么
式中 a和 b为常数。
)()()]()([ 2121 jwjw ebXeaXnbxnaxFT ???
)]([)(
)]([)(
22
11
nxFTeX
nxFTeX
j
j
?
?
?
?
FT 的时移和频移特性
设
那么
)]([)( nxFTeX j ??
)()]([
)()]([
)(
0
00
0
???
??
?
?
?
??
jnj
jnj
eXnxeFT
eXennxFT
FT 的对称性
在学习 FT的对称性之前首先介绍共轭对称和公轭反对称以及它
们的性质。
满足
为共轭对称序列，且 共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数 。
满足
为共轭反对称序列，且 共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶
函数 。
)()( nxnx ee ?? ?
)()( nxnx oo ??? ?
一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和来表示：
将上式中的 n用 -n代替，再取共轭，可得到下式：
利用上面的两个公式即可求得 xe(n) 和 xo(n)，即
对于频域，同样有
)()()( nxnxnx oe ??
)()()( nxnxnx oe ?????
? ?
? ? )]()([
2
1
)]()([
2
1
nxnxnx
nxnxnx
o
e
???
???
?
?
? ?
? ? )]()([
2
1
)]()([
2
1
???
???
jjj
o
jjj
e
eXeXeX
eXeXeX
??
??
??
??
FT 的对称性
1、将序列分成实部 xr(n)和虚部 xi(n)
将实部进行 FT
其具有共轭对称性。
将虚部进行 FT
其具有共轭反对称性。
结论,序列分为实部和虚部两部分，实部对应的 FT具有共轭对称性，
虚部和 j一起对应的 FT具有共轭反对称性。
)()()( njxnxnx ir ??
?
?
???
??
n
nj
rr enxnxFT
?)()]([
?
?
???
??
n
nj
ii enxjnjxFT
?)()]([
2、将序列分成共轭对称 xe(n) 部分与共轭反对称 xo(n)部分
且有：
对上面两式取 FT，得到
结论,序列的共轭对称部分 xe(n)对应 FT的实部，序列的共轭反对称
部分 xo(n )对应 FT的虚部。
)()()( nxnxnx oe ??
? ?
? ? )]()([
2
1
)]()([
2
1
nxnxnx
nxnxnx
o
e
???
???
?
?
)()](I m [)]()([
2
1)]([
)()](R e [)]()([
2
1)]([
????
????
j
I
jjj
o
j
R
jjj
e
ejXeXjeXeXnxFT
eXeXeXeXnxFT
????
????
?
?
共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数
将 xe(n)用实部和虚部表示：
将上式两边 n用 -n代替，并取共轭，得到：
对比上面两式，因为左边相等，故可以得到：
)()()( njxnxnx eiere ??
)()()( njxnxnx eiere ??????
)()(
)()(
nxnx
nxnx
eiei
erer
???
??
共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数
将 x0(n)用实部和虚部表示：
将上式两边 n用 -n代替，并取共轭，得到：
对比上面两式，因为左边相等，故可以得到：
)()()( njxnxnx oioro ??
)()()( njxnxnx oioro ??????
)()(
)()(
nxnx
nxnx
oioi
oror
??
???
时域卷积定理
设
则
证明：
)()()( nhnxny ??
)()()( ??? jjj eHeXeY ??
nj
n m
j
m
emnhmxnyFTeY
mnhmxny
?? ?
?
???
?
???
?
???
? ?
?
???
??
])()([)]([)(
)()()(
令 k=n-m,则
该定理说明：在求系统的输出信号时，可以在时域用卷积来
计算，也可以在频域先求输出的 FT，再作逆变换。
)()(
)()(
)()()(
??
??
???
jj
mj
k m
kj
mjkj
k m
j
eXeH
emxekh
eekhmxeY
?
?
?
?
?
???
?
???
?
??
?
???
?
???
? ?
? ?
频域卷积定理
设
则
证明：
)()()( nhnxny ??
?
?
?
?
?
???
???
deHeX
eHeXeY
jj
jjj
??
??
??
)()(
2
1
)()(
2
1
)(
)(
nj
n
njj
nj
n
j
edeeHnx
enhnxeY
??
?
??
??
?
?
?
?
???
?
?
?
???
? ?
?
?
?
])(
2
1
)[(
)()()(
交换积分和求和次序得到：
该定理表明：在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。
)()(
2
1
)()(
2
1
])()[(
2
1
)(
)(
)(
??
?
?
???
???
?
??
?
?
?
?
?
jj
jj
nj
n
jj
eHeX
deXeH
denxeHeY
??
?
?
?
??
?
?
??
?
???
?
2.3 周期序列的离散傅立叶级数
及傅立叶变换表示式
问题的提出：因为周期序列不满足绝对可和的条件，因此 FT不
存在，但周期序列可以展开成离散傅立叶级数，引入 函数,周期
序列的 FT可用公式表示。
1,周期序列的离散傅立叶级数 (DFS)
设 是以 N为周期的周期序列，其傅立叶级数为：
式中傅立叶级数的系数
（ 为什么？ ）
?
)(~ nx
?
?
???
?
k
kn
N
j
k eanx
?2
)(~
?
?
?
?
?
1
0
2
)(~1
N
n
kn
N
j
k enxNa
?
令
则
上面两式是一对 DFS.
例题：见 pp-36
knNjN
n
enxkX
?21
0
)(~)(~
??
?
??
?
?
???
?
k
kn
N
j
ekX
N
nx
?2
)(~
1
)(~
为什么上式成立？
对
两边同乘,并对 n在一个周期中求和
?
?
?
?
?
1
0
2
)(~1
N
n
kn
N
j
k enxNa
?
?
?
???
?
k
kn
N
j
k eanx
?2
)(~
mnNje ?2?
kn
N
jN
n
N
k
m
m
k
k
mn
N
jN
n
N
n
mkn
N
j
N
n
mkn
N
j
k
k
N
n
mkn
N
j
k
k
k
mn
N
jkn
N
j
k
N
n
mn
N
jN
n
enxa
aaenx
N
ekm
NekmaN
ea
eeaenx
?
?
?
?
?
???
2
1
0
1
2
1
0
1
0
)(
2
1
0
)(
2
1
0
)(
2
22
1
0
2
1
0
)(
~
)(
~
1
) 0
(
)(
~
??
?
?
???
?
???
??
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
??
???
?
???
??
?
??
?
?
???
?
??
??
???
?
??
??
???
?
?
即
故有
时当
时当
2、周期序列的傅立叶变换表示式
模拟系统中
时域离散系统
上式表示复指数序列的 FT是在 处的单位冲激函数，强度
为,这个结果是否成立？则须考察它的反变换必须存在，且唯
一等于
)(2
)]([
)(
0
0
0
????
?
?
?
?
??
???
?
??
dteetxFT
etx
tjtj
a
tj
a
?
?
???
?
???
??
r
nj
nrjnj
reFT
eenx
)2(2][
)n()(
0
)2(
0
00
??????
??? 取整数由于
r?? 20 ?
?2
nje 0?
按照反变换的定义
在 区间，只包括一个冲激函数，故等式右边为
?
?
???
?
???
??
r
nj
nrjnj
reFT
eenx
)2(2][
)n()(
0
)2(
0
00
??????
??? 取整数由于
????????? ?? ?? ? ?? derdeeX nj
r
njj ? ??
?
?
????
??? )2(22 1)(2 1 0
??? 0
0?
?2 ?
)(
?j
eX
nj
oe
?
的 F T
?2
?? nje 0?
周期序列的傅立叶变换式
对于一般的周期序列 展成离散傅立叶级数
类似复指数序列的 FT，第 k次谐波 的 FT为：
因此 的 FT为：
)(~ nx
?
?
?
?
?
?
?
1
0
2
1
0
2
)(~)(
~
)(
~1
N
k
kn
N
j
N
k
kn
N
j
enxkX
ekX
N
?
?
＝其中
)22()(
~2
)](~[)( 1
0
rkNN kXnxFTeX
r
N
k
j ?????? ???? ?? ?
???
?
?
)(~ nx
knNjeNkX ?2)/)(~(
)22()(
~2
rkNN kX
r
????? ???
?
???
如果 k在 之间变化，上式可简化成
例 2.3.2 见 pp-39
注意：对于一个周期信号，其傅立叶级数和傅立叶变换的形状是一
样的，不同的是在画法上有所不同。
例 2.3.3 见 pp-39
??
)2()(~2)](~[)( kNkXNnxFTeX
k
j ????? ??? ??
???
2.4 时域离散信号和模拟信号的
傅立叶变换之间的关系
模拟信号的傅立叶变换用 表示
采样信号的傅立叶变换用 表示
（见教材 pp－ 20）
序列的傅立叶变换（即时域离散信号的傅立叶变换）与 模拟信号的
傅立叶变换之间的关系如何？
)( ?jXa
?
?
?
??
?
?
??
??
???
??
dejXtx
dtetxjX
tj
aa
tj
aa
)(
2
1)(
)()(
?
)(? ?jXa
)(1)(? s
k
aa jkjXTjX ????? ?
?
???
时域离散信号的傅立叶变换
我们知道模拟信号的傅立叶反变换为：
取 t =n T时，则有
（ *）式
由于时域离散序列 x(n)是采样信号 构成，所以有
由于两者的积分上下限不同，故无法得到 之间 的
关系。
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
??
?
?
deeXnx
enxeX
njj
n
njj
)(
2
1
)(
)()(
???? ? ??? dejXtx tjaa )(2 1)( ?
? ??? ? ??? dejXnTx nTjaa )(2 1)( ?
)(? txa )()( nxnTx a ?
)()( ?jXeX aj 和?
将 (*)式变成无数个小区间之和，区间为
又知道 所以
T2?
??
??
??
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
???
????
?
????
???
???
T
T
nTj
a
r
a
r n T
T
j
T
T
r n T
T
j
nTj
a
r
a
T
r
T
r
nTj
a
r
a
der
T
jjXnTx
e
deer
T
jjXnTx
r
T
dejXnTx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)
2
(
2
1
)(
) 1 (
)
2
(
2
1
)(
2
)(
2
1
)(
2
2
)12(
)12(
其中
－换元
?T＝?
?? ??
???
??? ?? ? ??? TderTjjXnTx nja
r
a
1.)2(
2
1 )(
我们把两个等式进行比较，
可得
结论：时域离散信号的傅立叶变换仍然是模拟信号的傅立叶变换以
周期 进行周期延拓。
例 2.4.1 pp-42
??? ?? ?? ?? deeXnx njj )(2 1)(
?? ??
???
??? ?? ? ??? TderTjjXnTx nja
r
a
1.)2(
2
1 )(
?
?
?
???
?
???
????
???
r
a
r
a
j
rjjX
T
r
T
jjX
T
eX
)(
1
)
2
(
1
)(
??
T?2
2.5 序列的 Z变换
在模拟信号和系统中，傅立叶变换进行频域分析，拉普拉氏变
换是傅氏变换的推广，对信号进行复频域分析；对于序列,Z变换则
是其推广，用以对序列进行复频域分析。
2.5.1 Z变换的定义
单边 Z变换,
?
?
???
??
n
nznxzX )()(
?
?
?
??
0
)()(
n
nznxzX
Z 变换存在的条件,级数绝对可和，即
使上式成立的 Z 变量的取值范围称为收敛域。令
通常可以用环状域来表示
???
?
???
?
n
nznx )(
?jrez ?
0
I m [ Z ]
R e [ Z ]
R x +
R x -
极点和零点的概念,
常用的 Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示。
使多项式 为零的点叫零点，使多项式 为零的点叫极点。欲
使 Z变换存在，收敛欲中没有极点，也就是说收敛欲总是用极点限定
其边界的。
FT和 ZT的关系：
单位圆上的 Z变换就是序列的傅立叶变换。
)(
)()(
zQ
zPzX ?
)(zQ)(zP
?
?
??
jez
j
n
n
n
njj
zXeXznxzX
enxeX
?
?
???
?
?
???
?
??
?
?
?
)()( )()(
)()(
所以有
例 2.5.1 见 pp－ 44页，该题目的 Z变换不存在。（因为极点为单位
圆）
2.5.2 序列特性对收敛域的影响
1 有限长序列
其 Z 变换为
除 0和 两点是否收敛与 n1和 n2 取值情况有关外，整个 z 平面均
收敛。
如果 n1<0,则收敛域不包括 点，
如果 n2>0,则收敛域不包括 z=0点，
如果是因果序列，收敛域包括 z= 点，即
0 n )()( 21
??
? ???
其他
nnnxnx
?
?
?? 2
1
)()(
n
nn
nznxzX
?
?
?
????? z0 0,0 21 时，nn
????? z0 0,0 21 时，nn
????? z0 0,0 21 时，nn
2 右序列：
第一个序列为有限长序列，且 其收敛域为
第二个序列为因果序列，其收敛域为
将两个收敛域相与，得到收敛域为
3 左序列：
如果 n2<0,z=0点收敛,z= 点不收敛，其收敛域是在某一圆（半径
为 Rx＋ ）的圆内，收敛域为 。如果 n2>0，则收敛域
为 。
??? ?
?
??
?
??
?
? ???
0
1
11
)()()()(
n
n
nn
n
nn
n znxznxznxzX
11 ??n ??? z0
???? zR x
???? zR x
?
???
?? 2 )()(
n
n
nznxzX
??? xRz0
?
??? xRz0
4 双边序列
一个双边序列可以看成是一个左序列和一个右序列之和。
其收敛域为两个收敛域的公共部分。
当 其收敛域为
当 其收敛域不存在。
????
???
???
?
?
?
?
??
?
?
???
?
?
???
?
zznx
zznxzX
zXzXznxzX
nn
n
n
n
n
n
n
-x
11
2
x
1
1
21
R )(( z )X
R 0 )()(
)()()()(
?? ? xx RR
??? x-x RR z
?? ? xx RR
第二章
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域
分析方法，本章学习序列的傅立叶变换，它和模拟域中的傅
立叶变换是不一样的。
2.1 序列的傅立叶变换的定义
FT:
IFT:
nj
n
j enxeX ?? ??
???
?? )()(
?
?
??
???
?
??
???
?
???
?
??
?
??
?
?
?
?
?
????
deeXnx
nxdeeX
mnde
denx
deenxdeeX
njj
njj
nmj
n
nmj
mj
n
njmjj
)(
2
1
)(
)(2)(
)(2
)(
])([)(
)(
)(
?
?
?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
???
?
?
? ?
?
???
?
?
?
??
?
?
式中
IFT:
X(n)和 X(ejw)是一对傅立叶变换对,FT存在的充分必要条件是：
如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅立
叶变换可用冲激函数的形式表示出来。
例 2.2.1 见教材 pp-29
???
?
??
)( nx
2.2 序列的傅立叶变换的性质
1,FT的周期性
2,FT的线性性
3,FT的时移和频移特性
4,FT的对称性
5,时域卷积定理
6,频域卷积定理
FT 的周期性
由序列的傅立叶变换公式：
N取整数，可以把频率分成两部分
其中的 M为整数。因此序列的傅立叶变换是频率的周期函数。
nj
n
j enxeX ?? ??
???
?? )()(
M??? 2??
nMj
n
nj
n
j enxenxeX )2()()()( ???? ???
???
??
???
?? ??
FT的线性性
设
那么
式中 a和 b为常数。
)()()]()([ 2121 jwjw ebXeaXnbxnaxFT ???
)]([)(
)]([)(
22
11
nxFTeX
nxFTeX
j
j
?
?
?
?
FT 的时移和频移特性
设
那么
)]([)( nxFTeX j ??
)()]([
)()]([
)(
0
00
0
???
??
?
?
?
??
jnj
jnj
eXnxeFT
eXennxFT
FT 的对称性
在学习 FT的对称性之前首先介绍共轭对称和公轭反对称以及它
们的性质。
满足
为共轭对称序列，且 共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数 。
满足
为共轭反对称序列，且 共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶
函数 。
)()( nxnx ee ?? ?
)()( nxnx oo ??? ?
一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和来表示：
将上式中的 n用 -n代替，再取共轭，可得到下式：
利用上面的两个公式即可求得 xe(n) 和 xo(n)，即
对于频域，同样有
)()()( nxnxnx oe ??
)()()( nxnxnx oe ?????
? ?
? ? )]()([
2
1
)]()([
2
1
nxnxnx
nxnxnx
o
e
???
???
?
?
? ?
? ? )]()([
2
1
)]()([
2
1
???
???
jjj
o
jjj
e
eXeXeX
eXeXeX
??
??
??
??
FT 的对称性
1、将序列分成实部 xr(n)和虚部 xi(n)
将实部进行 FT
其具有共轭对称性。
将虚部进行 FT
其具有共轭反对称性。
结论,序列分为实部和虚部两部分，实部对应的 FT具有共轭对称性，
虚部和 j一起对应的 FT具有共轭反对称性。
)()()( njxnxnx ir ??
?
?
???
??
n
nj
rr enxnxFT
?)()]([
?
?
???
??
n
nj
ii enxjnjxFT
?)()]([
2、将序列分成共轭对称 xe(n) 部分与共轭反对称 xo(n)部分
且有：
对上面两式取 FT，得到
结论,序列的共轭对称部分 xe(n)对应 FT的实部，序列的共轭反对称
部分 xo(n )对应 FT的虚部。
)()()( nxnxnx oe ??
? ?
? ? )]()([
2
1
)]()([
2
1
nxnxnx
nxnxnx
o
e
???
???
?
?
)()](I m [)]()([
2
1)]([
)()](R e [)]()([
2
1)]([
????
????
j
I
jjj
o
j
R
jjj
e
ejXeXjeXeXnxFT
eXeXeXeXnxFT
????
????
?
?
共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数
将 xe(n)用实部和虚部表示：
将上式两边 n用 -n代替，并取共轭，得到：
对比上面两式，因为左边相等，故可以得到：
)()()( njxnxnx eiere ??
)()()( njxnxnx eiere ??????
)()(
)()(
nxnx
nxnx
eiei
erer
???
??
共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数
将 x0(n)用实部和虚部表示：
将上式两边 n用 -n代替，并取共轭，得到：
对比上面两式，因为左边相等，故可以得到：
)()()( njxnxnx oioro ??
)()()( njxnxnx oioro ??????
)()(
)()(
nxnx
nxnx
oioi
oror
??
???
时域卷积定理
设
则
证明：
)()()( nhnxny ??
)()()( ??? jjj eHeXeY ??
nj
n m
j
m
emnhmxnyFTeY
mnhmxny
?? ?
?
???
?
???
?
???
? ?
?
???
??
])()([)]([)(
)()()(
令 k=n-m,则
该定理说明：在求系统的输出信号时，可以在时域用卷积来
计算，也可以在频域先求输出的 FT，再作逆变换。
)()(
)()(
)()()(
??
??
???
jj
mj
k m
kj
mjkj
k m
j
eXeH
emxekh
eekhmxeY
?
?
?
?
?
???
?
???
?
??
?
???
?
???
? ?
? ?
频域卷积定理
设
则
证明：
)()()( nhnxny ??
?
?
?
?
?
???
???
deHeX
eHeXeY
jj
jjj
??
??
??
)()(
2
1
)()(
2
1
)(
)(
nj
n
njj
nj
n
j
edeeHnx
enhnxeY
??
?
??
??
?
?
?
?
???
?
?
?
???
? ?
?
?
?
])(
2
1
)[(
)()()(
交换积分和求和次序得到：
该定理表明：在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。
)()(
2
1
)()(
2
1
])()[(
2
1
)(
)(
)(
??
?
?
???
???
?
??
?
?
?
?
?
jj
jj
nj
n
jj
eHeX
deXeH
denxeHeY
??
?
?
?
??
?
?
??
?
???
?
2.3 周期序列的离散傅立叶级数
及傅立叶变换表示式
问题的提出：因为周期序列不满足绝对可和的条件，因此 FT不
存在，但周期序列可以展开成离散傅立叶级数，引入 函数,周期
序列的 FT可用公式表示。
1,周期序列的离散傅立叶级数 (DFS)
设 是以 N为周期的周期序列，其傅立叶级数为：
式中傅立叶级数的系数
（ 为什么？ ）
?
)(~ nx
?
?
???
?
k
kn
N
j
k eanx
?2
)(~
?
?
?
?
?
1
0
2
)(~1
N
n
kn
N
j
k enxNa
?
令
则
上面两式是一对 DFS.
例题：见 pp-36
knNjN
n
enxkX
?21
0
)(~)(~
??
?
??
?
?
???
?
k
kn
N
j
ekX
N
nx
?2
)(~
1
)(~
为什么上式成立？
对
两边同乘,并对 n在一个周期中求和
?
?
?
?
?
1
0
2
)(~1
N
n
kn
N
j
k enxNa
?
?
?
???
?
k
kn
N
j
k eanx
?2
)(~
mnNje ?2?
kn
N
jN
n
N
k
m
m
k
k
mn
N
jN
n
N
n
mkn
N
j
N
n
mkn
N
j
k
k
N
n
mkn
N
j
k
k
k
mn
N
jkn
N
j
k
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n
mn
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jN
n
enxa
aaenx
N
ekm
NekmaN
ea
eeaenx
?
?
?
?
?
???
2
1
0
1
2
1
0
1
0
)(
2
1
0
)(
2
1
0
)(
2
22
1
0
2
1
0
)(
~
)(
~
1
) 0
(
)(
~
??
?
?
???
?
???
??
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
??
???
?
???
??
?
??
?
?
???
?
??
??
???
?
??
??
???
?
?
即
故有
时当
时当
2、周期序列的傅立叶变换表示式
模拟系统中
时域离散系统
上式表示复指数序列的 FT是在 处的单位冲激函数，强度
为,这个结果是否成立？则须考察它的反变换必须存在，且唯
一等于
)(2
)]([
)(
0
0
0
????
?
?
?
?
??
???
?
??
dteetxFT
etx
tjtj
a
tj
a
?
?
???
?
???
??
r
nj
nrjnj
reFT
eenx
)2(2][
)n()(
0
)2(
0
00
??????
??? 取整数由于
r?? 20 ?
?2
nje 0?
按照反变换的定义
在 区间，只包括一个冲激函数，故等式右边为
?
?
???
?
???
??
r
nj
nrjnj
reFT
eenx
)2(2][
)n()(
0
)2(
0
00
??????
??? 取整数由于
????????? ?? ?? ? ?? derdeeX nj
r
njj ? ??
?
?
????
??? )2(22 1)(2 1 0
??? 0
0?
?2 ?
)(
?j
eX
nj
oe
?
的 F T
?2
?? nje 0?
周期序列的傅立叶变换式
对于一般的周期序列 展成离散傅立叶级数
类似复指数序列的 FT，第 k次谐波 的 FT为：
因此 的 FT为：
)(~ nx
?
?
?
?
?
?
?
1
0
2
1
0
2
)(~)(
~
)(
~1
N
k
kn
N
j
N
k
kn
N
j
enxkX
ekX
N
?
?
＝其中
)22()(
~2
)](~[)( 1
0
rkNN kXnxFTeX
r
N
k
j ?????? ???? ?? ?
???
?
?
)(~ nx
knNjeNkX ?2)/)(~(
)22()(
~2
rkNN kX
r
????? ???
?
???
如果 k在 之间变化，上式可简化成
例 2.3.2 见 pp-39
注意：对于一个周期信号，其傅立叶级数和傅立叶变换的形状是一
样的，不同的是在画法上有所不同。
例 2.3.3 见 pp-39
??
)2()(~2)](~[)( kNkXNnxFTeX
k
j ????? ??? ??
???
2.4 时域离散信号和模拟信号的
傅立叶变换之间的关系
模拟信号的傅立叶变换用 表示
采样信号的傅立叶变换用 表示
（见教材 pp－ 20）
序列的傅立叶变换（即时域离散信号的傅立叶变换）与 模拟信号的
傅立叶变换之间的关系如何？
)( ?jXa
?
?
?
??
?
?
??
??
???
??
dejXtx
dtetxjX
tj
aa
tj
aa
)(
2
1)(
)()(
?
)(? ?jXa
)(1)(? s
k
aa jkjXTjX ????? ?
?
???
时域离散信号的傅立叶变换
我们知道模拟信号的傅立叶反变换为：
取 t =n T时，则有
（ *）式
由于时域离散序列 x(n)是采样信号 构成，所以有
由于两者的积分上下限不同，故无法得到 之间 的
关系。
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
??
?
?
deeXnx
enxeX
njj
n
njj
)(
2
1
)(
)()(
???? ? ??? dejXtx tjaa )(2 1)( ?
? ??? ? ??? dejXnTx nTjaa )(2 1)( ?
)(? txa )()( nxnTx a ?
)()( ?jXeX aj 和?
将 (*)式变成无数个小区间之和，区间为
又知道 所以
T2?
??
??
??
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
???
????
?
????
???
???
T
T
nTj
a
r
a
r n T
T
j
T
T
r n T
T
j
nTj
a
r
a
T
r
T
r
nTj
a
r
a
der
T
jjXnTx
e
deer
T
jjXnTx
r
T
dejXnTx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)
2
(
2
1
)(
) 1 (
)
2
(
2
1
)(
2
)(
2
1
)(
2
2
)12(
)12(
其中
－换元
?T＝?
?? ??
???
??? ?? ? ??? TderTjjXnTx nja
r
a
1.)2(
2
1 )(
我们把两个等式进行比较，
可得
结论：时域离散信号的傅立叶变换仍然是模拟信号的傅立叶变换以
周期 进行周期延拓。
例 2.4.1 pp-42
??? ?? ?? ?? deeXnx njj )(2 1)(
?? ??
???
??? ?? ? ??? TderTjjXnTx nja
r
a
1.)2(
2
1 )(
?
?
?
???
?
???
????
???
r
a
r
a
j
rjjX
T
r
T
jjX
T
eX
)(
1
)
2
(
1
)(
??
T?2
2.5 序列的 Z变换
在模拟信号和系统中，傅立叶变换进行频域分析，拉普拉氏变
换是傅氏变换的推广，对信号进行复频域分析；对于序列,Z变换则
是其推广，用以对序列进行复频域分析。
2.5.1 Z变换的定义
单边 Z变换,
?
?
???
??
n
nznxzX )()(
?
?
?
??
0
)()(
n
nznxzX
Z 变换存在的条件,级数绝对可和，即
使上式成立的 Z 变量的取值范围称为收敛域。令
通常可以用环状域来表示
???
?
???
?
n
nznx )(
?jrez ?
0
I m [ Z ]
R e [ Z ]
R x +
R x -
极点和零点的概念,
常用的 Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示。
使多项式 为零的点叫零点，使多项式 为零的点叫极点。欲
使 Z变换存在，收敛欲中没有极点，也就是说收敛欲总是用极点限定
其边界的。
FT和 ZT的关系：
单位圆上的 Z变换就是序列的傅立叶变换。
)(
)()(
zQ
zPzX ?
)(zQ)(zP
?
?
??
jez
j
n
n
n
njj
zXeXznxzX
enxeX
?
?
???
?
?
???
?
??
?
?
?
)()( )()(
)()(
所以有
例 2.5.1 见 pp－ 44页，该题目的 Z变换不存在。（因为极点为单位
圆）
2.5.2 序列特性对收敛域的影响
1 有限长序列
其 Z 变换为
除 0和 两点是否收敛与 n1和 n2 取值情况有关外，整个 z 平面均
收敛。
如果 n1<0,则收敛域不包括 点，
如果 n2>0,则收敛域不包括 z=0点，
如果是因果序列，收敛域包括 z= 点，即
0 n )()( 21
??
? ???
其他
nnnxnx
?
?
?? 2
1
)()(
n
nn
nznxzX
?
?
?
????? z0 0,0 21 时，nn
????? z0 0,0 21 时，nn
????? z0 0,0 21 时，nn
2 右序列：
第一个序列为有限长序列，且 其收敛域为
第二个序列为因果序列，其收敛域为
将两个收敛域相与，得到收敛域为
3 左序列：
如果 n2<0,z=0点收敛,z= 点不收敛，其收敛域是在某一圆（半径
为 Rx＋ ）的圆内，收敛域为 。如果 n2>0，则收敛域
为 。
??? ?
?
??
?
??
?
? ???
0
1
11
)()()()(
n
n
nn
n
nn
n znxznxznxzX
11 ??n ??? z0
???? zR x
???? zR x
?
???
?? 2 )()(
n
n
nznxzX
??? xRz0
?
??? xRz0
4 双边序列
一个双边序列可以看成是一个左序列和一个右序列之和。
其收敛域为两个收敛域的公共部分。
当 其收敛域为
当 其收敛域不存在。
????
???
???
?
?
?
?
??
?
?
???
?
?
???
?
zznx
zznxzX
zXzXznxzX
nn
n
n
n
n
n
n
-x
11
2
x
1
1
21
R )(( z )X
R 0 )()(
)()()()(
?? ? xx RR
??? x-x RR z
?? ? xx RR
