数字信号处理
第三章
3.1 离散傅立叶变换的定义
DFT的定义
设 x（ n) 是一个长度为 M的有限长序列，则定义的 N点离散傅立
叶变换为
其逆变换为：
式中 N为 DFT变换区间长度。
1,.,,,1,0
)()]([)(
1
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Nk
WnxnxD F TkX
N
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证明 IDFT的唯一性
由于
所以在变换区间上满足：
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,11 1
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)
为整数，
为整数，（
MMNnm
MMNnmW
N
N
k
knm
N
10,)()]([ ??? NnnxkXI D F T ＝
? 例 3.1.1 见教材 pp-69
DFT和 Z变换的关系,设序列 x(n)的长度为 N，
Z变换为：
DFT为：
两者比较可知：
x(n)的 N点 DFT是 x(n)的 Z变换在单位圆上的 N点等间隔采样。
X(k) 为 x(n)的傅立叶变换在区间 【 0,2π】 上的 N点等间隔采样。
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??? 1
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n
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10,)()( 2 ???? ? NkeXkX k
N
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DFT的隐含周期性
x (n) 和 X(k)均为有限长序列，但由于 的周期性，
使得 X(k)隐含周期性，且周期为 N。对任意整数 m，总有：
所以有：
同理可以得到：
knNW
均为整数NmkWW mNkNkN,,,)( ??
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主值区间和主值序列
任何周期为 N的周期序列 可以看作长度为 N的有
限长序列 x(n)的周期延拓序列，而 x(n)叫 的 主值序
列；, n=0到 N－ 1的第一个周期为 的 主值区间 。
为了方便，常常用如下形式表示：
)(~nx
)(~nx
)(~nx
)()(~)( nRnxnx N??
Nnxnx ))(()(~ ?
周期序列的离散傅立叶级数
上式中的
结论：有限长序列的离散傅立叶变换 X(k)正好是 x(n)的周
期延拓序列 x((n))N的离散傅立叶级数系数 的
主值序列。
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? 线性性质
若
则 y(n)的 N点（ N ＝ max(N1,N2),N1,N2
为两序列的长度） DFT为：
? 循环位移性质
? 循环卷积定理
3.2 离散傅立叶变换的基本性质
)()()]([)( 21 kbXkaXnyD F TkY ???
)()()( 21 nbxnaxny ??
循环位移性质
1、序列的循环移位
将 x(n)以 N为周期进行周期延拓，将得到的序列左移 m位，而
移出主值区间的序列值又依次从右侧进入主值区间。见教材 pp-71
.
2、时域循环移位定理（ 证明 ）
若
则有
3、频域循环移位定理（证明留作业）
)())(()( nRmnxny NN??
)()( kXWkY kmN??
证明 时域循环移位定理
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在任一周期上求和，可以求其主值区间的和
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第三章
3.1 离散傅立叶变换的定义
DFT的定义
设 x（ n) 是一个长度为 M的有限长序列，则定义的 N点离散傅立
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其逆变换为：
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DFT和 Z变换的关系,设序列 x(n)的长度为 N，
Z变换为：
DFT为：
两者比较可知：
x(n)的 N点 DFT是 x(n)的 Z变换在单位圆上的 N点等间隔采样。
X(k) 为 x(n)的傅立叶变换在区间 【 0,2π】 上的 N点等间隔采样。
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DFT的隐含周期性
x (n) 和 X(k)均为有限长序列，但由于 的周期性，
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所以有：
同理可以得到：
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任何周期为 N的周期序列 可以看作长度为 N的有
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为了方便，常常用如下形式表示：
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周期序列的离散傅立叶级数
上式中的
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? 循环位移性质
? 循环卷积定理
3.2 离散傅立叶变换的基本性质
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循环位移性质
1、序列的循环移位
将 x(n)以 N为周期进行周期延拓，将得到的序列左移 m位，而
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2、时域循环移位定理（ 证明 ）
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3、频域循环移位定理（证明留作业）
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