§ 6-1 引言
一,DF按频率特性分类
可分为低通、高通、带通、带阻和全通，
其特点为：
（ 1）频率变量以数字频率 表示，,
为模拟角频率,T为抽样时间间隔；
（ 2）以数字抽样频率 为周期；
（ 3）频率特性只限于 范围，这
是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的
一半。
0
0
低通
0
高通
带通
0
0
带阻
全通
二,DF的性能要求（低通为例）
0
通带截止频率
阻带截止频率
通带
阻带
过渡带 平滑过渡
三,DF频响的三个参量
1、幅度平方响应
2、相位响应
3、群延迟
?
?? ??
d
ede jj )()( ??
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，
就是表示每个频率分量的延迟相同。
四,DF设计内容
1、按任务要求确定 Filter的性能指标；
2、用 IIR或 FIR系统函数去逼近这一性能要求；
3、选择适当的运算结构实现这个系统函数；
4、用软件还是用硬件实现。
五,IIR数字 filter的设计方法
1、借助模拟 filter的设计方法
（ 1）将 DF的技术指标转换成 AF的技术指标；
（ 2）按转换后技术指标、设计模拟低通 filter的 ；
（ 3）将
（ 4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通
AF的技术指标。
2、计算机辅助设计法（最优化设计法）
先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，
最大误差最小准则等，然后在此准则下, 确定系
统函数的系数。
)s(Ha
)()( zHsH a ?
§ 6-2 将 DF的技术指标转换为 ALF的技术指标
一、意义
AF的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；
设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪
夫等。
二、一般转换方法
1、
2、
3、
4、
A L FD L F ?
A L FA H FDHF ??
A L FABFD B F ??
A L FA B S FD B S F ??
三、转换举例
例如，一低通 DF的指标：在 的通带
范围，幅度特性下降小于 1dB；在 的
阻带范围，衰减大于 15dB；抽样频率 ；
试将这一指标转换成 ALF的技术指标。
解：按照衰减的定义和给定指标，则有
假定 处幅度频响的归一化值为 1，
即
这样，上面两式变为
由于,所以当没有混叠时，根据关系式
模拟 filter的指标为
6-3 ALF的设计
ALF的设计就是求出 filter的系统函数 Ha(S),
使其逼近理想 LF的特性，逼近的形式（ filter的类型）
有巴特沃斯型，切比雪夫型和考尔型等。而且逼近
依据是 幅度平方函数,即由幅度平方函数确定系统
函数。
一、由幅度平方函数确定系统函数
1、幅度平方函数
由于 所以
其中,是 AF的系统函数,是 AF的频响，
是 AF的幅频特性。
2,Ha（ S） Ha（ -S） 的零极点分布特点
（ 1）如果 S1是 Ha（ S） 的极点，那麽 -S1就是 Ha（ -S）
的极点；同样，如果 S0是 Ha（ S） 的零点，那麽 -S0就是
Ha（ -S） 的零点。所以 Ha（ S） Ha（ -S） 的零极点是呈
象限对称的,例如：
（ 2）虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为 ha（ t）
是实数时的 Ha（ S） 的零极点以共轭对存在；
（ 3）虚轴上没有极点（稳定系统在单位圆上无极点）；
（ 4）由于 filter是稳定的，所以 Ha（ S） 的极点一定在
左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此
要求，可取任一半对称零点为 Ha（ S） 的零点。
3、由 确定 的方法
（ 1）求
（ 2）分解 得到各零极点，将左半面的
极点 归于,对称的零点任一半归 。若要求
最小相位延时，左半面的零点归 （全部零极点
位于单位圆内）。
（ 3）按频率特性确定增益常数。
例 6-1 由
确定系统函数 。
解：
所以，极点为 零点为
均为二阶的。我们选极点 -6,-7，一对虚轴零点
为 的零极点，这样
由,可确定出,
所以 。
因此
因
二、巴特沃斯低通滤波器
1、幅度平方函数
其中,N为整数，是 filter的阶数； 为截止频率。
当 时，则
即
（ 1）通带内有最大平坦的幅度特性；
（ 2）不管 N为多少，都通过
点。
)3(2/1 dB?
2、幅频特性
1.0
0
N=2
N=4
N=8
3、巴特沃斯 filter的系统函数
由于 所以其零点全部
在 处；即所谓全极点型，它的极点为
也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布
在巴特沃斯圆上（半径为 ），共有 2N点。
例如,N=2时，
N=3时，
4
取 左半平面的极点为 的极点，
这样极点仅有 N个，即
其中，常数 由 的低频特性决定。
则
2
3j
2
1eS 34j
3 ????
?
[例 6-2]导出三阶巴特沃斯 LF的系统函数，设 s/r a d1
C ??
解：
所以 )1(
6
622
1
1
1/1)()(
j
j
jHA
??
???????
其极点为 因此有
取前三个极点，则有
,1)0(AK)0(H 0a ???
1S2S2S
1)S(H
23a ????
4、归一化的系统函数
如果将系统函数的 S,用滤波器的截止频率去除，这
样对应的截止频率变为 1，即所谓归一化，相应的系统
函数称作归一化的系统函数记作
例如，对于巴特沃斯 filter
)S(H an ?
,
)SS(
K
)S(H N
1k
k
0
a
?
?
?
? ?
??
?? )N2
1k2
2
1(j
Ck eS
N,,2,1k ????
?)
2
12
2
1
(
1
0,,
)(
)( N
k
j
k
C
N
k
k
an eS
S
S
SS
K
SH
?
?
?
??
?
??
???
??
?
如果将低通 filter归一化，就称作归一化原型
滤波器。
三、归一化原型 filter的设计数据
不论哪种形式（巴特沃斯，切比雪夫）的 filter，
都有自己的归一化原型 filter，而且它们都有现成的数
据表可查和设计公式
例如，归一化巴特沃斯原型 filter的系统函数（这
里的 S即 ）为
当,增益为 1，则有, N=1— 10阶的各
个系数，如表 5-3,P148所示。
如果,则 E（ S）的根。即
的极点如表 5-5,P150所示。
* 由归一化系统函数 得,只需将 S代
入 即可。
S?
N2
21
0
an SSaSa1
d)S(H
????????
0?? 1ad 00 ??
)S(E/d)S(H 0an ? )S(H an
)S(H an )S(H a
C/S ?
0a
四、设计举例（巴特沃斯 filter）
1、技术指标
2、计算所需的阶数及 3dB截止频率
将技术指标，代入上式，可得
1)102j(Hlg20 3a ????
15)103j(Hlg20 3a ?????
C?
])(1/[1)j(H N2
C
2
a ?
?????
])(1l g [10)j(Hlg20 N2
C
a ?
??????
1])102(1lg [10 N2
C
3
??
?
????
15])103(1l g [10 N2
C
3
??
?
?????
解上述两式得：
1.0N2
C
3
10)102(1 ?
?
???
5.1N2
C
3
10)103(1 ?
?
????
因此，
3C 100 4 7 4 3.7,8 8 5 8.5N ????
取 N=6，则
3C 100 3 2 1.7 ???
3,的求得
查 P148，表 5-3，可得 N=6时的归一化原型模拟巴特
沃斯 LF的系统函数为
3456an S1 4 1 6 2 0 2.9S4 6 4 1 0 1 6.7S8 6 3 7 0 3 3.3S/(1)S(H ????
)1S8 6 3 7 0 3 3.3S4 6 4 1 0 1 6.7 2 ???
)1S4 1 4 2 1 3 5.1S)(1S5 1 7 6 3 8 0 9.0S/ [ (1 22 ?????
)]1S9 3 1 8 5 1 6 5 2.1S( 2 ??
)(sH a
将 S用 代入，可得
3
C
1003 21.7/SS ??
?
)S(H a
)104504.49S106 4 0 0 3.3S/[101.1 2 0 9 2 3)S(H 6328a ??????
)104504.49S105 8 4 9 8.13S)(104504.49S109 4 4 7 5.9S( 632632 ????????
6-4 冲激响应不变法
AF设计完毕以后，还应将 变换成 H（ Z），
也就是将 S平面映射到 Z平面。通常有三种方法：
（ 1） 冲激响应不变法 ；
（ 2）阶跃响应不变法；
（ 3）双线性变换法。
我们这里只讨论冲激响应不变法。
)S(Ha
一、变换原理
h（ n）为 DF的单位冲激响应序列,为 AF的
冲激响应，冲激响应不变法就是使 h（ n）正好等于
的抽样值，即
如果 则有
上式表明，先对 沿虚轴作周期延拓，再经过
的映射关系映射到 Z平面。
二、混迭失真
DF的频响并不是简单的重复 AF的频响，而是 AF
的频响的周期延拓，即
)t(ha
)t(ha )nT(h)n(h a?
)],n(h[Z)Z(H)],t(h[L)S(H aa ??
??
???
? ??
k
aeZ kTjSHTzH ST )
2(1)( ?
)S(Ha STeZ ?
??
???
? ????
h
a
j )
T
k2j(H
T
1)e(H
?
根据取样定理，只有当 AF的频响带限于折叠频率以内
时，即
才能使 DF在折叠频率 内重现 AF的频响，而不产生混
叠失真。但是，任何一个实际 AF的频响却不是严格带
限的，就会产生 混迭 失真，如下图
2T,0)j(H
S
a
???????
?
)T/j(H a ?
???? 0
??2 ?2
三,AF的数字化方法
1、一般方法
。先,再对
抽样，使,最后 H（ Z） =Z[h（ n） ]，一
般说来过程复杂。
2、方法的简化
设 只有单阶极点，而且分母的阶次大于分
子的阶次,可展成如下的部分公式
)Z(H)S(H a ? )]S(H[L)t(h a1a ?? )t(ha
)nT(h)n(h a?
)S(Ha
)S(Ha
?
? ?
?
N
1k k
k
a SS
A)S(H
?
?
? ???
N
1k
tS
ka
1
a )t(ueA)]S(H[L)t(h
k
因此，
? ?
? ?
???
N
1k
N
1k
nTS
k
nTS
ka )n(u)e(A)n(ueA)nT(h)n(h
kk
?
?
???
???
n
nZ)n(h)]n(h[Z)Z(H
? ?
?
? ?
??
0n
N
1k
k
n1TS A)ze( k
? ?
?
?
?
??
N
1k 0n
n1TS
k )ze(A
k
?
?
???
N
1k
1TS
k
Ze1
A
k
3、几点结论
（ 1） S平面的单极点 变为 Z平面单极点
就可求得 H（ Z）。
（ 2） 与 H（ Z）的系数相同，均为
（ 3） AF是稳定的,DF也是稳定的。
（ 4） S平面的极点与 Z平面的极点一一对应，但两
平面并不一一对应。
例如，零点就没有这种对应关系。
4、修正的 H（ Z）
由于 DF的频响与 T成反比，当 T很小时,DF的增益
过高，这样很不好，为此做如下修正：
kSS ?
TS keZ ?
) S( Ha
kA
)nT(Th)n(h a?
?
?
???
N
1k
1TS
k
Ze1
TA)Z(H
k
????????? ?
?
???
?
k
aa
j ),
Tj(H)kT
2j
Tj(H)e(H
[例 6-3] AF的系统函数为,
试用冲激响应不变法，设计 IIRDF,T=1
解：
设 T=1，
3S
1
1S
1)S(H
a ????
T31T1 eZ1
T
eZ1
T)Z(H
???? ????
42311
311
T3111 eZ)ee(Z1
)ee(Z
eZ1
1
eZ1
1)Z(H
?????
???
???? ???
??
?
?
?
?
0 8 3 1 5 6 7 9.0e,0 4 9 7 8 9 0 6 8.0e,3 6 7 8 7 9 4 4 1.0e 431 ??? ???
21
1
Z01831.0Z4177.01
Z3181.0)Z(H
??
?
???
6-5 双线性变换法
通常，信号大都为时限的，据信号理论可知，时限信号变换到
频域,将变成非带限信号，系统也遵循这一原则。这样当用冲激
响应不变法设计 DF时，不可避免的产生混叠失真。为了克服混叠
失真，可采用 双变换 法。这种方法的基本思想是，先将 S 平面中
非带限的所设计的系统函数变换到 平面，并使其为带限的，然
后再转换到 Z平面。 1
S
一、变换原理
在 S平面与 Z平面的映射关系中,我们知道,S平面中一条宽
为 （如 到 ）的横带就可以变换到整个 Z平
面,因此，可先将整个 S平面压缩到一个中介的 平面的一条
横带里，再通过 将此横带变换到整个 Z平面上。这样就
使 S平面和 Z平面是一一映射关系。如下图所示：
1S
T?2 T?T??
TSeZ 1?
时，将由 经过 0变到
由上图可知，将 S平面进行压缩，实际上，就是将其 轴
压缩到 平面的 轴上的 到 的范围内。这可通过
正切变换实现,1S
?j
1?j T?T??
)2( 1TtgC ????
其中 C为任意常数。由上式可知，当 由 经过 0变到1?
T?? T
?
?? ??
通过欧拉公式，可得：
C
ee
ee
j
T
j
T
j
T
j
T
j
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
22
22
11
11
上式表示两个线性函数之比，称作线性分式变换，若用 S表
示 Z，可得：
将上式关系延拓到整个 S和 平面，则有：1S
CeeS TS
TS
???? ?
?
1
1
1
1
借助于 平面和 Z平面的映射关系：,可以得到：1S TSeZ 1?
1
1
1
1
1
1
?
???
?
???
?
?
Z
ZC
Z
ZCS
SC
SCZ
?
??
可见，也是线性分式变换（函数），这样 ( )间的变
换是 双向 的，故称作双线性变换
ZS ?
二,S平面与 Z平面的映射关系
由于
???
????
?
??
jC
jC
SC
SCZ
?
?
可得：
22
22
_)(
_)(
???
????
?
?
C
CZ
（ 1）当 时,；这就是说,S平面的 轴映射 Z平
面的单位圆上。
0?? 1?Z ?j
（ 1）当 时，上式的分母大于分子，则有 ；这
表明 S左半平面映射到 Z平面的单位圆内。两者均是稳定的。
0?? 1?Z
三,变换常数 C的选择
由于,所以只有当 很小（一般
）,和 之间才存在线性关系，即：
)2( 1TtgC ???? T1? ?3.01 ?? T
? 1?
21TC ???
1.如果使 AF和 DF在低频处有较确切的对应关系，则选择 1???
这时有,即 211 TC ?????
TC 2?
2.如果使 DF的某一稳定频率（如 ）与 AF的一特定频
c?
严格相对应，则有
)2()2( 1 ccc tgCTtgC ???????
Tcc 1???
率
即
2
c
c c t gC
???
四、双线性变换的特点
1。 S平面的虚轴（ ）映射到 Z平面的单位圆上。这是因为
时，不管常数 C为何值,均为 1
?j
0?? Z
2。稳定的 AF，经双线性变换后所得 DF也一定是稳定的，这是
因为稳定的 AF，其极点必全部位于 S的左半平面上，经双线性变
换后，这些极点全部落在单位圆内。
3。其突出的优点是避免了频响的混叠失真。说明如下：
将 代入双线性变换公式，且 则?? jeZ TC 2?
2
2
2 2
c o s
s i n2
1
12 ?
?
? tg
TjjTe
e
TS j
j
????? ??
??
2
2 ?tg
Tjj ??
即
亦即
)2(2 1 ?? ? Ttg?
从 时，则 从 ；这就是说,S平面的正
虚轴被映射到 Z平面的单位圆的上半部
???0? ? ??0
从 时，则 从 ；这就是说,S平面的
负虚轴被映射到 Z平面的单位圆的下半部
? ???0 ? ???0
也就是说，从 S平面到 Z平面，频率轴是单位变换关系，而且当
??? 时,?? ? 为折叠频率，所以不会有高于折叠频率
的分量，因此不会产生混叠失真。
五,设计方法
1。直接代入法
只需将 代入 AF系统函数 就可
得到 DF的系统函数,即
)1/()1( 11 ?? ??? ZZCS )(SHa
)(ZH
)1/()1( 11)()( ?? ???? ZZcsa SHZH
2.间接代入法
先将 AF的系统函数分解成级联或并联形式，然后在对每一个子
系统函数进行双线性变换。
变换关系近似于线性，随着 的增加,表现出严重 非线性 。因此，
DF的幅频响应 相对于 AF的幅频响应会产生畸变。只有能容忍或补偿
这种失真时，双线性变换法才是实用的。
4.频率的非线性失真
从 的关系曲线可以看出，在零频附近,与 之间的)(?? f? ?
?
?
例如
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
???
miSHZH
ZHZHZHZH
SHSHSHSH
ZZcsaii
m
amaaa
,...,2,1,)()(
)(),..()()(
)(),..()()(
)1/()1(
21
21
11
并联形式与上述类似
3。表格法
由于代入法 在应用时可能比较麻烦，因此如果能预先求出 AF
与 DF的系统函数之间的关系，设计问题则变成查表，简单易行。
设 AF的系统函数为：
注：上式分子与分母的阶次均为 N，若分子阶次小时，可令最
高几个阶次的 为零。
又设 DF的系统函数为
P137 表 5-1 给出了一至三阶的 系数 与 系数
关系
