§ 7-1 引言
一,IIR DF的特点
1,DF的设计依托 AF的设计，有图表可查，方便简单。
2、相位的非线性
H（ Z）的频响：
其中,是幅度函数,是相位函数。
通常,与 不是呈线性的，这是 IIR filter
（无限长响应滤波器）的一大缺点。因此限制了
它的应用，如图象处理，数据传输都要求信道
具有线性相位特性。
3、用全通网络进行相位校正，可以得线性特性。
,e)e(H)Z(H)e(H )(jjeZj j ????? ?? ?
)e(H j? )(??
)(?? ?
二,FIR DF的特点
1、单位抽样响应 h（ n）是有限长的，因此 FIR DF一定
是稳定的。
2、经延时,h（ n）总可变成因果序列，所以 FIR DF总
可以由因果系统实现。
3,h（ n）为有限长，可以用 FFT实现 FIRDF。
4,FIR的系统函数是 Z-1的多项式，故 IIR的方法不适用。
5,FIR的相位特性可以是线性的，因此，它有更广泛的
应用，非线性的 FIR一般不作研究。
7-2 线性相位 FIR DF的特点
一、线性相位的条件
如果 FIR DF的单位抽样响应 h（ n）为实数，而且
满足偶对称 h（ n） =h（ N-1-n），或满足奇对称
h（ n） =-h（ N-1-n），其对称中心在 处，可证
明 filter就具有准确的线性相位。
N又分为偶数和奇数两种情况，所以有 4种线性相
位 FIR DF，如下所述。
2
1Nn ??
1,N为奇数的偶对称
例如 N=11，对称中心为
)n10(h)n(h,5
2
111n ?????
n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2,N为偶数时的偶对称
例如 N=10，对称中心为
)n9(h)n(h,5.4
2
110n ?????
n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3,N为奇数时的奇对称
例如,N=11，对称中心为
)n10(h)n(h,5n ????
n
0
1 2 3
4
5 6
7
8
9
10
4,N为偶数时的奇对称
例如,N=10，对称中心为 4.5，
)n9(h)n(h ???
n
0
1 2 3
4
5
6
7
8
9
二、线性相位的特点
)(jj e)(H)e(H ??? ??
为幅度函数，,
是一个纯实数,是相位函数，下面分
为 奇, 偶对称 两种情况讨论
)(H ? )e(H)(H j????
)(??
)(??
1,h（ n）为偶对称情况
??
?
?
?
?
?
?
?????
???
1N
0n
n
1N
0n
n
Z)n1N(hZ)n(h)Z(H
)n1N(h)n(h?
?
?
?
????
1N
0m
)m1N(Z)m(h
)1,1( mNnnNm ????????
?
?
?
???
1N
0m
m)1N( Z)m(hZ
也就是
)Z(HZ)Z(H 1)1N( ????
上式两边同时加 H（ Z），再用 2去除得：
?
?
?
???
???
??
??
1
0
)1(
1)1(
])[(
2
1
)]()([
2
1
)(
N
n
nNn
N
ZZZnh
ZHZZHZH
]
2
ZZ
[)n(hZ
)
2
1N
n()
2
1N
n(
1N
0n
)( 2 1N
?
?
?
??
?
?
? ?? ??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
1
0
)
2
1
()
2
1
(
)
2
1
(
)(]
2
[
)()(
N
n
N
nj
N
nj
N
j
eZ
j
nh
ee
e
ZHeH j
??
?
?
?
?
?
?
???
????
1N
0n
)
2
1N(j
])
2
1Nnc o s [ ()n(he
?
?
?
???
????
1N
0n
)
2
1N(j
])n
2
1Nc o s [ ()n(he
所以，这时的幅度函数和相位函数如下所示,
幅度函数为
相位函数为
])n
2
1Nc o s [ ()n(h)(H 1N
0n
????? ?
?
?
?????? )2 1N()(
显然 与 呈正比，是 严格 的 线性 相位。)(?? ?
?
??? )2 1N(
????????? )1N()(,2
??? )1N(
0
)(??
? ?2
????????? )2 1N()(,
2,h（ n）为奇对称的情况
当 h（ n） = -h（ N-1-n）时，可以通过类似的推导，
得到
])n
2
1N
[(s i n)n(he)e(H
1N
0n
2
j)
2
1N
(jj
??
?
? ?
?
?
?
??
?
??
所以，其幅度函数和相位函数分别为
])n
2
1Ns i n [ ()n(h)(H 1N
0n
????? ?
?
?
2
)
2
1N()( ?????????
可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个
900相移，这样就使得通过 filter的所有频率都相移 900，
因此称它为 正交变换网络 。（相移 900的信号与原信
号为正交的）。
?????????
?????????
?
?????
)
2
3
N()(,2
)1
2
N
()(,
2
)(,0
?)23( ?? N
2
?
?)12( ?? N
)(??
?
? ?20
1,N为奇数,h（ n）为偶对称的情况
三、幅度函数的特点
呈偶对称，也对 2/)1(])
2
1
c os [ (
)])1(
2
1
[c os (
)]
2
1
(c os [])
2
1
c os [ (
])
2
1
c os [ ()()(
1
0
??
?
?
???
?
?
?
???
?
?
?
? ?
?
?
Nn
N
nN
N
N
nn
N
n
N
nhH
N
n
?
?
??
??
?
可表为。因此，
项是奇数，故留下中间一
项。由于并等等，共合并为
项合项与第合并；把第
项项与第相等；可把第
项项与第内的第因此，
)(2/)1(
:
2/)1(
21
10
)1(
?HNn
N
N
Nnn
Nnn
nNn
??
?
???
???
??
?
n
N
m
mm
N
h
N
h
n
N
nh
N
hH
N
m
N
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
)c os ()
2
1
(2)
2
1
(
])
2
1
c os [ ()(2)
2
1
()(
2/)1(
1
2/)3(
0
其中，
??
??
2
1N
,,2,1n),n
2
1N
(h2)n(a
)
2
1N
(h)0(a
)nc o s ()n(a)(H
2/)1N(
0n
?
?????
?
?
?
?
??? ?
?
?
可见,对 呈现偶对称。)(?H,2,,0 ????
?
进一步表为)(?H
2,N为偶数,h（ n）为偶对称的情况
2
N
,,2,1n),n
2
N
(h2)n(b
])
2
1
nc o s [ ()n(b)(H
2/N
1n
??????
???? ?
?
?
可见,对 呈奇对称。
)(H,0)(H ??? ???
3,N为奇数,h（ n）为奇对称的情况
2
1N
,,2,1n),n
2
1N
(h2)n(c
)ns i n ()n(c)(H
2/)1N(
1n
?
?????
?
?
??? ?
?
?
?
可见,时，
对 呈奇对称。???? 2,,0 ;0)(H ??)(H ? ???? 2,,0
4,N为偶数,h（ n）为奇对称的情况
2
N
,,2,1n),n
2
N
(h2)n(d
])
2
1
ns i n [ ()n(d)(H
2/N
1n
??????
???? ?
?
?
可见,时,对
呈奇对称，而对 呈偶对称。
这四种线性相位 FIR filter的特性归纳在表 7-1中
（ P341）。
??? 2,0 ;0)(H ?? )(H ? ??? 2,0
???
四、系统函数 H（ Z）的零点分布情况
1、零点的分布原则
)Z(HZ)Z(H 1)1N( ??????
所以，如果 是零点，则 也一
定是 H（ Z） 的零点,h（ n）为实数时,H（ Z）
的零点必成共轭对出现，即 也一定是
H（ Z）的零点,也一定是 H（ Z）的零
点。
iZZ ? iZ/1Z ?
*
iZZ ?
*
iZ/1Z ?
2、零点的位置
（ 1） 既不在实轴上，也不在单位圆上，则零
点是互为倒数的两组 共轭对,
22/1,22/1 jZjZ ii ???? ?
iZ
,
4
1j
4
1Z,
4
1j
4
1Z *
ii ????
*
iZ/1
]Z[jI m
Zi
?iZ
iZ/1
]ZRe[
10
(2) 不在实轴上，但在单位圆上，共轭对的
倒数就是它们本身，如 i
Z
2
2
j
2
2
Z/1,
2
2
j
2
2
Z/1
2
2
j
2
2
Z,
2
2
j
2
2
Z
*
ii
*
ii
????
????
*ii Z/1Z ?
i
*
i Z
1Z ?
0 1
（ 3） 在实轴上，不在单位圆上，实数零点，
没复共轭；只有倒数。
例如，
iZ
2Z/1,2/1Z ii ??
iZ iZ/1
2
1 2
0 1
（ 4） 既在实轴上也在单位圆上。此时，
只有一个零点，且有两种可能，或位于 Z=1，
或位于 Z=-1。
iZ
1Zi ?1Z i ??
N为偶数时的偶对称
为其零点； N为偶数奇对称
H（ 0） =0，有 Z=1零点；
N为奇数奇对称
有零点 Z=1，和 Z= -1。
1Z,0)(H ????
,0)(H)0(H ???
§ 7-3 窗函数设计法
一、设计方法
1、设计思想
先给定理想 filter的频响,所要求设计一个
FIR的 filter的频响为,使 逼近
2、设计过程
设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理
想 filter的单位抽样响应,然后加时间窗
对 截断，以求得 FIR filter的单位抽样响应 h(n)。
)e(H jd ?
)e(H j? )e(H j? )e(H jd ?
)n(hd )(nw
)n(hd
)()()(
)(
2
1
)(
nhnwnh
deeHnh
d
njj
dd
?
? ?
?
?
?
??
?
?
?
例如，低通 filter
)(H d ?
0
c?c?? ?
是矩形的，则
一定是无限长
的且是非因果的。
)e(H jd ?
)n(hd
二、窗函数对频响的影响
1、理想 LF的单位抽样响应
理想低通 filter的频响 为
1
0
0
为群延时
因为其相位,所以 是偶对称，
其对称中心为,这是因为 时，即
为其最大，故 为其对称中心。
又是无限长的非因果序列)n(h
d
c
cc
)n(j)n(j
njjj
d
1
)n(
])ns i n [ (
e
)n(2j
11
de
2
1
dee
2
1
)]e(H[F
c
c
c
c
c
???
???
?
?
?
???
??
?
?
?
?
??
?
??
???
?
??
???
?
??
??????
?
?
)n(h d
?????? )(
? ??n
??? /)( cdh ? ?
)(nhd
)n(hd
2/)1N( ???
1N ?
n
)n(R N
1 N?
n
0
.,,,,,
1
2、加矩形窗
加窗就是实行 乘 操作，而矩形窗就是 截断 数据，这
相当于通过窗口 看,称 为窗口函数。
)()( nRnw NR ?
)n(R N )n(h d )(nwR
?? )()()( nwnhnh Rd
1Nn0),n(h d ???
,0
其他 n值?
因 h（ n）是偶对称的。长度为 N，所以其对称中心
应为,所以 h（ n）可写作2/)1N( ???
h（ n） = 1Nn0,
)
2
1N
n(
])
2
1N
ns i n [ (
c
c
c ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,0 n为其他值
3,h（ n）的频响
h（ n）的频响 可通过傅式变换
求得，为了便于与 的频响 相比较，利
用卷积定理
)e(H j? )]([)( nhFeH j ??
)n(h d )e(H j
d
?
??
???
?
?
?
???? ?
?
deWeHeH
nwnhnh
j
R
j
d
j
Rd
)()(
2
1
)(
)()()(
)(
?
(1)对于矩形窗的频响
?
?
?
???
1
0
)()]([)(
N
n
nj
RR
j
R enwnwFeW
??
2/s i n
2
N
s i n
e
e1
e1
e
)
2
1N
(j
j
Nj1N
0n
nj
?
?
?
?
?
??
?
??
??
???
?
???
?
?
)
2
1(
)(
??
?
Nj
R eW
其中,为幅度函数，
为相位函数。
)2s in (/)2Ns in ()(W R ????
??? )2 1()( ??? N
（ 2）对于理想 LF的频响
????
??
)
2
1N(j
d
j
d e)(H)e(H
其中,为幅度函数，
为相位函数。
?? )(H d
?
c,1 ???
????? c,0
??? )2 1()( ??? N
（ 3） h（ n）的频响
其中,为幅度函数，
为相位函数。
4、窗函数频响产生的影响
从几个特殊频率点的卷积过程就可看出其影响,
（ 1） 时，0?? ? ??
??
?
?? ??????????
c
c
d)(W2 1d)(W12 1)0(H RR
也就 在 到 全部面积的积分。
因此,H（ 0） /H（ 0） =1（用 H（ 0）归一化）。)(WR ?
?? ?
)(H d ?
0
c?? c?
?
?? ?
0
（ 2） 时,正好与
的一半相重叠。这时有 。
c?? ? )(W R ???)(H d ?
5.0)0(/)( ?HH c?
(3) 时,的主瓣全部在
的通带内，这时应出现正的肩峰。
Nc
??? 2?? )( ?? ?RW )(?dH
（ 4） 时，主瓣全部在通带外，
出现负的肩峰。 Nc /2 ??? ??
（ 5）当 时，随 增加，
左边 旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积
也随着 的旁瓣在通带内的面积
变化而变化，故 将围绕着零值而波动。
Nc
??? 2?? ? )(W
R ???
)(H ?
)(W R ???
)(H ?
N/2c ?????
(6)当 时,的右边旁瓣将进入
的通带，右边旁瓣的起伏造成 值围绕
值而波动。
N
2
c
????? )(W R ???
)(H d ? )(H ?
)0(H
1
0
0.5
?
)0(H/)(H ?
5、几点结论
（ 1）加窗后，使频响产生一过渡带，其宽度正好等于
窗的频响 的主瓣宽度
（ 2） 在 处出现肩峰，肩峰两侧形成
起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振
荡的多少则取决于旁瓣的多少。
（ 3）吉布斯（ Gibbs）效应
因为窗函数的频响的幅度函数为
这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变 N时仅能
改变 的绝对值的大小，和主瓣的宽度,
旁瓣的宽度,但不能改变主瓣与旁瓣的相对
比例，也就是说，不会改变归一化频响 的肩峰
的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰为 8.95%，不管
N怎样改变，最大肩峰总是 8.95%,这种现象称作
吉布斯效应。
)(W R ? N4????
)(H ? N2c ?????
)2s in (/)2Ns in ()(W R ????
)(W R ? )N/4( ?
)N/2( ?
)(H ?
三、各种窗函数
1、基本概念
（ 1）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。
（ 2）对窗函数要求
a）希望窗谱 主瓣尽量窄,以获得较陡的过渡带，这
是因为过渡带等于主瓣宽度。
b） 尽量减少 窗谱最大 旁瓣 的相对 幅度,这样可使肩峰
和波纹减少。
2、矩形窗
时域表达式：
频域表达式（频谱）：
幅度函数：
)()()( nwnRnw RN ??
???? ?? )2 1N(j
R
j
R e)(W)e(W
)2s in (/)2Ns in ()(W R ????
3、三角形（ Bartlett）窗
时域表达式：
?)(nw
?
2
1Nn0,
1N
n2 ???
?
1Nn2 1N,1N n22 ??????
1
2
1
2
1
0 1 2 3 4
频谱：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)
2
1N
(j
2j
e)
)
2
s i n (
])
4
1N
s i n [ (
(
1N
2
)e(W
1N,e)
)
2
s i n (
)
4
N
s i n (
(
1N
2 )
2
1N
(j
2
??
?
?
?
?
?
?
?
第一对零点为,即,
所以主瓣宽度, 比矩形宽一倍 。
)e(W j? ????4N N4????
N/8 ????
4、汉宁窗（升余弦窗）
其窗谱可利用如下方法求出，将 变形为
又由于
其中
又考虑到,这里
所以有
当 时，,窗谱
分析 可知，它等于三部分之和，旁瓣较大程度地
互相抵消，但 主瓣 加 宽一倍,即为
)(W21 R ?
)N2(W41 R ???
N
4??
N
2??
N
2?
N
4?
)(W ?
N
4??
N
4?
汉宁窗是 时，
特例
2??
)n(R)]1N n([ s in)n( N???? ?
5、海明窗，又称作改进升余弦窗
其窗函数为
仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为
其主瓣宽度仍为,（旁瓣峰值 /主瓣峰值） 〈 1%
有 99.963%的能量集中在主瓣内。
海明窗是下一类窗的特例
)]
N
2
(W)
N
2
(W[23.0)(W54.0
)]
1N
2
(W)
1N
2
(W[23.0)(W54.0
RRR
RRR
?
???
?
?????
?
?
???
?
?
?????
)()]12c o s (46.054.0[)( nRN nnW N??? ?
)(W ?
N
8?
)54.0( ??
)()]12c o s ()1([)( nRN nnw N???? ???
6、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗
加上余弦的二次谐波分量，可以进一步抑制旁瓣
相应的幅度函数为
其主瓣宽度为,是 矩形窗的三倍 。
)()]14c o s (08.0)12c o s (5.042.0[)( nRN nN nnw N????? ??
)(W ?
)]
1N
4
(W)
1N
4
(W[04.0
)]
1N
2
(W)
1N
2
(W[25.0)(W42.0
RR
RRR
?
?
???
?
?
???
?
?
???
?
?
?????
N/12 ?
7、五种窗函数的比较
（ 1）时域窗
布拉克曼
三角
矩形
海明
2
1N? 1N? n
)n(?
（ 2）各个窗的幅度函数，如 P.200，图 6-10，注意图中
是 dB表示的。
（ 3）理想 LF加窗后的幅度函数（响应）如 P201，
图 6-11所示。
四、窗函数法的设计
1、设计步骤
（ 1）给定频响函数
（ 2）求出单位抽样响应
（ 3）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数
基本参数表（ P202表 3）确定窗的形式及 N的大小
（ 4）最后求 及
2、设计举例
例：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的
FIR 低通滤波器，具体要求：
其他
并画出相应的频响特性
解：（ 1）由于 是一理想 LF，所以 可以得出
（ 2）确定 N
由于相位函数,所以 呈
偶对称，其对称中心为,因此
（ 3）加矩形窗
则有
可以求出 h（ n）的数值，注意偶对称，对称中心
122/)1N( ????
31831.0)12(
14472.0)14()10(
06022.0)16()8(
01482.0)18()6(
03936.0)20()4(
01931.0)22()2(;01423.012/12s i n)24()0(
?
??
???
???
??
???
????
h
hh
hh
hh
hh
hh
hh ?
26785.0)13(h)11(h
01497.0)15(h)9(h
06104.0)17(h)7(h
02987.0)19(h)5(h
01457.0)21(h)3(h
02893.011/11s i n)23(h)1(h
??
??
???
??
??
?????
)n(h
n
12 24
由于 h（ n）为偶对称,N=25为奇数，所以
)(H ?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
?
?
?
??
12
1n
2/)1n(
1n
2/)1N(
0n
)nc os ()n12(h2)12(h
)nc os ()n
2
1N
(h2)
2
1N
(h
)nc os ()n(a
例如 H（ 0） =0.94789，可以计算 的值，
画如下图 )(H ?
（ 4）加汉宁窗
由于
可以求出序列的各点值
通过 可求出加窗后的 h（ n）
3 1 8 3 1.0)12()12()12( ?? whh d
1350 2.0)14(h)10(h
0451 6.0)16(h)8(h
0074 1.0)18(h)6(h
0098 4.0)20(h)4(h
0011 6.0)22(h)2(h
0)24(h)0(h
??
???
???
??
???
??
26326.0)13(h)11(h
1277.0)15(h)9(h
003841.0)17(h)7(h
01107.0)19(h)5(h
00213.0)21(h)3(h
00049.0)23(h)1(h
??
??
???
??
??
???
相应幅度函数可用下式求得：
?
?
?????
12
1n
)nc o s ()n12(h2)12(h)(H
如 H（ 0） =0.98460，图如下
7-4、凯泽（ Kaiser）窗及其滤波器设计
上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，
为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每
一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗
可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。
一、凯泽窗
凯泽在 1966（ 1974）发现，利用第一类零阶修
正（变形）贝赛尔函数可以构成一种近似最佳的窗
函数。凯泽窗定义为：
1。定义
?
?
?
?
?
???
??
?
其它,0
10,
)(
])]/)[(1([
)( 0
2/12
0 Nn
I
nI
nW ?
???
2/)1( ?? N? )(0 ?I
?
其中,为第一类零阶修正贝塞尔函数，，
是一个可自由选择的参数。
2.特点
?
?
0??
可同时调整主瓣宽度与旁瓣 ;
越大,窗越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣
相应增加；
相当于矩形窗 ;
)(nW
94 ?? ?
通常选择,它们相当于旁瓣与主
瓣幅度为 3.1%-0.047%；
凯泽窗随 变化的曲线如下图：?
注：第一类零阶修正贝塞尔函数为
.......)!3( )2/()!2( )2/()2/(1]! )2/([1)( 2
6
2
4
2
1
2
0 ??????? ?
?
?
xxx
k
xxI
k
k
由图可以看出,为对称中心，且是偶对称,2/)1( ??? Nn ?
即 )1()( nNWnW kk ???
1)()()2/]1([)(
0
0 ???? ?? IINWnW kk
3.凯泽经验公式
该公式可使 filter设计人员根据 filter的设计指标,估算出
值和 N 值。?
且，
??1
??1
?
?
s?
p?
?? ?? 1)( jeH：通带截止频率，由 定 ;
：止带截止频率，由 定,?? ?)( jeH
ps ??? ???
过渡带宽度
2/)( psc ??? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
????
??
?
??
???
1]285.2/)8[(
21,0.0
5021,07 8 86.0)21(58 4 2.0
50),7.8(11 0 2.0
lg20
.4.0
?
?
?
???
AN
A
AA
AA
A
ps
4.设计举例
利用凯泽窗设计一 FIR低通 filter，要求
??
??
?
6.0
,4.0
,001.0
?
?
?
s
p
?????? 2.04.06.0 ?????? ps
解：
6010lg20lg20 3 ????? ??A
6 5 3 2 6.5)7.860(1 1 0 2.0 ????
,22.371]2.0285.2/)860[( ????? ?N 取 38
将 N=38,=5.653代入 表达式，得? )(nW
k
)(
)(
)653.5(
))37(3065.0()(
0
0
0
0
?I
xI
I
nnInW
k ?
??
n x )(nWk
)(
)(
0
0
?I
xI)(
0 xI
0 37 0.0 1.000 0.0204 0.02
1 36 1.8336 2.030 0.0415 0.04
2 35 2.5568 3.345 0.0704 0.07
8 29 4.6548 19.96 0.4082 0.41
3 34 3.086 5.251 0.1074 0.11
4 33 3.5111 7.441 0.1522 0.15
5 32 3.8656 10.11 0.2067 0.21
6 31 4.1678 13.10 0.2679 0.29
7 30 4.4286 16.44 0.3362 0.34
17 20 5.6350 48.03 0.9822 0.98
n x )(nWk
)(
)(
0
0
?I
xI)(0 xI
9 28 4.8512 23.83 0.4873 0.49
10 27 5.0215 27.73 0.5671 0.57
11 26 5.1682 31.72 0.6489 0.65
12 25 5.2931 35.33 0.7225 0.72
13 24 5.3980 39.01 0.7978 0.80
14 23 5.4838 41.93 0.8575 0.86
15 22 5.5515 44.67 0.9135 0.91
16 21 5.6017 46.74 0.9558 0.96
18 19 5.6515 48.90 1.0 1.00
0 4 8 12 16 1819 25 29 33 3721
?????? 5.02/)4.06.0(2/)( ????? psc?
)(2s i n)( )()( )(s i n)(
0
0 nW
y
y
I
xI
n
nnh
k
c ??
?
???
???
??
yy2sin
)(nh
yy2sin
)(nWk
)(nh
n
0 1 2 3 4 5 6
37 36 35 34 33 32 31
-0.0122 0.0129 0.0139 -0.01458 -0.01559 0.01694 0.01848
0.02 0.04 0.07 0.11 0.15 0.21 0.27
-0.00024 0.000516 0.00096 -0.0016 -0.0023 0.0035 0.0049
yy2sin
)(nh
7 8 9 10 11 12 13 14
30 29 28 27 26 25 24 23
-0.01965 -0.02152 0.02379 -0.02659 -0.03013 -0.03477 0.04109 0.05022
0.34 0.41 0.49 0.57 0.65 0.72 0.80 0.86
-0.0067 -0.0088 0.012 0.015 -0.0196 -0.025 0.0329 0.043
15 16 17 18
22 21 20 19
-0.06451 -0.09040 0.1507 0.4520
0.91 0.96 0.98 1.00
-0.059 -0.087 0.148 0.45
)(nh 的图形如下所示
7-5、频率取样设计法
一、设计思想
窗函数设计法是从时域出发，把理想的 用一定
形状的窗函数截取成有限长的,以 来近似
)(nhd
)(nhd)(nh)(nh
)( ?jd eH)( ?jeH从而使频响 近似理想频响 。
频率取样法是从频域出发，对理想的频响 )( ?jd eH
进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响
)( ?jd eH,即：
，
)()( 2 kHeH dk
N
jd ?
? ??
? 等间隔取样
并且 1,.,,,1,0),()( ??? NkkHkH d
二、利用 N个频域采样值重构 FIR的系统函数与频响
1,重构 FIR的的单位抽样响应 h(n)
根据频域抽样理论（ p99），由 N个频域采样点
可以唯一确定 h(n),即对 H(k)进行 IDFT
1,...,1,0,)(1)(
1
0
/2 ??? ?
?
?
NnekHNnh
N
k
Nnkj ?
2.重构系统函数 H(Z)
1
1
0
1/2
1
0
1
0
/2
1
0
1
0
/2
1
0
1
0
1
1
)(
1
1
1
)(
1
[)(
1
])(
1
[
)()(
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
ZW
Z
kH
N
Ze
Z
kH
N
ZekH
N
ZekH
N
ZnhZH
k
N
NN
k
Nnkj
NN
k
n
N
n
Nnkj
N
k
n
N
k
Nnkj
N
n
N
n
n
?
?
?
NjN eW /2 ???
3.FIR的频响
?jeZ ? )(ZH将 代入 表达式可得
)()(
]2/)/2s i n [ (
)2/s i n ()(1
1
)1)((1
)(
1
0
)
2
1
(
1
0
1
0
/2
?
?
?
??
?
?
??
?
j
k
N
k
N
kN
j
N
k
N
k
jNnkj
Nj
j
ekH
e
Nk
NkH
N
ee
ekH
N
eH
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
其中,)2 1(
]2/)/2s i n [ (
)2/s i n (1)( NkNjj
k eNk
N
Ne
??
?
??
? ???
???
为大家所知的内插函数,
分析 可知，当 时（采样点）)( ?jk e? 1,...,1,0,2 ??? Nii
N
??
有：
?
?
?
???
???
1,.,.,1,0,,0
,1)( 2
Niki
kie N ij
k
?
这说明，重构的频响,在采样上严格等于 H(k),)( ?jeH
而在采样点之间，频响则由加权的内插函数延伸叠加而成。
三、线性相位的约束条件
以 h(n)为偶对称,N为奇数的情况进行分析,
1.FIR的频响具有线性相位的一般表达式
当 h(n)为偶对称,N为奇数时，则
?? ? )2 1()()( ??? Njj eHeH （ P191，表 6-1）
)(?H而且幅度函数 应为偶对称，即
)2()( ??? ?? HH
2.采样值 H(k)具有线性相位的约束
kk j
k
jkNj eHek
NHeHkH
??
? ?
??? )2()()(
2
其中,表示采样值的模（纯标量）,表示)2( k
NHH k
?? k?
其相角。因此，在采样点上具有线性相位的条件应为：
)11(22 1 NkkNNk ??????? ???
而且,必须满足偶对称，即
kNk HH ??
kH
四, 设计步骤
1.根据指标要求,画出频率采样序列的图形；
kH
2.依据 的对称特点，可以使问题得以简化；
3.根据线性相位的约束条件，求出 ；
4.将 代入 FIR的频响表达式；
5.由 的表达式画出实际 频响。
k?
kjk eHkH ??)(
kH
四,设计举例
[例 ] 试用频率采样法，设计一个具有线性相位
的低通 FIR数字 filter，其理想频率特性为：
?
?
?
??
??
?
???
???
5.0,0
5.00,1
)( jd eH
?? 5.0?c已知,采样点 N=33.
由于 h(n)为偶对称，且 N=33为奇数，所以 对于
是偶对称。所以上图可画一半（到 ）?? ?
kH
?
截止频率 ?? 5.0?c,即 33183316 ??? ?? c
[解 ]：
相位约束条件：
33/32)11( ??? k
N
kk ?????
而 为
kH
?
?
?
??
????
?
258,0
3225,80,1
k
kk
H k
33/32)( kjjk eeHkH k ?? ???将 代入 FIR的频响，得
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
??
?
16
32
0
)
33
16(
33
32
32
0
)
2
1
(
1
0
]2/)33/2s i n [ (
)2/33s i n (
33
1
]2/)33/2s i n [ (
)2/33s i n (
33
1
]2/)/2s i n [ (
)2/s i n ()(1
)(
j
k
k
j
k
j
k
N
kN
j
N
k
j
e
k
k
ee
k
e
Nk
NkH
N
eH
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
考虑到 时，,所以将负频部分加进去258 ?? k
有：
0?kH
?
?
??
??
??
??
?
? 168
1
]
)]33/2/s i n (
)2/33s i n (
)]33/2/s i n (
)2/33s i n (
[
)2/s i n (
)2/33s i n (
33
1
)(
j
k
j
e
k
k
k
k
eH
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
的图形如下所示：)( ?jeH
)( ?jeH
?5.0 ? ?
0