2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 1
笫 4章 非线性电路及其分析方法
4.1 非线性电路的基本概念与非线性元件
4.1.1 非线性电路的基本概念
4.1.2 非线性元件
4.2 非线性电路的分析方法
4.2.1 非线性电路与线性电路分析方法的异同点
4.2.2 非线性电阻电路的近似解析分析
4.3 非线性电路的应用举例
4.3.1 C类谐振功率放大器
4.3.2 D类和 E类功率放大器
4.3.3 倍频器
4.3.4 跨导线性回路与模拟相乘器
4.3.5 时变参量电路与变频器
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4.1 非线性电路的基本概念与非线性元件
4.1.1 非线性电路的基本概念电路 是若干无源 元件 或（和）有源 元件 的有序联结体。
它可以分为 线性 与 非线性 两大类。
1、从元件角度：
线性元件,元件的值与加于元件两端的电压或电流大小无关。例如,R,L,C。
非线性元件,元件的值与加于元件两端的电压或电流大小有关。例如：晶体管的,变容管的结电容 。
ber JC
时变参量元件,元件的参数按一定规律随时间变化时。
例如：变频器的变频跨导 。
g
实际上，绝大多数物理器件，作为线性元件工作是有条件的，或者是近似的。
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 3
4.1.1 非线性电路的基本概念 （ 续）
2、从电路角度：
线性电路,线性电路是由线性元件构成的电路。它的输出输入关系用线性代数方程式或线性微分方程表示。 线性电路的主要特征是具有叠加性和均匀性。
非线性电路,非线性电路中 至少包含一个非线性元件,它的输出输入关系用非线性函数方程（非线性代数方程或超越方程）或非线性微分方程表示。 非线性电路不具有叠加性与均匀性。这是它与线性电路的重要区别 。
由于非线性电路的输出输入关系是非线性函数关系，当信号通过非线性电路后,在输出信号中将会产生输入信号所没有的频率成分，也可能不再出现输入信号中的某些频率成分。
这是非线性电路的重要特性 。
时变参量电路,若电路中仅有一个参量受外加信号的控制而按一定规律变化时，称这种电路为参变电路，外加信号为控制信号。例如：模拟相乘器与变频器。
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4.1.2 非线性元件的特性
工作特性是非线性（大信号工作状态）。
具有频率变换作用（产生新频率）。
不满足叠加原理。
1、工作特性的非线性
它们的特性曲线的函数关系大体上可分为指数函数和幂函数两大类。前者在先修课程中已有介绍。
变电容半导体二极管（简称变容管）的工作原理和特性。
常用的非线性元件有半导体二极管、双极型半导体三极管、
各类场效应管和变容二极管等。
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4.1.2 非线性元件的特性 （ 续 1）
变电容半导体二极管（简称变容管）的工作原理和特性：
变容管是利用 PN结来实现的。
变容管利用的是势垒电容。
PN结是反向偏置的。
V=0时变容管的等效电容为
0C
变容指数是,它是一个取决于 PN结的结构和杂质分布情况的系数。缓变结变容管，其 =1/3。
突变结变容管，其 =1/2。
超突变结变容管，其 =2。
接触电位差为：
0 V
C
)1(
0
V
C
C
硅管约为 0.7V,锗管约为 0.2V。
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 6
4.1.2 非线性元件的特性 （ 续 2）
2、非线性元件的频率变换作用如果输入端加上两个正弦信号：
1 2 1 1 2 2s i n s i nmmv v v V t V t
221 1 2 2( s i n s i n )mmi k v k V t V t
3、非线性电路不满足叠加原理
2 2 2 21 2 1 1 2 2( s in ) ( s in )mmi k v k v k V t k V t
则不会出现组合频率成分：
1 2 1 2,
产生新频率成分：
21,2,1 22
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 7
4.2 非线性电路的分析方法
4.2.1 非线性电路与线性电路分析方法的异同点
线性电路具有叠加性和均匀性。
非线性电路不具有叠加性和均匀性。
线性系统传输特性只由系统本身决定，与激励信号无关。
而非线性电路的输出输入特性则不仅与系统本身有关，
而且与激励信号有关。
线性电路可以用线性微分方程求解并可以方便地进行电路的频域分析。
但是，由于非线性电路要用非线性微分方程表示,因此对非线性电路进行频域分析与是比较困难的。
基尔霍夫电流和电压定律对非线性电路和线性电路均适用。
只能针对某一类非线性电路采用对它比较合适的分析手段（非线性电阻电路）。
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4.2.2 非线性电阻电路的近似解析分析
1、幂级数分析法
将非线性电阻电路的输出输入特性用一个 N阶幂级数近似表示，借助幂级数的性质，实现对电路的解析分析。
例如，设非线性元件的特性用非线性函数 来描述。)(vfi?
如果 的各阶导数存在，则该函数可以展开成以下幂级数：
332210 vavavaai
若函数 在静态工作点 附近的各阶导数都存在，也可在静态工作点 附近展开为幂级数。这样得到的幂级数即泰勒级数：
)(vf
)(vfi? oV
oV
23
0 1 0 2 3( ) ( ) ( )ooi b b v V b v V b v V
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1、幂级数分析法（续 1）
该幂级数（泰勒级数）各系数分别由下式确定，即：
i
v0
oV
oI
Q
0
0
0
0
0 0 0
1
2
2 2
3
3 3
()
1
2
1
3!
1
!
vV
vV
vV
n
n v Vn
b f V I
di
bg
dv
di
b
dv
di
b
dv
di
b
n dv
式中,是静态工作点电流,是静态工作点处的电导，
即动态电阻 r 的倒数。一般来说，要求近似的准确度越高及特性曲线的运用范围愈宽，则所取的项数就愈多。
00 Ib? 1bg?
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1、幂级数分析法（续 2）
下面我们再用一个稍微复杂一些的例子来说明幂级数分析法的具体应用。
设非线性元件的静态特性曲线用下列三次多项式来表示：
3
03
2
02010 )()()( VvbVvbVvbbi
加在该元件上的电压为：
tVtVVv mm 22110 c o sc o s
求出通过元件的电流 i(t),再用三角公式将各项展开并整理，得：
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1、幂级数分析法（续 3）
tVVbtVVb
tVVbtVVb
tVbtVb
tVVbtVVb
tVbtVb
tVVbVbVb
tVVbVbVb
VbVbbi
mmmm
mmmm
mm
mmmm
mm
mmmm
mmmm
mm
)2c os (
4
3
)2c os (
4
3
)2c os (
4
3
)2c os (
4
3
3c os
4
1
3c os
4
1
)c os ()c os (
2c os
2
1
2c os
2
1
c os)
2
3
4
3
(
c os)
2
3
4
3
(
2
1
2
1
21
2
21321
2
213
212
2
13212
2
13
2
3
231
3
13
2121221212
2
2
221
2
12
22
2
13
3
2321
1
2
213
3
1311
2
22
2
120
返回 1
返回 2
返回 3
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 12
1、幂级数分析法（续 4）
上式说明了电流 I 中所包含的全部频谱成份。根据这个结果，
可以看出如下规律,
（ 1） 由于特性曲线的非线性，输出电流中产生了输入电压中不曾有的新的频率成份,输入频率的谐波 和,
和 ； 输入频率及其谐波所形成的各种组合频率,
12? 22?
13? 23?
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2,,2,2,2,2
（ 2） 由于表示特性曲线的幂多项式最高次数等于三，所以电流中 最高谐波次数不超过三,各组合频率系数之和最高也不超过三 。一般情况下，设幂多项式最高次数等于 n,则电流中最高谐波次数不超过 n；
若组合频率表示为：
21 qp?
则有：
p q n
表示式
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1、幂级数分析法（续 5） 表示式
（ 3） 电流中的直流成分，偶次谐波以及系数之和（即 p+q） 为偶数的各种组合频率成分，其振幅均只与幂级数的偶次项系数
（包括常数项）有关，而与奇次项系数无关；类似地，奇次谐波以及系数之和为奇数的各种组合频率成分，其振幅均只与幂级数的奇次项系数有关，而与偶次项系数无关。
例如，在上式中,基波振幅 均 与 有关，而与,
无关。 1
b 3b 0b 2b
三次谐波及组合频率,
的振幅均只与 有关，而与,无关。
21212121 2,2,2,2
3b 0b 2b
直流成分 均只与,有关，而与,无关。
0b 2b 1b 3b
二次谐波以及组合频率 的振幅均只与 有关，而与,无关。
2121, 2b
1b 3b
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1、幂级数分析法（续 6） 表示式
（ 4） m次谐波 （ 直流成分可视为零次,基波可视为一次 ）
以及系数之和等于 m的各组合频率成分 。 其振幅只与幂级数中等于及高于 m次的各项系数有关 。 例如,在上式中,直流成分与,都有关,而二次谐波以及组合频率为的各成分其振幅却只与 有关，而与 无关。
0b 2b
2121,
2b 0b
（ 5） 所有组合频率都是成对出现的。例如，有 就一定有 ；有 就一定有 等。
12
21 212 212
掌握以上规律是重要的。我们可以利用这些规律，根据不同的要求，选用具有适当特性的非线性元件，或者选择合适的工作范围，以得到所需要的频率成分，而尽量减弱甚至消除不需要的频率成分。
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1、幂级数分析法（续 7）
举例 1,设非线性元件的静态特性曲线用下列多项式来表示：
是否可以进行变频、调幅和检波。
3310 ii vbvbbi
变频、调幅和检波的频谱变换,
变频
2?
1?
12
调幅检波
c?
c?
c?
c?
c?
c?
c?
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 16
1、幂级数分析法（续 8）
举例 2,设非线性元件的静态特性曲线用下列多项式来表示：
加在该元件上的电压为：
(v)
电流 i 中所包含的频谱成份中含有下述频率中的那些频率成份。
55220 ii vbvbbi
ttv i 21 c o s2c o s5
)43,22,2,4,( 21211221
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2,折线分析法 （讲义上册 192）返回 1 返回 2
v
BV
斜率 g
)(tvi
imV
0
thV
0 0
mI
i i
2
t?
t?
其中,为阈值电压，
g为 时直线段的斜率,为偏置电压。
thi Vv?
BV
thV
iv
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 18
2,折线分析法（续 1）
上图所示为输入电压的波形，它是叠加在偏置电压上的余弦信号。 上右图所示为输出电流波形。它不再是一个余弦波，而只是余弦波的一部分，称其为尖顶余弦脉冲 。
通常将有电流出现时所对应相角的一半称为流通角,?
若输入信号为,tVVtv
imBi?c o s)(
折线化后的二极管伏安特性由下式表示：
thithi
thi
VtvVtvg
Vtv
i
)(])([
)(0
则在二极管导通时，输出电流可表示为：
)c o s()( thimB VtVVgti
折线图
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 19
2,折线分析法（续 2）
根据流通角 的定义：?
当 时，电流 i(t)=0,即：t
0)c o s()( thimB VVVgti?
im
Bth
V
VVc os
利用这一关系式，可将 式改写为：)(ti
)c o s( c o s)( tgVti im
对应 时刻，电流 i(t) 取最大值并以 表示，则：0?t?
mI
c o s1
c o sc o s)(
tIti
m
折线图
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 20
2,折线分析法（续 3）
tnII
tItIIti
n
n?
c os
2c osc os)(
1
0
210
)c os1)(1(
)s i nc osc os( s i n2
c os)(
1
)c os1(
c oss i n
c os)(
1
)c os1(
c oss i n
)(
2
1
2
1
0
nn
nnn
ItdtntiI
ItdttiI
ItdtiI
mn
m
m
因为 i(t) 是周期为 的周期函数，它可以利用傅立叶级数展开成包括直流、基波和高次谐波的表示式：
/2?T
不同频率成分的幅值可由下列公式求出：
返回
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 21
2,折线分析法（续 4）
各式等号右边部分除电流峰值 外，其余为流通角的函数，通常称它们为 谐波分解系数,
用 表示，即：
mI?
,,,2,1),( nii
)c os1)(1(
)s i nc osc os( s i n2
)(
)c os1(
c oss i n
)(
)c os1(
c oss i n
)(
2
1
0
nn
nnn
n
)(
)(
)(
11
00
nmn
m
m
II
II
II
上图
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 22
2,折线分析法（续 5）
谐波分解系数 与 的关系曲线示于下图。
i
0
1n?
2.0
1.0
尖顶脉冲分解系数表
1?
0?
3?
2?
0
1
（讲义上册 194） 返回
2
1
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 23
2,折线分析法（续 6）
mI
n
0120
可以看出，当 一定时，各次谐波可在特定流通角处取得最大值。
基波最大值出现在 = 120?处。
二次谐波最大值出现在 = 60?。
三次谐波最大值出现在 = 40?。
n 次谐波取最大值时的流通角为：
可以看出，基波最大值出现在 = 120?处。
但是此时,这与效率有关。
32.1
0
1?
因此,值的选择需综合考虑。
上图
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 24
2,折线分析法（续 7）
例 4.3.1 给定非线性元件特性如下图所示，其中,=1V，
g=10mA/V,= -1 V。 输入正弦信号如图所示。 =4V。
求电流 i(t) 的,,分量幅度，电流波形如图所示。
v
BV
斜率 g
)(tvi
imV
0
thV
0 0
mI
i i
2
t?
t?v
thV
BV imV
0I 1I 2I
返回
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 25
2,折线分析法（续 8）
根据流通角 的定义：?
im
Bth
V
VVc os 060
上图
21.0)60( 00 39.0)60( 01 28.0)60( 02
对应 时刻，电流 i(t) 取最大值并以 表示，则：0?t?
mI
)c o s( c o s)( tgVti im
)c o s1( imm gVI
mAI m 20?
可得到,
查表可得到,
可得到,
mAI
mAI
mAI
6.5
8.7
2.4
2
1
0
可求得 电流 i(t)
的各分量幅度,
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 26
习题七,4-4,4-5,4-7,4-9,4-10
CAD4_2,利用 Matlab程序和尖顶脉冲分解系数公式：
)c os1)(1(
)s i nc osc os( s i n2
)(
)c os1(
c oss i n
)(
)c os1(
c oss i n
)(
2
1
0
nn
nnn
n
求：尖顶脉冲分解系数。
CAD4-2
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 27
参考程序：
clear
n=0:1:179;
t=0:0.017453293:pi;
y0=(sin(t)-(t.*cos(t)))./(pi.*(1.-cos(t)))
y1=(t-(sin(t).*cos(t)))./(pi.*(1.-cos(t)))
y2=(2/pi).*((sin(2.*t).*cos(t))-
(2.*cos(2.*t).*sin(t)))./(6.*(1.-cos(t)))
y3=(2/pi).*((sin(3.*t).*cos(t))-
(3.*cos(3.*t).*sin(t)))./(24.*(1.-cos(t)))
%ym=(2/pi).*((sin(m.*t).*cos(t))-
(m.*cos(m.*t).*sin(t)))./(m.*(m^2-1).*(1.-cos(t)))
r=(y1./y0)./5
plot(n,y0,'-c')
hold on
plot(n,y1,'-r')
plot(n,y2,'-g')
plot(n,y3,'-b')
plot(n,r,'--m')
grid on
hold off
笫 4章 非线性电路及其分析方法
4.1 非线性电路的基本概念与非线性元件
4.1.1 非线性电路的基本概念
4.1.2 非线性元件
4.2 非线性电路的分析方法
4.2.1 非线性电路与线性电路分析方法的异同点
4.2.2 非线性电阻电路的近似解析分析
4.3 非线性电路的应用举例
4.3.1 C类谐振功率放大器
4.3.2 D类和 E类功率放大器
4.3.3 倍频器
4.3.4 跨导线性回路与模拟相乘器
4.3.5 时变参量电路与变频器
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 2
4.1 非线性电路的基本概念与非线性元件
4.1.1 非线性电路的基本概念电路 是若干无源 元件 或（和）有源 元件 的有序联结体。
它可以分为 线性 与 非线性 两大类。
1、从元件角度：
线性元件,元件的值与加于元件两端的电压或电流大小无关。例如,R,L,C。
非线性元件,元件的值与加于元件两端的电压或电流大小有关。例如：晶体管的,变容管的结电容 。
ber JC
时变参量元件,元件的参数按一定规律随时间变化时。
例如：变频器的变频跨导 。
g
实际上，绝大多数物理器件，作为线性元件工作是有条件的，或者是近似的。
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 3
4.1.1 非线性电路的基本概念 （ 续）
2、从电路角度：
线性电路,线性电路是由线性元件构成的电路。它的输出输入关系用线性代数方程式或线性微分方程表示。 线性电路的主要特征是具有叠加性和均匀性。
非线性电路,非线性电路中 至少包含一个非线性元件,它的输出输入关系用非线性函数方程（非线性代数方程或超越方程）或非线性微分方程表示。 非线性电路不具有叠加性与均匀性。这是它与线性电路的重要区别 。
由于非线性电路的输出输入关系是非线性函数关系，当信号通过非线性电路后,在输出信号中将会产生输入信号所没有的频率成分，也可能不再出现输入信号中的某些频率成分。
这是非线性电路的重要特性 。
时变参量电路,若电路中仅有一个参量受外加信号的控制而按一定规律变化时，称这种电路为参变电路，外加信号为控制信号。例如：模拟相乘器与变频器。
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 4
4.1.2 非线性元件的特性
工作特性是非线性（大信号工作状态）。
具有频率变换作用（产生新频率）。
不满足叠加原理。
1、工作特性的非线性
它们的特性曲线的函数关系大体上可分为指数函数和幂函数两大类。前者在先修课程中已有介绍。
变电容半导体二极管（简称变容管）的工作原理和特性。
常用的非线性元件有半导体二极管、双极型半导体三极管、
各类场效应管和变容二极管等。
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4.1.2 非线性元件的特性 （ 续 1）
变电容半导体二极管（简称变容管）的工作原理和特性：
变容管是利用 PN结来实现的。
变容管利用的是势垒电容。
PN结是反向偏置的。
V=0时变容管的等效电容为
0C
变容指数是,它是一个取决于 PN结的结构和杂质分布情况的系数。缓变结变容管，其 =1/3。
突变结变容管，其 =1/2。
超突变结变容管，其 =2。
接触电位差为：
0 V
C
)1(
0
V
C
C
硅管约为 0.7V,锗管约为 0.2V。
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 6
4.1.2 非线性元件的特性 （ 续 2）
2、非线性元件的频率变换作用如果输入端加上两个正弦信号：
1 2 1 1 2 2s i n s i nmmv v v V t V t
221 1 2 2( s i n s i n )mmi k v k V t V t
3、非线性电路不满足叠加原理
2 2 2 21 2 1 1 2 2( s in ) ( s in )mmi k v k v k V t k V t
则不会出现组合频率成分：
1 2 1 2,
产生新频率成分：
21,2,1 22
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 7
4.2 非线性电路的分析方法
4.2.1 非线性电路与线性电路分析方法的异同点
线性电路具有叠加性和均匀性。
非线性电路不具有叠加性和均匀性。
线性系统传输特性只由系统本身决定，与激励信号无关。
而非线性电路的输出输入特性则不仅与系统本身有关，
而且与激励信号有关。
线性电路可以用线性微分方程求解并可以方便地进行电路的频域分析。
但是，由于非线性电路要用非线性微分方程表示,因此对非线性电路进行频域分析与是比较困难的。
基尔霍夫电流和电压定律对非线性电路和线性电路均适用。
只能针对某一类非线性电路采用对它比较合适的分析手段（非线性电阻电路）。
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 8
4.2.2 非线性电阻电路的近似解析分析
1、幂级数分析法
将非线性电阻电路的输出输入特性用一个 N阶幂级数近似表示，借助幂级数的性质，实现对电路的解析分析。
例如，设非线性元件的特性用非线性函数 来描述。)(vfi?
如果 的各阶导数存在，则该函数可以展开成以下幂级数：
332210 vavavaai
若函数 在静态工作点 附近的各阶导数都存在，也可在静态工作点 附近展开为幂级数。这样得到的幂级数即泰勒级数：
)(vf
)(vfi? oV
oV
23
0 1 0 2 3( ) ( ) ( )ooi b b v V b v V b v V
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 9
1、幂级数分析法（续 1）
该幂级数（泰勒级数）各系数分别由下式确定，即：
i
v0
oV
oI
Q
0
0
0
0
0 0 0
1
2
2 2
3
3 3
()
1
2
1
3!
1
!
vV
vV
vV
n
n v Vn
b f V I
di
bg
dv
di
b
dv
di
b
dv
di
b
n dv
式中,是静态工作点电流,是静态工作点处的电导，
即动态电阻 r 的倒数。一般来说，要求近似的准确度越高及特性曲线的运用范围愈宽，则所取的项数就愈多。
00 Ib? 1bg?
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 10
1、幂级数分析法（续 2）
下面我们再用一个稍微复杂一些的例子来说明幂级数分析法的具体应用。
设非线性元件的静态特性曲线用下列三次多项式来表示：
3
03
2
02010 )()()( VvbVvbVvbbi
加在该元件上的电压为：
tVtVVv mm 22110 c o sc o s
求出通过元件的电流 i(t),再用三角公式将各项展开并整理，得：
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 11
1、幂级数分析法（续 3）
tVVbtVVb
tVVbtVVb
tVbtVb
tVVbtVVb
tVbtVb
tVVbVbVb
tVVbVbVb
VbVbbi
mmmm
mmmm
mm
mmmm
mm
mmmm
mmmm
mm
)2c os (
4
3
)2c os (
4
3
)2c os (
4
3
)2c os (
4
3
3c os
4
1
3c os
4
1
)c os ()c os (
2c os
2
1
2c os
2
1
c os)
2
3
4
3
(
c os)
2
3
4
3
(
2
1
2
1
21
2
21321
2
213
212
2
13212
2
13
2
3
231
3
13
2121221212
2
2
221
2
12
22
2
13
3
2321
1
2
213
3
1311
2
22
2
120
返回 1
返回 2
返回 3
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 12
1、幂级数分析法（续 4）
上式说明了电流 I 中所包含的全部频谱成份。根据这个结果，
可以看出如下规律,
（ 1） 由于特性曲线的非线性，输出电流中产生了输入电压中不曾有的新的频率成份,输入频率的谐波 和,
和 ； 输入频率及其谐波所形成的各种组合频率,
12? 22?
13? 23?
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2,,2,2,2,2
（ 2） 由于表示特性曲线的幂多项式最高次数等于三，所以电流中 最高谐波次数不超过三,各组合频率系数之和最高也不超过三 。一般情况下，设幂多项式最高次数等于 n,则电流中最高谐波次数不超过 n；
若组合频率表示为：
21 qp?
则有：
p q n
表示式
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 13
1、幂级数分析法（续 5） 表示式
（ 3） 电流中的直流成分，偶次谐波以及系数之和（即 p+q） 为偶数的各种组合频率成分，其振幅均只与幂级数的偶次项系数
（包括常数项）有关，而与奇次项系数无关；类似地，奇次谐波以及系数之和为奇数的各种组合频率成分，其振幅均只与幂级数的奇次项系数有关，而与偶次项系数无关。
例如，在上式中,基波振幅 均 与 有关，而与,
无关。 1
b 3b 0b 2b
三次谐波及组合频率,
的振幅均只与 有关，而与,无关。
21212121 2,2,2,2
3b 0b 2b
直流成分 均只与,有关，而与,无关。
0b 2b 1b 3b
二次谐波以及组合频率 的振幅均只与 有关，而与,无关。
2121, 2b
1b 3b
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 14
1、幂级数分析法（续 6） 表示式
（ 4） m次谐波 （ 直流成分可视为零次,基波可视为一次 ）
以及系数之和等于 m的各组合频率成分 。 其振幅只与幂级数中等于及高于 m次的各项系数有关 。 例如,在上式中,直流成分与,都有关,而二次谐波以及组合频率为的各成分其振幅却只与 有关，而与 无关。
0b 2b
2121,
2b 0b
（ 5） 所有组合频率都是成对出现的。例如，有 就一定有 ；有 就一定有 等。
12
21 212 212
掌握以上规律是重要的。我们可以利用这些规律，根据不同的要求，选用具有适当特性的非线性元件，或者选择合适的工作范围，以得到所需要的频率成分，而尽量减弱甚至消除不需要的频率成分。
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 15
1、幂级数分析法（续 7）
举例 1,设非线性元件的静态特性曲线用下列多项式来表示：
是否可以进行变频、调幅和检波。
3310 ii vbvbbi
变频、调幅和检波的频谱变换,
变频
2?
1?
12
调幅检波
c?
c?
c?
c?
c?
c?
c?
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 16
1、幂级数分析法（续 8）
举例 2,设非线性元件的静态特性曲线用下列多项式来表示：
加在该元件上的电压为：
(v)
电流 i 中所包含的频谱成份中含有下述频率中的那些频率成份。
55220 ii vbvbbi
ttv i 21 c o s2c o s5
)43,22,2,4,( 21211221
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 17
2,折线分析法 （讲义上册 192）返回 1 返回 2
v
BV
斜率 g
)(tvi
imV
0
thV
0 0
mI
i i
2
t?
t?
其中,为阈值电压，
g为 时直线段的斜率,为偏置电压。
thi Vv?
BV
thV
iv
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 18
2,折线分析法（续 1）
上图所示为输入电压的波形，它是叠加在偏置电压上的余弦信号。 上右图所示为输出电流波形。它不再是一个余弦波，而只是余弦波的一部分，称其为尖顶余弦脉冲 。
通常将有电流出现时所对应相角的一半称为流通角,?
若输入信号为,tVVtv
imBi?c o s)(
折线化后的二极管伏安特性由下式表示：
thithi
thi
VtvVtvg
Vtv
i
)(])([
)(0
则在二极管导通时，输出电流可表示为：
)c o s()( thimB VtVVgti
折线图
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 19
2,折线分析法（续 2）
根据流通角 的定义：?
当 时，电流 i(t)=0,即：t
0)c o s()( thimB VVVgti?
im
Bth
V
VVc os
利用这一关系式，可将 式改写为：)(ti
)c o s( c o s)( tgVti im
对应 时刻，电流 i(t) 取最大值并以 表示，则：0?t?
mI
c o s1
c o sc o s)(
tIti
m
折线图
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 20
2,折线分析法（续 3）
tnII
tItIIti
n
n?
c os
2c osc os)(
1
0
210
)c os1)(1(
)s i nc osc os( s i n2
c os)(
1
)c os1(
c oss i n
c os)(
1
)c os1(
c oss i n
)(
2
1
2
1
0
nn
nnn
ItdtntiI
ItdttiI
ItdtiI
mn
m
m
因为 i(t) 是周期为 的周期函数，它可以利用傅立叶级数展开成包括直流、基波和高次谐波的表示式：
/2?T
不同频率成分的幅值可由下列公式求出：
返回
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 21
2,折线分析法（续 4）
各式等号右边部分除电流峰值 外，其余为流通角的函数，通常称它们为 谐波分解系数,
用 表示，即：
mI?
,,,2,1),( nii
)c os1)(1(
)s i nc osc os( s i n2
)(
)c os1(
c oss i n
)(
)c os1(
c oss i n
)(
2
1
0
nn
nnn
n
)(
)(
)(
11
00
nmn
m
m
II
II
II
上图
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 22
2,折线分析法（续 5）
谐波分解系数 与 的关系曲线示于下图。
i
0
1n?
2.0
1.0
尖顶脉冲分解系数表
1?
0?
3?
2?
0
1
（讲义上册 194） 返回
2
1
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 23
2,折线分析法（续 6）
mI
n
0120
可以看出，当 一定时，各次谐波可在特定流通角处取得最大值。
基波最大值出现在 = 120?处。
二次谐波最大值出现在 = 60?。
三次谐波最大值出现在 = 40?。
n 次谐波取最大值时的流通角为：
可以看出，基波最大值出现在 = 120?处。
但是此时,这与效率有关。
32.1
0
1?
因此,值的选择需综合考虑。
上图
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 24
2,折线分析法（续 7）
例 4.3.1 给定非线性元件特性如下图所示，其中,=1V，
g=10mA/V,= -1 V。 输入正弦信号如图所示。 =4V。
求电流 i(t) 的,,分量幅度，电流波形如图所示。
v
BV
斜率 g
)(tvi
imV
0
thV
0 0
mI
i i
2
t?
t?v
thV
BV imV
0I 1I 2I
返回
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 25
2,折线分析法（续 8）
根据流通角 的定义：?
im
Bth
V
VVc os 060
上图
21.0)60( 00 39.0)60( 01 28.0)60( 02
对应 时刻，电流 i(t) 取最大值并以 表示，则：0?t?
mI
)c o s( c o s)( tgVti im
)c o s1( imm gVI
mAI m 20?
可得到,
查表可得到,
可得到,
mAI
mAI
mAI
6.5
8.7
2.4
2
1
0
可求得 电流 i(t)
的各分量幅度,
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 26
习题七,4-4,4-5,4-7,4-9,4-10
CAD4_2,利用 Matlab程序和尖顶脉冲分解系数公式：
)c os1)(1(
)s i nc osc os( s i n2
)(
)c os1(
c oss i n
)(
)c os1(
c oss i n
)(
2
1
0
nn
nnn
n
求：尖顶脉冲分解系数。
CAD4-2
2001年 9月 --12月,通信电路原理,--无九 27
参考程序：
clear
n=0:1:179;
t=0:0.017453293:pi;
y0=(sin(t)-(t.*cos(t)))./(pi.*(1.-cos(t)))
y1=(t-(sin(t).*cos(t)))./(pi.*(1.-cos(t)))
y2=(2/pi).*((sin(2.*t).*cos(t))-
(2.*cos(2.*t).*sin(t)))./(6.*(1.-cos(t)))
y3=(2/pi).*((sin(3.*t).*cos(t))-
(3.*cos(3.*t).*sin(t)))./(24.*(1.-cos(t)))
%ym=(2/pi).*((sin(m.*t).*cos(t))-
(m.*cos(m.*t).*sin(t)))./(m.*(m^2-1).*(1.-cos(t)))
r=(y1./y0)./5
plot(n,y0,'-c')
hold on
plot(n,y1,'-r')
plot(n,y2,'-g')
plot(n,y3,'-b')
plot(n,r,'--m')
grid on
hold off
