第三章 线性方程组
§ 3.1 消 元 法
第三章 线性方程组
§ 3.1 消元法
对一般线性方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
,
,
.
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ??
L
L
LLLLL
L
— （ 1）
当 m=n，且系数行列式 0D? 时，我们知方程组（ 1）有唯一解，
其解由 Gramer法则给出。但是若此时 D=0，我们无法知道此时
方程组是有解，还是无解。同时，当 mn? 时，我们也没有解
此方程组（ 1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程
第三章 线性方程组
组（ 1）进行研究。
在中学代数中，我们曾用加减消元法和代入消元法来解二
元、三元线性方程组。实际上用加减消元法比用行列式解方程
组更具有普遍性。下面考虑解线性方程组：
解方程组,把未知量系数和常数按原顺序写成下表
1 2 3
1 2 3
13
2 3 1
4 2 5 4
2 2 6
x x x
x x x
xx
? ? ??
? ? ? ?
?
? ??
?
→ 2 1 3 14 2 5 4
2 0 2 6
???
??
??
??
把第 1个方程分别乘以（ -2）、
（ -1）加到第 2个,3个方程
把第 1行分别乘以（ -2）、
（ -1）加到第 2,3行
1 2 3
23
23
2 3 1
42
5
x x x
xx
xx
? ? ??
? ??
?
? ??
?
→ 2 1 3 10 4 1 2
0 1 1 5
???
???
?????
第三章 线性方程组
把第 3个方程分别乘以（ -4）、
1加到第 2个,1个方程
把第 3行分别乘以（ -4）、
1加到第 2,1行
13
3
23
2 2 6
3 1 8
5
xx
x
xx
???
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?
? ???
→
2 0 2 6
0 0 3 18
0 1 1 5
??
???
???
把第 2个方程与第 3个
方程互换位置 把第 2行与第 3行互换位置
13
23
3
2 2 6
5
3 1 8
xx
xx
x
???
? ??
?
? ???
2 0 2 6
0 1 1 5
0 0 3 18
??
???
???
→
分别把第 1个方程和第 3个
方程乘以 1
2 和 13
分别用 12 和 13
乘第 1行和第 3行
13
23
3
3
5
6
xx
xx
x
???
? ??
?
? ???
→ 1 0 1 30 1 1 5
0 0 1 6
??
???
?????
第三章 线性方程组
把第 3个方程分别乘以
（ -1）,1加到第 1,2个方程
分别把把第 3行乘以
（ -1）,1加到第 1,2行
1
2
3
9
1
6
x
x
x
??
? ??
?
? ??
?
→ 1 0 0 9
0 1 0 1
0 0 1 6
??
???
???
??
在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三
种变换：
? 用一个数乘某个方程的两边加到另一方程上；
? 用一个非零数乘一个方程的两边；
? 互换两个方程的位置。
这三种变换总称为线性方程组的初等变换。
如果把方程组写成,数表” （矩阵）的形式,则解方程组就相
当于对“数表” （矩阵）进行以下三种变换：
?用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上；
?用一个非零数乘矩阵的某一行；
第三章 线性方程组
? 互换两行的位置。
这三种变换被称为矩阵的初等行变换。
从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对由方
程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行相应的
“变换”，从而得到方程组的解。这个数表就称为矩阵。抛开
具体的背景，下面引进矩阵的定义和它的初等变换。
定义 1（矩阵）,数域 F 上 mn? 个元素排成形如下数表
ija 称为矩阵的
或
F
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
??
??
??
??
L
L
L L L L
L
称为数域 上的 m行 n列
矩阵，简称 mn? 阶矩阵，记为
mnA? ? ?ij mna ?
。
ijaija元素,i称为元素 所在行的行下标,j称为元素 所在列的
nn?当 m=n时,矩阵亦称为方阵。列下标。
第三章 线性方程组
若
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
L
L
L L L L
L
，则
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
L
L
L L L L
L
称为矩阵 A的
行列式，记为
A注意行列式与矩阵在形式上与本质上的区别。
定义 2（矩阵的初等变换）,以下三种变换称为矩阵的初等变换：
? 用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上；
（消法变换）
? 用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换）
? 交换矩阵中某两行（列）的位置。（换法变换）
为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决以
下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否与
原方程组同解。
第三章 线性方程组
证明：对第（ 1）种初等变换证明之。
由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称为方程
组的系数矩阵，记为 A。由方程组未知量系数和常数组成的矩
阵称为方程组的增广矩阵，记为 A
对方程组进行初等变换，其实质就是对方程组中未知量系数和
常数项组成的矩阵 A （称为增广矩阵）进行相应的初等变换，
因此由定理 3.1.1，我们有
定理 3.1.2, 对线性方程组（ 1）的增广矩阵 A 进行行初等
变换化为 B,则以 B 为增广矩阵的线性方程组（ 2）与（ 1）同
解。
由前面的讨论知，对一个线性方程组施行初等变换，相当
于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，那么我们要问：
一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形式？
方程组的初等变换把一个线性方程组变为一个定理 3.1.1:
与它同解的线性方程组。
第三章 线性方程组
定理 3.1.3,一个 mn? 矩阵 A，通过行初等变换及列换法
变换可化为一下阶梯形
1
01
0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
B
? ? ? ? ???
??
? ? ? ?
??
? ??
??
??
??
??
LL
LL
LLLLLLLL
LL
LL
LLLLLLLL
LL
? r 行
这里 ? ?0 m in,r m n?? 。更进一步，通过行初等变换，可化为
第三章 线性方程组
1 1 1
2 1 2
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
rn
rn
rr tn
cc
cc
C cc
?
?
?
??
??
??
?
??
??
??
??
LL
LL
L L L L L L L
LL
LL
L L L L L L L
LL
所谓阶梯形矩阵是指：从它们的任一行看，从第一个元素起至
该行的第一个非零元素止，它们所在位置的下方元素全为零；
若该行全为零，则它的下方元素也全为零。
证明：若 A=0，则 A已成阶梯形，
若 0A?,则 A至少有一个元素不为 0，不妨设
11 0a ?
，
（否则，设 0
ija ?
，我们可经行、列变换，使 ija 位于
左上角）。把第一行分别乘以 1
1 1 1,2,3,,ia a i m??? L加到
第三章 线性方程组
第 i行，则 A化为
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 2 2
1
1 2 2
0
0
nn
m m m n m m n
a a a a a a
a a a b b
AA
a a a b b
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ??? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
LL
L L L L L L L L
LL
用 1
11a ?
乘第一行得：
12 1
22 2
12
2
1
0
0
n
n
m m n
bb
bb
AA
bb
??
??
??? ?
??
??
L
L
L L L L
L
对
2A
中的右下角矩阵 2 2 2
2
n
m m n
bb
bb
??
??
??
??
L
L L L
L
类似考虑，若其为 0，
第三章 线性方程组
则结论成立；若其不为 0，不妨设 22 0b ?,用 1
2 2 2,3,,ib b i m??? L
乘第 2行加到第 i（ i=3,…, m）行，然后用 1
22b??
乘第二行得,12 13 1
23 2
2 3 33 3
3
1
01
00
00
n
n
n
m m n
b b b
cc
A A c c
cc
??
??
????? ?
??
??
L
L
L
L L L L L
L
如此作下去，直到 A化为阶梯形 B为止。
AB???
对 B进行一系列行的消法变换，则可以把 B化为 C。
BC???
定理中的 r是矩阵 A的秩，是一个确定的数，其意义以后再研究。
第三章 线性方程组
11
21
1
1,1 1 1
2,1 2 2
,1
1
0
00
00
rn
rn
r r n
i r i n i
i r i n i
i r r i r n i r
r
x c x c x d
x c x c x d
x c x c x d
d
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?
?
?
?
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?
? ? ? ?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
L
L
LLLLL
L
LLLLL
定理 3.1.4 线性方程组（ 1）与以下形式的线性方程组同解
— （ 2）
其中
12,,,ni i ix x xL
是
12,,,nx x xL
的一个排列。
只要证明线性方程组（ 1）的增广矩阵 ? ?A A b? M 经一系列
行初等变换及列初等变换（但最后常数列不能交换）可化为矩
阵：
第三章 线性方程组
1 1 1 1
2 1 2 2
1
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
rn
rn
r r tn r
r
c c d
c c d
c c d
C
d
?
?
?
?
??
??
??
??
?
??
??
??
LL
LL
L L L L L L L L
LL
LL
LL
L L L L L L L L
LL
以 C 为增广矩阵的线性方程组就是（ 2）。
由定理 3.1.3知,A 中的系数矩阵 A经一系列行初等变换和列换法
变换可化为 C，这相应的一系列行初等变换和列换法变换就把 C
化为
第三章 线性方程组
1 1 1 1
2 1 2 2
1
1
1
2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
rn
rn
r r tn r
r
r
n
c c d
c c d
c c d
C
d
d
d
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
??
??
??
LL
LL
L L L L L L L L
LL
LL
LL
L L L L L L L L
LL
若
1,,rndd? L
中有一个不为零，不妨设
1 0rd ? ?
，否则可经行变换
换到第 r+1行，然后对 r+2,…, n行进行行消法变换，可使
2 0rndd? ? ? ?L
。于是 1C 就化为 C
由定理 3.1.4 可知：
1、当
1 0rd ? ?
时，方程组无解；
2、当
1 0rd ? ?
时，
第三章 线性方程组
① 若 r=n，则方程组有唯一组解；
② 若 r<n时，则方程组有无穷多解。
这时，把方程组（ 2）改写为：
11
21
1
1 1,1 1
2 2,1 2
,1
rn
rn
r r n
i r i n i
i r i n i
i r r r i r n i
x d c x c x
x d c x c x
x d c x c x
?
?
?
?
?
?
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
L
L
LLLLL
L
给
1,,rniixx? L
一组值，就唯一定义出
1,,riixxL
的一组值从而得
方程组（ 1）的一个解。把 通过 表示出来，
这样得到的解称为方程组（ 1）的一般解,称为
方程组的一组自由未知量。需要证明的是，在实际解线性方程
组时，一般不做增广矩阵的列互换，特别严禁把常数列与其他
列互换，以及对列进行其他变换。
1,,riixxL 1,,rniixx? L
1,,rniixx? L
第三章 线性方程组
例 3.1.2 解方程组 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
4 2 5 4
2 4 1
x x x
x x x
x x x
? ? ??
? ? ? ?
?
? ? ? ? ??
解,2 1 3 14 2 5 4
2 1 4 1
A
???
????
????
2 1 3 1
0 0 1 2
0 0 1 2
???
????? ?
???
2 1 0 7
0 0 1 2
0 0 0 0
???
????? ?
??
12
3
27
2
xx
x
????
???
原方程组与方程组
同解。
故原方程的一般解是
12
3
17
22
2
xx
x
? ??
?
?
? ???
，
2x
是自由未知量。
例 3.1.3 解方程组 1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 2 7
2 4 2 1
3 6 5 0
x x x x
x x x x
x x x x
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
?
第三章 线性方程组
解 5 1 2 1 72 1 4 2 1
1 3 6 5 0
A
????
????
????
0 14 32 24 7
0 7 16 12 1
1 3 6 5 0
????
????? ?
????
1 3 6 5 0
0 7 16 12 1
0 0 0 0 5
????
????? ?
??
故原方程组无解。
§ 3.1 消 元 法
第三章 线性方程组
§ 3.1 消元法
对一般线性方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
,
,
.
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ??
L
L
LLLLL
L
— （ 1）
当 m=n，且系数行列式 0D? 时，我们知方程组（ 1）有唯一解，
其解由 Gramer法则给出。但是若此时 D=0，我们无法知道此时
方程组是有解，还是无解。同时，当 mn? 时，我们也没有解
此方程组（ 1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程
第三章 线性方程组
组（ 1）进行研究。
在中学代数中，我们曾用加减消元法和代入消元法来解二
元、三元线性方程组。实际上用加减消元法比用行列式解方程
组更具有普遍性。下面考虑解线性方程组：
解方程组,把未知量系数和常数按原顺序写成下表
1 2 3
1 2 3
13
2 3 1
4 2 5 4
2 2 6
x x x
x x x
xx
? ? ??
? ? ? ?
?
? ??
?
→ 2 1 3 14 2 5 4
2 0 2 6
???
??
??
??
把第 1个方程分别乘以（ -2）、
（ -1）加到第 2个,3个方程
把第 1行分别乘以（ -2）、
（ -1）加到第 2,3行
1 2 3
23
23
2 3 1
42
5
x x x
xx
xx
? ? ??
? ??
?
? ??
?
→ 2 1 3 10 4 1 2
0 1 1 5
???
???
?????
第三章 线性方程组
把第 3个方程分别乘以（ -4）、
1加到第 2个,1个方程
把第 3行分别乘以（ -4）、
1加到第 2,1行
13
3
23
2 2 6
3 1 8
5
xx
x
xx
???
? ??
?
? ???
→
2 0 2 6
0 0 3 18
0 1 1 5
??
???
???
把第 2个方程与第 3个
方程互换位置 把第 2行与第 3行互换位置
13
23
3
2 2 6
5
3 1 8
xx
xx
x
???
? ??
?
? ???
2 0 2 6
0 1 1 5
0 0 3 18
??
???
???
→
分别把第 1个方程和第 3个
方程乘以 1
2 和 13
分别用 12 和 13
乘第 1行和第 3行
13
23
3
3
5
6
xx
xx
x
???
? ??
?
? ???
→ 1 0 1 30 1 1 5
0 0 1 6
??
???
?????
第三章 线性方程组
把第 3个方程分别乘以
（ -1）,1加到第 1,2个方程
分别把把第 3行乘以
（ -1）,1加到第 1,2行
1
2
3
9
1
6
x
x
x
??
? ??
?
? ??
?
→ 1 0 0 9
0 1 0 1
0 0 1 6
??
???
???
??
在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三
种变换：
? 用一个数乘某个方程的两边加到另一方程上；
? 用一个非零数乘一个方程的两边；
? 互换两个方程的位置。
这三种变换总称为线性方程组的初等变换。
如果把方程组写成,数表” （矩阵）的形式,则解方程组就相
当于对“数表” （矩阵）进行以下三种变换：
?用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上；
?用一个非零数乘矩阵的某一行；
第三章 线性方程组
? 互换两行的位置。
这三种变换被称为矩阵的初等行变换。
从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对由方
程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行相应的
“变换”，从而得到方程组的解。这个数表就称为矩阵。抛开
具体的背景，下面引进矩阵的定义和它的初等变换。
定义 1（矩阵）,数域 F 上 mn? 个元素排成形如下数表
ija 称为矩阵的
或
F
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
??
??
??
??
L
L
L L L L
L
称为数域 上的 m行 n列
矩阵，简称 mn? 阶矩阵，记为
mnA? ? ?ij mna ?
。
ijaija元素,i称为元素 所在行的行下标,j称为元素 所在列的
nn?当 m=n时,矩阵亦称为方阵。列下标。
第三章 线性方程组
若
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
L
L
L L L L
L
，则
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
L
L
L L L L
L
称为矩阵 A的
行列式，记为
A注意行列式与矩阵在形式上与本质上的区别。
定义 2（矩阵的初等变换）,以下三种变换称为矩阵的初等变换：
? 用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上；
（消法变换）
? 用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换）
? 交换矩阵中某两行（列）的位置。（换法变换）
为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决以
下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否与
原方程组同解。
第三章 线性方程组
证明：对第（ 1）种初等变换证明之。
由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称为方程
组的系数矩阵，记为 A。由方程组未知量系数和常数组成的矩
阵称为方程组的增广矩阵，记为 A
对方程组进行初等变换，其实质就是对方程组中未知量系数和
常数项组成的矩阵 A （称为增广矩阵）进行相应的初等变换，
因此由定理 3.1.1，我们有
定理 3.1.2, 对线性方程组（ 1）的增广矩阵 A 进行行初等
变换化为 B,则以 B 为增广矩阵的线性方程组（ 2）与（ 1）同
解。
由前面的讨论知，对一个线性方程组施行初等变换，相当
于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，那么我们要问：
一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形式？
方程组的初等变换把一个线性方程组变为一个定理 3.1.1:
与它同解的线性方程组。
第三章 线性方程组
定理 3.1.3,一个 mn? 矩阵 A，通过行初等变换及列换法
变换可化为一下阶梯形
1
01
0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
B
? ? ? ? ???
??
? ? ? ?
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??
??
??
??
LL
LL
LLLLLLLL
LL
LL
LLLLLLLL
LL
? r 行
这里 ? ?0 m in,r m n?? 。更进一步，通过行初等变换，可化为
第三章 线性方程组
1 1 1
2 1 2
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
rn
rn
rr tn
cc
cc
C cc
?
?
?
??
??
??
?
??
??
??
??
LL
LL
L L L L L L L
LL
LL
L L L L L L L
LL
所谓阶梯形矩阵是指：从它们的任一行看，从第一个元素起至
该行的第一个非零元素止，它们所在位置的下方元素全为零；
若该行全为零，则它的下方元素也全为零。
证明：若 A=0，则 A已成阶梯形，
若 0A?,则 A至少有一个元素不为 0，不妨设
11 0a ?
，
（否则，设 0
ija ?
，我们可经行、列变换，使 ija 位于
左上角）。把第一行分别乘以 1
1 1 1,2,3,,ia a i m??? L加到
第三章 线性方程组
第 i行，则 A化为
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 2 2
1
1 2 2
0
0
nn
m m m n m m n
a a a a a a
a a a b b
AA
a a a b b
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ??? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
LL
L L L L L L L L
LL
用 1
11a ?
乘第一行得：
12 1
22 2
12
2
1
0
0
n
n
m m n
bb
bb
AA
bb
??
??
??? ?
??
??
L
L
L L L L
L
对
2A
中的右下角矩阵 2 2 2
2
n
m m n
bb
bb
??
??
??
??
L
L L L
L
类似考虑，若其为 0，
第三章 线性方程组
则结论成立；若其不为 0，不妨设 22 0b ?,用 1
2 2 2,3,,ib b i m??? L
乘第 2行加到第 i（ i=3,…, m）行，然后用 1
22b??
乘第二行得,12 13 1
23 2
2 3 33 3
3
1
01
00
00
n
n
n
m m n
b b b
cc
A A c c
cc
??
??
????? ?
??
??
L
L
L
L L L L L
L
如此作下去，直到 A化为阶梯形 B为止。
AB???
对 B进行一系列行的消法变换，则可以把 B化为 C。
BC???
定理中的 r是矩阵 A的秩，是一个确定的数，其意义以后再研究。
第三章 线性方程组
11
21
1
1,1 1 1
2,1 2 2
,1
1
0
00
00
rn
rn
r r n
i r i n i
i r i n i
i r r i r n i r
r
x c x c x d
x c x c x d
x c x c x d
d
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?
?
?
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?
? ? ? ?
?
?
?
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?
??
?
?
?
?
?
?
?
L
L
LLLLL
L
LLLLL
定理 3.1.4 线性方程组（ 1）与以下形式的线性方程组同解
— （ 2）
其中
12,,,ni i ix x xL
是
12,,,nx x xL
的一个排列。
只要证明线性方程组（ 1）的增广矩阵 ? ?A A b? M 经一系列
行初等变换及列初等变换（但最后常数列不能交换）可化为矩
阵：
第三章 线性方程组
1 1 1 1
2 1 2 2
1
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
rn
rn
r r tn r
r
c c d
c c d
c c d
C
d
?
?
?
?
??
??
??
??
?
??
??
??
LL
LL
L L L L L L L L
LL
LL
LL
L L L L L L L L
LL
以 C 为增广矩阵的线性方程组就是（ 2）。
由定理 3.1.3知,A 中的系数矩阵 A经一系列行初等变换和列换法
变换可化为 C，这相应的一系列行初等变换和列换法变换就把 C
化为
第三章 线性方程组
1 1 1 1
2 1 2 2
1
1
1
2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
rn
rn
r r tn r
r
r
n
c c d
c c d
c c d
C
d
d
d
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
??
??
??
LL
LL
L L L L L L L L
LL
LL
LL
L L L L L L L L
LL
若
1,,rndd? L
中有一个不为零，不妨设
1 0rd ? ?
，否则可经行变换
换到第 r+1行，然后对 r+2,…, n行进行行消法变换，可使
2 0rndd? ? ? ?L
。于是 1C 就化为 C
由定理 3.1.4 可知：
1、当
1 0rd ? ?
时，方程组无解；
2、当
1 0rd ? ?
时，
第三章 线性方程组
① 若 r=n，则方程组有唯一组解；
② 若 r<n时，则方程组有无穷多解。
这时，把方程组（ 2）改写为：
11
21
1
1 1,1 1
2 2,1 2
,1
rn
rn
r r n
i r i n i
i r i n i
i r r r i r n i
x d c x c x
x d c x c x
x d c x c x
?
?
?
?
?
?
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
L
L
LLLLL
L
给
1,,rniixx? L
一组值，就唯一定义出
1,,riixxL
的一组值从而得
方程组（ 1）的一个解。把 通过 表示出来，
这样得到的解称为方程组（ 1）的一般解,称为
方程组的一组自由未知量。需要证明的是，在实际解线性方程
组时，一般不做增广矩阵的列互换，特别严禁把常数列与其他
列互换，以及对列进行其他变换。
1,,riixxL 1,,rniixx? L
1,,rniixx? L
第三章 线性方程组
例 3.1.2 解方程组 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
4 2 5 4
2 4 1
x x x
x x x
x x x
? ? ??
? ? ? ?
?
? ? ? ? ??
解,2 1 3 14 2 5 4
2 1 4 1
A
???
????
????
2 1 3 1
0 0 1 2
0 0 1 2
???
????? ?
???
2 1 0 7
0 0 1 2
0 0 0 0
???
????? ?
??
12
3
27
2
xx
x
????
???
原方程组与方程组
同解。
故原方程的一般解是
12
3
17
22
2
xx
x
? ??
?
?
? ???
，
2x
是自由未知量。
例 3.1.3 解方程组 1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 2 7
2 4 2 1
3 6 5 0
x x x x
x x x x
x x x x
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
?
第三章 线性方程组
解 5 1 2 1 72 1 4 2 1
1 3 6 5 0
A
????
????
????
0 14 32 24 7
0 7 16 12 1
1 3 6 5 0
????
????? ?
????
1 3 6 5 0
0 7 16 12 1
0 0 0 0 5
????
????? ?
??
故原方程组无解。
