§ 3.4 矩阵的秩
第三章 线性方程组
上一节我们定义了向量组的秩，如果把矩阵的每一行看成
一个向量，那么矩阵就是由这些行向量组成的。同样，如果把
矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵也可以看作是由这些列向
量组成的。
定义 3.4.1 所谓矩阵的行秩是指矩阵的行向量所组成的
向量组的秩，矩阵的列秩是由矩阵列向量所称向量组的秩。
例如 3.4.1 求矩阵
1 2 1 2
0232
0 0 2 4
0 0 1 2
A
??
??
?
??
??
的行秩和列秩。
解,A的行向量组是：
? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 41,2,1,2,0,2,3,2,0,0,2,3,0,0,0,1? ? ? ?? ? ? ?
其极大线性无关组是：
1 2 3,,,? ? ?
故 A的行秩为 3。
又 A的列向量为
第三章 线性方程组
? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 41,0,0,0,2,2,0,0,1,3,2,1,2,2,4,2,? ? ? ?? ? ? ?
则列向量组的极大线性无关组为
1 2 3,,,? ? ?
故 A的列秩也是 3。
问：矩阵 A的行秩是否等于列秩？
为了解决这个问题，先把矩阵的行秩与齐次线性方程组
的解联系起来。
引理：如果齐次线性方程组
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
m m m n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ??
L
L
LLLLLL
L
（ 3.4.1）
的系数矩阵
11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
L
L
L L L L
L
的行秩 r<n，那么它有非零解。
第三章 线性方程组
证明：用
12,,,m? ? ?L
表示矩阵 A的行向量。由于其秩为 r，
故它的极大线性无关组是由 r个向量组成。不妨设 1,,r??L
一个极大无关组（否则可以调换向量的位置使之位于前 r行，这
相当于交换方程组的位置。显然不会改变方程组的解）。由于
向量组
11,,,,,r r m? ? ? ??LL
与 是等价的，故原方程组与
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
r r r n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ??
L
L
LLLLLL
L
（ 3.4.2）
是同解的。由于方程组（ 3.4.2）中方程的个数小于未知量的
个数，故（ 3.4.2）从而（ 3.4.1）有非零解。
是它的
1,,r??L
以下方程组
定理 3.4.1 矩阵的行秩与列秩相等。
第三章 线性方程组
证明：设所讨论的矩阵为
11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
L
L
L L L L
L
而 A的行
秩为 r，列秩为 s。（要证 r=s，先证 rs?,再证 rs? ）。
用
12,,,m? ? ?L
表示矩阵 A的行向量组，由于行秩为 r，不妨设
1,,r??L 是它的一个极大线性无关组。因为 1,,r??L 线性无关，
故方程组
11 0rrxx??? ? ?L
只有零解。
此即齐次线性方程组
1 1 1 2 1 2 1
1 2 1 2 2 2 2
1 1 2 2
0
0
0
rr
rr
n n r n r
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ??
L
L
LLLLLL
L
只有零解。
第三章 线性方程组
由引理知，这个方程组的系数矩阵
11 21 1
12 22 2
12
r
r
n n rn
a a a
a a a
a a a
??
??
??
??
L
L
L L L L
L
的行秩 r?
因而在它的行向量中可以找到 r个线性无关的向量,不妨设向量组
? ?1 1 2 1 1,,,,ra a aL
? ?1 2 2 2 2,,,,ra a aL
LLLL
? ?12,,,r r rra a aL
由上一节的性质 5知，其延长向量组：
线性无关。
? ?1 1 2 1 1 1,1 1,,,,,,r r ma a a a a?LL
? ?1 2 2 2 2 1,2 2,,,,,,,r r ma a a a a?LL
LLLL
第三章 线性方程组
? ?1 2 1,,,,,,,r r r r r r m ra a a a a?LL
也线性无关。而它们恰好是矩阵 A的 r个列向量。由于它们线性
无关，故知 A的列秩,sr?
同理可证,sr?,因此有 r=s。
由于矩阵的行秩等于列秩，因而统称为矩阵的秩。
下面揭示矩阵的秩与行列式的关系。先考虑 n阶行列式。
定理 3.4.2 nn? 矩阵
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
L
L
L L L L
L
的行列式为零的
充要条件是 A的秩小于 n。
证：充分性显然：
设 A的秩 =r<n。用 12,,,n? ? ?L 表示 A的列向量组。不妨设
12,,,ra??L
是列向量组的极大无关组。
第三章 线性方程组
设 1 1 2 2n r rk k k? ? ? ?? ? ? ?L
考虑 A的行列式
11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
?
L
L
L L L L
L
11 12
21 22
12
0
0
0nn
aa
aa
aa
?
L
L
L L L L
L
0?
必要性：
若 0A?,我们对 n用归纳法证明。
当 n=1时，由
0A ?
知 A仅有一个元素就是 0，故 A的秩为 0<1。
假设结论对 n-1阶矩阵成立。现在考虑 n阶矩阵。用
12,,,n? ? ?L
表示 A的列向量。查看 A的第一列元素，若它们全
为零，则 A的列向量组中含有零向量，其秩当然小于 n；若这
n个元素有一个不为 0，不妨设 11 0a ?,则从第二列直到 n列
分别加上第一列的倍数
112
1 1 1 1
,,naaaa? ? ? ???? ? ? ?
? ? ? ?
L
第三章 线性方程组
这样，在把 12 1,,naaL 消为零的过程中，行列式 A 化为
11
21 22 2
12
00
n
n n nn
a
a a a
A
a a a
??
?
??
L
L
L L L L
L
2 2 2
11
2
n
n n n
aa
a
aa
??
?
??
L
LLL
L
其中 ? ?
1
21
11
0,,,,2,3,,ii n i i aa a i na????? ? ? ?LL
由于
110,0Aa??
，故 n-1阶矩阵 2 2 2
2
0
n
n n n
aa
aa
??
?
??
L
LLL
L
由归纳假设知，这个矩阵的列向量线性相关,从而向量组
112
2 1 1
1 1 1 1
,,nn aaaa? ? ? ???L
也线性相关，
即存在不全为零的数
2,,nkkL
，使
112
2 2 1 1
1 1 1 1
0nnn aakkaa? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
L
第三章 线性方程组
整理得
112
2 1 2 2
1 1 1 1
0n n n naa k k k kaa ? ? ???? ? ? ? ? ? ???
??
LL
因此
12,,,n? ? ?L
线性相关，它的秩小于 n。
推论,齐次线性方程组
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
n n n n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ??
L
L
LLLLLL
L
，有非零
解的充要条件是它的系数矩阵
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
L
L
L L L L
L
的行列式为 0。
结论的必要性由 Gramer法则立得，结论的充分性是定理
3.4.2的推论。
再考虑一般 mn? 矩阵的秩与行列式的关系。
第三章 线性方程组
定义 3.4.2 在一个 mn? 矩阵 A中任意选定 k行,k列，
? ?1 m in,k m n?? 。位于这些选定的行和列的交叉位置 上的
2k 个元素按照原来的顺序所组成的 k阶行列式，称为 A的一
个 k阶子式。
定理 3.4.3 矩阵 A的秩为 r的充要条件是：矩阵 A中有一个 r
阶子式不为零，而所有的 r+1阶子式全为零。
证明：必要性。设矩阵 A的秩为 r，即矩阵 A中行向量组的
极大线性无关组为 r。因而任意 r+1个行向量必线性相关，线性
相关向量组的“缩短”向量组也线性相关，故矩阵 A的任意 r+1
阶子式的行向量也线性相关。由定理 3.4.2知，这种子式全为零，
下证 A中至少有一个 r阶子式不为零。
第三章 线性方程组
设
11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
L
L
L L L L
L
，秩 A=r。 A中极大无关组的个数为 r，
不妨设这 r个向量正是前 r个行向量（不然，可以调换行向量的
位置，而矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，另证）。把这 r个
向量取出来，作成新的矩阵
1A
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1
12
n
n
r r rn
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
L
L
L L L L
L
矩阵
1A
的行秩为 r。因而其列秩也为 r，即
1A
的列向量组的极大
无关组个数也是 r个，不妨设就是前 r列线性无关，因而
第三章 线性方程组
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
0
r
r
r r rr
a a a
a a a
a a a
?
L
L
L L L L
L
。它是矩阵 A的一个 r阶子式。
充分性：设在矩阵 A中有一个 r阶子式不为零，而所有的
r+1阶子式全为零。不妨设这 r阶子式在 A的左上角，即
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
0
r
r
r r rr
a a a
a a a
a a a
?
L
L
L L L L
L
无关，又根据线性无关向量组的延长向量组也线性无关知,A
中前 r个向量是线性无关的。由于 A中所有 r+1阶子式全为零，
因此再增加任一个行向量均线性相关（否则会导出 A中有一个
r+1阶子式不全为零），可见矩阵 A的其他行向量可由这 r个
。由定理 3.4.2知这 r个行组成的向量组线性
第三章 线性方程组
向量线性表示。故矩阵行向量的秩为 r，从而矩阵的秩为 r。
如何求矩阵的秩？
例 3.4.2 求
1 3 0 5 4
0 1 0 7 3
7 9 5 3 5
2 6 0 10 8
A
??
???
?
??
??
的秩
解：因为 A中第一行与第四行对应元素成比例，因而任何
四阶子式均为 0，故秩 3A?,现找到一个三阶子式
1 3 0
0 1 0 0
795
??,故知 A的秩为 3。
从例 3.4.1可以看出，根据定义来求矩阵的秩是繁杂的，下面利
用矩阵的初等变换来求，因此先要证明。
定理 3.4.4 初等变换不改变矩阵的秩。
第三章 线性方程组
例 3.4.3 求矩阵
2 1 1 1 2 3
1 2 4 1 2
1 1 1 4 5 6 5 1 8
2 8 1 0 2 6 1 0
A
??
?? ?
?
??
? ? ???
的秩。
解：
0 3 3 4 1
1 2 4 1 2
0 8 1 2 1 6 4
0 1 2 1 8 2 4 6
A
????
?? ?
?
??
??
? ? ???
1 2 4 1 2
0 3 3 4 1
0 2 3 4 1
0 2 3 4 1
???
????
?
????
???
1 0 7 3 1
0 1 0 0 0
0 2 3 4 1
0 0 6 8 2
??
???
?
????
???
1 0 7 3 1
0 1 0 0 0
0 0 3 4 1
0 0 0 0 0
??
??
?
?? ?
??
故秩 A=3。
第三章 线性方程组
定理 3.4.5 秩为 r的矩阵 A可通过初等变换化为如下标准形：
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
??
??
??
??
??
??
??
LL
LL
LLLLLLL
LL
LL
LLLLLLL
LL