§ 3.6 线性方程组的解结构
第三章 线性方程组
如果可以的话，我们对解的情况就能更好地把握，
这个问题就是线性方程组的解结构问题。
在解决线性方程组是否有解的判别条件之后，
我们知道在秩 A=秩 A
方程组有唯一解。在秩 A=秩
=n（方程组未知量个数）时，
A <n时，方程组有无
穷多解。
这时，我们要问，这些解之间有没有什么关系？
能否用有限个解把全部解表示出来？
在讨论线性方程组的解结构之前，我们先考虑
其特殊情况：齐次线性方程组解的情况。
第三章 线性方程组
一、齐次线性方程组的解结构。
设齐次线性方程组为：
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
m m m n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ??
L
L
LLLL
L
（ 3.6.1）
它的解具有以下两个重要性质：
性质 1：
证：
分别是（ 3.6.1）的两个解，
? ?1,,nkkL 和 ? ?1,,nllL设
齐次线性方程组（ 3.6.1）的两个解的
和仍是方程组（ 3.6.1）的解。
第三章 线性方程组
即有
11
0,0,1,2,,
nn
i j j i j j
jj
a k a l i n
??
? ? ??? L
把这两个解之和 ? ?
11,,nnk l k l??L
代入方程组（ 3.6.1）得：
? ?
1
0,1,2,,
n
i j j j i j j i j j
j j j
a k l a k a l i n
?
? ? ? ? ?? ? ? L
故两个解之和仍是方程组（ 3.6.1）的解。
性质 2,齐次线性方程组（ 3.6.1）解的倍数
仍是方程组的解。
第三章 线性方程组
证：设 ? ?
1,,nkkL
是方程组（ 3.6.1）的解，即有
1
0,1,2,,
n
i j j
j
a k i n
?
??? L
用 l 乘这个解得 ? ?
1,,,nlk lkL
把它代入方程组（ 3.6.1）得：
1
0,1,2,,
n
i j j i j j
jj
a l k l a k i n
?
? ? ??? L
故 ? ?
1,,nlk lkL
是方程组（ 3.6.1）的解。
综合性质 1,2得
性质 3,齐次线性方程组解的线性组合仍是
方程组的解。
第三章 线性方程组
本性质表明，如果方程组（ 3.6.1）有 r个解，
则这 r个解的所有可能的线性组合就给出（ 3.6.1）
的无穷多解。我们想知道，齐次线性方程组的全部
解是否能够通过它的有限个解的线性组合表示出来？
答案是肯定的，为此须引入以下定义。
定义 3.6.1,齐次线性方程组（ 3.6.1）的一组解
12,,,r? ? ?L 称为方程组（ 3.6.1）的一个 基础解系，
如果 ① 12,,,r? ? ?L 线性无关；
② 方程组（ 3.6.1）的任一个解都能表成
12,,,r? ? ?L
的线性组合。
第三章 线性方程组
这里，条件①保证基础解系中没有多余的解，
而条件②则说明方程组（ 3.6.1）的任一解都能由
12,,,r? ? ?L
线性表示，实际上
12,,,r? ? ?L
（ 3.6.1）的解向量的极大线性无关组。
是方程组
下面的定理证明，齐次线性方程组确有基础解
系，定理的证明过程实际上就是具体求基础解系
的方法。
定理 3.6.1,在齐次线性方程组（ 3.6.1）有非
A的秩。
向量的个数等于 n-r，这里 n为未知量的个数,r是
零解的情况下，它有基础解系，且基础解系所含解
第三章 线性方程组
因为 A中行向量组中前 r个向量线性无关，而后
在（ 3.6.1）有非零解的情况下,r<n。
为方便计不妨设 A的左上角的 r阶子式不为零。
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 2 2 1 1 2
1 1 1 1
0
0
0
r r r r n n
r r r r n n
r r r r r r r r n n
a x a x a x a x
a x a x a x a x
a x a x a x a x
??
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??
? ? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ? ? ?
?
LL
LL
LLLL
LL
（ 3.6.2）
证明,设齐次线性方程组（ 3.6.1）系数矩阵 A的
秩为 r。
（ 3.6.1）与以下方程组同解。
n-r个向量可由前 r个向量线性表示。于是，方程组
第三章 线性方程组
把（ 3.6.2）改写成
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 2 2 1 1 2
1 1 1 1
r r r r n n
r r r r n n
r r r r r r r r n n
a x a x a x a x
a x a x a x a x
a x a x a x a x
??
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? ? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ? ? ?
?
LL
LL
LLLL
LL
（ 3.6.3）
也是（ 3.6.1）的解。注意：对方程组（ 3.6.3）的
把自由未知量的任一组值 ? ?
1,,rncc? L
代入（ 3.6.3）
的右边，由克莱姆法则可得（ 3.6.3）的解，从而
任两个解，只要自由未知量的取值一样，这两个解
就完全一样。
第三章 线性方程组
在（ 3.6.3）中，分别用以下 nr? 组数：
? ? ? ? ? ?1,0,,0,0,1,,0,,0,0,,1L L L L代替自由未知量
? ?12,,,,r r nx x x?? L 就得到方程组（ 3.6.3），从而是
（ 3.6.1）的 nr? 个解：
? ?
? ?
? ?
1 11 1
2 21 2
1
,,,1,0,,0
,,,0,1,,0
,,,0,0,,1
r
r
n r r r r
cc
cc
cc
?
?
?
?
??
?
??
?
?
? ?
?
LL
LL
LLLL
LL
下证
12,,,nr? ? ? ?L
是一个基础解系。
第三章 线性方程组
首先证 12,,,nr? ? ? ?L 线性无关，
设由 ? ?
1 1 2 2 1 2,,,,,,n r n r n rk k k k k k? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?L L L
? ?0,,0,0,0,,0,? LL
于是得
12 0,nrk k k ?? ? ? ?L
故 12,,,nr? ? ? ?L 线性无关。
再证方程组（ 3.6.1）的任一解可由
12,,,nr? ? ? ?L 线性表示。
设 ? ?
1 1 2,,,,,,r r r nc c c c c? ??? LL
是（ 3.6.1）的一个解，
由于
12,,,nr? ? ? ?L 是（ 3.6.1）的解，故其线性组合
第三章 线性方程组
? ?1 1 2 2 1,,,,,r r n n r r nc c c c c? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?L L L
也是（ 3.6.1）的一个解。
比较这两个解的最后 nr? 个分量知，这两个
解完全一样，
故
1 1 2 2,r r n n rc c c? ? ? ?? ? ?? ? ? ?L
由此可知，
12,,,nr? ? ? ?L
确为（ 3.6.1）的一个基础解系。
方程组（ 3.6.1）的通解可表为
1 1 2 2 1,,,.n r n r n rk k k k k F? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?LL
要注意的是：方程组（ 3.6.1）的基础解系并非
一个，任何一个线性无关且与某一基础解系等价的
第三章 线性方程组
向量组都是其基础解系。
例 3.6.1：
的一个基础解系。
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
2 3 0
2 5 2 0
3 2 7 0
3 7 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
? ? ? ??
? ? ? ??
求齐次线性方程组
解：
1 2 1 3
2 5 1 2
1 3 2 7
3 7 0 1
A
???
??
?
?
???
??
1 2 1 3
0 1 3 8
0 5 3 4
0 1 3 8
???
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?
?
???
???
1 0 7 1 9
0 1 3 8
0 0 1 8 3 6
0 0 0 0
???
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?
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??
第三章 线性方程组
1 0 7 1 9
0 1 3 8
0 0 1 2
0 0 0 0
???
??
?
?
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??
1 0 0 5
0 1 0 2
0 0 1 2
0 0 0 0
??
??
?
?
???
??
因此，原方程组与以下方程组同解
14
24
34
50
20
20
xx
xx
xx
???
?
???
? ??
?
令自由未知量
4 1x ?
得方程组的一个解 ? ?5,2,2,1? ??
? 是方程组的基础解系。
第三章 线性方程组
二、一般线性方程组的解结构
如果把其中的常数项换为 0，就得齐次方程组：
对一般线性方程组
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ??
L
L
LLLLL
L
（ 3.5.1）
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
m m m n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
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L
L
LLLL
L
（ 3.6.1）
方程组（ 3.6.1）称为方程组（ 3.5.1）的导出组。
第三章 线性方程组
（ 3.5.1）的解与其导出组（ 3.6.1）的解有密切联系。
证：
1、线性方程组（ 3.5.1）的两个解的差是它的导
出组（ 3.6.1）的解。
是方程组（ 3.5.1）的解，即有
? ?12,,,nk k kL 和 ? ?12,,,nl l lL设
11
,,1,2,,.
nn
i j j i i j j i
jj
a k b a l b i m
??
? ? ??? L
把这两个解的差 ? ?1 1 2 2,,,nnk l k l k l? ? ?L
代入方程组左边得
? ?
1 1 1
0,1,2,,
n n n
i j j j i j j i j j i i
j j j
a k l a k a l b b i m
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? L
第三章 线性方程组
故这两个解的差是其导出组（ 3.6.1）的解。
2、线性方程组（ 3.5.1）的一个解 r与它的导出组
（ 3.6.1）的一个解 之和仍是这个方程组的解。?
证：设 ? ?
1,,nr k k? L
是（ 3.5.1）的解，则有
1
,1,2,,
n
i j j i
j
a k b i m
?
??? L
又 ? ?1,,nll? ? L 是（ 3.6.1）的解，则有
1
0,1,2,,.
n
i j j
j
a l i m
?
??? L
把 ? ?
1 1 2 2,,,nnr k l k l k l?? ? ? ? ?L
代入方程组（ 3.5.1）
第三章 线性方程组
的左边得
? ?
1 1 1
0,1,2,,
n n n
i j j j i j j i j j i i
j j j
a k l a k a l b b i m
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? L
故 r ?? 是方程组（ 3.5.1）的解。
定理 3.6.2：
有了以上的准备工作，下面可以推出一般
线性方程组（ 3.5.1）的解结构。
0?
如果 是线性方程组（ 3.5.1）的
一个特解。而 ? 是其导出组的一个解，则方程组
0? ? ??? （ 3.6.4）
当 ?
（ 3.5.1）的任一解 可以表成
取遍它的导出组的全部解时，
?
第三章 线性方程组
（ 3.6.4）就给出（ 3.5.1）的全部解。
证明：设
0r 是方程组（ 3.5.1）的一个特解,r是
（ 3.5.1）的任一解。由性质 1知,0???
是其导出组（ 3.6.1）的一个解。
令 0,? ? ??? 则 0? ? ???
可见方程组（ 3.5.1）的任一解都可表为（ 3.6.4）的
形式，当 η取遍（ 3.6.1）的全部解时,0? ? ???
就取遍（ 3.5.1）的全部解。
定理 3.6.2表明，要求线性方程组的全部解，只要
找出它的一个特解以及它的导出组的全部解就可以了。
。
第三章 线性方程组
导出组是齐次线性方程组。一个齐次线性方程组的
解的全体可以用其基础解系表示出来，
因此若
0?
是（ 3.5.1）的一个特解,12,,,nr? ? ? ?L
是它导出组（ 3.6.1）的一个基础解系，因为
0? ? ??? 11,n r n rkk?? ??? ? ?L
0 1 1 n r n rkk? ? ? ???? ? ? ?L
因此方程组（ 3.5.1）的全部解可表为：
0 1 1 1,,,n r n r n rk k k k F? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?LL
。
第三章 线性方程组
如果可以的话，我们对解的情况就能更好地把握，
这个问题就是线性方程组的解结构问题。
在解决线性方程组是否有解的判别条件之后，
我们知道在秩 A=秩 A
方程组有唯一解。在秩 A=秩
=n（方程组未知量个数）时，
A <n时，方程组有无
穷多解。
这时，我们要问，这些解之间有没有什么关系？
能否用有限个解把全部解表示出来？
在讨论线性方程组的解结构之前，我们先考虑
其特殊情况：齐次线性方程组解的情况。
第三章 线性方程组
一、齐次线性方程组的解结构。
设齐次线性方程组为：
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
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a x a x a x
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L
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（ 3.6.1）
它的解具有以下两个重要性质：
性质 1：
证：
分别是（ 3.6.1）的两个解，
? ?1,,nkkL 和 ? ?1,,nllL设
齐次线性方程组（ 3.6.1）的两个解的
和仍是方程组（ 3.6.1）的解。
第三章 线性方程组
即有
11
0,0,1,2,,
nn
i j j i j j
jj
a k a l i n
??
? ? ??? L
把这两个解之和 ? ?
11,,nnk l k l??L
代入方程组（ 3.6.1）得：
? ?
1
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n
i j j j i j j i j j
j j j
a k l a k a l i n
?
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故两个解之和仍是方程组（ 3.6.1）的解。
性质 2,齐次线性方程组（ 3.6.1）解的倍数
仍是方程组的解。
第三章 线性方程组
证：设 ? ?
1,,nkkL
是方程组（ 3.6.1）的解，即有
1
0,1,2,,
n
i j j
j
a k i n
?
??? L
用 l 乘这个解得 ? ?
1,,,nlk lkL
把它代入方程组（ 3.6.1）得：
1
0,1,2,,
n
i j j i j j
jj
a l k l a k i n
?
? ? ??? L
故 ? ?
1,,nlk lkL
是方程组（ 3.6.1）的解。
综合性质 1,2得
性质 3,齐次线性方程组解的线性组合仍是
方程组的解。
第三章 线性方程组
本性质表明，如果方程组（ 3.6.1）有 r个解，
则这 r个解的所有可能的线性组合就给出（ 3.6.1）
的无穷多解。我们想知道，齐次线性方程组的全部
解是否能够通过它的有限个解的线性组合表示出来？
答案是肯定的，为此须引入以下定义。
定义 3.6.1,齐次线性方程组（ 3.6.1）的一组解
12,,,r? ? ?L 称为方程组（ 3.6.1）的一个 基础解系，
如果 ① 12,,,r? ? ?L 线性无关；
② 方程组（ 3.6.1）的任一个解都能表成
12,,,r? ? ?L
的线性组合。
第三章 线性方程组
这里，条件①保证基础解系中没有多余的解，
而条件②则说明方程组（ 3.6.1）的任一解都能由
12,,,r? ? ?L
线性表示，实际上
12,,,r? ? ?L
（ 3.6.1）的解向量的极大线性无关组。
是方程组
下面的定理证明，齐次线性方程组确有基础解
系，定理的证明过程实际上就是具体求基础解系
的方法。
定理 3.6.1,在齐次线性方程组（ 3.6.1）有非
A的秩。
向量的个数等于 n-r，这里 n为未知量的个数,r是
零解的情况下，它有基础解系，且基础解系所含解
第三章 线性方程组
因为 A中行向量组中前 r个向量线性无关，而后
在（ 3.6.1）有非零解的情况下,r<n。
为方便计不妨设 A的左上角的 r阶子式不为零。
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 2 2 1 1 2
1 1 1 1
0
0
0
r r r r n n
r r r r n n
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a x a x a x a x
a x a x a x a x
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??
??
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? ? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ? ??
?
?
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?
LL
LL
LLLL
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（ 3.6.2）
证明,设齐次线性方程组（ 3.6.1）系数矩阵 A的
秩为 r。
（ 3.6.1）与以下方程组同解。
n-r个向量可由前 r个向量线性表示。于是，方程组
第三章 线性方程组
把（ 3.6.2）改写成
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 2 2 1 1 2
1 1 1 1
r r r r n n
r r r r n n
r r r r r r r r n n
a x a x a x a x
a x a x a x a x
a x a x a x a x
??
??
??
? ? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ? ? ?
?
LL
LL
LLLL
LL
（ 3.6.3）
也是（ 3.6.1）的解。注意：对方程组（ 3.6.3）的
把自由未知量的任一组值 ? ?
1,,rncc? L
代入（ 3.6.3）
的右边，由克莱姆法则可得（ 3.6.3）的解，从而
任两个解，只要自由未知量的取值一样，这两个解
就完全一样。
第三章 线性方程组
在（ 3.6.3）中，分别用以下 nr? 组数：
? ? ? ? ? ?1,0,,0,0,1,,0,,0,0,,1L L L L代替自由未知量
? ?12,,,,r r nx x x?? L 就得到方程组（ 3.6.3），从而是
（ 3.6.1）的 nr? 个解：
? ?
? ?
? ?
1 11 1
2 21 2
1
,,,1,0,,0
,,,0,1,,0
,,,0,0,,1
r
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n r r r r
cc
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LL
LL
LLLL
LL
下证
12,,,nr? ? ? ?L
是一个基础解系。
第三章 线性方程组
首先证 12,,,nr? ? ? ?L 线性无关，
设由 ? ?
1 1 2 2 1 2,,,,,,n r n r n rk k k k k k? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?L L L
? ?0,,0,0,0,,0,? LL
于是得
12 0,nrk k k ?? ? ? ?L
故 12,,,nr? ? ? ?L 线性无关。
再证方程组（ 3.6.1）的任一解可由
12,,,nr? ? ? ?L 线性表示。
设 ? ?
1 1 2,,,,,,r r r nc c c c c? ??? LL
是（ 3.6.1）的一个解，
由于
12,,,nr? ? ? ?L 是（ 3.6.1）的解，故其线性组合
第三章 线性方程组
? ?1 1 2 2 1,,,,,r r n n r r nc c c c c? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?L L L
也是（ 3.6.1）的一个解。
比较这两个解的最后 nr? 个分量知，这两个
解完全一样，
故
1 1 2 2,r r n n rc c c? ? ? ?? ? ?? ? ? ?L
由此可知，
12,,,nr? ? ? ?L
确为（ 3.6.1）的一个基础解系。
方程组（ 3.6.1）的通解可表为
1 1 2 2 1,,,.n r n r n rk k k k k F? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?LL
要注意的是：方程组（ 3.6.1）的基础解系并非
一个，任何一个线性无关且与某一基础解系等价的
第三章 线性方程组
向量组都是其基础解系。
例 3.6.1：
的一个基础解系。
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
2 3 0
2 5 2 0
3 2 7 0
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x x x x
x x x x
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求齐次线性方程组
解：
1 2 1 3
2 5 1 2
1 3 2 7
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A
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1 2 1 3
0 1 3 8
0 5 3 4
0 1 3 8
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1 0 7 1 9
0 1 3 8
0 0 1 8 3 6
0 0 0 0
???
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?
?
?? ?
??
第三章 线性方程组
1 0 7 1 9
0 1 3 8
0 0 1 2
0 0 0 0
???
??
?
?
?? ?
??
1 0 0 5
0 1 0 2
0 0 1 2
0 0 0 0
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???
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因此，原方程组与以下方程组同解
14
24
34
50
20
20
xx
xx
xx
???
?
???
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?
令自由未知量
4 1x ?
得方程组的一个解 ? ?5,2,2,1? ??
? 是方程组的基础解系。
第三章 线性方程组
二、一般线性方程组的解结构
如果把其中的常数项换为 0，就得齐次方程组：
对一般线性方程组
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ??
L
L
LLLLL
L
（ 3.5.1）
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
m m m n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ??
L
L
LLLL
L
（ 3.6.1）
方程组（ 3.6.1）称为方程组（ 3.5.1）的导出组。
第三章 线性方程组
（ 3.5.1）的解与其导出组（ 3.6.1）的解有密切联系。
证：
1、线性方程组（ 3.5.1）的两个解的差是它的导
出组（ 3.6.1）的解。
是方程组（ 3.5.1）的解，即有
? ?12,,,nk k kL 和 ? ?12,,,nl l lL设
11
,,1,2,,.
nn
i j j i i j j i
jj
a k b a l b i m
??
? ? ??? L
把这两个解的差 ? ?1 1 2 2,,,nnk l k l k l? ? ?L
代入方程组左边得
? ?
1 1 1
0,1,2,,
n n n
i j j j i j j i j j i i
j j j
a k l a k a l b b i m
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? L
第三章 线性方程组
故这两个解的差是其导出组（ 3.6.1）的解。
2、线性方程组（ 3.5.1）的一个解 r与它的导出组
（ 3.6.1）的一个解 之和仍是这个方程组的解。?
证：设 ? ?
1,,nr k k? L
是（ 3.5.1）的解，则有
1
,1,2,,
n
i j j i
j
a k b i m
?
??? L
又 ? ?1,,nll? ? L 是（ 3.6.1）的解，则有
1
0,1,2,,.
n
i j j
j
a l i m
?
??? L
把 ? ?
1 1 2 2,,,nnr k l k l k l?? ? ? ? ?L
代入方程组（ 3.5.1）
第三章 线性方程组
的左边得
? ?
1 1 1
0,1,2,,
n n n
i j j j i j j i j j i i
j j j
a k l a k a l b b i m
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? L
故 r ?? 是方程组（ 3.5.1）的解。
定理 3.6.2：
有了以上的准备工作，下面可以推出一般
线性方程组（ 3.5.1）的解结构。
0?
如果 是线性方程组（ 3.5.1）的
一个特解。而 ? 是其导出组的一个解，则方程组
0? ? ??? （ 3.6.4）
当 ?
（ 3.5.1）的任一解 可以表成
取遍它的导出组的全部解时，
?
第三章 线性方程组
（ 3.6.4）就给出（ 3.5.1）的全部解。
证明：设
0r 是方程组（ 3.5.1）的一个特解,r是
（ 3.5.1）的任一解。由性质 1知,0???
是其导出组（ 3.6.1）的一个解。
令 0,? ? ??? 则 0? ? ???
可见方程组（ 3.5.1）的任一解都可表为（ 3.6.4）的
形式，当 η取遍（ 3.6.1）的全部解时,0? ? ???
就取遍（ 3.5.1）的全部解。
定理 3.6.2表明，要求线性方程组的全部解，只要
找出它的一个特解以及它的导出组的全部解就可以了。
。
第三章 线性方程组
导出组是齐次线性方程组。一个齐次线性方程组的
解的全体可以用其基础解系表示出来，
因此若
0?
是（ 3.5.1）的一个特解,12,,,nr? ? ? ?L
是它导出组（ 3.6.1）的一个基础解系，因为
0? ? ??? 11,n r n rkk?? ??? ? ?L
0 1 1 n r n rkk? ? ? ???? ? ? ?L
因此方程组（ 3.5.1）的全部解可表为：
0 1 1 1,,,n r n r n rk k k k F? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?LL
。
