§ 3.5 线性方程组有解判别定理
第三章 线性方程组
在有了向量和矩阵的理论准备之后,下面给出线性方程
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
L
L
LLLLL
L
— （ 3.5.1）
有解的判别定理。
定理 3.5.1（线性方程组有解的判别定理）：
线性方程组（ 3.5.1）有解的充要条件是它的
系数矩阵 A与增广矩阵 A 有相同的秩。
第三章 线性方程组
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
12
n
n
m m mn n
a a a b
a a a b
A
a a a b
??
??
?
??
??
L
L
L L L L L
L
证一,对线性方程组（ 3.5.1）的增广矩阵 A
行初等变换与前 n列的换法变换得 B
施行
???
1 1 1 1
2 1 1 2
1
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
rn
rn
rr rn r
r
c c d
c c d
Bc c d
d
?
?
?
?
??
?
??
??
??
LL
LL
L L L L L L L L
LL
LL
L L L L L L L L
LL
第三章 线性方程组
A 的前 n列所成的矩阵是 A，设 B
的矩阵为 B。
的前 n列所成
1,若秩 A=秩 A,则由定理 3.4.4知，秩 B=秩 B
故
1 0.rd ? ?
因此原方程组有解。
2,若原方程组（ 3.5.1）有解，则以 B
的方程组也有解。故
为增广矩阵
1 0,rd ? ? 于是秩 B=秩 B
因此秩 A=秩 A
证二：设 ? ?
1 1 1 2 1 1,,,,ma a a? ?? L ? ?2 1 2 2 2 2,,,,ma a a? ?? L
,LLL ? ?12,,,,n n n m na a a? ?? L ? ?12,,,.mb b b? ? L
第三章 线性方程组
于是方程组（ 3.5.1）可表为：
1 1 2 2,nnx x x? ? ? ?? ? ? ?L
— （ 3.5.2）
设方程组（ 3.5.1）有解，
由于等价的向量组有相同的秩，
12,,,n? ? ?L
是 A的列向量组，
由（ 3.5.2）知 β可由
12,,,n? ? ?L
线性表示，
因此向量组
12,,,n? ? ?L 与 12,,,,n? ? ? ?L
等价。
12,,,,n? ? ? ?L 是 A
的列向量组，
故秩 A=秩 A
第三章 线性方程组
充分性：若秩 A=秩 A
于是向量组
12,,,n? ? ?L 与 12,,,,n? ? ? ?L
有相同的秩，设为 r。
不妨设
12,,,r? ? ?L
是 12,,,n? ? ?L 的一个极大线性无关组。
显然 12,,,r? ? ?L 也是 12,,,,n? ? ? ?L 的一个极大无关组，
β可由
12,,,r? ? ?L
线性表示。由传递性知,β可由
12,,,n? ? ?L 线性表示，可见方程组（ 3.5.1）有解。
定理 3.5.2,设线性方程组（ 3.5.1）的系数矩阵
A和增广矩阵 A 有相同的秩 r。
第三章 线性方程组
当 r<n时，方程组有无穷多解。
则当 r=n（ n为方程中未知量个数）时，
方程组有唯一解；
（为方便计，这里假设 A的左上角 r阶子式不为零）。
证：当秩 A=秩 A =r时，
由定理 3.5.1知，方程组有解。
这时线性方程组的增广矩阵 A
如下阶梯形：
经行变换可化为
第三章 线性方程组
A ???
1 1 1 1
2 1 1 2
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
rn
rn
r r r n r
c c d
c c d
Bc c d
?
?
?
??
??
??
?
??
??
??
??
LL
LL
L L L L L L L L
LL
LL
L L L L L L L L
LL
因此方程组（ 3.5.1）与以下方程组同解。
1 1 1 1 1 1
2 2 1 1 2 2
11
r r n n
r r n n
r rr r rn n r
x c x c x d
x c x c x d
x c x c x d
??
??
??
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
L
L
LLLL
L
第三章 线性方程组
当 r=n时，方程组有唯一解：,1,2,,.iix d i n?? L
当 r<n时，方程组的解为：
1 1 1 1 1 1
2 2 2 1 1 2
11
r r n n
r r n n
r r rr r rn n
x d c x c x
x d c x c x
x d c x c x
??
??
??
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
L
L
LLLL
L
这里
1,,rnxx? L
是自由未知量。 故方程组有无穷多解。
第三章 线性方程组
例 3.5.1：解线性方程组
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 3 1
22
2 3 3 4
3
7 9 9 5 1 7
x x x
x a x x x
x x x x
x x x x
x x x x
? ? ??
?
? ? ? ?
?
?
? ? ? ??
?
? ? ? ?
?
? ? ? ???
其中 a为实常数。
解,2 2 3 0 1
1 2 1 2
2 3 3 1 4
1 1 1 1 3
7 9 9 5 1 7
a
A
??
??
??? ?
???
???
0 0 1 2 5
0 1 1 2 1
0 1 1 1 2
1 1 1 1 3
0 2 2 2 4
a
???
??
??
??? ?
???
???
第三章 线性方程组
0 0 1 2 5
0 1 0 0 4
0 1 1 1 2
1 0 0 2 5
0 0 0 0 0
a
???
??
?
??? ?
???
??
0 0 1 2 5
0 1 0 0 4
0 1 0 1 3
1 0 0 2 5
0 0 0 0 0
a
???
??
?
??? ?
???
??
1
0 0 5
4
1 0
1
4
0 0 0 1 3
1
1 0 0 2 5
0 0 0 0 2
a
a
a
?
???
??
? ? ?
??
???
??
???
?
??
??
9
0 0 1 0
1
4
0 1 0 0
1
73
0 0 0 1
1
9
1 0 0 0
1
0 0 0 0 0
a
a
a
a
a
a
a
?
?
?
??
? ?
??
?? ?
??
?
??
???
??
第三章 线性方程组
当 a=1时，方程组无解。
例 3.5.2：当 a,b取何值时，线性方程组
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
3 4 5 5 9 6
3 2 3
4 3 2 2 2 1
5 4 3 3
x x x x x
x x x x x a
x x x x x a
x x x x x b
? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ??
当 1a ? 时，原方程的解为
1
2
3
4
9
1
4
1
9
1
73
1
a
x
a
x
a
a
x
a
a
x
a
??
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
??
第三章 线性方程组
无解？有解？ 在有解时求其一般解。
3 4 5 5 9 6
3 2 1 1 3
1 1 1 1 1 1
5 4 3 3 1
a
A
b
??
??
?
?
??
???
0 1 2 2 6 3
0 1 2 2 6 3
1 1 1 1 1 1
0 1 2 2 6 5
a
b
??
??
? ? ? ? ?
?
??
? ? ? ? ???
0 1 2 2 6 3
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 2
a
b
??
??
?
??
???
当 0a? 或 2b? 时，无解；
当 a=0且 b=2时，线性方程组有解。
0 1 2 2 6 3
0 0 0 0 0
1 0 1 1 5 2
0 0 0 0 0 2
a
b
??
??
?
??? ? ? ?
???
第三章 线性方程组
是自由未知量。
345,,x x x
解是：
1 3 4 5
2 3 4 5
25
3 2 2 6
x x x x
x x x x
? ? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
，