§ 3.2 n维向量空间
第三章 线性方程组
一、向量空间的定义和例子
向量与向量空间对我们并不陌生，在解几中，我们已经讨
论过二维和三维向量空间中的向量。
在那里，两个向量相加可以按平行四边形法则相加，若向
量用坐标表示，则两个向量相加转化为对应坐标相加，数与向
量相乘变为数与向量的每个坐标相乘，由此可抽象出一般向量
的定义。
定义 3.2.1,数域 F上一个 n维向量就是由 F中 n个数组成的
有序数组,? ?12,,,na a aL
其中
ia 称为向量的第 i个分量。
几何上的向量是 n维向量的特殊情况，虽然 n维向量当 n>4
时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含
通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同
的性质。本课程常常用小写希腊字母 α,β,γ,… 表示向量。有了
向量，一个方程 1 1 2 2i i i n n ia x a x a x b? ? ? ?L 就可以用一个 n+1
第三章 线性方程组
元向量来表示,? ?
12,,,,i i in ia a a bL
向量的相等：如果两个 n维向量 ? ? ? ?
1 2 1 2,,,,,,,nna a a b b b????LL
的对应分量都相等，即,1,2,.
iia b i n?? L
，则
称这两个向量相等，记为 ???
向量的和：向量 ? ?
1 1 2 2,,,nna b a b a b? ? ? ? ?L
称为向量
? ?12,,,na a a? ? L 与 ? ?12,,,nb b b? ? L 的和,记为 r=α+β。
零向量：分量全为零的 n维向量,? ?0,0,0L 称为零向量。
负向量：向量 ? ?
12,,,na a a? ? ?L 称为向量 ? ?12,,,na a a? ? L 的负向
量，记为 -α。
向量的数量乘积：设 ? ?12,,,,na a a k F? ??L,则称向量
? ?12,,,nk a k a k aL 为向量 α与数 k的数量乘积，
记为 kα。
向量的减法,α-β=α+（ -β）。
第三章 线性方程组
向量的加法满足以下四条运算规律：
1、交换律,α+β=β+α；
向量的数乘满足以下四条运算规律：
1、分配律,；
???? kkk ??? )(
2、分配律,；
??? lklk ??? )(
3、结合律,；?? )()( kllk ?
4、有单位元, 。?? ?1
2、结合律：（ α+β） +γ=α+（ β+γ）；
3、有零元,α+ 0 =α,；??
4、有负元,α+ = 0,。a? ??
第三章 线性方程组
如果我们不考虑研究对象的具体性质和内容，只讨论那
些与运算有关的性质，则可以抽象出向量空间的公理化定义。
定义 3.2.2,F是一个数域,V是以 F中的数为分量的 n维
向量组成的全体，考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其
加法和数乘分别满足以上四条规律，称 V为 F上的 n维向量空
间，记为 。nF
由向量的加法和数乘可以推出以下性质,
1,；00???
? ?1 ??? ? ? ?2,；
3,；00k ??
4、若,则 。0,0k ??? 0k ???
第三章 线性方程组
向量可以写成,? ?
12,,,na a a? ? L,
1
2
,
n
a
a
a
?
??
??
???
??
??
??
M
也可以写成：
前者称为行向量，后者称为列向量。
12(,,,)na a a? ?? L
列向量常写成：
第三章 线性方程组
一、向量空间的定义和例子
向量与向量空间对我们并不陌生，在解几中，我们已经讨
论过二维和三维向量空间中的向量。
在那里，两个向量相加可以按平行四边形法则相加，若向
量用坐标表示，则两个向量相加转化为对应坐标相加，数与向
量相乘变为数与向量的每个坐标相乘，由此可抽象出一般向量
的定义。
定义 3.2.1,数域 F上一个 n维向量就是由 F中 n个数组成的
有序数组,? ?12,,,na a aL
其中
ia 称为向量的第 i个分量。
几何上的向量是 n维向量的特殊情况，虽然 n维向量当 n>4
时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含
通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同
的性质。本课程常常用小写希腊字母 α,β,γ,… 表示向量。有了
向量，一个方程 1 1 2 2i i i n n ia x a x a x b? ? ? ?L 就可以用一个 n+1
第三章 线性方程组
元向量来表示,? ?
12,,,,i i in ia a a bL
向量的相等：如果两个 n维向量 ? ? ? ?
1 2 1 2,,,,,,,nna a a b b b????LL
的对应分量都相等，即,1,2,.
iia b i n?? L
，则
称这两个向量相等，记为 ???
向量的和：向量 ? ?
1 1 2 2,,,nna b a b a b? ? ? ? ?L
称为向量
? ?12,,,na a a? ? L 与 ? ?12,,,nb b b? ? L 的和,记为 r=α+β。
零向量：分量全为零的 n维向量,? ?0,0,0L 称为零向量。
负向量：向量 ? ?
12,,,na a a? ? ?L 称为向量 ? ?12,,,na a a? ? L 的负向
量，记为 -α。
向量的数量乘积：设 ? ?12,,,,na a a k F? ??L,则称向量
? ?12,,,nk a k a k aL 为向量 α与数 k的数量乘积，
记为 kα。
向量的减法,α-β=α+（ -β）。
第三章 线性方程组
向量的加法满足以下四条运算规律：
1、交换律,α+β=β+α；
向量的数乘满足以下四条运算规律：
1、分配律,；
???? kkk ??? )(
2、分配律,；
??? lklk ??? )(
3、结合律,；?? )()( kllk ?
4、有单位元, 。?? ?1
2、结合律：（ α+β） +γ=α+（ β+γ）；
3、有零元,α+ 0 =α,；??
4、有负元,α+ = 0,。a? ??
第三章 线性方程组
如果我们不考虑研究对象的具体性质和内容，只讨论那
些与运算有关的性质，则可以抽象出向量空间的公理化定义。
定义 3.2.2,F是一个数域,V是以 F中的数为分量的 n维
向量组成的全体，考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其
加法和数乘分别满足以上四条规律，称 V为 F上的 n维向量空
间，记为 。nF
由向量的加法和数乘可以推出以下性质,
1,；00???
? ?1 ??? ? ? ?2,；
3,；00k ??
4、若,则 。0,0k ??? 0k ???
第三章 线性方程组
向量可以写成,? ?
12,,,na a a? ? L,
1
2
,
n
a
a
a
?
??
??
???
??
??
??
M
也可以写成：
前者称为行向量，后者称为列向量。
12(,,,)na a a? ?? L
列向量常写成：
