§ 3.3 线性相关性
第三章 线性方程组
向量空间有两种运算：加法和数量乘法，合起来成为线性
运算。因此向量空间也可称为线性空间。向量空间元素之间的
最基本的关系就体现在运算上即所谓线性关系上。因此讨论向
量之间的线性关系在研究向量空间时起着极为重要的作用。本
节仅限于在 nF 中进行讨论。
一、向量组的线性关系
在解几中，向量空间 3R 中的任一个向量 α可由,,i j kr r r 和
R 中的一组数 1 2 3,,a a a 表示出来，即有
1 2 3a i a j a k? ? ? ?
r r r。在一
般 n维向量空间是否有类似现象？在未研究之前，先考虑上述
表达式的意义。
定义 3.3.1,设
12,,,,r? ? ? ?L
是 nF 中的向量，若存在 F中
12,,,rk k kLr 个 数,
，使 1 1 2 2 rrk k k? ? ? ?? ? ? ?L则称 β是向量组
12,,,r? ? ?L
的一个线性组合，或称向量 β可由
12,,,r? ? ?L
线性表出。
第三章 线性方程组
例 3.3.1 在 3F 中,? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 31,1,0,0,2,1,1,1,2,5,7,5? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
1 2 32 3,? ? ? ?? ? ?Q ? β可由 1 2 3,,? ? ? 的线性组合。
例 3.3.2 在 nF 中，任一向量 ? ?
12,,,na a a? ? L
可由向量组
? ? ? ? ? ?121,0,,0,0,1,,0,,0,0,,1n? ? ?? ? ?L L L L线性表示，
i? 称为 n维单位向量。
这回答了本段开头提出的问题,12,,,n? ? ?L 在 nF
它有那些重要作用？以及是否还有其他向量组能起它们的作用？
下面将给予回答。
中有重要的作用。
注 1：零向量是任一向量组的线性组合。
定义 3.3.2,对于 nF 中 r个向量 12,,,r? ? ?L,若存在 F中不全为
零的数
12,,,rk k kL
，使
1 1 2 2 0rrk k k? ? ?? ? ? ?L
，则称
12,,,r? ? ?L
线性相关，否则称
12,,,r? ? ?L
线性无关，
（即不存在不全为零的数
12,,,rk k kL
，使
? 是不 是 的线性组合？1 2 3,,? ? ?
第三章 线性方程组
1 1 2 2 0rrk k k? ? ?? ? ? ?L
）。
例 3.3.3 判断向量 ? ? ? ?122,3,6,9??? ? ? ?是否线性相关（若
两个向量的对应分量成比例，则这两个必线性相关）。
注 2：单个零向量必线性相关，单个非零向量必线性无关。
注 3：向量组 12,,,r? ? ?L 中有一个零向量，则
12,,,r? ? ?L
必线性相关。
例 3.3.4 判断向量组 ? ? ? ? ? ?
1 2 31,2,3,2,1,0,1,7,9? ? ?? ? ? ? ?是否线性相关。
解：设有
1 2 3,,k k k
，使
1 1 2 2 3 3 0k k k? ? ?? ? ?
于是得,1 2 3
1 2 3
13
20
2 7 0
3 9 0
k k k
k k k
kk
? ? ??
? ? ? ? ?
?
? ??
?
1 2 1 1 2 1
2 1 7 0 5 5
3 0 9 0 6 6
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ??? ? ? ?
1 0 3
0 1 1
0 0 0
??
????
????
第三章 线性方程组
取 1 2 33,1,1k k k? ? ? ?，则有
1 2 330? ? ?? ? ? ?
故
1 2 3,,? ? ?
线性相关。
由此可得判断向量组
12,,,r? ? ?L
线性关系的一般步骤：
⑴ 设
1 1 2 2 0rrk k k? ? ?? ? ? ?L
⑵ 若能找到不全为零的
12,,,rk k kL
，使⑴成立，则
12,,,r? ? ?L
线性相关； 若由⑴只能推出
12 0rk k k? ? ? ?L
，则
12,,,r? ? ?L
线性相关。
更一般地，要判断 nF 中向量组
? ? ? ? ? ?1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2,,,,,,,,,,,,n n r r r r na a a a a a a a a? ? ?? ? ?L L L L
是否线性相关，
只要判断齐次线性方程组
1 1 1 2 1 2 1
1 2 1 2 2 2 2
1 1 2 2
0
0
0
rr
rr
n n r n r
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ??
L
L
LLLLLL
L
第三章 线性方程组
是否有非零解。 若有非零解，则
12,,,r? ? ?L
线性相关；若只有零解，则
12,,,r? ? ?L
线性无关。
二、线性关系的简单性质
性质 1：向量组 12,,,r? ? ?L 中的每一向量
i?
都可以由这一
组向量线性表示。
性质 2：如果向量 r可由向量组 12,,,r? ? ?L 线性表示，而
每一个向量 i? 又可由向量组
12,,,s? ? ?L
线性表示。
证：设
1
,
r
ii
i
rk?
?
? ?
而
1
,1,2,,si j j
j
b i r??
?
??? L
故 ? ?
1 1 1 1 1 1
r s r s s r
i j j i j j i j j
i j i j j i
r k b k b k b? ? ?
? ? ? ? ? ?
?? ??? ? ???
??????? ? ? ? ? ?
性质 3：如果向量组
12,,,r? ? ?L 线性无关，则它的任一部
分组也线性无关。
第三章 线性方程组
性质 3?,如果向量组
12,,,r? ? ?L
有部分组线性相关，则
12,,,r? ? ?L向 量 组 也线性相关。
性质 4：设向量组 12,,,r? ? ?L 线性无关而向量组 12,,,,r? ? ? ?L
线性相关，则 β一定可由
12,,,r? ? ?L
线性表示。
性质 5：线性无关向量组
12,,,r? ? ?L
的同位延长向量组也线性无关。
证：设 ? ?
1 1 1 1 2 1,,,,ta a a? ? L ? ?2 2 1 2 2 2,,,,ta a a? ? L,L
? ?12,,,r r r r ta a a? ? L 线性无关，其延长向量组为：
? ?1 1 1 1 2 1 1 1 1,,,,,,,t t na a a a a? ??% LL
? ?2 2 1 2 2 2 2 1 2,,,,,,,t t na a a a a? ??% LL
LLLLL
? ?1 2 1,,,,,,.r r r r t r t r na a a a a? ??% LL
第三章 线性方程组
1 1 2 2 0rrk k k? ? ?? ? ? ?% % %L
设,可以推得：
1 1 2 2 0rrk k k? ? ?? ? ? ?L 因为 线性无关，12,,,r? ? ?L
所以
12 0rk k k? ? ? ?L
，故得
12,,,r? ? ?% % %L
也线性无关。
定理 3.3.1,向量组 ? ?
12,,,2r r? ? ? ?L
线性相关的
充要条件是,其中有某一个向量是 其他向量的线性组合。
（这个条件常被作为线性相关的另一种定义）
第三章 线性方程组
三、向量组的等价和替换定理
定义 3.3.3 设向量组（ Ⅰ ）,12,,,r? ? ?L 和向量组（ Ⅱ ）：
12,,,s? ? ?L
是向量空间 nF 中的两个向量组，如果组（ Ⅰ ）
中的任一向量 i? 都可由 12,,,s? ? ?L 线性表示，而组（ Ⅱ ）
的任一向量
j?
也可由
12,,,r? ? ?L 线 性 表 示,
则称这两个向量组等价。
例 3.3.5 向量组 ? ? ? ?
121,0,2,1,2,3????
与向量组
? ? ? ? ? ?1 2 30,2,1,3,4,8,2,2,5? ? ?? ? ?是否等价？
1 3 2 2 2 32,,? ? ? ? ? ?? ? ? ?Q解
而 ? ?1 2 1 2 2 1 3,2,2,2,5? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
12,???
与
1 2 3,,? ? ?
等价。
第三章 线性方程组
向量组的等价满足以下三个性质：
1、反身性：任何向量组均与自己等价；
2、对称性：若 12,,,r? ? ?L 与
1 2 3,,? ? ?
等价，则
12,,,s? ? ?L
也与 12,,,r? ? ?L 等价；
3、传递性：若 12,,,r? ? ?L 与
12,,,s? ? ?L
等价，
与 12,,,t? ? ?L
具有以上三个性质的关系称之为等价关系。
定理 3.3.2（替换定理）,设向量组（ Ⅰ ）,12,,,r? ? ?L
线性无关，且每一
i?
可由向量组（ Ⅱ ）：
12,,,s? ? ?L
线性表示，则 rs?,且在适当调整向量组（ Ⅱ ）中向量的
次序后，可使向量组（ Ⅲ ）：
1 2 1,,,,,,r r s? ? ? ? ??LL与向量组（ Ⅱ ）等价。
证明要点：（对向量组（ Ⅰ ）中的个数 r使用归纳法）
12,,,s? ? ?L
12,,,t? ? ?L等价。则 12,,,r? ? ?L 与 等价。
第三章 线性方程组
当 r=1时,1? 线性无关，
1 0???
且
1
1
1,,s ii
i
sk??
?
?? ?
由于
1 0? ?
，必存在某个 0,
ik ?
不妨设就是
1 0k ?
，于是有
212
1 1 1
1 s
s
kk
k k k? ? ? ?? ? ? ?L
于是向量组
12,,,s? ? ?L
与向量组
12,,,s? ? ?L
等价。
假设当 r=n-1时结论成立，即有 1ns??
且在适当调整（ Ⅱ ）组中向量的次序后，
11,,,,,n n s? ? ? ??LL
与组（ Ⅱ ）等价。
则当 r=n时，考虑前 n-1个向量，有归纳假设知,1ns??
且向量组（ Ⅳ ）
11,,,,,n n s? ? ? ??LL
与组（ Ⅱ ）等价。
又
n?
可被
12,,,s? ? ?L
线性表示，
第三章 线性方程组
n??
可由向量组（ Ⅳ ）线性表示。
设
1 1 1 1n n n n n s sl l l l? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?LL
由于
1,,n??L
线性无关，,,
nsll? L
必不全为零。
（否则得
1 1 1 1,n n nll? ? ???? ? ?L
矛盾），
不妨设
111
1 1 1
1 n n s
n n n n s
n n n n n
l l ll
l l l l l? ? ? ? ? ?
??
??? ? ? ? ? ? ?LL
因此，向量组（ Ⅲ ） 1 2 1,,,,,,n n s? ? ? ? ??LL
11,,,,,n n s? ? ? ??LL
与向量组（ Ⅳ ） 等价。
由归纳假设知（ Ⅳ ）与（ Ⅱ ）等价，故向量组（ Ⅲ ）与（ Ⅱ ）
等价。 由于 0,nl ? 1ns? ? ? 故,ns?
由替换定理可得以下两个重要推论：
0,nl ?
于是
第三章 线性方程组
推论 1：两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量。
推论 2：如果向量组
12,,,r? ? ?L
可由向量组
12,,,s? ? ?L 线性
表示，且 r>s，则向量组
12,,,r? ? ?L
必线性相关。
通俗地说：如果个数多的向量组能被个数少的向量组表示，则
个数多的向量组必线性相关。
推论 3,n+1个 n维向量必线性相关。
四、极大线性无关组
设 12,,,n? ? ?L 是向量空间 nF 一组不全为零的向量，若它们
线性相关，则其中必含有向量个数尽可能多的线性无关组
12,,,i i ir? ? ?L
，这个部分组本身线性无关，而若从原向量组
再添加一个向量就线性相关，可见原向量组中每个向量都可
用这个部分组线性表示。具有这种性质的向量组就称为极大
线性无关组，它对以后的讨论是很重要的。
定义 3.3.4 如果向量组
12,,,n? ? ?L
的一个部分组：
12,,,i i ir? ? ?L
第三章 线性方程组
满足以下两条：
①
12,,,i i ir? ? ?L
线性无关；
②
12,,,n? ? ?L
中任一向量可由 12,,,i i ir? ? ?L 线性表示，
则称向量组 12,,,i i ir? ? ?L 是向量组
12,,,n? ? ?L
的一个极大
线性无关组，简称极大无关组。
例 3.3.6 求向量组 ? ? ? ? ? ?1 2 32,1,3,1,4,2,5,4,2,1,2,3? ? ?? ? ? ? ? ?
的一个极大线性无关组。
解：
12,??Q 线性无关，而 3 2 1? ? ???,故 12,?? 是 1 2 3,,? ? ?
的一个极大无关组。 又
13,??
线性无关，而
2 1 3? ? ???,故 13,?? 也是一个极大无关组。
可见一个向量组的极大无关组并不是唯一的，那么我们要
问：一个向量组的极大无关组的个数是否唯一？
定理 3.3.3 等价向量组的极大无关组含有相同个数的向量，
第三章 线性方程组
特别的，一个向量组的两个极大无关组含有向量个数相同。
由等价的传递性和推论 1立得。
定义 3.3.5,一个向量组的极大线性无关组中所含向量的
个数叫做这个向量组的秩。
例 3.3.7 求 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 41,4,1,0,2,1,1,3,1,0,3,1,0,2,6,3? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
的秩（极大线性无关组的个数）。
解一：
12,??Q
线性无关，又
3?
不能被
12,??
线性表示，
1 2 3,,? ? ?? 线性无关。
但 4 1 2 323? ? ? ?? ? ?
1 2 3,,? ? ??
是极大无关组,1 2 3 4,,,? ? ? ? 的秩为 3。
解二：
1 2 3 4
1 2 1 0
4 1 0 2
1 1 3 6
0 3 1 3
? ? ? ?
??
??
??? ? ?
????
1 2 1 0
0 7 4 2
0 3 4 6
0 3 1 3
??
????
????
??? ? ?
????
行 变
1 2 1 0
0 1 2 4
0 0 3 9
0 3 1 3
??
??? ? ?
?
????
????
第三章 线性方程组
1 0 3 8
0 1 2 4
0 0 1 3
0 0 5 1 5
????
??
?
??
??
1 0 3 8
0 1 2 4
0 0 1 3
0 0 5 1 5
????
??
?
??
??
1 2 3 4
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
0 0 0 0
? ? ? ?
??
??
?
?
??
??
12? ? ?Q 3，,
线性无关，且
4 1 2 323? ? ? ?? ? ?
12? ? ? 3，, 是一极大无关组。
1 2 3,,? ? ?? 线性无关，且 4 1 2 323? ? ? ?? ? ?
1 2 3,,? ? ?
是一极大无关组，
1 2 3 4,,,? ? ? ?
的秩为 3。
如果向量组中每个向量均为 0，则这个向量组的秩为 0。
第三章 线性方程组
向量空间有两种运算：加法和数量乘法，合起来成为线性
运算。因此向量空间也可称为线性空间。向量空间元素之间的
最基本的关系就体现在运算上即所谓线性关系上。因此讨论向
量之间的线性关系在研究向量空间时起着极为重要的作用。本
节仅限于在 nF 中进行讨论。
一、向量组的线性关系
在解几中，向量空间 3R 中的任一个向量 α可由,,i j kr r r 和
R 中的一组数 1 2 3,,a a a 表示出来，即有
1 2 3a i a j a k? ? ? ?
r r r。在一
般 n维向量空间是否有类似现象？在未研究之前，先考虑上述
表达式的意义。
定义 3.3.1,设
12,,,,r? ? ? ?L
是 nF 中的向量，若存在 F中
12,,,rk k kLr 个 数,
，使 1 1 2 2 rrk k k? ? ? ?? ? ? ?L则称 β是向量组
12,,,r? ? ?L
的一个线性组合，或称向量 β可由
12,,,r? ? ?L
线性表出。
第三章 线性方程组
例 3.3.1 在 3F 中,? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 31,1,0,0,2,1,1,1,2,5,7,5? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
1 2 32 3,? ? ? ?? ? ?Q ? β可由 1 2 3,,? ? ? 的线性组合。
例 3.3.2 在 nF 中，任一向量 ? ?
12,,,na a a? ? L
可由向量组
? ? ? ? ? ?121,0,,0,0,1,,0,,0,0,,1n? ? ?? ? ?L L L L线性表示，
i? 称为 n维单位向量。
这回答了本段开头提出的问题,12,,,n? ? ?L 在 nF
它有那些重要作用？以及是否还有其他向量组能起它们的作用？
下面将给予回答。
中有重要的作用。
注 1：零向量是任一向量组的线性组合。
定义 3.3.2,对于 nF 中 r个向量 12,,,r? ? ?L,若存在 F中不全为
零的数
12,,,rk k kL
，使
1 1 2 2 0rrk k k? ? ?? ? ? ?L
，则称
12,,,r? ? ?L
线性相关，否则称
12,,,r? ? ?L
线性无关，
（即不存在不全为零的数
12,,,rk k kL
，使
? 是不 是 的线性组合？1 2 3,,? ? ?
第三章 线性方程组
1 1 2 2 0rrk k k? ? ?? ? ? ?L
）。
例 3.3.3 判断向量 ? ? ? ?122,3,6,9??? ? ? ?是否线性相关（若
两个向量的对应分量成比例，则这两个必线性相关）。
注 2：单个零向量必线性相关，单个非零向量必线性无关。
注 3：向量组 12,,,r? ? ?L 中有一个零向量，则
12,,,r? ? ?L
必线性相关。
例 3.3.4 判断向量组 ? ? ? ? ? ?
1 2 31,2,3,2,1,0,1,7,9? ? ?? ? ? ? ?是否线性相关。
解：设有
1 2 3,,k k k
，使
1 1 2 2 3 3 0k k k? ? ?? ? ?
于是得,1 2 3
1 2 3
13
20
2 7 0
3 9 0
k k k
k k k
kk
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? ? ? ? ?
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1 2 1 1 2 1
2 1 7 0 5 5
3 0 9 0 6 6
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1 0 3
0 1 1
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????
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第三章 线性方程组
取 1 2 33,1,1k k k? ? ? ?，则有
1 2 330? ? ?? ? ? ?
故
1 2 3,,? ? ?
线性相关。
由此可得判断向量组
12,,,r? ? ?L
线性关系的一般步骤：
⑴ 设
1 1 2 2 0rrk k k? ? ?? ? ? ?L
⑵ 若能找到不全为零的
12,,,rk k kL
，使⑴成立，则
12,,,r? ? ?L
线性相关； 若由⑴只能推出
12 0rk k k? ? ? ?L
，则
12,,,r? ? ?L
线性相关。
更一般地，要判断 nF 中向量组
? ? ? ? ? ?1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2,,,,,,,,,,,,n n r r r r na a a a a a a a a? ? ?? ? ?L L L L
是否线性相关，
只要判断齐次线性方程组
1 1 1 2 1 2 1
1 2 1 2 2 2 2
1 1 2 2
0
0
0
rr
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n n r n r
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a x a x a x
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? ? ? ? ?
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L
L
LLLLLL
L
第三章 线性方程组
是否有非零解。 若有非零解，则
12,,,r? ? ?L
线性相关；若只有零解，则
12,,,r? ? ?L
线性无关。
二、线性关系的简单性质
性质 1：向量组 12,,,r? ? ?L 中的每一向量
i?
都可以由这一
组向量线性表示。
性质 2：如果向量 r可由向量组 12,,,r? ? ?L 线性表示，而
每一个向量 i? 又可由向量组
12,,,s? ? ?L
线性表示。
证：设
1
,
r
ii
i
rk?
?
? ?
而
1
,1,2,,si j j
j
b i r??
?
??? L
故 ? ?
1 1 1 1 1 1
r s r s s r
i j j i j j i j j
i j i j j i
r k b k b k b? ? ?
? ? ? ? ? ?
?? ??? ? ???
??????? ? ? ? ? ?
性质 3：如果向量组
12,,,r? ? ?L 线性无关，则它的任一部
分组也线性无关。
第三章 线性方程组
性质 3?,如果向量组
12,,,r? ? ?L
有部分组线性相关，则
12,,,r? ? ?L向 量 组 也线性相关。
性质 4：设向量组 12,,,r? ? ?L 线性无关而向量组 12,,,,r? ? ? ?L
线性相关，则 β一定可由
12,,,r? ? ?L
线性表示。
性质 5：线性无关向量组
12,,,r? ? ?L
的同位延长向量组也线性无关。
证：设 ? ?
1 1 1 1 2 1,,,,ta a a? ? L ? ?2 2 1 2 2 2,,,,ta a a? ? L,L
? ?12,,,r r r r ta a a? ? L 线性无关，其延长向量组为：
? ?1 1 1 1 2 1 1 1 1,,,,,,,t t na a a a a? ??% LL
? ?2 2 1 2 2 2 2 1 2,,,,,,,t t na a a a a? ??% LL
LLLLL
? ?1 2 1,,,,,,.r r r r t r t r na a a a a? ??% LL
第三章 线性方程组
1 1 2 2 0rrk k k? ? ?? ? ? ?% % %L
设,可以推得：
1 1 2 2 0rrk k k? ? ?? ? ? ?L 因为 线性无关，12,,,r? ? ?L
所以
12 0rk k k? ? ? ?L
，故得
12,,,r? ? ?% % %L
也线性无关。
定理 3.3.1,向量组 ? ?
12,,,2r r? ? ? ?L
线性相关的
充要条件是,其中有某一个向量是 其他向量的线性组合。
（这个条件常被作为线性相关的另一种定义）
第三章 线性方程组
三、向量组的等价和替换定理
定义 3.3.3 设向量组（ Ⅰ ）,12,,,r? ? ?L 和向量组（ Ⅱ ）：
12,,,s? ? ?L
是向量空间 nF 中的两个向量组，如果组（ Ⅰ ）
中的任一向量 i? 都可由 12,,,s? ? ?L 线性表示，而组（ Ⅱ ）
的任一向量
j?
也可由
12,,,r? ? ?L 线 性 表 示,
则称这两个向量组等价。
例 3.3.5 向量组 ? ? ? ?
121,0,2,1,2,3????
与向量组
? ? ? ? ? ?1 2 30,2,1,3,4,8,2,2,5? ? ?? ? ?是否等价？
1 3 2 2 2 32,,? ? ? ? ? ?? ? ? ?Q解
而 ? ?1 2 1 2 2 1 3,2,2,2,5? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
12,???
与
1 2 3,,? ? ?
等价。
第三章 线性方程组
向量组的等价满足以下三个性质：
1、反身性：任何向量组均与自己等价；
2、对称性：若 12,,,r? ? ?L 与
1 2 3,,? ? ?
等价，则
12,,,s? ? ?L
也与 12,,,r? ? ?L 等价；
3、传递性：若 12,,,r? ? ?L 与
12,,,s? ? ?L
等价，
与 12,,,t? ? ?L
具有以上三个性质的关系称之为等价关系。
定理 3.3.2（替换定理）,设向量组（ Ⅰ ）,12,,,r? ? ?L
线性无关，且每一
i?
可由向量组（ Ⅱ ）：
12,,,s? ? ?L
线性表示，则 rs?,且在适当调整向量组（ Ⅱ ）中向量的
次序后，可使向量组（ Ⅲ ）：
1 2 1,,,,,,r r s? ? ? ? ??LL与向量组（ Ⅱ ）等价。
证明要点：（对向量组（ Ⅰ ）中的个数 r使用归纳法）
12,,,s? ? ?L
12,,,t? ? ?L等价。则 12,,,r? ? ?L 与 等价。
第三章 线性方程组
当 r=1时,1? 线性无关，
1 0???
且
1
1
1,,s ii
i
sk??
?
?? ?
由于
1 0? ?
，必存在某个 0,
ik ?
不妨设就是
1 0k ?
，于是有
212
1 1 1
1 s
s
kk
k k k? ? ? ?? ? ? ?L
于是向量组
12,,,s? ? ?L
与向量组
12,,,s? ? ?L
等价。
假设当 r=n-1时结论成立，即有 1ns??
且在适当调整（ Ⅱ ）组中向量的次序后，
11,,,,,n n s? ? ? ??LL
与组（ Ⅱ ）等价。
则当 r=n时，考虑前 n-1个向量，有归纳假设知,1ns??
且向量组（ Ⅳ ）
11,,,,,n n s? ? ? ??LL
与组（ Ⅱ ）等价。
又
n?
可被
12,,,s? ? ?L
线性表示，
第三章 线性方程组
n??
可由向量组（ Ⅳ ）线性表示。
设
1 1 1 1n n n n n s sl l l l? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?LL
由于
1,,n??L
线性无关，,,
nsll? L
必不全为零。
（否则得
1 1 1 1,n n nll? ? ???? ? ?L
矛盾），
不妨设
111
1 1 1
1 n n s
n n n n s
n n n n n
l l ll
l l l l l? ? ? ? ? ?
??
??? ? ? ? ? ? ?LL
因此，向量组（ Ⅲ ） 1 2 1,,,,,,n n s? ? ? ? ??LL
11,,,,,n n s? ? ? ??LL
与向量组（ Ⅳ ） 等价。
由归纳假设知（ Ⅳ ）与（ Ⅱ ）等价，故向量组（ Ⅲ ）与（ Ⅱ ）
等价。 由于 0,nl ? 1ns? ? ? 故,ns?
由替换定理可得以下两个重要推论：
0,nl ?
于是
第三章 线性方程组
推论 1：两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量。
推论 2：如果向量组
12,,,r? ? ?L
可由向量组
12,,,s? ? ?L 线性
表示，且 r>s，则向量组
12,,,r? ? ?L
必线性相关。
通俗地说：如果个数多的向量组能被个数少的向量组表示，则
个数多的向量组必线性相关。
推论 3,n+1个 n维向量必线性相关。
四、极大线性无关组
设 12,,,n? ? ?L 是向量空间 nF 一组不全为零的向量，若它们
线性相关，则其中必含有向量个数尽可能多的线性无关组
12,,,i i ir? ? ?L
，这个部分组本身线性无关，而若从原向量组
再添加一个向量就线性相关，可见原向量组中每个向量都可
用这个部分组线性表示。具有这种性质的向量组就称为极大
线性无关组，它对以后的讨论是很重要的。
定义 3.3.4 如果向量组
12,,,n? ? ?L
的一个部分组：
12,,,i i ir? ? ?L
第三章 线性方程组
满足以下两条：
①
12,,,i i ir? ? ?L
线性无关；
②
12,,,n? ? ?L
中任一向量可由 12,,,i i ir? ? ?L 线性表示，
则称向量组 12,,,i i ir? ? ?L 是向量组
12,,,n? ? ?L
的一个极大
线性无关组，简称极大无关组。
例 3.3.6 求向量组 ? ? ? ? ? ?1 2 32,1,3,1,4,2,5,4,2,1,2,3? ? ?? ? ? ? ? ?
的一个极大线性无关组。
解：
12,??Q 线性无关，而 3 2 1? ? ???,故 12,?? 是 1 2 3,,? ? ?
的一个极大无关组。 又
13,??
线性无关，而
2 1 3? ? ???,故 13,?? 也是一个极大无关组。
可见一个向量组的极大无关组并不是唯一的，那么我们要
问：一个向量组的极大无关组的个数是否唯一？
定理 3.3.3 等价向量组的极大无关组含有相同个数的向量，
第三章 线性方程组
特别的，一个向量组的两个极大无关组含有向量个数相同。
由等价的传递性和推论 1立得。
定义 3.3.5,一个向量组的极大线性无关组中所含向量的
个数叫做这个向量组的秩。
例 3.3.7 求 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 41,4,1,0,2,1,1,3,1,0,3,1,0,2,6,3? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
的秩（极大线性无关组的个数）。
解一：
12,??Q
线性无关，又
3?
不能被
12,??
线性表示，
1 2 3,,? ? ?? 线性无关。
但 4 1 2 323? ? ? ?? ? ?
1 2 3,,? ? ??
是极大无关组,1 2 3 4,,,? ? ? ? 的秩为 3。
解二：
1 2 3 4
1 2 1 0
4 1 0 2
1 1 3 6
0 3 1 3
? ? ? ?
??
??
??? ? ?
????
1 2 1 0
0 7 4 2
0 3 4 6
0 3 1 3
??
????
????
??? ? ?
????
行 变
1 2 1 0
0 1 2 4
0 0 3 9
0 3 1 3
??
??? ? ?
?
????
????
第三章 线性方程组
1 0 3 8
0 1 2 4
0 0 1 3
0 0 5 1 5
????
??
?
??
??
1 0 3 8
0 1 2 4
0 0 1 3
0 0 5 1 5
????
??
?
??
??
1 2 3 4
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
0 0 0 0
? ? ? ?
??
??
?
?
??
??
12? ? ?Q 3，,
线性无关，且
4 1 2 323? ? ? ?? ? ?
12? ? ? 3，, 是一极大无关组。
1 2 3,,? ? ?? 线性无关，且 4 1 2 323? ? ? ?? ? ?
1 2 3,,? ? ?
是一极大无关组，
1 2 3 4,,,? ? ? ?
的秩为 3。
如果向量组中每个向量均为 0，则这个向量组的秩为 0。
