西安电子科技大学：信号与系统：chapter1

信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-1页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 第一章信号与系统 1.1绪言 一、信号的概念 二、系统的概念 1.2 信号的描述与分类 一、信号的描述 二、信号的分类 1.3 信号的基本运算 一、加法和乘法 二、时间变换 1.4 阶跃函数和冲激函数 一、阶跃函数 二、冲激函数 三、冲激函数的性质 四、序列δ(k)和ε(k) 1.5系统的性质及分类 一、系统的定义 二、系统的分类及性质 1.6 系统的描述 一、连续系统 二、离散系统 1.7 LTI系统分析方法概 述 点击目录，进入相关章节 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-2页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念 连在一起？ 一、信号的概念 1. 消息(message): 人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。 2. 信息(information): 通常把消息中有意义的内容称为信息。 本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。 1.1 绪论 第一章信号与系统 它是信息论中的一个术语。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-3页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.1 绪论 3. 信号(signal): 信号是信息的载体。通过信号传递信息。 信号我们并不陌生，如刚才铃 声—声信号，表示该上课了； 十字路口的红绿灯—光信号， 指挥交通； 电视机天线接受的电视信息— 电信号； 广告牌上的文字、图象信号等 等。 为了有效地传播和利用信息， 常常需要将信息转换成便于传输 和处理的信号。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-4页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 二、系统的概念 一般而言，系统(system)是指若干相互关联的 事物组合而成具有特定功能的整体。 如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以 看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字 等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常 紧密地联系在一起。 信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置， 这样的物理装置常称为系统。 系统的基本作用是对输 入信号进行加工和处理，将 其转换为所需要的输出信号。 系统 系统 输入信号 激励 输出信号 响应 1.1 绪论 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-5页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.2 信号的描述和分类 第一章信号与系统 一、信号的描述 信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间 或位置变化的物理量。 信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们 可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于 处理。本课程讨论电信号---简称“信号”。 电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。 描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数 （2）信号的图形表示--波形 “信号”与“函数”两词常相互通用。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-6页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.2 信号的描述和分类 二、信号的分类 1. 确定信号和随机信号 可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信 号或规则信号。如正弦信号。 若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻 的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性， 如在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机 信号或不确定信号。电子系统中的起伏热噪声、雷 电干扰信号就是两种典型的随机信号。 研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程 只讨论确定信号。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-7页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.2 信号的描述和分类 2. 连续信号和离散信号 根据信号定义域的特点可分 为连续时间信号和离散时间信号。 在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号 称为连续时间信号，简称连续信号。实际中也常称 为模拟信号。 这里的“连续”指函数的定义域—时间是连续的， 但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。 to f1(t) = sin(π t) 12 to 12 1 -1-1 1 f2(t) 值域连续 值域不 连续 （1）连续时间信号： 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-8页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.2 信号的描述和分类 仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间 信号，简称离散信号。实际中也常称为数字信号。 这里的“离散”指信号的定义域—时间是离散的，它 只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。 如右图的f(t)仅在一些离散时刻 t k (k = 0,±1,±2,…)才有定义， 其余时间无定义。 相邻离散点的间隔T k =t k+1 -t k 可 以相等也可不等。通常取等间隔T， 离散信号可表示为f(kT)，简写为 f(k)，这种等间隔的离散信号也常 称为序列。其中k称为序号。 t o 2 t1 1 f(t) -1.5 2 1 t2 t3 t4t-1 离散时间信号： 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-9页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.2 信号的描述和分类 上述离散信号可简画为 k o 2 1 1 f(k) -1.5 2 1 234-1 用表达式可写为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = =? = ?= = k0 41 3,0 2,2 1,5.1 0,2 1,1 )( 其他， ，k k k k k k kf 或写为 f(k)= {…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…} ↑ k=0 通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-10页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.2 信号的描述和分类 3. 周期信号和非周期信号 周期信号(period signal)是定义在(-∞，∞)区 间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复 变化的信号。 连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,… 离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,… 满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。 不具有周期性的信号称为非周期信号。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-11页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.2 信号的描述和分类 例1判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f 1 (t) = sin2t + cos3t （2）f 2 (t) = cos2t + sinπt 解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1 和T 2 ，若其 周期之比T 1 /T 2 为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周 期信号，其周期为T 1 和T 2 的最小公倍数。 （1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω 1 = 2 rad/s ，T 1 = 2π/ ω 1 = πs cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω 2 = 3 rad/s ，T 2 = 2π/ ω 2 = (2π/3) s 由于T 1 /T 2 = 3/2为有理数，故f 1 (t)为周期信号，其周期为 T 1 和T 2 的最小公倍数2π。 （2）cos2t 和sinπt的周期分别为T 1 = πs，T 2 = 2 s，由 于T 1 /T 2 为无理数，故f 2 (t)为非周期信号。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-12页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.2 信号的描述和分类 例2判断正弦序列f(k) = sin(βk)是否为周期信号， 若是，确定其周期。 解f(k) = sin(βk) = sin(βk + 2mπ) ，m = 0,±1,±2,… mN)]sin[β(k β 2π mkβsin += ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? += 式中β称为正弦序列的数字角频率，单位：rad。 由上式可见： 仅当2π/ β为整数时，正弦序列才具有周期N = 2π/ β。 当2π/ β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其 周期为N= M(2π/ β)，M取使N为整数的最小整数。 当2π/ β为无理数时，正弦序列为非周期序列。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-13页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.2 信号的描述和分类 例3判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f 1 (k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk) （2）f 2 (k) = sin(2k) 解（1）sin(3πk/4) 和cos(0.5πk)的数字角频率分别为 β 1 = 3π/4 rad，β 2 = 0.5πrad 由于2π/ β 1 = 8/3，2π/ β 2 = 4为有理数，故它们的周 期分别为N 1 = 8 ，N 1 = 4，故f 1 (k) 为周期序列，其周期为 N 1 和N 2 的最小公倍数8。 （2）sin(2k) 的数字角频率为β 1 = 2 rad；由于2π/ β 1 = π为无理数，故f 2 (k) = sin(2k)为非周期序列。 由上面几例可看出：①连续正弦信号一定是周期信号， 而正弦序列不一定是周期序列。②两连续周期信号之和 不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-14页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.2 信号的描述和分类 4．能量信号与功率信号 将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功 率为| f (t) | 2 ，在区间(–∞, ∞)的能量和平均功率定义为 （1）信号的能量E ∫ ∞ ?∞ = ttfE d)( 2 def （2）信号的功率P ∫ ? ∞→ = 2 2 2 def d)( 1 lim T T T ttf T P 若信号f (t)的能量有界，即E <∞,则称其为能量 有限信号，简称能量信号。此时P = 0 若信号f (t)的功率有界，即P <∞,则称其为功率 有限信号，简称功率信号。此时E = ∞ 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-15页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.2 信号的描述和分类 相应地，对于离散信号，也有能量信号、功率信 号之分。 若满足的离散信号，称为能量信号。 ∞<= ∑ ∞ ?∞=k kfE 2 |)(| 若满足的离散信号，称为功率信号。 ∞<= ∑ ?= ∞→ 2/ 2/ 2 |)(| 1 lim N Nk N kf N P 时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号)为能 量信号; 周期信号属于功率信号，而非周期信号可能 是能量信号，也可能是功率信号。 有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号， 如f (t) = e t 。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-16页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.2 信号的描述和分类 5．一维信号与多维信号 从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个 变量的函数，称为一维或多维函数。 语音信号可表示为声压随时间变化的函数，这是 一维信号。而一张黑白图像每个点(像素)具有不同的 光强度，任一点又是二维平面坐标中两个变量的函数， 这是二维信号。还有更多维变量的函数的信号。 本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。 6．因果信号与反因果信号 常将t = 0时接入系统的信号f(t) [即在t < 0，f(t) =0] 称为因果信号或有始信号。阶跃信号是典型的一个。 而将t≥0，f(t) =0的信号称为反因果信号。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-17页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.3 信号的基本运算 还有其他分类，如实信号与复信号；左边信号与右边 信号等等。 1.3 信号的基本运算 一、信号的＋、－、×运算 两信号f 1 (·) 和f 2 (·)的相+、－、×指同一时刻两 信号之值对应相加减乘。如 其他k k k k kf 1 0 1 , , , , 0 6 3 2 )( 1 = = ?= ? ? ? ? ? ? ? = 其他k k k k kf 2 1 0 , , , , 0 4 2 3 )( 2 = = = ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = ?= =+ 其他k k k k k kfkf ,0 2,4 1,8 0,6 1,2 )()( 21 其他k k k kfkf 1 0 , , , 0 12 9 )()( 21 = = ? ? ? ? ? =× 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-18页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.3 信号的基本运算 二、信号的时间变换运算 1. 反转 将f (t) →f (– t) ，f (k) →f (– k) 称为对信号f (·) 的反转或反折。从图形上看是将f (·)以纵坐标为轴反 转180 o 。如 f (t) to 1 1 反转 t → - t f (- t ) -1 1 to 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-19页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.3 信号的基本运算 2. 平移 将f (t) →f (t – t 0 ) ，f (k) →f (t – k 0 )称为对信号f (·) 的平移或移位。若t 0 (或k 0 ) >0，则将f (·)右移；否则左 移。 如 f (t) to 1 1 右移t →t –1 f (t-1) to 2 1 1 左移t →t + 1 f (t+1) to 1 -1 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-20页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.3 信号的基本运算 平移与反转相结合 f (t) to 1 1 法一：①先平移f (t) →f (t +2) ②再反转f (t +2) →f (– t +2) 法二：①先反转f (t) →f (– t) 画出f (2 – t)。 f (- t ) -1 1 to ②再平移f (– t) →f (– t +2) f (t) to 1 1 2 to 1 1 f (-t +2) -1 to 1 -2 f (t +2) 左移 右移 = f [– (t –2)] 注意：是对t 的变换！ 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-21页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.3 信号的基本运算 3. 尺度变换（横坐标展缩） 将f (t) →f (a t) ，称为对信号f (t)的尺度变换。 若a >1 ，则波形沿横坐标压缩；若0< a < 1 ，则展 开。如 to f ( t ) 1 -2 2 t →2t压缩 to 1 -1 f (2 t ) 1 t →0.5t展开 to 1 -4 f (0.5 t ) 4 对于离散信号，由于f (a k) 仅在为a k为整数时才有意义，进行尺 度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-22页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.3 信号的基本运算 平移、反转、尺度变换相结合 to f ( t ) 1 -2 2 已知f (t)，画出f (– 4 – 2t)。 三种运算的次序可任意。 但一定要注意始终对时间 t 进行。 f (t -4) 426to 1 压缩，得f (2t –4) f (2t -4) 213to 1 反转，得f (– 2t –4) -1-3 f (-2t -4) to 1 右移4，得f (t –4) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-23页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.3 信号的基本运算 to f ( t ) 1 -2 2 压缩，得f (2t) f ( 2t ) -1 1 to 1 右移2，得f (2t –4) f (2t -4) 213to 1 反转，得f (– 2t –4) -1-3 f (-2t -4) to 1 也可以先压缩、再平移、最后反转。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-24页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.3 信号的基本运算 若已知f (– 4 – 2t) ，画出f (t) 。 -1-3 f (-2t -4) to 1 反转，得f (2t –4) f (2t -4) 213to 1 展开，得f (t –4) to 1 f (t -4) 246 左移4，得f (t) to f ( t ) 1 -2 2 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-25页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数 阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函 数。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函 数）的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。 1.4 阶跃函数和冲激函数 一、阶跃函数 下面采用求函数序列极限 的方法定义阶跃函数。 选定一个函数序列γ n (t)如图所示。 to n 1 ? n 1 1 γ n 2 1 n →∞ to 1 ε (t) ? ? ? ? ? > = < == ∞→ 0,1 0, 2 1 0,0 )(lim)( def t t t tt n n γε 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-26页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数 阶跃函数性质： （1）可以方便地表示某些信号 f (t) o 2 t1 2 -1 f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2) (a) (b) f (t) f(t)ε (t) oo tt o t (c) f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)] t1 t2 （2）用阶跃函数表示信号的作用区间 （3）积分)(d)( tt t εττε = ∫ ∞? 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-27页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数 二、冲激函数 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下 特殊的方式定义（由狄拉克最早提出） ? ? ? ? ? = ≠= ∫ ∞ ∞? 1)( 0,0)( dtt tt δ δ to (1) δ (t) 也可采用下列直观定义：对γ n (t) 求导得到如图所示的矩形脉冲p n (t) 。 to pn(t) n 1 n 1 ? 2 n )(lim)( def tpt n n ∞→ =δ 高度无穷大，宽度 无穷小，面积为1的对称窄脉冲。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-28页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数 冲激函数与阶跃函数关系： t t t d )(d )( ε δ = to 1 ε (t) to (1) δ (t) ∫ ∞? = t t ττδε d)()( 可见，引入冲激函数之 后，间断点的导数也存 在。如 to f (t) 2 1-1 f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1) f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1) 求导 1 -1 o t f '(t) (2) (-2) to n 1 ? n 1 1 γ n 2 1 to pn(t) n 1 n 1 ? 2 n n→∞ n→∞ t t tp n n d )(d )( γ = 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-29页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数 三、冲激函数的性质 1. 与普通函数f(t) 的乘积——取样性质 若f(t)在t = 0 、t = a处存在，则 f(t) δ(t) = f(0) δ(t) ，f(t) δ(t –a) = f(a) δ(t –a) )0(d)()( ftttf = ∫ ∞ ∞? δ )( 2 2 )() 4 sin()() 4 sin( tttt δδ π δ π ==+ 2 2 d)() 4 sin( ?=? ∫ ∞ ∞? ttt δ π ?d)1() 4 sin( 0 3 =?? ∫ ? ttt δ π ?d)() 4 sin( 9 1 =? ∫ ? ttt δ π ?d)(2 1 1 =? ∫ ? τττδ t ?d)()1( 1 2 =? ∫ ? t ττδτ 0 2 2 ? ? ? ? <<? 其它,0 11,2 tt ε(t) )(d)()( aftattf =? ∫ ∞ ∞? δ [] )(e2)()(e2)(e)(e d d 2222 ttttt t tttt εδεδε ???? ?=?= 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-30页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数 2. 冲激函数的导数δ’(t) （也称冲激偶） f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ(t) 证明：[ f(t) δ(t)]’ = f(t) δ’(t) + f ’(t) δ(t) f(t) δ’(t) = [ f(t) δ(t)]’ – f ’(t) δ(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ(t) δ’(t)的定义： )0('d)()(' fttft ?= ∫ ∞ ∞? δ δ (n) (t)的定义： )0()1(d)()( )()( n n n fttft ?= ∫ ∞ ∞? δ 4)2(2])2[( d d d)()2( 00 22 =??=??=? == ∞ ∞? ∫ tt tt t ttt δ 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-31页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数 3. δ(t) 的尺度变换 )( 1 || 1 )( )()( t aa at n n n δδ ?= 证明见教材P20 推论: (1) )( || 1 )( t a at δδ = )( || 1 )( 0 0 a t t a tat ?=? δδ δ(2t) = 0.5δ(t) )()1()( )()( tt nnn δδ ?=? (2)当a = –1时 所以，δ(– t) = δ(t) 为偶函数， δ’(– t) = –δ’ (t)为奇函数 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-32页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数 已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和g(2t) 求导，得g(t) o 2 t f (t) -2 4 (4) o 2 t g(t) = f '(t) -2 -1 压缩，得g(2t) (2) o 1 t g(2t) -1 -1 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-33页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数 4. 复合函数形式的冲激函数 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其 中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的 实根t i ( i=1，2，…，n) t tf tftf t d )(d )]([)]}([{ d d δε = )]}([{ d d )(' 1 )]([ tf ttf tf εδ = ε[f(t)]图示说明：例f(t)= t 2 –4 ε(t 2 –4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2) f (t) t -4 -22o 1 ε [f (t) ] 2-2 t o 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-34页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数 )2( 4 1 )2( 4 1 )2( 22 1 )2( 22 1 )]2()2([ 2 1 )]4([ d d 2 1 ]4[ 22 ?++=? × ++ × = ?++?=?=? tttt tt t t tt t δδδδ δδεδ ε( t 2 –4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2) 一般地， ∑ = ?= n i i i tt tf tf 1 )( )(' 1 )]([ δδ 这表明，δ[f(t)]是位于各t i 处，强度为的n个冲 激函数构成的冲激函数序列。 )(' 1 i tf ) 2 1 ( 4 1 ) 2 1 ( 4 1 )14( 2 ?++=? ttt δδδ 注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-35页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数 这两个序列是普通序列。 （1）单位(样值)序列δ(k)的定义 ? ? ? ≠ = = 0,0 0,1 )( def k k kδ o 1 1-1 k δ (k) 取样性质：f(k)δ(k) = f(0)δ(k) )0()()( fkkf k = ∑ ∞ ?∞= δ f(k)δ(k –k 0 ) = f(k 0 )δ(k –k 0 ) 例 ?)( = ∑ ∞ ?∞=k kδ ?)()5( =? ∑ ∞ ?∞=k kk δ ?)( =? ∑ ∞ ?∞=i ikδ 三、序列δ(k)和ε(k) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-36页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数 （2）单位阶跃序列ε(k)的定义 ? ? ? < ≥ = 0,0 0,1 )( def k k kε o 1 1 -1 k ε (k) 23 … （3）ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1) ∑ ?∞= = k i ik )()( δε 或 ∑ ∞ = ?= 0 )()( j jkk δε ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+… 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-37页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.5 系统的性质及分类 1.5 系统的性质及分类 一、系统的定义 若干相互作用、相互联系的事物按一定规律 组成具有特定功能的整体称为系统。 电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局 部，系统侧重于全部。电路、系统两词通用。 二、系统的分类及性质 可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征， 提出对系统进行分类的方法。下面讨论几种常用 的分类法。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-38页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.5 系统的性质及分类 1. 连续系统与离散系统 若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号 也是连续信号，则称该系统为连续时间系统，简称为 连续系统。 若系统的输入信号和输出信号均是离散信号， 则称该系统为离散时间系统，简称为离散系统。 2. 动态系统与即时系统 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有 关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系 统或记忆系统。含有记忆元件(电容、电感等)的系 统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。 3. 单输入单输出系统与多输入多输出系统 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-39页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.5 系统的性质及分类 4. 线性系统与非线性系统 满足线性性质的系统称为线性系统。 （1）线性性质 　系统的激励f (·)所引起的响应 y(·) 可简记为y(·) = T[ f (·)] 系统 f (· ) y (· ) 线性性质包括两方面：齐次性和可加性。 若系统的激励f (·)增大a倍时，其响应y(·)也增大a倍，即 T[af (·)] = a T [ f (·)] 则称该系统是齐次的。 若系统对于激励f 1 (·)与f 2 (·)之和的响应等于各个激励所 引起的响应之和，即 T[f 1 (·)+ f 2 (·)] = T[ f 1 (·)]+T[ f 2 (·)] 则称该系统是可加的。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-40页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.5 系统的性质及分类 若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的， 即T[a f 1 (·) + bf 2 (·)] = a T[ f 1 (·)] + bT[ f 2 (·)] （2）动态系统是线性系统的条件 动态系统不仅与激励{ f (·) }有关，而且与系统的 初始状态{x(0)}有关。初始状态也称“内部激励”。 完全响应可写为 y (·) = T [{ f (·) }, {x(0)}] 零状态响应为 y f (·) = T [{ f (·) }, {0}] 零输入响应为 y x (·) = T [ {0}，{x(0)}] 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-41页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.5 系统的性质及分类 当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统： ②零状态线性： T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}] T[{f 1 (t) + f 2 (t) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}] 或 T[{af 1 (t) +bf 2 (t) }, {0}] = aT[{ f 1 (·) }, {0}] +bT[{ f 2 (·) }, {0}] ③零输入线性： T[{0},{ax(0)}]= aT[ {0},{x(0)}] T[{0},{x 1 (0) + x 2 (0)} ]= T[{0},{x 1 (0)}] + T[{0},{x 2 (0)}] 或T[{0},{ax 1 (0) +bx 2 (0)} ]= aT[{0},{x 1 (0)}] +bT[{0},{x 2 (0)}] ①可分解性： y (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-42页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.5 系统的性质及分类 例1：判断下列系统是否为线性系统？ （1）y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2）y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3）y (t) = x 2 (0) + 2 f (t) 解：（1）y f (t) = 2 f (t) +1，y x (t) = 3 x(0) + 1 显然，y (t) ≠y f (t) ＋y x (t) 不满足可分解性，故为非线性 （2）y f (t) = | f (t)|，y x (t) = 2 x(0) y (t) = y f (t) + y x (t) 满足可分解性； 由于T[{a f (t) }, {0}] = | af (t)| ≠a y f (t) 不满足零状态线性。 故为非线性系统。 （3）y f (t) = 2 f (t) , y x (t) = x 2 (0) ，显然满足可分解性； 由于T[ {0},{a x(0) }] =[a x(0)] 2 ≠a y x (t)不满足零输入线性。 故为非线性系统。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-43页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.5 系统的性质及分类 例2：判断下列系统是否为线性系统？ xxfxxty t t d)()sin()0(e)( 0 ∫ += ? 解： xxfxtyxty t f t x d)()sin()(),0(e)( 0 ∫ == ? y (t) = y f (t) + y x (t) ，满足可分解性； T[{a f 1 (t)+ b f 2 (t) }, {0}] xxfxxxfxxxfxfx ttt d)()sin(bd)()sin(ad)](b)()[asin( 0 2 0 1 0 21 ∫∫∫ +=+= = aT[{f 1 (t)}, {0}] +bT[{ f 2 (t) }, {0}]，满足零状态线性； T[{0},{ax 1 (0) + bx 2 (0)} ] = e -t [ax 1 (0) +bx 2 (0)] = ae -t x 1 (0)+ be -t x 2 (0) = aT[{0},{x 1 (0)}] +bT[{0},{x 2 (0)}], 满足零输入线性； 所以，该系统为线性系统。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-44页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.5 系统的性质及分类 5. 时不变系统与时变系统 满足时不变性质的系统称为时不变系统。 （1）时不变性质 若系统满足输入延迟多少时间， 其零状态响应也延迟多少时间， 即若 T[{0}，f(t)] = y f (t) 则有 T[{0}，f(t - t d )] = y f (t - t d ) 系统的这种性质称为时不变性 （或移位不变性）。 1o 1 f (t) 1 2 t t yf (t) o T 2 2 o 1 f (t-1) 2 3 t t yf (-1) o T 1 1 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-45页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.5 系统的性质及分类 例：判断下列系统是否为时不变系统？ （1）y f (k) = f (k) f (k –1) （2）y f (t) = t f (t) （3）y f (t) = f (– t) 解(1)令g (k) = f(k –k d ) T[{0}，g (k)] = g(k) g (k –1) = f (k –k d ) f (k–k d –1 ) 而y f (k –k d ) = f (k –k d ) f (k–k d –1) 显然T[{0}，f(k –k d )] = y f (k –k d ) 故该系统是时不变的。 (2) 令g (t) = f(t –t d ) T[{0}，g (t)] = t g (t) = t f (t –t d ) 而y f (t –t d )= (t –t d ) f (t –t d ) 显然T[{0}，f(t –t d )] ≠y f (t –t d ) 故该系统为时变系统。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-46页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 (3) 令g (t) = f(t –t d ) , T[{0}，g (t) ] = g (– t) = f(– t –t d ) 而y f (t –t d ) = f [–( t – t d )]，显然 T[{0}，f(t –t d )] ≠y f (t –t d ) 故该系统为时变系统。 直观判断方法： 若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则 系统为时变系统。 1.5 系统的性质及分类 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-47页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.5 系统的性质及分类 （2）LTI连续系统的微分特性和积分特性 本课程重点讨论线性时不变系统 (Linear Time-Invariant)，简称LTI系统。 ①微分特性： 若f (t) →y f (t) ，则f ’(t) →y ’ f (t) ②积分特性： 若f (t) →y f (t) ，则 ∫∫ ∞?∞? → tt xxyxxf d)(d)( f 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-48页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.5 系统的性质及分类 6. 因果系统与非因果系统 零状态响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统。 即对因果系统，当t < t 0 ，f(t) = 0时，有t < t 0 ，y f (t) = 0。 如下列系统均为因果系统： ∫ ∞? = t xxfty d)()( f y f (t) = 3f(t –1) 而下列系统为非因果系统： (1) y f (t) = 2f(t + 1) (2) y f (t) = f(2t) 因为，令t=1时，有y f (1) = 2f(2) 因为，若f(t) = 0，t < t 0 ，有y f (t) = f(2t)=0, t < 0.5 t 0 。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-49页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.5 系统的性质及分类 例某LTI因果连续系统，起始状态为x(0 – )。已知，当 x(0 – ) =1，输入因果信号f 1 (t)时，全响应 y 1 (t) = e –t + cos(πt)，t>0； 当x(0 - ) =2，输入信号f 2 (t)=3f 1 (t)时，全响应 y 2 (t) = –2e –t +3 cos(πt)，t>0； 求输入f 3 (t) = +2f 1 (t-1)时，系统的零状态响应 y 3f (t) 。 t tf d )(d 1 解设当x(0 – ) =1，输入因果信号f 1 (t)时，系统的零输 入响应和零状态响应分别为y 1x (t)、y 1f (t)。当x(0 - ) =2， 输入信号f 2 (t)=3f 1 (t)时，系统的零输入响应和零状态 响应分别为y 2x (t)、y 2f (t)。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-50页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.5 系统的性质及分类 由题中条件，有 y 1 (t) =y 1x (t) + y 1f (t) = e –t + cos(πt)，t>0 （1）y 2 (t) = y 2x (t) + y 2f (t) = –2e –t +3 cos(πt)，t>0 （2） 根据线性系统的齐次性，y 2x (t) = 2y 1x (t)，y 2f (t) =3y 1f (t)， 代入式（2）得 y 2 (t) = 2y 1x (t) +3 y 1f (t) = –2e –t +3 cos(πt)，t>0 （3） 式(3)– 2×式(1)，得 y 1f (t) = –4e -t + cos(πt)，t>0 由于y 1f (t) 是因果系统对因果输入信号f 1 (t)的零状态响 应，故当t<0，y 1f (t)=0；因此y 1f (t)可改写成 y 1f (t) = [–4e -t + cos(πt)]ε(t) (4) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-51页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.5 系统的性质及分类 f 1 (t) →y 1f (t) = [–4e -t + cos(πt)]ε(t) 根据LTI系统的微分特性 t ty t tf d )(d d )(d 1f1 → = –3δ(t) + [4 –πsin(πt)]ε(t) 根据LTI系统的时不变特性 f 1 (t–1) →y 1f (t – 1) ={ –4 + cos[π(t–1)]}ε(t–1) 由线性性质，得：当输入f 3 (t) = +2f 1 (t–1)时， t tf d )(d 1 y 3f (t) = + 2y 1 (t–1) = –3δ(t) + [4–πsin(πt)]ε(t) + 2{–4 + cos[π(t–1)]}ε(t–1) t ty d )(d 1 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-52页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.5 系统的性质及分类 7. 稳定系统与不稳定系统 一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态 响应y f (.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输 出稳定，简称稳定。即若│f(.)│<∞，其 │y f (.)│<∞则称系统是稳定的。 如y f (k) = f(k) + f(k-1)是稳定系统；而 ∫ ∞? = t xxfty d)()( f 是不稳定系统。 因为，当f(t) =ε(t)有界， ∫ ∞? = t ttxx )(d)( εε 当t →∞时，它也→∞，无界。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-53页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.6 系统的描述 1.5 系统的描述 描述连续动态系统的数学模型是微分方程，描 述离散动态系统的数学模型是差分方程。 一、连续系统 1. 解析描述——建立数学模型 图示RLC电路，以u S (t)作激励，以u C (t)作为响 应，由KVL和VAR列方程，并整理得 uS(t) uC(t) L R C ? ? ? ? ? + =++ + )(0')0( d d d d 2 2 CC SC CC uu uu t u RC t u LC ， 二阶常系数线性微分方程。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-54页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.6 系统的描述 )()( d )(d d )(d 01 2 2 2 tftya t ty a t ty a =++ 抽去具有的物理含义，微分方程写成 这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。 M x C k f (t) 其中，k为弹簧常数，M为物体质 量，C为减振液体的阻尼系数，x 为物体偏离其平衡位置的位移， f(t)为初始外力。其运动方程为 )()( d )(d d )(d 2 2 tftkx t tx C t tx M =++ 能用相同方程描述的系统称 相似系统。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-55页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.6 系统的描述 2. 系统的框图描述 上述方程从数学角度来说代表了某些运算关系： 相乘、微分、相加运算。将这些基本运算用一些 理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程 的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称 框图。基本部件单元有： 积分器： f (t) ∫ ∫ ∞? t xxf d)( 加法器： f 1(t) ∑ f 2(t) f 1(t) - f 2(t) 数乘器： a f (t) 或 a af (t) 积分器的抗干扰性 比微分器好。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-56页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.6 系统的描述 系统模拟： 实际系统→方程→模拟框图 →实验室实现（模拟系统）→指导实际系统设计 例1：已知y”(t) + ay’(t)+ by(t) = f(t)，画框图。 解：将方程写为y”(t) = f(t) –ay’(t) –by(t) ∫∫ y"(t) y'(t) y(t) ∑ a b f(t) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-57页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.6 系统的描述 例2：已知y”(t) + 3y’(t)+ 2y(t) = 4f’(t) + f(t)，画框图。 解：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。 设辅助函数x(t)满足x”(t) + 3x’(t)+ 2x(t) = f(t) 可推导出y(t) = 4x’(t) + x(t)，它满足原方程。 ∫∫ x"(t) x'(t) x(t) ∑ 3 2 f(t) ∑ y(t) 4 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-58页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 例3：已知框图，写出系统的微分方程。 1.6 系统的描述 y(t) ∑∑∫∫3 4 2 3 f (t) 设辅助变量x(t)如图 x(t) x’(t)x”(t) x”(t) = f(t) – 2x’(t) –3x(t) ,即x”(t) + 2x’(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x’(t)+ 3x(t) 根据前面，逆过程，得 y”(t) + 2y’(t) + 3y(t) = 4f’(t)+ 3f(t) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-59页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.6 系统的描述 二、离散系统 1. 解析描述——建立差分方程 例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为β 元/元，求第k个月初存折上的款数。 设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上 个月初的款数为y(k-1)，利息为βy(k-1),则 y(k)=y(k-1)+ βy(k-1)+f(k) 即y(k)-(1+β)y(k-1) = f(k) 若设开始存款月为k=0，则有y(0)= f(0)。 上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。 所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构 成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差 数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-60页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.6 系统的描述 由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。 描述LTI系统的是线性常系数差分方程。 2. 差分方程的模拟框图 基本部件单元有： 数乘器，加法器，迟延单元（移位器） f (k) D f (k-1) 例：下列差分方程描述的系统，是否线性？是否时不变？ 并写出方程的阶数。 （1）y(k) + (k – 1)y(k – 1) = f(k) （2）y(k) + y(k+1) y(k – 1) = f 2 (k) （3）y(k) + 2 y(k – 1) = f(1 – k)+1 解：判断方法：方程中均为输出、输入序列的一次关系 项，则是线性的。输入输出序列前的系数为常数，且无 反转、展缩变换，则为时不变的。 线性、时变，一阶 非线性、时不变，二阶 非线性、时变，一阶 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-61页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.6 系统的描述 例：已知框图，写出系统的差分方程。 y(k) ∑∑D D 5 4 2 3 f (k) 解：设辅助变量x(k)如图 x(k) x(k-1) x(k-2) 即x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2) x(k)= f(k) – 2x(k-1) – 3x(k-2) 方程←→框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-62页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1.7 系统分析概述 1.7 LTI系统分析概述 系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求 出它对给定激励的响应。 具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程 并求出解答。 系统的分析方法： 输入输出法（外部法） 状态变量法（内部法）（chp.8) 外部法 时域分析（chp.2,chp.3) 变换域法 连续系统—频域法(4)和复频域法(5) 离散系统—z域法（chp6) 系统特性：系统函数（chp.7) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 1-63页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 （1）把零输入响应和零状态响应分开求。 （2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根 据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性 系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响 应之和。 1.7 系统分析概述 求解的基本思路： 采用的数学工具： （1）卷积积分与卷积和 （2）傅里叶变换 （3）拉普拉斯变换 （4）Z变换