西安电子科技大学：信号与系统：chapter8

信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-1页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 第8章系统的状态空间分析 8.0引言 8.1系统的状态空间描述 8.2状态方程的建立 8.3 连续系统状态方程的解 8.4 离散系统状态方程的解 8.5 系统稳定性判别 第8章系统的状态空间分析 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-2页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 8.0 引言 一、系统的状态变量分析法简介 1、系统的状态空间描述： 用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变量、 输出之间的关系。 状态方程：表示系统状态变量与输入之间的关系/方程。 对n阶系统，状态方程是由n个一阶微分方程（差分方程）组 成的方程组。 输出方程：表示系统输出与输入和状态之间的关系/方程。 对n阶系统，若有q个输出，输出方程是由q个代数方程组成的 方程组。 8.0 引言 第8章系统的状态空间分析 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-3页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2、系统状态方程的解 A.连续系统状态方程、输出方程的解： （1）时域解 （2）s域解 B.离散系统状态方程、输出方程的解： （1）时域解 （2）z域解 二、状态空间分析法的应用及优点： 1.状态方程和输出方程不仅描述了系统的输入和输出 关系，而且描述了系统输入、输出和系统内部状态的关系， 便于分析设计与系统内部状态有关的问题。例如：系统的 稳定性分析；最优控制；最优化设计等。因此，状态空间 分析法也称为内部分析法。 8.0 引言 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-4页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统 分析，也适用于非线性、时变、多输入多输出 系统分析； 3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系 统的分析设计问题。 8.0 引言 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-5页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 8.1系统的状态空间描述 一、连续系统的状态变量、状态方程、输出方 程： 1、状态变量： （1）初始状态：设初始时刻为. 时刻的状态通常指电容元件上电压 和电感元件上电流。n阶系统有n个初 始状态。 初始状态的一般定义： 系统在时刻的状态是最少数目的一组数 知道了这组数和区间[ ，t]上的输入，就可以 完全确定系统在t时刻的输出。 表示：n阶系统的初始状态表示为： 0 t 0 t )( 0 tu c )( 0 ti L 0 t 0 t ).()......,(),( 00201 txtxtx n 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-6页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 说明：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一。 例. 设二阶系统的初始状态为并且： 则也可作为系统在时刻的 状态。 )(),( 0201 txtx ? ? ? += += )()()( )()()( 02201102 02201101 txbtxbtg txatxatg )(),( 0201 tgtg 0 t 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-7页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 （2）状态变量： 表示状态随时间变化的一组变量称状态变量。 设时刻的状态为： 则系统的状态变量任一时刻t的状态为： 0 t ).()......,(),( 00201 txtxtx n ).()......,(),( 21 txtxtx n 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-8页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = )( )( )( )( 2 1 tx tx tx tX n M 状态空间：状态矢量所在的空间称状态空间。 （3）状态矢量、状态空间： 状态矢量：由状态变量构成的列矢量称状态矢量。 )(tX )(tX 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-9页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2、状态方程和输出方程： （1）状态方程： 例： 系统输入：系统输出： 系统的状态： )(),( 21 tftf )()( )()( 2 1 tuty tity c c = = )(),( titu Lc LU + - f 1 + - - iL R + C UC i C (t) f (t) 2 + - + - 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-10页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 由KCL和KVL得： 令： 21 21 , , xixu xixu Lc Lc && == == LU + - f 1 + - - iL R + C UC i C (t) f (t) 2 + - + - 8.1 系统的状态空间描述 ? ? ? ? ? ? ? ?= ??= 2 1 1 )( 1 fu dt di L iuf Rdt du c c L Lc c 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-11页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 ? ? ? ? ? ? ? ?= +??= 212 1211 11 111 f L x L x f RC x C x RC x & & 上面的方程组称图示RLC系统的状态方程，其矩阵形式为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? = ? ? ? ? ? ? 2 1 2 1 2 1 1 0 0 1 0 1 11 f f L RC x x L CRC x x & & 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-12页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 状态方程：描述系统状态与输入之间的关系的一阶 微分方程组。 状态方程的一般形式： 设n阶系统的状态变量为： 系统有p个输入： .,, 21 n xxx L .,, 21 p fff L 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-13页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 ? ? ? ? ? ? ? +++++++= +++++++= +++++++= pnpnnnnnnnn ppnn ppnn fbfbfbxaxaxax fbfbfbxaxaxax fbfbfbxaxaxax LL & LLLL LL & LL & 22112211 222212122221212 121211112121111 矩阵形式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n npnn p p nnnnn n n n f f f bbb bbb bbb x x x aaa aaa aaa x x x M L LLL L L M L LLL L L & M & & 2 1 21 22221 11211 2 1 21 22221 11211 2 1 则系统的状态方程为： 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-14页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 令 [][] [] [] [] pn ij nn ij T n T n T n bBaA ffff xxxXxxxX ×× == = == , , 21 2121 L L & L && & 则 BfAXX += & 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-15页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 （2）输出方程： 例：以图8.1RLC系统为例,系统输出., 21 Lc uyiy == 由KCL、KVL得： LU + - f 1 + - - iL R + C UC i C (t) f (t) 2 + - + - 8.1 系统的状态空间描述 ? ? ? ? ? ?= +??= ? ? ? ? ? ?= ??== 212 1211 2 1 11 )( 1 fxy f R xx R y fuu iuf Rdt du ci cL Lc c c 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-16页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 上式称图示RLC系统的输出方程，其矩阵形式为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? = ? ? ? ? ? ? 2 1 2 1 2 1 10 0 1 01 1 1 f f R x x R y y 输出方程：描述系统输出、输入、状态之间关系的 代数方程组。 输出方程一般形式：设n阶系统有n个状态、p个输入、 q个输出，则输出方程为： 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-17页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 ? ? ? ? ? ? ? +++++++= +++++++= +++++++= pqpqqnqnqqq ppnn ppnn fdfdfdxcxcxcy fdfdfdxcxcxcy fdfdfdxcxcxcy LL LLLL LL LL 22112211 222212122221212 121211112121111 矩阵形式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? p qpqq p p n qnqq n n q f f f ddd ddd ddd x x x ccc ccc ccc y y y M L LLL L L M L LLL L L M 2 1 21 22221 11211 2 1 21 22221 11211 2 1 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-18页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 令 [][][] pq ij nq ij T q dDcCyyyY ×× === ,, 21 L 则 DfCXY += 二、离散系统状态变量、状态方程、输出方程： 1、状态变量： （1）初始状态：设初始时刻，对n阶系统， 初始状态通常指： 0 0 =K .)(,,)2(,)1( nyyy ??? L 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-19页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 0 K 时刻状态的一般定义： 0 K 时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数 和区间上的输入，就可完全确定系统在 K时刻的输出。 []KK , 0 （2）状态变量、状态矢量： 状态变量：表示状态随时间变化的一组变量。 表示：对n阶系统，状态变量表示为： .)(,,)(,)( 21 kxkxkx n L 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-20页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 状态矢量： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = )( )( )( )( 2 1 kx kx kx kX n M 2、状态方程和输出方程： 例1. 设系统的方程为 )1()(,)2()( )()2()1()( 21 001 ?=?= =???? kykxkykx kfbkyakyaky 设 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-21页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 得： )()()()( )()()()1( )()1( 02110 021102 21 kfbkxakxaky kfbkxakxakx kxkx ++= ? ? ? ++=+ =+ 式称系统的状态方程，式称系统的输出方程。 矩阵形式： )( 0 )( )(10 )1( )1( 02 1 102 1 kf bkx kx aakx kx ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? + + [] )( )( )( )( 0 2 1 10 kfb kx kx aaky + ? ? ? ? ? ? = 1 2 1 2 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-22页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 离散系统状态方程、输出方程的一般形式： 状态方程：描述系统状态与输入关系的一阶前向 差分方程组。 一般形式：n阶系统，p个输入。 )()()1( )( )( )( )1( )1( )1( 2 1 21 22221 11211 2 1 21 22221 11211 2 1 kfBkXAkX f f f bbb bbb bbb kx kx kx aaa aaa aaa kx kx kx p npnn p p nnnnn n n n + ↓↓↓↓↓ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + + M L LLL L L M L LLL L L M )()()1( kBfkAXkX +=+ 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-23页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 输出方程：描述系统输出、输入、状态之间关系的 代数方程组。 一般形式：n阶系统，p个输入，q个输出。 )()()( )( )( )( )( )( )( 2 1 21 22221 11211 2 1 21 22221 11211 2 1 kfDkXCkY f f f ddd ddd ddd kx kx kx ccc ccc ccc ky ky ky p qpqq p p n qnqq n n n ↓↓↓↓↓ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? M L LLL L L M L LLL L L M )()()( kDfkCXkY += 8.1 系统的状态空间描述 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-24页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 8.2状态方程的建立 一、连续系统状态方程的建立： 1. RLC系统状态方程的建立－直观编写法： （1）状态变量的选择： 例： 选择、、 为状态变量. 1c u 2c u L i 选（1），. （2），. 1c u L i 2c u L i 1 R C 1 + U - C 1 C + U - C 22 L Li 2 R U S + - R 1 R 2 U S + - C UC UC 2 1 + - 1 iL L 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-25页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2c u 3c u 1c u 1 c 2 c 3 c + _ + _ + _ 选：（1）、 或：（2）、 或：（3）、 1c u 2c u 1c u 3c u 3c u 2c u 选：（1）， （2）， 1L i c u 2L i c u 选：（1）、 或：（2）、 或：（3）、 1L i 2L i 1L i 3L i 2L i 3L i U S - + L iL R Li L 2 2 1 1 R 1 i S - + C UC i L 1 L 1 i 2L 2 L i L L 3 3 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-26页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 (2).直观编写法步骤： 例： 选状态变量： cLL uxixix === 3221 ,, 设输出为： abL uyuy == 221 , 列状态方程： 第一步：关于（电感电压）列KVL方程； 2211 , xLxL && 21321 22131111 )( ffxRxRx fxxRxfuxL L ?+?+?= ????==& 2 2 L 1 L L 1 U + - R f f1 + - x 1 x U 2L + - C + - x 3 ic 2 + - a b 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-27页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2321 2213222 )( fxRxRx fxxRxuxL L ++??= +?+==& 第二步：关于（电容电流）列KCL方程； 3 xC& 213 xxixC c ?==& 第三步：消去除状态变量和输入以外的其它变量，把 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ++??= ?+?+?= 213 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 11 11 111 x C x C x f L x L x L R x L R x f L f L x L x L R x L R x & & & 状态方程整理成标准形式； 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-28页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 11 3 2 1 222 111 3 2 1 00 1 0 11 0 11 1 1 f f L LL x x x CC LL R L R LL R L R x x x & & & 列输出方程： ? ? ? ? ? ? ? +?= +=+== ++?= == 221 2322 2321 2221 fRxRx fRxcfRiuy fxRxRx xLuy cab L & & 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-29页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? 2 1 3 2 1 2 1 10 10 0 1 f f x x x RR RR y y 2.由系统微分方程编写状态方程： 例：已知系统方程为 列出系统的状态方程和输出方程。 )()()()()( 00 ' 1 '' 2 ''' tfbtyatyatyaty =+++ （1）选择状态变量：令 yxyxyx === 321 ,, 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-30页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 （2）状态方程： ? ? ? ? ? +???= = = fbxaxaxax xx xx 03221103 32 21 & & & （3）输出方程： 1 xy = 矩阵形式： f bx x x aaax x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 03 2 1 2103 2 1 0 0 100 010 & & & [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 3 2 1 001 x x x y 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-31页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 例2. 已知系统方程为 列出系统状态方程和输出方程。 )()()()()()( 0 ' 10 ' 1 '' 2 ''' tfbtfbtyatyatyaty +=+++ （1）选择状态变量： 引入：)(tq )()()()()( 012 tftyatyatyaty =+++ 式代入原方程得：)()()( 01 tqbtqbty += 令 qxqxqx === 321 ,, 1 21 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-32页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 （2）列状态方程： ? ? ? ? ? +???= = = fxaxaxax xx xx 3221103 32 21 & & & （3）列输出方程： 3021 xbxby += 矩阵形式： f x x x aaax x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 100 010 3 2 1 2103 2 1 & & & [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 3 2 1 001 x x x y 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-33页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 3.由系统框图、流图编写状态方程： 例： ⊕ ⊕ 1/S 1/S 1 b 1 a? 0 a? 0 b )(sF )(sY 某LTI二阶系统框图及流图如图所示，列写状态方程 和输出方程。 )(sF 1 S 1 S 1 2 b 1 b 0 b 1 a? 0 a? )(sY 2 b 1 x 2 x 3 x 1 x & 2 x & 1 x 2 x 3 x 1 x & 2 x & 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-34页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 (1)选状态变量：选积分器输出为状态变量，如图 所示； (2)状态方程： ? ? ? +??= = fxaxax xx 21102 21 & & (3)输出方程： fxbabxbab fxaxabxbxby +?+?= +??++= 22111200 211022110 )()( )( 二、离散系统状态方程、输出方程的编写： 1. 由差分方程编写： 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-35页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 例1：已知系统方程为 列状态方程和输出方程。 )()2()1()( 01 kbfkyakyaky =?+?+ (1)状态变量选择： 令 )1()(,)2()( 21 ?=?= kykxkykx (2)状态方程： ? ? ? +??=+ =+ )()()()1( )()1( 21102 21 kbfkxakxakx kxkx 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-36页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 (3)输出方程： )()()()( 2110 kbfkxakxaky +??= 矩阵形式： )( 0 )( )(10 )1( )1( 2 1 102 1 kf bkx kx aakx kx ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? = ? ? ? ? ? ? + + [] )( )( )( )( 2 1 10 kfb kx kx aaky + ? ? ? ? ? ? ??= 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-37页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 例2：已知系统方程为 列写系统状态方程和输出方程。 )()()1()2( 01 kbfkyakyaky =++++ (1) 状态变量选择： 令 )1()(,)()( 21 +== kykxkykx (2)状态方程： ? ? ? +??=+ =+ )()()()1( )()1( 21102 21 kbfkxakxakx kxkx )()( 1 kxky = (3)输出方程： 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-38页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 例3：已知系统方程为 列状态方程、输出方程。 )()1()2()()1()2( 01201 kfbkfbkfbkyakyaky ++++=++++ 1 （1）状态变量的选择： )(kq 引入：)()()1()2( 01 kfkqakqakq =++++ 2 2 式代入式得： 1 )()1()2()( 012 kqbkqbkqbky ++++= 令 )1()(,)()( 21 +== kqkxkqkx 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-39页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 (2)状态方程： ? ? ? +??=+ =+ )()()()1( )()1( 21102 21 kfkxakxakx kxkx (3)输出方程： )()()()()( )]()()([)()()( 222111200 211022110 kfbkxbabkxbab kfkxakxabkxbkxbky +?+?= +??++= 2.由矩阵框图、信号流图编写状态方程 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-40页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 ⊕ ⊕ 1 b 2 b 1 a? 0 a? 0 b )(zF )(zY 1? z 1? z 例:已知系统框图、流图如图所示,列写状态方程和输出方程. )(zF 1 1? z 1? z 2 b 1 b 0 b 1 a? 0 a? )(zY )( 1 kx)( 2 kx )( 1 kx)( 2 kx 8.2 状态方程的建立 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-41页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 (1) 选择状态变量:选单位延迟器的输出为状态变量, 如图所示. (2) 根据框图、流图的信号传输关系建立状态方程和输出关系. 8.3 连续系统状态方程的解 一、矩阵函数: 1.矩阵函数的定义: 设A为n阶方阵，对于收敛的幂级数 ,)( 0 i i i xxf ∑ = = α 定义矩阵函数， )(Af ∑ = = 00 0 )( i i i AAf α 8.3 连续系统状态方程的解 ，（A类比x） 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-42页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.矩阵指数函数的定义： 设A为n阶方阵，对于指数函数， x exf =)( i i x x i xxe ∑ = = +++= 00 0 2 ! 1 !2 1 1 L 定义矩阵指数函数和分别为 A e At e i i A A i AAIe ∑ = = +++= 00 0 2 ! 1 !2 1 L i i i At A i t A t AtIe ∑ = = +++= 00 0 2 2 ! !2 L 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-43页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 3.矩阵的导数、积分和卷积: (1) 导数、积分: 设矩阵 mnij tt mnij mnij ta dt d tA dt d dttadttA tatA × ∞?∞? × × = = = ∫∫ )]([)( ])([)( )]([)( 则 (2) 卷积: 设 mnijnmij tbtBtatA ×× == )]([)(,)]([)( )()( tBtA ?等于运算中元素的相乘变 成卷积运算. )()( tBtA ? 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-44页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 例. ? ? ? ? ? ? ?+? ?+? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L L 21221121 21121111 2221 1211 2221 1211 baba baba bb bb aa aa 4.矩阵运算的几个定理：设A、B为n阶方阵。 AeAee dt d AtAtAt ==)( )( 2121 ttAAtAt eee + =? BAAB = )( ttAAtAt eee + =? （1） （2） （3）设，则 （4）设X为n维列向量，A为n阶方阵，则 XAeXeXe dt d AtAtAt ???=? ??? & )( 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-45页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 （5）设A为方阵，则恒有逆，且。 At e AtAt ee ?? = 1 )( （6）设A、P为n阶方阵，P为非奇异阵（det（P）＝0），则 1 1 ? = ? PPee AttPAP 二、状态方程的时域解： 1.状态方程的时域解：对n阶系统。 状态方程： BftAXtX BftAXtX =? += )()( )()( & & 1 1 式两边乘以，得 At e ? )()()( tBfetAXetXe AtAtAt ??? =? & 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-46页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 根据矩阵函数运算的定理（4），上式可写成： )()]([ tBfetXe dt d AtAt ?? = 2 2对式两边积分，得： ∫ ∫ ∫∫ ?? ??? ?? +=∴ =? = t t tAttA t t AAtAt t t AA t t dBfetXetX dBfetXetXe dBfedXe dt d 0 0 0 0 00 )()()( )()()( )()](([ )( 0 )( 0 ττ ττ ττττ τ τ ττ 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-47页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 设，得： ? = 0 0 t ∫ ? ? ? += t tAAt dBfeXetX 0 )( )()0()( ττ τ 设称状态转移矩阵. At et =Φ )( 则 4342143421 )()( 0 )()()0()( )()()0()()( tXtX t fx tfBtXt dBftXttX ?Φ+Φ= ?Φ+Φ= ? ? ∫ ? τττ 零输入分量零状态分量 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-48页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.输出方程的解： 输出方程为： )()()( tDftCXty += 把状态方程的解代入输出方程，得： )()()()0()( )()]()()0()([)( tDftfBtCXtC tDftfBtXtCty +?Φ+Φ= +?Φ+Φ= ? ? 引入p阶对角阵： )(tδ =)(tδ pp t t t × ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )(0 )( 0)( δ δ δ O 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-49页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 则 ).()()( tftft =?δ 444434444214434421 )( )( )()]()([)0()( )()()()()0()()( tY tY fx tftDBtCXtC tftDtfBTCXtCtY ?+Φ+Φ= ?+?Φ+Φ= ? ? δ δ )()()( )()()( )0()()( tDBtCth tfthtY XtCtY f x δ+Φ= ?= Φ= ? 零输入响应 零状态响应 冲激响应，. )( pq× =)(th ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? qpqq p p hhh hhh hhh L LLL L L 21 22221 11211 )(th ij 0)( ≠tf j ,其余输入为零时， 对应的冲激响应。 )(ty i f 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-50页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 3. At et =Φ )( 的计算： （1）n阶方阵A的特征方程、特征根： 特征多项式： 特征方程： 特征根：特征方程的根， ||)det( IAIA λλ ?=? 0|| =? IA λ .,,2,1 ni L= i λ (2)凯莱哈密顿定理： 任何方阵A，恒满足它的特征方程。 设 则 0||)( =?= IAq λλ 0)( =Aq 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-51页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 （3） At et =Φ )( 的计算： 设n阶方阵A的特征根为，j=1 , 2 , … ,n . j λ i j i i jj t t te j λβ λλ λ ∑ ∞ = = +++= 0 2 2 !2 1 L i i i At A A t tAIe ∑ ∞ = = +++= 0 2 2 !2 β L 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-52页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 根据A的特征方程和凯莱哈密顿定理可以 证明： 1 1 2 21 1 0 1 ? ? ? = ++++== ∑ n jnjj n i i ji t j e λαλαλαλα λ L 1 1 2 21 1 0 ? ? ? = ++++== ∑ n n n i i i At AAAIAe αααα L 由A的n个特征根和的展开式确定系数，代入 的展开式，就可求得。 t j e λ i α At e At e 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-53页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 At e的计算步骤： （1）A的特征根为单根： 第一步：求n阶方阵A的特征根，i=1 ,2 , … ,n . i λ 第二步：由n个特征根建立以下n个方程： ? ? ? ? ? ? ? ++++= ++++= ++++= ? ? ? ? ? ? 1 1 2 210 1 21 2 22210 1 11 2 12110 2 1 n nnnn t n n t n n t n e e e λαλαλαα λαλαλαα λαλαλαα λ λ λ L LLL L L 第三步：解上面方程组，求， i α i=1 ,2 , … ,n . 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-54页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 第四步：把代入下式，求： i α At e 1 1 2 210 ? ? ++++= n n At AAAIe αααα L （2）A的特征根有重根：设为m重根，另有n-m个单根。 1 λ 第一步：求n阶方阵A的特征根 q=n-m+1. .,,, 21 q λλλ L 第二步：由特征根建立以下n个方程： i λ 1 11 2 12110 1 ? ? ++++= n n t e λαλαλαα λ L )()( 1 11 2 12110 11 1 ? ? ++++= n n t d d e d d λαλαλαα λλ λ L )()( 1 11 2 12110 2 1 2 2 1 2 1 ? ? ++++= n n t d d e d d λαλαλαα λλ λ L …… … )()( 1 11 2 12110 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ++++= n n m m t m m d d e d d λαλαλαα λλ λ L { ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-55页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1 21 2 22210 2 ? ? ++++= n n t e λαλαλαα λ L 1 31 2 32310 3 ? ? ++++= n n t e λαλαλαα λ L …… … 1 1 2 210 ? ? ++++= n qnqq t q e λαλαλαα λ L 第三步：解上面方程组,求, i=0 , 1 ,2 ,…, . i α 1?n α 第四步: 把代入下式求: i α At e 1 1 2 210 ? ? ++++= n n At AAAIe αααα L 例1. , 求. ? ? ? ? ? ? ? ? = 21 01 A At e 解: (1) 求 :IA λ? =? IA λ ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21 01 ? ? ? ? ? ? λ λ 0 0 ? ? ? ? ? ? ?? ?? = λ λ 21 01 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-56页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 (2) 求A的特征根: .2,1,0)2)(1(|| 21 ?=?==++=? λλλλλIA (3)建立求的方程,求: i α i α ? ? ? += += 210 110 2 1 λαα λαα λ λ t t e e ? ? ? ?= ?= ? ? 10 2 10 2αα αα t t e e , 解方程组,得: .,2 2 1 2 0 tttt eeee ???? ?=?= αα (4) 求: At e )2( 2 10 ttAt eeAIe ?? ?=+= αα )( 10 01 2tt ee ?? ?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20 01 ? ? ? ? ? ? ? = ??? ? ttt t eee e 22 )( 0 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-57页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 例2: 求. ? ? ? ? ? ? ?? ? = 12 01 A At e 解: (1) 求 :IA λ? =? IA λ ? ? ? ? ? ? ??? ?? λ λ 12 01 (2) 求A的特征根: .1,0)1(|| 21 2 ?===+=? λλλλIA (3)建立求的方程,求: i α i α ? ? ? ? ? += += )()( 210 110 2 1 λαα λαα λ λ dt d e dt d e t t ? ? ? = ?= ? ? 1 10 α αα t t te e , 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-58页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 解方程组,得: ., 10 ttt tetee ??? =+= αα (4) 求: At e =+= AIe At 10 αα ? ? ? ? ? ? +?? +? ??? ?? )2(2 0)2( ttt tt teete tee 4. 由求A: At e Iee e dt d A t At t At == = = = 0 0 0 | |)( 状态方程的解: Step1:求 ;)( At et =Φ Step4:求 Step3:求 Step2:求);0()()( ? Φ= XttX x );()()( tfBttX f ?Φ= );()()( tXtXtX fx += 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-59页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 输出方程的解: Step2:求 Step1:求 Step3:求 Step4:求 ;)( At et =Φ );0()()( ? Φ= XtCtY x );()()( tDBtCth δ+Φ= );()()( tfthtY f ?= Step5:求 );()()( tYtYtY fx += 三、状态方程、输出方程的S域解: 1.状态方程的S域解: 状态方程: )()()( tBftAXtX += & 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-60页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 S域解:根据单边拉氏变换的时域微分性质,对状态 方程两边取拉氏变换,得: )()()0()( sBFsAXXsSX +=? ? )()0()()( sBFXsAXsSX +=? ? )()0()()( sBFXsXAsI +=? ? )()()0()()( 11 sBFAsIXAsIsX ? ? ? ?+?= 4342143421 )()( )()()0()( sXsX fx sBFsXs Φ+Φ= ? )]([)()( 1 tLAsIs Φ=?=Φ ? )]([)( tXLsX xx = )]([)( tXLsX ff = )]([)]([)]([)( 111 sXLsXLsXLtX fx ??? +== 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-61页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.输出方程的S域解: 输出方程: )()()( tDftCXtY += S域解: )()()( sDfsCXsY += 把代入上式,得: )(sX )(])([)0()()( sFDBsCXsCsY +Φ+Φ= ? 434214434421 )()( )()()0()( sYsY fx sFsHXsC +Φ= ? )]([)()( thLDBsCsH =+Φ= )]([)( tYLsY xx = )]([)( tYLsY ff = )]([)]([)]([)( 111 sYLsYLsYLtY fx ??? +== 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-62页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 状态方程、输出方程的S域解步骤: 状态方程S域解: Step1:求 Step2:求 Step3:求 Step4:求 Step5:求 );0()()( ? Φ= XssX x );()()( sBFssX f Φ= );()()( sXsXsX fx += ;)()( 1? ?=Φ AsIs )].([)( 1 sXLtX ? = 输出方程S 域解: Step1:求 Step2:求 Step3:求 ;)()( 1? ?=Φ AsIs );0()()( ? Φ= XsCsY x ;)()( DBsCsH +Φ= 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-63页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 Step4:求 Step5:求 Step6:求 )()()( sFsHsY f = )];([)( )]([)( 1 1 sYLtY sYLtY ff xx ? ? = = ).()()( tYtYtY fx += 8.3 连续系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-64页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 8.4 离散系统状态方程的解 一、状态方程、输出方程的时域解: 1.状态方程的解: n阶系统,P个输入. 状态方程: )()()1( kBfkAXkX +=+ 设初始时,初始状态0 0 =k )].0(,),0(),0([)0( 21 n XXXX L= 用递推法得: )0()0()1( BfAXX += )1()]0()0([)1()1()2( BfBfxABfAXX ++=+= )1()0()0( 2 BfABfXA ++= )2()2()3( BfAXX += )2()1()0()0( 23 BfABfBfAXA +++= …… … 8.4 离散系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-65页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )1()0()0()( 21 BfABfAXAkX kkk ?? ++= ).1()2( ?+?++ kBfkABfL ∑ ? = ?? += 1 0 1 )()0( k i ikk iBfAXA )()0( 1 kfBAXA kk ?+= ? 设则 ),(kA k Φ= 443442143421 )()( )()1()0()()( kXkX fx kfBkXkkX ??Φ+Φ= (零输入分量) (零状态分量) 2.输出方程的解: n阶系统,P个输入, q 个输出. 输出方程: )()()( kDfkCXkY += 把代入输出方程,得: )(kX 8.4 离散系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-66页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )()()1()0()()( kDfkfBkCXtCkY +??Φ+Φ= 引入 :)(kδ )(kδ pp t t t × ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = )(0 )( 0)( δ δ δ O 则 )()]()1([)0()()( kfkDBkCXkCkY ?+?Φ+Φ= δ ).()()( kfkDkDf ?= δ 4342143421 )()( )()()0()( kYkY fx kfkhXkC ?+Φ= )()1()( kDBkCkh δ+?Φ= 冲激响应, ).( pq× pq qpqq p hhh hhh × ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = L LLL L 21 11211 )(kh ij )(kf j 单独作用时,输出 的单位脉冲响应. )(ky i 8.4 离散系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-67页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 3.的计算： k Ak =Φ )( （1）的计算方法： k A 设A为n阶方阵，为A的特征根，i=1 , 2 , …，n. i λ 由A的特征方程和凯莱哈密顿定理可以证明： 1 1 2 210 ? ? ++++= n inii k i λαλαλααλ L 1 1 2 210 ? ? ++++= n n k AAAIA αααα L （2）的计算步骤： k A A的特征值为单根：， i λ i=1 , 2 , …，n. 第一步：根据A的特征根建立以下方程： ? ? ? ? ? ? ? ++++= ++++= ++++= ? ? ? ? ? ? 1 1 2 210 1 21 2 222102 1 11 2 121101 n nnnn k n n n k n n k λαλαλααλ λαλαλααλ λαλαλααλ L LLL L L 8.4 离散系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-68页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 第二步：解上面方程组，求，i=0 , 1 , 2 , … , n-1. i α 第三步：把代入下式，求： k A 1 1 2 210 ? ? ++++= n n k AAAIA αααα L A的特征根有重根：设为m重根，另有n-m个单根为 1 λ ,,,, 32 q λλλ L q=n-m+1. 第一步：根据A的特征根建立以下个方程： )()( 1 11 2 12110 1 1 1 ? ? ++++= n n k d d d d λαλαλαα λ λ λ L 1 11 2 121101 ? ? ++++= n n k λαλαλααλ L ……… )()( 1 11 2 12110 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ++++= n n m m k m m d d d d λαλαλαα λ λ λ L 1 21 2 222102 ? ? ++++= n n k λαλαλααλ L ……… 1 1 2 210 ? ? ++++= n qnqq k q λαλαλααλ L ? ? ? ? ? ? ? ? ? i α 8.4 离散系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-69页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 第二步：解上面方程组，求，i=0 , 1 , 2 , … , n-1. i α 第三步：把代入下式，求： i α k A 1 1 2 210 ? ? ++++= n n k AAAIA αααα L （3）由求. k A A 1 | =k k A=A ? ? ? ? ? ? = 12 10 A 例1：，求。 k Ak =Φ )( 解：（1）求 :IA λ? IA λ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? = λ λ 12 01 （2）求的根： .2,1,0)2)(1(|| 21 =?==?+=? λλλλλIA 0|| =? IA λ 8.4 离散系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-70页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 (3) 建立求的方程,求: i=0 , 1 . i α i α ? ? ? ? ? += += 2102 1101 λααλ λααλ k k ? ? ? ? ? += ?=? 10 10 22 )1( αα αα k k , 解方程组,得: ].)1(2[ 3 1 ,])1(22[ 3 1 10 kkkk ??=?+= αα (4) 求： k A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+?? ???+ = + ])1(2[ 3 1 ])1(2[ 3 2 ])1(2[ 3 1 ])1(22[ 3 1 1 kkkk kkkk AIA k 10 αα += 8.4 离散系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-71页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 例2. ，求。 ? ? ? ? ? ? = 20 02 A k Ak =Φ )( 解：（1）求,IA λ? （2）求的根：0|| =? IA λ (3) 建立求的方程,求: i=0 , 1 . i α i α ? ? ? ? ? += += )()( 1101 1101 λααλ λααλ dt d dt d k k ? ? ? ? ? = += 1 10 2 22 α αα k k k， 解方程组,得: .2,22 1 10 ? =?= kkk kk αα .2 21 == λλ （4）求： k A AIA k 10 αα += ? ? ? ? ? ? ? ? = k k 20 02 8.4 离散系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-72页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 状态方程、输出方程时域解步骤： Step1:求 Step2:求 Step3:求 Step4:求 ;)( k Ak =Φ );0()()( XkKX x Φ= );()1()( kfBkkX f ??Φ= );()()( kXkXkX fx += 输出方程的解： Step1:求 Step2:求 Step3:求 Step4:求 Step5:求 ;)( k Ak =Φ );0()()( XkCkY x Φ= );()1()( kDBkCkh δ+?Φ= );()()( kfkhkY f ?= );()()( kYkYkY fx += 8.4 离散系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-73页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 二、状态方程、输出方程的Z域解： 1. 状态方程的Z域解： 0 0 =k 状态方程：)()()1( kBfkAXkX +=+ 单边Z变换的左移性质： .)()()( 1 0 ∑ ? = ? ??→←+ m k kmm ZkfzFZmkf 由左移性质，对状态方程两边取Z变换，得： )()()0()( zBFzAXZXzZX +=? )()0()()( zBFzXzXAzI +=? )()()0()()( 11 zBFAzIzXAzIzX ?? ?+?= zAzIz 1 )()( ? ?=Φ 令 则443442143421 )( 1 )( )()()0()()( zXzX fx zBFzzXzzX Φ+Φ= ? 8.4 离散系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-74页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )],([)( 1 zXZkX ? = )],([)( kZz Φ=Φ )].([)( 1 zZk Φ=Φ ? 2. 输出方程的Z域解：0 0 =k 输出方程： ).()()( kDfkCXkY += 方程两边取单边Z变换，得： ).()()( zDFzCXzY += 把代入上面方程，得： )(])([)0()()( 1 zFDBzCzXzCzY +Φ+Φ= ? 4342143421 )()( )()()0()( zYzY fx zFzHXzC +Φ= )(zX )].([)()( 1 khZDBzzCzH =+Φ= ? 8.4 离散系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-75页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )],([)( 1 zYZkY xx ? = )],([)( 1 zYZkY ff ? = ).()()]([)( 1 kYkYzYZkY fx +== ? 状态方程、输出方程Z域解步骤： 状态方程的Z域解： Step1:求 Step2:求 Step3:求 Step4:求 Step5:求 ;)()( 1 zAzIz ? ?=Φ );0()()( XzzX x Φ= );()()( 1 zBFzzzX f Φ= ? );()()( zXzXzX fx += )].([)( 1 zXZkX ? = 8.4 离散系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-76页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 输出方程Z域解： Step1:求 Step2:求 Step3:求 Step4:求 Step5:求 Step6:求 ;)()( 1 zAzIz ? ?=Φ );0()()( XzCzY x Φ= ;)()( 1 DBzzCzH +Φ= ? );()()( zFzHzY f = )];([)( )]([)( 1 1 zYZkY zYZkY ff xx ? ? = = ).()()( kYkYkY fx += 8.4 离散系统状态方程的解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-77页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 8.5 系统稳定性判别 一、连续系统稳定性判别： 1. 矩阵H(s)与系统稳定性：对n阶系统 .)()()( 1 DBAsICDBsCsH +?=+Φ= ? )(sH 的分母为为S的n次多项式，可表示为：|,| AsI ? 0 1 1 || asasaAsI n n n n +++=? ? ? L 用R H 准则判断系统的稳定性： Step1:对进行R H排列； Step2:根据R H排列和R H 准则判别系统 的稳定性。 |,| AsI ? 2. 矩阵A的特征方程与系统稳定性：对n阶系统 8.5 系统稳定性判别 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-78页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 A的特征方程为 若的根全部在左半复平面，或者根的 实部全为负值，则系统为稳定系统。 .0|| =? AIλ 0|| =? AIλ 二、离散系统稳定性判别： 1. 矩阵与系统稳定性：对n阶系统。)(zH ,)()()( 11 DBAzICDBzCzzH +?=+Φ= ?? )(zH的分母为.|| 0 1 1 azazaAzI n n n n +++=? ? ? L 用朱里准则判断系统稳定性： Step1:对进行朱里排列；|| AI ?λ Step2:根据朱里准则判断系统稳定性。 8.5 系统稳定性判别 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 8-79页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2. 矩阵A与系统稳定性： A的特征方程： 若的根全部在Z平面上单位圆内， 则系统为稳定系统。 .0|| =? AIλ 0|| =? AIλ 8.5 系统稳定性判别