西安电子科技大学：信号与系统：chapter4

信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-1页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 第四章连续系统的s域分析 4.1拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换 4.2拉普拉斯变换的性质 4.3拉普拉斯变换逆变换 4.4 复频域分析 一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型 点击目录，进入相关章节 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-2页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 第四章连续系统的s域分析 频域分析以虚指数信号e jωt 为基本信号，任意信号 可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求 解得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e 2t ε(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些问题。 本章引入复频率s = σ+jω,以复指数函数e st 为基本 信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分 析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-3页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.1拉普拉斯变换 一、从傅里叶到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e -σt (σ为实常数）乘信号f(t) ， 适当选取σ的值，使乘积信号f(t) e -σt 当t→∞时信号幅 度趋近于0 ，从而使f(t) e -σt 的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换为 f(t) e -σt = ∫ ∞ ∞? + ωωσ π ω de)( 2 1 tj b jF F b (σ+jω)= ?[ f(t) e -σt ]= ttfttf tjtjt de)(dee)( )( ∫∫ ∞ ∞? +? ∞ ∞? ?? = ωσωσ ∫ ∞ ∞? + += ωωσ π ωσ de)( 2 1 )( )( tj b jFtf 令s = σ + jω,d ω=ds/j，有 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-4页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.1拉普拉斯变换 ∫ ∞ ∞? ? = tetfsF st b d)()( ∫ ∞+ ∞? = j j de)( j2 1 )( σ σ π ssFtf st b F b (s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为F b (s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。 二、收敛域 只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双 边拉普拉斯变换存在。 使f(t)拉氏变换存在σ的取值范围称为F b (s)的收敛域。 下面举例说明F b (s)收敛域的问题。 双边拉普拉斯变换对 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-5页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.1拉普拉斯变换 例1 因果信号f 1 (t)= e αt ε(t) ，求其拉普拉斯变换。 解 ]eelim1[ )( 1 )( e dee)( j)( 0 )( 0 1 tt t ts stt b ss tsF ωασ α α αα ??? ∞→ ∞ ?? ∞ ? ? ? = ?? == ∫ ? ? ? ? ? ? ? > = >= ? = ασ ασ ασ α ，无界 ，不定 ]Re[, 1 s s 可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=σ>α时，其拉氏变换存 在。收敛域如图所示。 σ jω 0 α 收敛域 收敛边界 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-6页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.1拉普拉斯变换 例2 反因果信号f 2 (t)= e βt ε(-t) ，求其拉普拉斯变换。 解 ]eelim1[ )( 1 )( e dee)( j)(0 )( 0 2 tt t ts st t b ss tsF ωβσ β β ββ ??? ?∞→ ∞? ?? ∞? ? ? ?? = ?? == ∫ ? ? ? ? ? ? ? < ?? = >= = βσ β βσ βσ ， ，不定 无界 )( 1 .]Re[, s s 可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=σ<β时，其拉氏变换存 在。收敛域如图所示。 σ jω 0 β 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-7页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.1拉普拉斯变换 例3 双边信号求其拉普拉斯变换。 ? ? ? > < =+= 0,e 0,e )()()( 213 t t tftftf t t α β 求其拉普拉斯变换。 解 其双边拉普拉斯变换F b (s)=F b1 (s)+F b2 (s) 仅当β>α时，其收敛域 为α<Re[s]<β的一个带 状区域，如图所示。 σ jω 0 βα 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-8页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.1拉普拉斯变换 例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f 1 (t)= e -3t ε(t) + e -2t ε(t) f 2 (t)= – e -3t ε(–t) – e -2t ε(–t) f 3 (t)= e -3t ε(t) – e -2t ε(– t) 解 2 1 3 1 )()( 11 + + + =←→ ss sFtf Re[s]= σ > – 2 2 1 3 1 )()( 22 + + + =←→ ss sFtf Re[s]= σ < – 3 2 1 3 1 )()( 33 + + + =←→ ss sFtf –3 < σ < – 2 可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必 须标出收敛域。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-9页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 结论： 1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(S)和收敛域一起， 可以唯一地确定f(t)。即： 2、不同的信号可以有相同的F(S)，但他们的收敛域不同； 不同信号如果有相同的收敛域，则他们的F(S)必然不同！ 一一对应 F(S)+收敛域f(t) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-10页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 定义：对于给定的f(t)，把凡是满足下式的s组成的点 集， 称作f(t)的绝对收敛域： 收敛域的确定方法（因为：s=σ+jw）： 求解适合于如下条件的所有σ值或范围: 0)( lim = ∞→ ?? t etf t ∞< ∫ ∞ ∞? ?? dtetf t )( 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-11页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 σ jω 0 α σ jω 0a-a (a)因果信号(b) 双边信号(c) 反因果信号 )()()( 1 teeetf atat ?= ? ? ? ? < > = ? 0, 0, )( 2 te te tf at at )()()( 3 teeetf atat ?+?= ? 22 2 )( Sa a SF + = 0>a 注意：以上3个信号，具有相同的F(S), 但收敛域不同： a>σ a?<σaa <<? σ s0 -a ωj 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-12页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.1拉普拉斯变换 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写 为 ∫ ∞ ? ? = 0 de)()( ttfsF st 称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]>α，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、单边拉氏变换 ∫ ∞ ? ? = 0 def de)()( ttfsF st )(de)( j2 1 )( j j def tssFtf st ε π σ σ ? ? ? ? ? ? = ∫ ∞+ ∞? 简记为F(s)=￡[f(t)] f(t)=￡ -1 [F(s)] 或 f(t)←→F(s) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-13页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.1拉普拉斯变换 四、常见函数的拉普拉斯变换 1、δ(t) ←→1，σ> -∞ 2、ε(t)或1 ←→1/s ，σ> 0 3、指数函数e -s 0 t ←→ 0 1 ss + σ> -Re[s 0 ] cosω 0 t = (e jω 0 t + e -jω 0 t )/2 ←→2 0 2 ω+s s sinω 0 t = (e jω 0 t – e -jω 0 t )/2j ←→ 2 0 2 0 ω ω +s 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-14页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.1拉普拉斯变换 4、周期信号f T (t) ∑ ∫∫∫ ∫ ∞ = + ??? ∞ ? =++= = 0 )1(2 0 0 de)(.....de)(de)( de)()( n Tn nT st T T T st T T st T st TT ttfttfttf ttfsF ∫∫ ∑ ? ? ? ∞ = ? = ? =+= T st T sT T st T n nsT ttfttfnTtt 00 0 de)( e1 1 de)(e令 特例：δ T (t) ←→1/(1 – e -sT ) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-15页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.1拉普拉斯变换 五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 ∫ ∞ ? = 0 de)()( ttfsF st Re[s]>σ 0 ∫ ∞ ∞? ? = ttfF t de)()(j jω ω 要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。 根据收敛坐标σ 0 的值可分为以下三种情况： （1）σ 0 <0，即F(s)的收敛域包含jω轴，则f(t)的傅里叶 变换存在，并且F(jω)=F(s)? s=jω 如f(t)=e -2t ε(t) ←→F(s)=1/(s+2) , σ>-2； 则F(jω)=1/( jω+2) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-16页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.1拉普拉斯变换 （2）σ 0 =0，即F(s)的收敛边界为jω轴， )(lim)(j 0 sFF → = σ ω 如f(t)= ε(t)←→F(s)=1/s 22 0 22 00 limlim 1 lim)(j ωσ ω ωσ σ ωσ ω σσσ + ? + + = + = →→→ j j F = πδ(ω) + 1/jω （3）σ 0 >0，F(jω)不存在。 例f(t)=e -2t ε(t) ←→F(s)=1/(s –2) , σ >2；其傅里叶变 换不存在。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-17页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.2拉普拉斯变换性质 4.2拉普拉斯变换性质 0、引言 利用常用信号的拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换 的性质，可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换。 常用信号的拉普拉斯变换对f(t) ←→F(s) δ(t) ←→1 ε(t) ←→1/s 1 ! )( + ? n n s n tt ε 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-18页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.2拉普拉斯变换性质 常用信号的拉普拉斯变换对（续）f(t) ←→F(s) as te at + ? ? 1 )(ε 1 )( ! )( + ? + ? n atn as n tet ε 22 )()cos( β εβ + ? s s tt 22 )()sin( β β εβ + ? s tt 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-19页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.2拉普拉斯变换性质 一、线性性质 若f 1 (t)←→F 1 (s) Re[s]>σ 1 , f 2 (t)←→F 2 (s) Re[s]>σ 2 则a 1 f 1 (t)+a 2 f 2 (t)←→a 1 F 1 (s)+a 2 F 2 (s) Re[s]>max(σ 1 ,σ 2 ) 例　f(t) = δ(t) + ε(t)←→1 + 1/s，σ> 0 二、尺度变换 若f(t) ←→F(s) , Re[s]>σ 0 ，且有实数a>0 ， 则f(at) ←→ )( 1 a s F a Re[s]>aσ 0 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-20页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.2拉普拉斯变换性质 例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = )ee1( e 2 ss s s s ?? ? ?? 求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。 012 1 f(t) t 0 42 4 y(t) t 解： y(t)= 4f(0.5t) Y(s) = 4×2 F(2s) () )e2e1( 2 e8 22 2 2 ss s s s ?? ? ??= )e2e1( e2 22 2 2 ss s s s ?? ? ??= 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-21页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.2拉普拉斯变换性质 三、时移（延时）特性 若f(t) <----->F(s) , Re[s]>σ 0 , 且有实常数t 0 >0 , 则f(t-t 0 )ε(t-t 0 )<----->e -st 0 F(s) , Re[s]>σ 0 与尺度变换相结合 f(at-t 0 )ε(at-t 0 )←→ ? ? ? ? ? ? ? a s F a s a t 0 e 1 例1:求如图信号的单边拉氏变换。 01 1 f1(t) t 0 1-1 1 t f2(t) 解：f 1 (t) = ε(t) –ε(t-1)，f 2 (t) = ε(t+1) –ε(t-1) F 1 (s)= )e1( 1 s s ? ? F 2 (s)= F 1 (s) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-22页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.2拉普拉斯变换性质 例2:已知f 1 (t) ←→F 1 (s), 求f 2 (t)←→F 2 (s) 解：f 2 (t) = f 1 (0.5t) –f 1 [0.5(t-2)] 01 1 f1(t) t 0 24 1 t f2(t) -1 f 1 (0.5t) ←→2F 1 (2s) f 1 [0.5(t-2)] ←→2F 1 (2s)e -2s f 2 (t) ←→2F 1 (2s)(1 –e -2s ) 例3:求f(t)= e -2(t-1) ε(t) ←→F(s)=? 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-23页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.2拉普拉斯变换性质 四、复频移（s域平移）特性 若f(t) ←→F(s) , Re[s]>σ 0 , 且有复常数s a =σ a +jω a , 则f(t)e s a t ←→F(s-s a ) , Re[s]>σ 0 +σ a 例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)= 1 2 +s s 求e -t f(3t-2)的象函数。 解：e -t f(3t-2) ←→ )1( 3 2 2 e 9)1( 1 +? ++ + s s s 例2:f(t)=cos(2t–π/4) ←→F(s)= ? 解cos(2t–π/4) =cos(2t)cos(π/4) + sin(2t)sin (π/4) 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 )( 222 + + = + + + = s s ss s sF 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-24页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.2拉普拉斯变换性质 五、时域的微分特性（微分定理） 若f(t) ←→F(s) , Re[s]>σ 0 , 则f’(t) ←→sF(s) – f(0 - ) f’’(t) ←→s 2 F(s) – sf(0 - ) –f’(0 - ) f (n) (t) ←→s n F(s) – ∑ ? = ? ?? 1 0 )(1 )0( n m mmn fs 若f(t)为因果信号，则f (n) (t) ←→s n F(s) 例1:δ (n) (t) ←→? 例2: ?]2[cos d d ←→t t 例3: ?)](2[cos d d ←→tt t ε 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-25页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.2拉普拉斯变换性质 六、时域积分特性（积分定理） 若f(t) ←→F(s) , Re[s]>σ 0 , 则 )( 1 d)( 0 sF s xxf n n t ←→ ? ? ? ? ? ? ∫ ? )0()(d)()( )1(11)1( ? ??? ?∞ ? +←→= ∫ fssFsxxftf t 例1: t 2 ε(t)<---->? )(d)( 0 ttxx t εε = ∫ ∫∫ == ? ? ? ? ? ? tt t t xxxxx 0 22 0 )( 2 d)(d)( εεε 3 2 2 )( s tt ←→ε 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-26页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.2拉普拉斯变换性质 例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s) f(t) t0 2 2 解：对f(t)求导得f’(t)，如图 f'(t) t (-2) 1 20 )0()(d)(' 0 ? ? ?= ∫ ftfxxf t 由于f(t)为因果信号，故 f(0-)=0 ∫ ? = t xxftf 0 d)(')( f’(t)=ε(t)–ε(t –2) –δ(t –2)←→F 1 (s) ss s 22 e)e1( 1 ?? ??= s sF sF )( )( 1 = 结论：若f(t)为因果信号，已知f (n) (t) ←→F n (s) 则f(t) ←→F n (s)/s n 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-27页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.2拉普拉斯变换性质 七、卷积定理 时域卷积定理 若因果函数f 1 (t) ←→F 1 (s) , Re[s]>σ 1 , f 2 (t) ←→F 2 (s) , Re[s]>σ 2 则f 1 (t)*f 2 (t) ←→F 1 (s)F 2 (s) 复频域（s域）卷积定理 ∫ ∞+ ∞? ?←→ jc jc sFFtftf ηηη π d)()( j2 1 )()( 2121 例1：t ε(t) ←→? 例2：已知F(s)= ? )e1( 1 2 ←→ ? ? s s ∑∑ ∞ = ∞ = ?=? 00 )2()2(*)( nn ntntt εδε Ts sT sT 2 e1 e1 e1 1 ? ? ? ? ? = + 例3： 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-28页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.2拉普拉斯变换性质 八、s域微分和积分 若f(t) ←→F(s) , Re[s]>σ 0 , 则 s sF tft d )(d )()( ←→? n n n s sF tft d )(d )()( ←→? 例1：t 2 e -2t ε(t) ←→? e -2t ε(t) ←→1/(s+2) t 2 e -2t ε(t) ←→ 32 2 )2( 2 ) 2 1 ( d d + = + sss ∫ ∞ ←→ s dF t tf ηη)( )( 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-29页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.2拉普拉斯变换性质 例2： ?)( sin ←→t t t ε 1 1 )(sin 2 + ←→ s ttε s st t t s s 1 arctanarctan 2 arctand 1 1 )( sin 2 =?== + >?< ∞ ∞ ∫ π ηη η ε 例3： ? e1 2 >??< ? ? t t 2 11 e1 2 + ?←→? ? ss t s s s s s sst e s s t 2 ln 21 1 ln1d) 21 1 1 1 ( 1 2 + = + = + ?>??< ? ∫ ∞ ∞ ? 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-30页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.2拉普拉斯变换性质 九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞）， 而不必求出原函数f(t) 初值定理 设函数f(t)不含δ(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式， 若F(s)为假分式化为真分式）， 则 )(lim)(lim)0( 0 ssFtff st ∞→+→ ==+ 终值定理 若f(t)当t →∞时存在，并且f(t) ←→F(s) , Re[s]>σ 0 , σ 0 <0，则 )(lim)( 0 ssFf s→ =∞ 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-31页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.2拉普拉斯变换性质 例1： 22 2 )( 2 ++ = ss s sF 2 22 2 lim)(lim)0( 2 2 = ++ ==+ ∞→∞→ ss s ssFf ss 0 22 2 lim)(lim)( 2 2 00 = ++ ==∞ →→ ss s ssFf ss 例2： 22 )( 2 2 ++ = ss s sF 2 22 22 lim)(lim)0( 2 2 ?= ++ ?? ==+ ∞→∞→ ss ss ssFf ss 22 22 1)( 2 ++ + ?= ss s sF 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-32页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.3 拉普拉斯逆变换 4.3 拉普拉斯逆变换 直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。 通常的方法: （1）查表法 （2）利用性质（3）部分分式展开-----结合 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为 01 1 1 01 1 1 ... .... )( bsbsbs asasasa sF n n n m m m m ++++ ++++ = ? ? ? ? 若m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s) 分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。 )( )( )()( sA sB sPsF += 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-33页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.3 拉普拉斯逆变换 6116 332 2 6116 1531258 )( 23 2 23 234 +++ ++ ++= +++ ++++ = sss ss s sss ssss sF 由于L -1 [1]=δ(t)，L -1 [s n ]=δ (n) (t)，故多项式P(s)的拉 普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开法 若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为 01 1 1 01 1 1 ... .... )( )( )( bsbsbs asasasa sA sB sF n n n m m m m ++++ ++++ == ? ? ? ? 式中A(s)称为系统的特征多项式，方程A(s)=0称为 特征方程，它的根称为特征根，也称为系统的固有 频率（或自然频率）。n个特征根p i 称为F(s)的极点。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-34页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.3 拉普拉斯逆变换 （1）F(s)为单极点（单根） n n i i ps K ps K ps K ps K sA sB sF ? ++ ? ++ ? + ? == ....... )( )( )( 2 2 1 1 i psii sFpsK = ?= )()( )(e] 1 [ 1 t ps L tp i i ε= ? ? 特例：F(s)包含共轭复根时(p 1,2 = –α±jβ) )j)(j)(( )( ]))[(( )( )( 22 βαβαβα ?+?+ = ++ = sssD sB ssD sB sF )( jj 2 21 sF s K s K + ++ + ?+ = βαβα BAKsFsK s je||)]()j[( j 1 j 1 +==?+= +?= θ βα βα K 2 = K 1 * 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-35页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.3 拉普拉斯逆变换 βαβαβαβα θθ j e|| j e|| jj )( j 1 j 121 1 ++ + ?+ = ++ + ?+ = ? s K s K s K s K sF f 1 (t)=2|K 1 |e -αt cos(βt+θ)ε(t) 若写为K 1,2 = A ±jB f 1 (t)= 2e -α t[Acos(βt) –Bsin(βt)] ε(t) 例1: 10( 2)( 5) () , (1)(3) ss Fs ss s ++ = ++ 已知 求其逆变换 312 () 13 kkk Fs m n ss s =+ + < ++ 解：部分分解法　（） 1 0 0 () 10( 2)( 5) 100 (1)(3) 3 s s ksFs ss ss = = = ++ == ++ 其中 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-36页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.3 拉普拉斯逆变换 2 1 1 (1)() 10( 2)( 5) 20 (3) s s ksFs ss ss =? =? =+ ++ ==? + 解： 3 3 3 (3)() 10( 2)( 5) 10 (1) 3 s s ksFs ss ss =? =? =+ ++ ==? + 100 20 10 () 3 1 3( 3) Fs ss s ∴=?? ++ 解： )(e 3 10 e20 3 100 )( 3 ttf tt ε ? ? ? ? ? ? ??=∴ ?? 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-37页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.3 拉普拉斯逆变换 例2: 32 597 () , (1)( 2) sss Fs ss +++ = ++ 已知 求其逆变换 ()F s解：长除法　 2 3 2 772 23 79523 2 2 23 232 + + ++ ++ ++ +++++ s s ss ss sss sssss 　　　　 ４６　　　 　　 Q 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-38页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.3 拉普拉斯逆变换 12 () 2 12 kk Fs s ss =++ + ++ 解：分式分解法　 1 1 2 2 3 (1) 2 (1)( 2) 3 1 1 s s s ks ss s k s =? =? + =+? = ++ + ==? + 其中 　　 21 () 2 12 Fs s ss ∴=++? ++ )()ee2()(2)(')( 2 ttttf tt εδδ ?? ?++=∴ 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-39页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.3 拉普拉斯逆变换 例3 2 2 3 () , (25)(2) s Fs ss s + = ++ + 已知求其逆变换 2 3 () (12)(12)(2) s Fs sjsjs + = ++ +? + 解： 012 12 12 2 kkk sjsjs =++ +? ++ + 1,2 ,( 1, 2)pjα β α β=? ± = = 2 1 12 312 : (1 2)( 2) 5 sj s j k sjs =? + +?+ == ++ + 解其中 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-40页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.3 拉普拉斯逆变换 12 ,( , ) 55 AjBA B=± =? = 1,2 即k 2 2 37 (1 2)(1 2) 5 s s k sjsj =? + == ++ +? ０ 12 12 7 55 55 () 12 125(2) jj Fs sjsjs ?+ ?? ∴= + + ++ +? + 解： 1, 2α β==Q 12 , 55 AB=? = )(e 5 7 )2sin( 5 2 )2cos( 5 1 e2)( 2 ttttf tt ε ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ??=∴ ?? 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-41页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.3 拉普拉斯逆变换 例4：求象函数F(s)的原函数f(t)。 )22)(1)(1( 42 )( 22 23 ++++ +++ = sssss sss sF 解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s 1 =0，s 2 = –1， s 3,4 = ±j1 ，s 5,6 = – 1±j1，故 js K js K js K js K s K s K sF ++ + ?+ + + + ? + + += 111 )( 654321 K 1 =sF(s)| s=0 = 2，K 2 = (s+1)F(s)| s=-1 = –1 K 3 = (s – j)F(s)| s=j =j/2 =(1/2)e j(π/2) ,K 4 =K 3 *=(1/2)e -j(π/2) K 5 = (s+1 – j)F(s)| s=-1+j = π 4 3 e 2 1 j K 6 =K 5 * )()] 4 3 cos(e2) 2 cos(e2[)( ttttf tt ε ππ ++++?= ?? 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-42页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.3 拉普拉斯逆变换 （2）F(s)有重极点（重根） 若A(s) = 0在s = p 1 处有r重根， )( .... )()()( )( )( 1 1 1 1 12 1 11 ps K ps K ps K sA sB sF r rr ? ++ ? + ? == ? K 11 =[(s –p 1 ) r F(s)]| s=p1 ，K 12 =(d/ds)[(s –p 1 ) r F(s)]| s=p1 [] 1 )()( d d )!1( 1 1 1 1 1 ps r r r r sFps sr K = ? ? ? ? = 1 ! )]([ + = n n s n ttL ε )(e ! 1 ] )( 1 [ 1 1 1 1 tt nps L tpn n ε= ? + ? 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-43页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.3 拉普拉斯逆变换 举例: 3 2 () , (1) s Fs ss ? = + 已知求其逆变换 1311 12 2 32 () (1) (1) (1) kkk k Fs s sss =+++ +++ 解： 3 1 2 () ( 1) () s Fs s Fs s ? =+ =令 1 11 1 1 () 2 3 sp s kFs s s = =? = ? == 解：其中 1 12 1 2 1 () (2)1 2 sp s d kFs ds ss s = =? = ??? == 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-44页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.3 拉普拉斯逆变换 1 2 13 1 2 4 1 1 () 2 14 2 2 s p s d kF ds s s = =? = ? == 解： 2 0 3 0 () 2 2 (1) s s ksFs s s = = = ? ==? + 32 () (1) (1) ( ) Fs s sss ∴= + + +++ ３２２２ － １ )()2e2e2e 2 3 ()( 2 ttttf ttt ε?++=∴ ??? 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-45页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.4 复频域分析 4.4复频域分析 一、微分方程的变换解 描述n阶系统的微分方程的一般形式为 ∑∑ == = n i m j j i i i tfbtya 00 )()( )()( 系统的初始状态为y(0-) ,y’(0-),…，y (n-1) (0-)。 取拉普拉斯变换 )0()()( )( 1 0 1)( ? ? = ?? ∑ ?←→ p i p piii yssYsty 若f(t)在t=0时接入，则f (j) (t)←→s j F(s) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-46页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.4 复频域分析 ∑∑∑ ∑ == ? == ?? =?? n i n i i p m j j j ppi i i i sFsbysasYsa 00 1 00 )(1 )(][)]0([)(][ )()()( )( )( )( )( )( sYsYsF sA sB sA sM sY fx +=+= 例1 描述某LTI系统的微分方程为 y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f(t) 已知初始状态y(0-)=1，y’(0-)=-1，激励f(t)=5costε(t)， 求系统的全响应y(t) 解：取拉氏变换得 )( 65 2 65 )0(5)0(')0( )( 22 sF ssss yysy sY ++ + ++ ++ = ??? 1 5 )( 2 + = s s sF 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-47页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.4 复频域分析 1 5 )3)(2( 2 )3)(2( 4 )()()( 2 +++ + ++ + =+= s s ssss s sYsYsY fx js e js e ssss jj + + ? + + + + ? + + ? + + = ? 44 2 1 2 1 3 3 2 4 3 1 2 2 ππ y(t)=[2e -2t -e -3t -4e -2t +3e -3t + )()] 4 cos(2 tt ε π ? 二、系统函数 系统函数H(s)定义为 )( )( )( )( )( f def sA sB sF sY sH == 它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始 状态无关。h(t)<--> H(s) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-48页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.4 复频域分析 例已知当输入f(t)=e -t ε(t)时，某LTI系统的零状态响应 y f (t)=(3e -t -4e -2t +e -3t )ε(t) 求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 解 65 82 3 2 2 4 )3)(2( )4(2 )( )( )( 2 ++ + = + ? + + = ++ + == ss s ssss s sF sY sH f h(t)=(4e -2t -2e -3t )ε(t) 微分方程为y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f’(t)+8f(t) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-49页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.4 复频域分析 三、系统的s域框图 1/s F(s) F(s)/s ∑∑ 1? s 1? s 4 1 3 2 F(s) Y(s) 求H(s) X(s) S -1 X(s) S -2 X(s) 积分器的系统框图： 例： H(S) F(s) Y(s) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-50页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.4 复频域分析 四、电路的s域模型 对时域电路取拉氏变换 1、电阻u(t)= R i(t) 2、电感 t ti Ltu L d )(d )( = U(s)= sLI L (s) –Li L (0-) s i sU sL sI L L )0( )( 1 )( ? += i(t) u(t) R I(s) U(s) R L u(t) iL(t) U(s)= R I(s) U(s) sL IL(s) LiL(0 -) IL(s) sL iL(0 -)/s U(s) 或 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-51页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.4 复频域分析 3、电容 t tu Cti C d )(d )( = I(s)=sCU C (s) – Cu C (0-) s u sI sC sU C C )0( )( 1 )( ? += I(s) UC(s) CuC(0 -) 或 sC 1 s u C )0( ? sC 1 I(s) UC(s) C i(t) uC(t) 4、电源的S域模型 u s (t)，i s (t) U s (s)，I s (s) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-52页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 4.4 复频域分析 例：如图所示电路，已知u S (t) = ε(t) V，i S (t) =δ(t)，起始状态u C (0-) =1V，i L (0-) = 2A，求电压 u(t)。 0.5Ω 1F 1H uS(t) iS(t) iL(t) uC(t) u(t) (a) 1/s 1/s 0.5Ω IS(s) US(s) s 2/s U(s) (b) 5、S域的KCL，KVL 0)(0)( =?→←= ∑∑ k k L k k SIti 0)(0)( =?→←= ∑∑ k k L k k SUtu 节点： 回路： 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-53页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 §4.5连续系统的表示和模拟 一. 连续系统的方框图表示： 方框图表示： )(tf )(ty 系统的串联： )(tf )(tδ )(ty )(th h1(t) h2(t) hn(t) L )()()()( 21 thththth n ???= L (a) 时域. )(th i 为因果信号. )(sF )(sY H1(s) H2(s) Hn(s) L )()()()( 21 sHsHsHsH n L?= (b) S域. 4.5 连续系统的表示和模拟 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-54页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 系统方程： )()()()( 01 2 sFsxassxasxs +??= )())(( 01 2 sFasassx =++ )( 1 )( 01 2 sF asas sx ++ = )()()( 01 sxbssxbsY += 1 2 例： )(sF s 1 b0 )(sY + s 1 + b1 ? )( 2 sxs sx(s) x(s) -a0 -a1 4.5 连续系统的表示和模拟 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-55页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 1 2 式代入式： )()( 01 2 01 sF asas bsb sY ++ + = )()()()( 0101 2 sFbsbsYasas +=++ 由单边拉氏变换的时域微分性质，得： )()()()()( 0101 tfbtfbtyatyaty + ′ =+ ′ + ′′ 二.系统的信号流图表示： 1. 信号流图的有关规定： (1). 用点表示信号(变量)： )( sx (2). 用有向线段表示信号方向和传输函数： )( 1 sH )( 1 sx )( 2 sx )()()( 112 sxsHsx = 4.5 连续系统的表示和模拟 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-56页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )( 1 sH )( 1 sx )( 2 sx )( 2 sH )( 3 sx )()()( 113 sxsHsx = )()( 22 sxsH+ (3). )( 1 sH )( 1 sx )( 2 sx )( 2 sH )( 3 sx )()()( 112 sxsHsx = )()()( 123 sxsHsx = )( 4 sH )( 1 sx )( 2 sx )( 3 sH )( 3 sx )( 1 sH )( 5 sx )( 6 sx )( 2 sH )( 4 sx )( 5 sH )()()( 114 sxsHsx = )()( 22 sxsH+ )()( 33 sxsH+ )()()( 445 sxsHsx = )()()( 456 sxsHsx = 4.5 连续系统的表示和模拟 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-57页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.系统的信号流图表示： 可用信号流图表示系统框图等： 4.5 连续系统的表示和模拟 例： )(sF s 1 b0 )(sY + s 1 + -a1 b1 ? )( 1 sx -a0 ? ? )( 2 sx 3 x )(sF 1 x 1 s 1 s 1 0 b )(sY 1 b 1 a? 0 a? 2 x 3 x 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-58页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 一般步骤： (1). 选输入、输出、积分器输出、加法器输出为变 量； (2). 建立变量间的传输关系和传输函数，根据变量 间的传输关系和信号流图的规定画信号流图。 3.由信号流图求系统函数——梅森公式（Mason’s rule） (1). 流图术语： 支路：两点间的有向线段称一条支路； 通路：从某一节点出发，沿支路方向，连续经过节点 和支路到达另一节点，所经过的路径称通路； 4.5 连续系统的表示和模拟 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-59页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 开路：从一节点到达另一节点，并且节点不重复的通路 称开路； 环：从一节点出发，经过节点和支路又回到该节点的闭 合通路称为环或回路； 开路传输函数：组成一条开路的所有支路传输函数的乘 积称为该条开路的传输函数, pi； 环传输函数：组成一个环的所有支路传输函数的乘积 称为该环的环传输函数, Li。 (2). 梅森公式： 设 [] [ ])()(,)()( tyLsYtfLsF ff == 4.5 连续系统的表示和模拟 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-60页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 则： ? ? == ∑ = i m i i f p sF sY sH 1 )( )( )( 其中：Δ称为流图行列式（特征行列式） ∑ ∑ ∑ +?+?=? jnmrqp rqpnmj LLLLLL ,,, 1 L ∑ j j L ——流图中所有环传输函数 j L 之和； ∑ nm nm LL , ——流图中所有两两不相接触的环传输函数 乘 积之和； ∑ rqp rqp LLL ,, ——流图中所有三个不相接触环的环传输函 数乘积之和； 4.5 连续系统的表示和模拟 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-61页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 i ? ——除去第i 条开路，剩余流图的流图行列式； m ——从F(s) 到 )(sY f 的所有开路数。 例1：求H(s) )(sF 1 1 H 2 H 3 H 1 G? 2 G? 3 G? 4 H 5 H 1 )(sY L+?+?=? ∑∑∑ rqp rqp nm nm j j LLLLLL ,,, 1 )(1 3214332211 GGGHGHGHGH ?????= 3311 GHGH+ i p ——由F(s)到 )(sY f 的第 i 条开路的传输函数 4.5 连续系统的表示和模拟 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-62页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2=m )(1, 221541 GHHHp ??=?= 1, 253212 =?= HHHHp ? ?+? = ? ? = ∑ = 2211 2 1 )( pp p sH i ii 例2：求H(s) )(sF 1 s 1 1 a? 0 a? 2 b )(sY s 1 0 b 4.5 连续系统的表示和模拟 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-63页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 解： ) 11 (1 2 01 s a s a ???=? 1..2 121 =?== bpm 1. 1 20 2 2 =?= b s p 2 01 2 0 2 2 1 1 )( s a s a s b b p sH i ii ++ + = ? ? = ∑ = 01 2 0 2 2 asas bsb ++ + = 4.5 连续系统的表示和模拟 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-64页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 三.系统的模拟——由H(s) 到信号流图、框图： 1. 直接形式： 例1： .)( 0 01 as bsb sH + + = 画出系统的信号流图 解： )(11 )( 0 0 1 0 0 1 s a s b b s a s b b sH ?? + = + + = 由梅森公式：流图包含两条开路，一个环。 )(sF 1 s 1 0 a? )(sY 0 b 1 b （形式1） 4.5 连续系统的表示和模拟 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-65页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )(sF 1 s 1 0 a? )(sY 0 b 1 b （形式2） 例2：.)( 01 2 01 2 2 asas bsbsb sH ++ ++ = 画出系统信号流图 解： )(1 )( 2 01 2 01 2 s a s a s b s b b sH ??? ++ = 由梅森公式：流图包含3条开路和两个相接触环。 4.5 连续系统的表示和模拟 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-66页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )(sF 1 s 1 0 b 1 ,)(sY s 1 1 b 2 b 0 a? 1 a? （形式1） )(sF s 1 0 b 1 ,)(sY s 1 1 b 2 b 0 a? 1 a? （形式2） 4.5 连续系统的表示和模拟 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-67页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2. 串联形式： 例： )4( 1 )65( )1( )4)(65( )1( )( 22 + ? ++ + = +++ + = sss s sss s sH )()( 21 sHsH ?= ) 65 (1 11 65 1 )( 2 2 2 1 ss ss ss s sH ??? + = ++ + = ) 4 (1 1 4 1 )( 2 s s s sH ?? = + = 4.5 连续系统的表示和模拟 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-68页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )(sF 1 s 1 5? 6? 4? 1 )(sY s 1 1 1 1 s 1 3. 并联形式： 例： 3 1 2 3 1 2 )3)(2)(1( 5 )( + + + ? + + = +++ + = ssssss s sH )()()( 321 sHsHsH ++= 4.5 连续系统的表示和模拟 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-69页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 , ) 1 (1 2 1 2 )( 1 s s s sH ?? = + = ) 2 (1 3 2 3 )( 2 s s s sH ?? ? = + ? = ) 3 (1 1 3 1 )( 3 s s s sH ?? = + = )(sF 1 s 1 1 1 s 1 s 1 1? 3? 2? 2 3? 1 1 1 1 )(sY 4.5 连续系统的表示和模拟 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-70页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 §4.6 系统函数与系统特性 一. H(s) 的零点和极点： 线性时不变系统的方程为： )()()()()( 0 )( 0 )1( 1 )( tfbtfbtyatyaty m m n n n ++=+++ ? ? LL 系统函数为： 0 1 1 0 1 1 )( asas bsbsb sH n n n m m m m +++ +++ = ? ? ? ? L L )())(( )())(( 21 21 n mm pspsps sssb ??? ??? = L L ξξξ 其中： ，，，，，mi i L21=ξ 称H(s) 的零点， ，，，，，njp j L21= 称H(s) 的极点， 零点、极点的种类：实数、复数(复数零、极点必共轭) 一阶、二阶及二阶以上极点 4.6系统函数与系统特性 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-71页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 二. H(s) 的零、极点与时域响应h(t)的关系： 1. 极点在左半平面： 在负实轴上： 二阶极点： )()( )( 1211 2 21 ttekek s skk tt ε α αα ?? +?→? + + 不在负实轴上： )(tke s k t ε α α? ?→? + 一阶极点： 一阶极点： )()cos( )( )( 22 ttke s sB t εθβ βα α +?→? ++ ? 二阶极点： [] )()cos( )( )( 11 2 22 tttek s sB t εθβ βα α +?→? ++ ? )()cos( 22 ttek t εθβ α ++ ? 4.6系统函数与系统特性 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-72页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2. 极点在jω轴上： 在原点：一阶极点： )( 1 tk s k ε?→? 二阶极点： )( 2 tkt s k ε?→? 不在原点：一阶极点： )()cos( )( 22 ttk s sB εθβ β +?→? + 二阶极点： [] )()cos( )( 11 2 22 ttk s sB εθβ β +?→? + )()cos( 22 tttk εθβ ++ 3. 极点在右半平面： 在正实轴上：一阶： )(te s k t ε α α ?→? ? 4.6系统函数与系统特性 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-73页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )( )( 2 tkte s k t ε α α ?→? ? 二阶： 不在实轴上：一阶： )()cos( )( )( 222 ttke s sB t εθβ βα α +?→? +? H(s) 的零、极点与h(t) 的关系： (1). 零点影响h(t) 的幅度、相位； (2). 极点决定h(t) 的形式 a). 左半平面极点对应h(t)，随时间增加，是按指数函 数规律衰减的； )()cos()()cos( )( 2211 ])[( 222 ttektttek sB tt s εθβεθβ αα βα +++→? +? 二阶： 4.6系统函数与系统特性 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-74页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 b). 虚轴上一阶极点对应h(t) 是阶跃函数或正弦函数，二阶 及二阶以上极点对应h(t) 是随时间增加而增大的； c). 右半平面极点对应h(t) 都是随时间增加按指数函数规律增 加的。 三. H(s) 的零、极点与系统频率响应： 1. H(s) 与H(jω) 关系：设h(t) 为因果信号 0 0 )()(б＞бdtethsH st ∫ ∞ ? ? = dtethdtethjH tjtj ∫∫ ∞ ? ? ∞ ∞? ? == 0 )()()( ωω ω 当 0 б＞б且0 0 ＜б时 （H(s) 极点在左半平面） ω ω js sHjH = = )()( 4.6系统函数与系统特性 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-75页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 这种情况下，h(t) 对应的系统称为因果稳定系统。 2. H(s) 零、极点与连续系统频率特性： 设： )()( )()( )( 1 1 n mm ssps ssb sH ?? ?? = L L ξξ H(s) 的极点全部在左半平面 则： ,)()( ω ω js sHjH = = H(jω) 又称系统频率响应 )()( )()( )( 1 1 n mm pjpj jjb jH ?? ?? = ωω ξωξω ω L L ∏ ∏ = = ? ? = n i i m i im pj jb 1 1 )( )( ω ξω 4.6系统函数与系统特性 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-76页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 设 mieBj i j ii ，，，，L21==? ψ ξω nieApj i j ii ，，，，L21==? θ ω 则： )( 21 )( 21 21 21 )( n m j n j mm eAAA eBBBb jH θθθ ψψψ ω +++ +++ = L L L L )( )( ωφ ω j eH= ,)( 21 21 n mm AAA BBBb H L L =ω )()()( 2121 nm θθθψψψωφ +++?+++= LL 例：一阶RL系统，U1(s)为输入，U2(s)为输出，求系统频率响 应H(jω) 4.6系统函数与系统特性 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-77页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 R )( 1 sU + － SL )( 2 sU + － L R s s RsL sL sU sU sH + = + == )( )( )( 1 2 极点： , L R ? 在左半平面 θ ψ ω ω ω ω ω j j Ae Be L R j j L R j j jH = ?? ? = + = )( 0 )( 2 0 )( π ψω θψ == ? ，＞， j e A B θψωφωωω ωφ ?=== )()()()( )( ，， A B HeHjH j 4.6系统函数与系统特性 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-78页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 讨论： ∞≤＜ω0 0 × θ ψ б ωj 2 π ψ ω j j eBe = θj Ae L R :)( A B H =ω ；，，0)0(0:0 ==== H L R ABω ；，，↑↑↑↑↑ )(: ωω HAB ；，，1)(: =∞∞→∞→∞→ HABω : 2 )( θ π ωφ ?= ；，， 2 )0(0 2 :0 π φθ π ψω ==== ；，，↓↑=↑= )( 2 : ωφθ π ψω 0)( 22 : =∞→=∞→ φ π θ π ψω，， 4.6系统函数与系统特性 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-79页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 ω )(ωH 0 1 ω )(ωφ 0 2 π 4.7 系统函数与系统特性 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-80页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 系统的稳定性是系统设计和分析中的关键问题；系统 传输函数H(s) 的零、极点分布与系统的稳定性有密切的 关系。 1.稳定系统的定义： 若连续系统对任意有界输入f(t) ，其零状态响应 )(ty f也是有界的，则称该系统为有界输入、有 界输出意义下的稳定系统，简称稳定系统。 即： ，， yff MtyMtf ≤≤ )()(系统稳定. ∞∞＜＜，＜＜ yf MM 00 4.7系统的稳定性 §4.7 系统的稳定性 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-81页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 (1) 时域充要条件：∞ ∫ ∞ ∞? ＜dtth )( 证明： 充分性：设 ∞≤ ∫ ∞ ∞? ＜，dtthMtf f )()( ∫ ∞ ∞? ?≤∴ τττ dtfhty f )()()( ∫ ∞ ∞? ≤ ττ dhMty ff )()( ∞＜)(ty f 即： 必要性：设 ∞=≤ ∫ ∞ ∞? dtthMtf f )()(， ∫ +∞ ∞? ?= τττ dtfhty f )()()(Q 4.7 系统的稳定性 2.系统稳定的充分必要条件： 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-82页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 令 [] ? ? ? ? ? = ? ==? 0)(1 0)(0 0)(1 )()( ＞ ＜ th th th thSgntf 则 )()()( ththtf =? τττ dtfhty f )()()( ?= ∫ ∞ ∞? ∫∫ ∞ ∞? ∞ ∞? ∞==?= τττττ dhdfhy f )()()()0( (2) S 域充要条件： [])()( thLsH = 的极点全部在左半开平面 3. 稳定系统的S 域判别方法： 4.7 系统的稳定性 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-83页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 设 )( )( )( sA sB sH = 01 1 1 )( asasasasA n n n n +++= ? ? L 若系统稳定，则，，，，，，＞nia i L2100 = (2) 充分必要条件： 罗斯阵列： 01 1 1 asasasaA n n n nn ++++= ? ? L ( R—H排列) LL 42 ?? nnn aaa 1. LL 531 ??? nnn aaa 2. LL 531 ??? nnn ccc 3. LL 531 ??? nnn ddd 4. LLLLLL LLLLL n+1行 n+2行 4.7 系统的稳定性 (1)必要条件： 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-84页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 第3行及以后各行计算公式： L ，， 51 4 1 3 31 2 1 1 11 ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? = ? = nn nn n n nn nn n n aa aa a c aa aa a c L ，， 51 51 1 3 31 31 1 1 11 ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? = ? = nn nn n n nn nn n n cc aa c d cc aa c d L 罗斯——霍尔维茨准则( R—H 准则)： 若罗斯阵列( R—H 排列) 第一列元素( 第一行至n+1行) 的 符号相同( 全为“+”号或全为“-”号)，则H(s) 的极点(A(s)的 零点) 全部在左半平面，系统稳定。 4.7 系统的稳定性 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-85页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 例1. 254 12 )( 23 +++ + = sss s sH 判别系统稳定性 罗斯阵列： .3210041，，，，＞，==+ ian i 24 51 4 1 ? 04 01 4 1 ? 05.4 24 5.4 1 ? 05.4 04 5.4 1 ? 51 24 51 24 05.4 02 00 第一列元素全为正，故系统稳定。 4.7 系统的稳定性 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-86页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 例2. 图示线性时不变系统， )2)(1( )2( )( 1 ?+ + = ss sk sH K 为何值， 系统稳定。 )( 1 sH )(sY ))(( sY f )(sF )(sX )()()( sYsFsX f ?= [ ] )()()()()()( 11 sHsYsFsHsXsY ff ?== )( )(1 )( )( 1 1 sF sH sH sY f + = )22()1( )2( )(1 )( )( 2 1 1 ?+?+ + = + = ksks sk sH sH sH 4.7 系统的稳定性 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 4-87页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 罗斯阵列： 31 =+n )22(1 ?k )1( ?k )22( ?k 0 0 00 当 0)22(01＞，＞?? kk 即，当 1＞k 时，系统稳定。 4.7 系统的稳定性