西安电子科技大学：信号与系统：chapter5

信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-1页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 第五章离散系统的时域分析 5.1基本离散信号与LTI离散 系统的响应 一、基本离散信号 二、差分与差分方程 三、差分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应 5.2 卷积和 一、序列分解与卷积和 二、卷积的图解 三、不进位乘法 四、卷积和的性质 5.3离散系统的算子方程 点击目录，进入相关章节 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-2页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 定义：连续信号是连续时间变量t的函数，记为f (t)。 离散信号是离散时间变量tk（k为任意整数）的函数， 记为f (tk)。 离散信号表示： （a）图形表示： f (t k ) …… t -3 t -2 t -1 t 1 ot 2 t 3 t k (a) f (kT) …… －3T o kT (b) －2T－TT2T 3T f (k) …… －3 o k (c) －21－123 （tk－t(k－1)）N在图a中为变数；在图b，c中为常数。 序列 序列 值 序号 5.1基本离散信号与LTI离散系统的响应 一、基本离散信号 5.1基本离散信号与系统响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-3页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 （b）解析表示： 0 0 0 1 < ≥ ? ? ? = k k k)(ε )(kε k5432101? )( )( 1 1 0 +? ? = ? ? ? ?≥ = kk k e k e kf ε 其余 （c）集合表示：{}LL，，，，，，，043210 k＝0 5.1基本离散信号与系统响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-4页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 位移单位脉冲序列： 0 0 0 0 1 kk kk kk ≠ = ? ? ? =? )(δ 1. 单位脉冲序列： 0 0 0 1 ≠ = ? ? ? = k k k)(δ δ (k) 1－ o k2－12 1 离散基本信号： 5.1基本离散信号与系统响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-5页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.1基本离散信号与系统响应 0)2()1( )2()1( =??? ?+? kk kk δδ δδ k 1 2 3-1-2 0 1 456 )(kε )( 0,1 0,0 )( k k k i k i ε δ = ? ? ? ≥ < = ∑ ?∞= 迭分： k 1 2 3-1-2 0 1 )2()1( ?+? kk δδ 4 延时： )()()( kkk δδδ =?乘： k 1 2 3-1-2 0 3 )(3 kδ )(3)(2)( kkk δδδ =+ 加： 运算： 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-6页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )()0()()( kfkkf δδ = )()()()( 000 kkkfkkkf ?=? δδ 取样性质： ∑ ∞ ?∞= = k i ,1)(δ ∑ ∞ ?∞= = k fkkf )0()()( δ ∑ ∞ ?∞= =? k kfkkkf )()()( 00 δ 偶函数： )()( kk ?= δδ 5.1基本离散信号与系统响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-7页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.1基本离散信号与系统响应 ? ? ? ≥ < = 0,1 0,0 )( k k kε )(3)(2)( kkk εεε =+ )()()( kkk εεε =? )5()5()2( )5()2( ?=??? ??? kkk kk εεε εε (1)定义： (2)运算：同一般离散信号的运算 相加： 相乘： 延时： )(kε 2.单位阶跃序列： 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-8页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )()1( 0,1 0,0 )( kk kk k i k i ε ε += ? ? ? ≥+ < = ∑ ?∞= 迭分： )1()()( ??= kkk εεδ ∑ ?∞= = k i ik )()( δε 3、与关系： )(kδ )(kε 5.1基本离散信号与系统响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-9页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 3.正弦序列： )cos()( ?+= kAkf 0 ? )(: 0 或度相位：）：数字角频率（振幅radradA ?? 连续正弦信号是周期信号，但正弦序列不一定是周期序列。 ])(cos[cos )cos()cos()( ?? π ?π? ++= ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? += ++=+= NkA m kA mkAkAkf 0 0 0 00 2 2 ? ? ? ?? 式中，m、N均为整数，只有满足 0 2 ? = πm N 为整数，或者 5.1基本离散信号与系统响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-10页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 m N = 0 2 ? π 当 为有理数时，正弦序列才是周期序列；否则 为非周期序列。 如果正弦序列是由连续正弦信号通过抽样得到，设正弦 。则，抽样周期为的周期为 s TTt 00 ωcos )cos(cos)cos()( kkT T tkf skTt s 0 0 0 2 ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ×== = π ω 式中： 0 0 2 T T s π =? 代入式 m N = 0 2 ? π 得： m N T T s == 0 0 2 ? π 才为周期序列。为有理数时要求)(tf T T s 0 5.1基本离散信号与系统响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-11页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )sin()[cos( )( 00 )( )()( 0 00 ?? ? ?ρρ?β +?++?= = =?== +? +??+ kjkrA erA eeAeeAAekf k kjk kjkkjjk 可见，复指数序列的实部和虚部均为幅值按指数规律变化 的正弦序列。 如下页图所示 5.1基本离散信号与系统响应 ，则有：，且，设复数rejeAA j =+== ρ? ρβ 0 ? 4.复指数序列： 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-12页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 r >1时，f (t)的实 虚部均为指数增 长的正弦序列。 r <1时，f (t)的实 虚部均为指数减 小的正弦序列。 r ＝1时，f (t)的 实虚部均为正弦 序列。 5.1基本离散信号与系统响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-13页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.Z序列： k zkf =)( z为复数 类比：连续与离散基本信号的对应关系 单位冲激信号： 单位阶跃信号： 正弦信号： 虚指数信号： 复指数函数： 单位脉冲序列 单位阶跃序列 正弦序列 虚指数序列 复指数序列 )( )cos()cos( )()( )()( 0 0 kkst kjtj zee AeAe kAtA kt kt 或 β ω ??ω εε δδ ? ? +??+ ?→← ? ? 5.1基本离散信号与系统响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-14页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.1基本离散信号与系统响应 二、差分与差分方程 设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)， f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。 1. 差分运算 t ttftf t tfttf t tf t tf ttt ? ??? = ? ??+ = ? ? = →?→?→? )()( lim )()( lim )( lim d )(d 000 离散信号的变化率有两种表示形式： kk kfkf k kf ?+ ?+ = ? ? )1( )()1()( )1( )1()()( ?? ?? = ? ? kk kfkf k kf 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-15页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.1基本离散信号与系统响应 （1）一阶前向差分定义：?f(k) = f(k+1) –f(k) （2）一阶后向差分定义：?f(k) = f(k) –f(k –1) 式中，?和?称为差分算子，无原则区别。本书主要用 后向差分，简称为差分。 （3）差分的线性性质： ?[af 1 (k) + bf 2 (k)] = a ?f 1 (k) + b ?f 2 (k) （4）二阶差分定义： ? 2 f(k) = ?[?f(k)] = ?[f(k) – f(k-1)] = ?f(k) – ?f(k-1) = f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2) （5）m阶差分: ? m f(k) = f(k) + b 1 f(k-1) +…+ b m f(k-m) 因此，可定义： 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-16页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.1基本离散信号与系统响应 2. 差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差 分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + a n-1 y(k-1) +…+ a 0 y(k-n) = b m f(k)+…+ b 0 f(k-m) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条 件和激励，利用迭代法可求得其数值解。 例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2 k ε(k),求y(k)。 解：y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 一般不易得到解析形式的(闭合)解。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-17页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.1基本离散信号与系统响应 三、差分方程的经典解 y(k) + a n-1 y(k-1) +…+ a 0 y(k-n) = b m f(k)+…+ b 0 f(k-m) 与微分方程经典解类似，y(k) = y h (k) + y p (k) 1. 齐次解y h (k) 齐次方程y(k) + a n-1 y(k-1) + … + a 0 y(k-n) = 0 其特征方程为1 + a n-1 λ –1 + … + a 0 λ –n = 0，即 λ n + a n-1 λ n– 1 + … + a 0 = 0 其根λ i ( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。 当特征根λ为单根时，齐次解y n (k)形式为：Cλ k 当特征根λ为r重根时，齐次解y n (k)形式为： (C r-1 k r-1 + C r-2 k r-2 +…+ C 1 k+C 0 )λ k 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-18页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.1基本离散信号与系统响应 2. 特解y p (k): 特解的形式与激励的形式相同(r≥1）。 （1）激励f(k)=k m (m≥0） ①所有特征根均不等于1时，特解为 y p (k)=P m k m +…+P 1 k+P 0 ②有r重等于1的特征根时，特解为 y p (k)=k r [P m k m +…+P 1 k+P 0 ] （2）激励f(k)=a k ①当a不等于特征根时; y p (k)=Pa k ②当a是r重特征根时; y p (k)=（P r k r +P r-1 k r-1 +…+P 1 k+P 0 )a k （3）激励f(k)=cos(βk)或sin(βk) 且所有特征根均不 等于e ±jβ ； y p (k)=Pcos(βk)+Qsin(βk) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-19页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 例：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2 k ，k≥0。 求方程的全解。 解：特征方程为λ 2 + 4λ+ 4=0 可解得特征根λ 1 =λ 2 = – 2，其齐次解 y h (k)=(C 1 k +C 2 ) (– 2) k 特解为y p (k)=P (2) k , k≥0 代入差分方程得P(2) k +4P(2) k –1 +4P(2) k–2 = f(k) = 2 k ， 解得P=1/4 所以得特解：y p (k)=2 k–2 , k≥0 故全解为y(k)= y h +y p = (C 1 k +C 2 ) (– 2) k + 2 k–2 , k≥0 代入初始条件解得C 1 =1 , C 2 = – 1/4 5.1基本离散信号与系统响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-20页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.1基本离散信号与系统响应 四、零输入响应和零状态响应 y(k) = y x (k) + y f (k) , 也可以分别用经典法求解。 y(j) = y x (j) + y f (j) , j = 0, 1 , 2, …, n –1 设激励f(k)在k=0时接入系统， 通常以y(–1), y(–2) , …，y(–n)描述系统的初始状态。 y f (–1) = y f (–2) = … = y f (–n) = 0 所以y(–1)= y x (–1) , y(–2)= y x (–2),…，y(–n)= y x (–n) 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应 的初始值y x (j)和y f (j) ( j = 0, 1, 2 , …，n – 1) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-21页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.1基本离散信号与系统响应 例：若描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2 k , k≥0，初始状态y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：（1）y x (k)满足方程y x (k) + 3y x (k –1)+ 2y x (k –2)= 0 其初始状态y x (–1)= y(–1)= 0, y x (–2) = y(–2) = 1/2 首先递推求出初始值y x (0), y x (1), y x (k)= – 3y x (k –1) –2y x (k –2) y x (0)= –3y x (–1) –2y x (–2)= –1 , y x (1)= –3y x (0) –2y x (–1)=3 方程的特征根为λ 1 = –1 ，λ 2 = – 2 ， 其解为y x (k)=C x1 (– 1) k +C x2 (–2) k 将初始值代入并解得C x1 =1 , C x2 = – 2 所以y x (k)=(– 1) k –2(–2) k , k≥0 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-22页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.1基本离散信号与系统响应 y f (k) + 3y f (k –1) + 2y f (k –2) = f(k) 初始状态y f (–1)= y f (–2) = 0 递推求初始值y f (0), y f (1)， y f (k) = – 3y f (k –1) – 2y f (k –2) + 2 k , k≥0 y f (0) = – 3y f (–1) – 2y f (–2) + 1 = 1 y f (1) = – 3y f (0) – 2y f (–1) + 2 = – 1 分别求出齐次解和特解，得 y f (k) = C f1 (–1) k + C f2 (–2) k + y p (k) = C f1 (– 1) k + C f2 (– 2) k + (1/3)2 k 代入初始值求得C f1 = – 1/3 , C f2 =1 所以y f (k)= –(–1) k /3+ (– 2) k + (1/3)2 k , k≥0 （2）零状态响应y f (k)满足 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-23页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.2 卷积和 5.2卷积和 一、卷积和 1 .序列的时域分解 ……… 012 ik-1 f(k) f(-1) f(0) f(1) f(2) f(i) 任意离散序列f(k) 可表示为 f(k)=…+f(-1)δ(k+1) + f(0)δ(k) + f(1)δ(k-1)+ f(2)δ(k-2) + … + f(i)δ(k –i) + … ∑ ∞ ?∞= ?= i ikif )()( δ 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-24页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.2 卷积和 2 .任意序列作用下的零状态响应 LTI系统 零状态 y f (k) f (k) 根据h(k)的定义： δ(k) h(k) 由时不变性： δ(k -i) h(k -i) f (i)δ(k -i) 由齐次性： f (i) h(k-i) 由叠加性： ‖ f (k) ‖ y f (k) 卷积和 ∑ ∞ ?∞= ? i ikif )()( δ ∑ ∞ ?∞= ? i ikhif )()( ∑ ∞ ?∞= ?= i f ikhifky )()()( 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-25页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.2 卷积和 3 .卷积和的定义 已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f 1 (k)和f 2 (k)， 则定义和 为f 1 (t)与f 2 (t)的卷积和，简称卷积；记为 f(k)= f 1 (k)*f 2 (k) 注意：求和是在虚设的变量i 下进行的，i 为求和变 量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。 ∑ ∞ ?∞= ?= i ikfifkf )()()( 21 )(*)()()()( khkfikhifky i f =?= ∑ ∞ ?∞= 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-26页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.2 卷积和 例1：f (k) = a k ε(k), h(k) = b k ε(k) ，求y f (k)。 解：y f (k) = f (k) * h(k) 当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0 ∑∑ ∞ ?∞= ? ∞ ?∞= ?=?= i iki i ikbiaikhif )()()()( εε ? ? ? ? ? ? ? =+ ≠ ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = + == ? ∑∑ bakb ba b a b a b k b a bkbaky k k k k i i k k i iki f ,)1( , 1 1 )()()( 1 00 εε 这种卷积和的计算方法称为：解析法。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-27页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )()1(1 )()()(*)( 0 kk ikikk k i i ε εεεε +== ?= ∑ ∑ = ∞ ?∞= )(*)( kk εε 例2：求 )4( 1 1 )4()1( )4()()4(*)( 4 42 4 0 ? ? ? = ?++++== ??=? ? ? ? = ∞ ?∞= ∑ ∑ k a a kaaaa ikiakka k k k i i i ik ε ε εεεε L )4(*)( ?kka k εε 例3：求 5.2 卷积和 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-28页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )7()6(1 )4()3()4(*)3( 4 3 ??== ???=?? ∑ ∑ ? = ∞ ?∞= kk ikikk k i i ε εεεε )4(*)3( ?? kk εε 例4：求 5.2 卷积和 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-29页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.2 卷积和 二、卷积的图解法 卷积过程可分解为四步： （1）换元：k换为i→得f 1 (i)，f 2 (i) （2）反转平移：由f 2 (i)反转→f 2 (–i)右移k →f 2 (k – i) （3）乘积：f 1 (i) f 2 (k – i) （4）求和：i 从–∞到∞对乘积项求和。 注意：k 为参变量。 下面举例说明。 ∑ ∞ ?∞= ?= i ikfifkf )()()( 21 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-30页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.2 卷积和 例1：f 1 (k)、f 2 (k)如图所示，已 知f(k) = f 1 (k)* f 2 (k)，求f(2) =？ 解： （1）换元 （2）f 2 (i)反转得f 2 (– i) （3）f 2 (–i)右移2得f 2 (2–i) （4）f 1 (i)乘f 2 (2–i) （5）求和，得f(2) = 4.5 ∑ ∞ ?∞= ?= i ififf )2()()2( 21 012 k -1 f1( k ) 1.5 1 1.5 2 1 f2( k ) 0123 3 -2 -2 -1 k i i i i f 2 (–i ) f 2 (2–i) 012 i -1 f1( i )f2( k- i ) 1 1.5 2 3 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-31页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.2 卷积和 例2： )(*)( 21 kfkf :)(),(),( 221 ififif ? 解：（1）求 1 2 3-1-2 0 1 2 )( 1 if i 1 2 3-1-2 0 1 2 i )( 2 if 1 2 3-1-2 0 1 2 i )( 2 if k 1 2 3-1-2 0 1 2 )( 1 kf k 1 2 3-1-2 0 1 2 )( 2 kf 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-32页 页 页 ■ 电子教案 电子教案5.2 卷积和 )()(),( 212 ikfifikf ?? 0 1 2 i kk-1 )( 2 ikf ? 0 1 2 i 1-1 )()( 21 ikfif ? k=-1 0 1 2 i 1-1 )()( 21 ikfif ? k=0 （2）求 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-33页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 :)(*)( 21 kfkf )()()(*)( 2121 ikfifkfkf i ?= ∑ ∞ ?∞= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ≥ = ==? ==? ?==?? ?≤ = ∑ ∑ ∑ ∞ ?∞= ∞ ?∞= ∞ ?∞= 30 21 1,3)1()( 0,3)0()( 1,1)1()( 2,0 21 21 21 k k kifif kifif kifif k i i i （3）求 5.2 卷积和 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-34页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.2 卷积和 三、不进位乘法求卷积 f(k)=所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。 如k=2时 f(2)= …+f 1 (-1)f 2 (3) + f 1 (0)f 2 (2) + f 1 (1)f 2 (1)+ f 1 (2)f 2 (0) + … 例f 1 (k) ={0，f 1 (1) ，f 1 (2) ，f 1 (3)，0} f 2 (k) ={0，f 2 (0) ，f 2 (1)，0} =…+f 1 (-1)f 2 (k+1) + f 1 (0)f 2 (k) + f 1 (1)f 2 (k-1)+ f 1 (2)f 2 (k-2) + … + f 1 (i) f 2 (k –i) + … ∑ ∞ ?∞= ?= i ikfifkf )()()( 21 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-35页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.2 卷积和 f 1 (1) ，f 1 (2) ，f 1 (3) f 2 (0) ，f 2 (1) ×—————————————————— f 1 (1) f 2 (0) ，f 1 (2) f 2 (0) ，f 1 (3) f 2 (0) f 1 (1)f 2 (1) ，f 1 (2) f 2 (1) ，f 1 (3) f 2 (1) + ————————————————————— f 1 (3) f 2 (1) f 1 (2)f 2 (1)+ f 1 (3)f 2 (0) f 1 (1)f 2 (1)+ f 1 (2)f 2 (0) f 1 (1) f 2 (0) f(k)={ 0，f 1 (1) f 2 (0)，f 1 (1)f 2 (1)+ f 1 (2)f 2 (0) f 1 (2)f 2 (1)+ f 1 (3)f 2 (0) ，f 1 (3) f 2 (1) ，0 } 排成乘法 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-36页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.2 卷积和 例f 1 (k) ={0，2 ，1 ，5，0} ↑k=1 f 2 (k) ={0，3 ，4，0，6，0} ↑k=0 3 ，4，0，6 2 ，1 ，5 解 ×———————— 15 ，20，0，30 3 ，4，0，6 6 ，8，0，12 + ———————————— 6 ，11，19，32，6，30 求f(k) = f 1 (k)* f 2 (k) f(k) = {0，6 ，11，19，32，6，30} ↑k=1 有些教材上还提出一种 列表法，本质是一样的。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-37页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.2 卷积和 四、卷积和的性质 1. 满足乘法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律. 2. f(k)*δ(k) = f(k) ，f(k)*δ(k– k 0 ) = f(k – k 0 ) 3. f(k)*ε(k) = ∑ ?∞= k i if )( 4. f 1 (k – k 1 )* f 2 (k – k 2 ) = f 1 (k – k 1 –k 2 )* f 2 (k) 5. ?[f 1 (k)* f 2 (k)] = ?f 1 (k)* f 2 (k) = f 1 (k)* ?f 2 (k) 求卷积和是本章的重点。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-38页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )(kδ 与卷积和: );()(*)()1( kfkkf =δ );()(*)()2( 00 kkfkkkf ?=?δ );()(*)()3( kkk δδδ = );()(*)()4( 2121 kkkkkkk ??=?? δδδ );(*)()(*)()5( 121211 kkfkfkfkkf ?=? )(*)()(*)()6( 12212211 kkfkkfkkfkkf ??=?? )(*)()(*)( 22112121 kfkkkfkkkfkf ??=??= 5.2 卷积和 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-39页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 ∑ ∞ ?∞= ?= i ikifkkf )()()(*)(:)1( δδ ))()((,)()( kkkiif i ?=?= ∑ ∞ ?∞= δδδ )(,,)()(取样性 ∑ ∞ ?∞= ?= i kikf δ ).()()( kfkikf i =?= ∑ ∞ ?∞= δ ∑ ∞ ?∞= ?= i ikikk )()()(*)(:)3( δδδδ )()()( kikk i δδδ ∑ ∞ ?∞= =?= )(或用图形卷积法证明 证明: 5.2 卷积和 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-40页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.3 离散系统的算子方程 一、离散系统的基本概念 1、定义： )(ky x 2、线性时不变离散系统的响应： （1）零输入响应 输入f(k)为零，由初始状态产生的响应称零输入 响应。设初始时刻为，系统初始状态通常指： （对阶系统）。 0 0 =k ).(,),2(),1( nyyy ??? L n )(kf )(ky 5.3 离散系统的算子方程 );()()( kykyky fx += 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-41页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.3 离散系统的算子方程 :)(ky f 初始状态为零，由输入产生的响应称零 状态响应。 )(kf （3）完全响应： 由初始状态和输入共同产生的响应称为完全响应。 )(ky 3、线性时不变因果系统的性质： （1）线性：包括以下三个方面： 可分解性： 零输入线性：与初始状态满足线性； 零状态线性：与输入满足线性。 );()()( kykyky fx += )(ky x )(ky f )(kf （2）零状态响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-42页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 （2）时不变性： 则 )()( kykf f → ).()( 00 kkykkf f ?→? （3）因果性： 若时，输入 则时，零状态响应 0 kk < .0)( =kf 0 kk < 0)( =ky f 5.3 离散系统的算子方程 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-43页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 二、LTI离散系统的差分方程 例、某人每月向银行存款，当月存入无利息，月底 结算，月利息为元/月。设第k月存入f(k)元，月底 结余为y(k)元，k-1月底结余为y(k-1)元，以f(k)为银 行系统的输入，y(k)为输出，则y(k)与f(k)的关系为 即 上式为一阶后向差分方程 或设k+1月存入f(k+1),月底结余为y(k+1),第k月 月底结余为y(k),则 即： 上式称一阶前向差分方程 )()1()1()( kfkykyky +?+?= β )()1()1()( kfkyky =?+? β ).1()()1()1( +=+?+ kfkyky β β )1()()()1( +++=+ kfkykyky β 5.3 离散系统的算子方程 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-44页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 LTI离散系统方程的一般形式：（n阶系统） 后向差分方程形式：设系统输入为f(k),响应为y(k) )()1()1()( 011 nkyankyakyaky n ?++?++?+ ? L )()1()1()( 011 mkfbmkfbkfbkfb mm ?++?++?+= ? L nm≤ )()1()1()( 11 kykyankyanky n ++++?+++ ? L ),( )1()1()( 0 11 mnkfb mnkfbnkfbnkfb mm ?++ +?+++?+++= ? L 前向差分方程形式： 5.3 离散系统的算子方程 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-45页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 三、LTI离散系统的差分方程： 1、差分算子： 2、n阶离散系统的差分算子方程： 由后向差分方程形式得： )()()()( 0 2 2 1 1 kyEakyEakyEaky n nn ?? ? ? ? ++++ L ),()()()( 0 2 2 1 1 kfEbkfEbkfEbkfb m mmm ?? ? ? ? ++++= L ),1()(),1()( 1 +=?= ? kfkEfkfkfE ),2()(),2()( 22 +=?= ? kfkfEkfkfE ),()(),()( nkfkfEnkfkfE nn +=?= ? 1? E E ---------延迟算子 ---------超前算子 5.3 离散系统的算子方程 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-46页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 算子方程也可写成： )()1( 0 2 2 1 1 kyEaEaEa n nn ?? ? ? ? ++++ L ).()( 0 2 2 1 1 kfEbEbEbb m mmm ?? ? ? ? ++++= L 也可写成： )( )1( )( )( 0 2 2 1 1 0 2 2 1 1 kf EaEaEa EbEbEbb ky n nn m mmm ?? ? ? ? ?? ? ? ? ++++ ++++ = L L )()( kfEH= n nn m mmm EaEaEa EbEbEbb EH ?? ? ? ? ?? ? ? ? ++++ ++++ = 0 2 2 1 1 0 2 2 1 1 1 )( L L H(E)称为系统的传输算子。 H(E)的E正幂形式：（由前向差分方程形式得到） .)( 0 1 1 0 1 1 aEaa EbEbEb EH n nn mnn m n m +++ +++ = ? ? ?? ? L L 5.3 离散系统的算子方程 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-47页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 3、关于差分算子方程的说明： （1）E的正幂多项式可以相乘，也可以进行因式分解； 例： （2） 其中，A(E)、B(E)为E的正幂或负幂多项式。 （3）算子方程两边的公因子或H(E)的公因子不能随意 消去； ).()1)(2()()23( 2 kfEEkfEE ++=++ );()()()()()( kfEAEBkfEBEA = 5.3 离散系统的算子方程 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-48页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 例、图示LTI离散系统，写出系统的差分算子方程， 和传输算子H(E) 由系统框图得： )()()()( 2 0 1 1 kfkxEakxEakx +??= ?? )()()1( 2 0 1 1 kfkxEaEa =++ ?? )( )1( 1 )( 2 0 1 1 kf EaEa kx ?? ++ = )(kf D )1( ?kf )(kf )( 1 kfE ? 1? E )(kf + DD0 b + 1 b 1 a? 0 a? )(kx )( 1 kxE ? )( 2 kxE ? )(ky 5.3 离散系统的算子方程 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-49页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )()()( 2 0 1 1 kxEbkxEbky ?? += )()( 2 0 1 1 kxEbEb ?? += )( )1( )( 2 0 1 1 2 0 1 1 kf EaEa EbEb ?? ?? ++ + = 01 2 01 2 0 1 1 2 0 1 1 1 )( aEaE bEb EaEa EbEb EH ++ + = ++ + = ?? ?? 差分方程： )2()1()2()1()( 0101 ?+?=?+?+ kfbkfbkyakyaky )()1()()1()2( 0101 kfbkfbkyakyaky ++=++++ 或： 5.3 离散系统的算子方程 传输算子： 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-50页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 n n m mm EaEa EbEbb EA EB EH ?? ? ?? ? ? ? +++ +++ == 0 1 1 0 1 1 1 1 1)( )( )( L L 0 1 1 )( )( )( aEaE EB EA EB n n n +++ == ? ? L )( )( )( )()()( kf EA EB kfEHky == )()()()( kfEBkyEA = 系统算子方程为（前向差分方程）： 5.4 离散系统的零输入响应 5.4 离散系统的零输入响应 一、零输入响应y x (k)的方程： 设n阶系统的传输算子为 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-51页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 零输入响应的方程：令, 0)( =kf )(ky x 0)()( =kyEA x 0)()( 01 1 1 =++++ ? ? kyaEaEaE x n n n L 二、零输入响应的计算：设初始时刻 1、情况1：r为常数 的方程： )(ky x 0 0 =k ),()( rEEA ?= )(ky x ,0)()( =? kyrE x 0)()1( =?+ kryky xx , )( )1( r ky ky x x = + 0,)( 0 ≥=∴ krCky k x 5.4 离散系统的零输入响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-52页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 情况1的推广： 设 令得------（1） 即且 令得------（2） 即且 ),)(()( 21 rErEEA ??= .0)())(( 21 =?? kyrErE x ,0)()( 1 =? kyrE x ,0)()( 11 =? kyrE x ,0)()( 2 =? kyrE x ,0)()( 22 =? kyrE x 0)]()()[)(( 2121 =+?? kykyrErE xx 0,)()()( 221121 ≥+=+=∴ krCrCkykyky kk xxx ,)()( 111 k xx rCkyky == 0)())(( 112 =?? kyrErE x ,)()( 222 k xx rCkyky == 0)())(( 221 =?? kyrErE x （1）+（2)得 5.4 离散系统的零输入响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-53页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 .0)()( =kyEA x .0, 1 ≥= ∑ = krC k i r i i ).())(()( 21 n rErErEEA ???= L 设 0,)( 2211 ≥+++= krCrCrCky k r kk x L 则 2、情况2： 2 )()( rEEA ?= 0)()( 2 =? kyrE x 0,)()( 10 ≥+= krkCCky k x d rEEA )()( ?= .0)()( =? kyrE x d 0,)()( 1 110 ≥+++= ? ? krkCkCCky kd dx L 则 推广： 5.4 离散系统的零输入响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-54页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 3 21 ))(()( rErEEA ??= 0)())(( 3 21 =?? kyrErE x 0,)()( 2 2 22212011 ≥+++= krkCkCCrCky kk x 3、一般情况： 求方法小结： )(ky x 设方程为：0)()( =kyEA x （1）对A(E)进行因式分解； （2）根据情况1、2求各分式对应的零输入响应； （3）等于各因式对应的零输入响应之和； )(ky x （4）由初始条件或 确定待定系数 },),2(),1({ L?? xx yy },),1(),0({ L xx yy i C 5.4 离散系统的零输入响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-55页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 三、关于初始条件的说明：初始时刻 0 0 =k ),()()( kykyky fx += ? ? ? ? ? += += ),1()1()1( ),0()0()0( fx fx yyy yyy ? ? ? ? ? ?= ?= ),1()1()1( ),0()0()0( fx fx yyy yyy ? ? ? ? ? ?+?=? ?+?=? ),2()2()2( ),1()1()1( fx fx yyy yyy 1、 对因果系统，因果输入f(k) (k<0,f(k)=0): ,0)()2()1( =?==?=? nyyy fff L ? ? ? ?=? ?=? ),2()2( ),1()1( x x yy yy 5.4 离散系统的零输入响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-56页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2、用递推法求响应初始值 例、已知 )1()2(2)1(3)( ?=?+?+ kfkykyky 2)1(,1)0(),()( === yykkf ε 求 )2(),1();1(),0()1( ?? xxxx yyyy )()2( ky x 解：（1）求:)2(),1( ?? xx yy )(ky 由的方程得： 1)0()0()1(2)0(3)1( ===?++ εfyyy 2)1()1( ?=?=? x yy 0)1()1()2(2)1(3)0( =?=?=?+?+ εfyyy 5.2)2()2( =?=? x yy 5.4 离散系统的零输入响应 令k＝0： 令k＝1： 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-57页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 （2）求 :)1(),0( xx yy 的方程：)(ky x .0)2(2)1(3)( =?+?+ kykyky xxx 5.2)2(,2)1(,0)2(2)1(3)0( =??=?=?+?+ xxxxx yyyyy 0)1(2)0(3)1( =?++ xxx yyy 1)1(,1)0( == xx yy 得 )(ky x 的算子方程： .0)()231( 21 =++ ?? kyEE x .0)()23( 2 =++ kyEE x 即： )2)(1()(,0)()2)(1( ++==++ EEEAkyEE x 2,1 21 ?=?= rr （3）求 )(ky x 5.4 离散系统的零输入响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-58页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 0,)2()1()( 21 ≥?+?= kCCky kk x 0,)2()1(3)2(2)1(3)( 1 ≥?+?=???=∴ + kky kkkk x ? ? ? =??= =+= 12)1( 1)0( 21 21 CCy CCy x x ? ? ? ?= = 2 3 2 1 C C 得 5.4 离散系统的零输入响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-59页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.5 离散系统的零状态响应 5.5 离散系统的零状态响应 一、单位序列响应 定义：由单位序列δ(k)所引起的零状态响应称为单 位序列响应或单位样值响应或单位取样响应，或简称 单位响应，记为h(k)。h(k)=T[{0},δ(k)] 例1 已知某系统的差分方程为y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求单位序列响应h(k)。 解根据h(k)的定义有 h(k) – h(k –1) – 2h(k –2) = δ(k) （1） h(–1) = h(–2) = 0 （1）递推求初始值h(0)和h(1)。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-60页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.5 离散系统的零状态响应 h(k)= h(k –1) + 2h(k –2) +δ(k) h(0)= h(–1) + 2h(–2) + δ(0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(–1) + δ(1) = 1 (2) 传统解法求h(k)。对于k >0，h(k)满足齐次方程 h(k) –h(k –1) –2h(k –2) = 0 其特征方程为(λ+1) (λ–2) = 0 所以h(k) = C 1 (– 1) k + C 2 (2) k ，k>0 h(0) = C 1 + C 2 =1 , h(1)= – C 1 +2C 2 = 1 解得C 1 = 1/3 , C 2 =2/3 h(k) = (1/3)(– 1) k + (2/3)(2) k , k≥0 或写为h(k) = [(1/3)(– 1) k + (2/3)(2) k ] ε(k) 方程（1）移项写为 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-61页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.5 离散系统的零状态响应 例2：若方程为： y(k) – y(k –1) – 2y(k –2)=f(k) – f(k – 2) 求单位序列响应h(k) 解h(k)满足 h(k) – h(k –1) – 2h(k –2)=δ(k) –δ(k –2) 令只有δ(k)作用时，系统的单位序列响应h 1 (k) , 它满足 h 1 (k) – h 1 (k –1) – 2h 1 (k –2)=δ(k) 根据线性时不变性， h(k) = h 1 (k) – h 1 (k – 2) =[(1/3)(– 1) k + (2/3)(2) k ]ε(k) – [(1/3)(– 1) k –2 + (2/3)(2) k–2 ]ε(k – 2) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-62页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.5 离散系统的零状态响应 二、阶跃响应 g(k)=T[ε(k), {0}] 由于 ∑∑ ∞ =?∞= ?== 0 )()()( j k j jkik δδε ,δ(k) =ε(k) –ε(k –1) = ?ε(k) 所以 ∑∑ ∞ =?∞= ?== 0 )()()( j k j jkhihkg ，h(k) =?g(k) ? ? ? ? ? =+? ≠ ? ? = + ∑ 11 1 1 12 1 21 2 1 akk a a aa a kk k k j (k 2 ≥k 1 ) 两个常用的 求和公式： 2 )1)(( 1212 2 1 +?+ = ∑ = kkkk j k kj 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-63页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.5 离散系统的零状态响应 以二阶系统为例 设二阶系统的传输算子为: 01 2 01 2 2 2 0 1 1 2 0 1 12 1 )( aEaE bEbEb EaEa EbEbb EH ++ ++ = ++ ++ = ?? ?? 三、由H(E)求单位序列响应h(k) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-64页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 )(kh的方程为： )()()( kEHkh δ= )( )1( )( 2 0 1 1 2 0 1 12 k EaEa EbEbb δ ?? ?? ++ ++ = )( )( )( 01 2 01 2 2 k aEaE bEbEb δ ++ ++ = 对因果系统： 0)()2()1( =?==?=? nhhh L h(k)的计算：设H(E)是E的正幂分式 （1）情况1: .)( rE E EH ? = 的方程 )(kh ).()()()( k rE E kEHkh δδ ? == )()()( kEkhrE δ=? )1()()1( +=?+ kkrhkh δ 5.5 离散系统的零状态响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-65页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 用递推法： ,1)0(,1)0()1()0( ===?? hrhh δ ,)1(,0)1()0()1( rhrhh ===? δ ,)2(,0)2()1()2( 2 rhrhh ===? δ ,)3(,0)3()2()3( 3 rhrhh ===? δ )()(,)( krkh rE E EH k ε= ? =∴ M （2）情况2： , )( )( 2 rE E EH ? = 的方程： )(kh )()()( 2 kEkhrE δ=? )()(),()()( 11 krkhkEkhrE k εδ ==? 设得 即------〈2〉 -----〈1〉 )( rE ? )()( khrE ? )(kEδ= )( rE ? )(kr k ε )(kEδ= 5.5 离散系统的零状态响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-66页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 比较式〈1〉和〈2〉，得： ).()()( krkhrE k ε=? ).()()1( krkrhkh k ε=?+ 0)0(,0)1()1()0( 1 ==?=?? ? hrrhh ε 1)1(,1)0()0()1( 0 ===? hrrhh ε rhrrrhh 2)2(,)1()1()2( 1 ===? ε 222 3)3(,)2()2()3( rhrrrhh ===? ε 用递推法得： M ).()(, )( )( 1 2 kkrkh rE E EH k ε ? = ? =∴ ).()1( 2 1 )(, )( )( 2 3 krkkkh rE E EH k ε ? ?= ? = 同法： 5.5 离散系统的零状态响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-67页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 , )( )( d rE E EH ? =∴ （3）一般情况： m d m m dd rE EA rE EA rE EA EA EB EH )()()()( )( )( 21 2 2 1 1 ? ++ ? + ? == L )( )( )( )( )( )( )()()( 21 2 2 1 1 k rE EA k rE EA k rE EA kEHkh m d m m dd δδδ δ ? ++ ? + ? = = L 设为常数， i d i i i Ak rE EA kh i ),( )( )( δ ? = mi L,2,1= 由情况1、情况2求， )(kh i 则)()()()( 21 khkhkhkh m +++= L ).()2()2)(1( )!1( 1 )( 1 krdkkkk d kh dk ε +? +??? ? = L 5.5 离散系统的零状态响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-68页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 求h(k)方法小结： 1、H(E)为E的正幂分式，H(E)除以E，得H(E)/E; 2、设H(E)/E为有理真分式，将H(E)/E展开为部分 分式之和； 3、H(E)/E的部分分式展开式乘以E，得到H(E)的 部分分式展开式； 4、根据情况1，情况2求H(E)的各分式对应的单位 响应； 5、求系统的单位响应h(k)，h(k)等于各分式对应单 位响应之和。 5.5 离散系统的零状态响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-69页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 例、求).(, )3)(2( )( 2 kh EE E EH +? = 解： 3)3(2)3)(2( 1)( 21 2 221 2 + + + + ? = +? = E A E A E A EEE EH 3)3(2 )( 21 2 221 + + + + ? = E EA E EA E EA EH )()3()()3()(2)( 22 1 221 kAkkAkAkh kkk εεε ?+?+= ? 5.5 离散系统的零状态响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-70页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 5.5 离散系统的零状态响应 LL L +?++ ?+++?+= )()( )1()1()()0()1()1()( ikif kfkfkfkf δ δδδ 1、任一信号可分解为单位序列之和 )(*)()()( kkfikif i δδ =?= ∑ ∞ ?∞= )(kf k )(kf )0(f )1(?f )1(f )(if )2(f i 1 k )(kδ 0 1 k )( ik ?δ i 四、求零状态响应y f (k) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-71页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2、任一输入信号产生的零状态响应 )(kf :)(ky f 设离散系统的单位响应为，表示为：)(kh )()( khk →δ )(*)()()()( khkfikhifky i f =?=∴ ∑ ∞ ?∞= )()( ikhik ?→?δ 则，是不变性 )()()()( ikhifikif ?→?δ ，齐次性 ∑∑ ∞ ?∞= ∞ ?∞= ?→?= ii ikhifikifkf )()()()()( δ，可加性 5.5 离散系统的零状态响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 3-72页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 例：已知系统的 )()(, 2 )( kkf E E EH ε= ? = 求 ).(ky f 解：由得： )(EH ).(2)( kkh k ε= ∑ ∞ ?∞= ?== i i f ikikhkfky )()(2)(*)()( εε )( 12 12 2 1 0 k k k i i ε ? ? == + = ∑ ).()12( 1 k k ε?= + 5.5 离散系统的零状态响应