西安电子科技大学：信号与系统：chapter7

分类：电气与自动化格式：pdf 日期：2006年04月03日

信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-1页页页 ■ 电子教案电子教案第七章离散系统z域分析 7.1 z 变换一、从拉普拉斯变换到z变换二、收敛域 7.2 z 变换的性质 7.3逆z变换 7.4 z 域分析一、差分方程的变换解二、系统的z域框图三、s域与z域的关系四、系统的频率响应点击目录，进入相关章节信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-2页页页 ■ 电子教案电子教案第七章离散系统z域分析在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。 7.1 z变换一、从拉氏到z变换对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号: ∑ ∞ ?∞= ?== k TS kTtkTfttftf )()()()()( δδ 取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-3页页页 ■ 电子教案电子教案 ∑ ∞ ?∞= ? = k kTs Sb kTfsF e)()( 令z = e sT ，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示； f(kT) →f(k) ，得 ∑ ∞ ?∞= ? = k k zkfzF )()( 称为序列f(k)的双边z变换 ∑ ∞ = ? = 0 )()( k k zkfzF 称为序列f(k)的单边z变换若f(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。 F(z) = Z[f(k)] ,f(k)= Z -1 [F(z)] ；f(k)←→F(z) 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-4页页页 ■ 电子教案电子教案 7.1 z变换二、收敛域 z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即 ∞< ∑ ∞ ?∞= ? k k zkf )( 时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分条件。收敛域的定义：对于序列f(k)，满足 ∞< ∑ ∞ ?∞= ? k k zkf )( 所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-5页页页 ■ 电子教案电子教案 7.1 z变换例1求以下有限序列的z变换(1) f 1 (k)=δ(k) ↓k=0 (2) f 2 (k)={1 , 2 , 3 , 2,1} 解 (1) 1)()()( 1 === ∑∑ ∞ ?∞= ∞ ?∞= ?? kk kk zkzkzF δδ 可见，其单边、双边z变换相等。与z 无关，所以其收敛域为整个z 平面。 (2) f(k)的双边z 变换为 F(z) = z 2 + 2z + 3 + 2z -1 + z -2 收敛域为0<?z?<∞ f(k)的单边z 变换为 21 0 23)()( ?? ∞ = ? ++== ∑ zzzkfzF k k 收敛域为?z? > 0 对有限序列的z变换的收敛域一般为0<?z?<∞，有时它在0或/和∞也收敛。信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-6页页页 ■ 电子教案电子教案 7.1 z变换例2 求因果序列 ? ? ? ≥ < == 0, 0,0 )()( ka k kakf k k y ε 的z变换（式中a为常数）。解：代入定义 1 11 0 1 0 1 )(1 lim)(lim)( ? +? ∞→ = ? ∞→ ∞ = ? ? ? === ∑∑ az az azzazF N N N k k N k kk y 可见，仅当?az -1 ?<1，即 ?z? >?a?时，其z变换存在。 az z zF y ? =)( Re[z] jIm[z] |a| o 收敛域为|z|>|a| 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-7页页页 ■ 电子教案电子教案 7.1 z变换例3 求反因果序列的z变换。解 )1( 0,0 0, )( ??= ? ? ? ≥ < = kb k kb kf k k f ε zb zbzb zbbzzF N N m m k k f 1 111 1 1 1 1 1 )( lim)()()( ? +?? ∞→ ∞ = ? ? ?∞= ? ? ? === ∑∑ 可见，?b -1 z?<1,即?z?<?b?时，其z变换存在， bz z zF f ? ? =)( 收敛域为|z|< |b| |b| Re[z] jIm[z] o 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-8页页页 ■ 电子教案电子教案 7.1 z变换例4 双边序列f(k)=f y (k)+f f (k)= 解 ? ? ? ≥ < 0, 0, ka kb k k 的z变换。 az z bz z zFzFzF fy ? + ? ? =+= )()()( 可见，其收敛域为?a?<?z?<?b? （显然要求?a?<?b?，否则无共同收敛域) o |a| |b| Re[z] jIm[z] 序列的收敛域大致有一下几种情况：（1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面；（2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域；（3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域；（4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-9页页页 ■ 电子教案电子教案 7.1 z变换注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不唯一。例 f 1 (k)=2 k ε(k)←→F 1 (z)= 2?z z , ?z?>2 f 2 (k)= –2 k ε(– k –1)←→F 2 (z)= 2?z z , ?z?<2 对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。可以省略。结论：双边Fb (Z) + 收敛域 f(k) 一一对应单边F (Z) 一一对应 f(k) 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-10页页页 ■ 电子教案电子教案 7.1 z变换常用序列的z变换： f 1 (k)=a k ε(k)←→F 1 (z)= az z ? , ?z?>a f 2 (k)= –a k ε(– k –1)←→F 2 (z)= az z ? , ?z?<a δ(k-m) ←→Z -m ，?z?>0 ε(k) 1?z z ，?z?>1 ，?z?<1–ε(– k –1) δ(k) ←→1 ，整个Z平面其中：a>0 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-11页页页 ■ 电子教案电子教案 7.2 z变换的性质一、线性 6.2 z变换的性质本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边z变换。若f 1 (k)←→F 1 (z) α 1 <?z?<β 1 , 　　f 2 (k) ←→F 2 (k) α 2 <?z?<β 2 对任意常数a 1 、a 2 ，则　　a 1 f 1 (k)+a 2 f 2 (k) ←→a 1 F 1 (z)+a 2 F 2 (z) 其收敛域至少是F 1 (z) )与F 2 (z)收敛域的相交部分。例：2δ(k)+ 3ε(k) ←→2 + 1 3 ?z z ，?z?>1 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-12页页页 ■ 电子教案电子教案 7.2 z变换的性质二、移位（移序）特性单边、双边差别大！双边z变换的移位：若f(k) ←→F(z) , α<?z?<β，且对整数m>0，则 f(k±m) ←→z ±m F(z), α<?z?<β 证明：Z[f(k+m)]= )()()( zFzzznfzmkf m n mn mkn k k ==+ ∑∑ ∞ ?∞= ? += ∞ ?∞= ? 单边z变换的移位：若f(k) ←→F(z), |z| > α，且有整数m>0, 则 f(k-1) ←→z -1 F(z) + f(-1) f(k-2) ←→z -2 F(z) + f(-2) + f(-1)z -1 ∑ ? = ?? ?+←→? 1 0 )()()( m k km zmkfzFzmkf 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-13页页页 ■ 电子教案电子教案 7.2 z变换的性质 f(k+1) ←→zF(z) – f(0)z f(k+2) ←→z 2 F(z) – f(0)z 2 – f(1)z ∑ ? = ? ?←→+ 1 0 )()()( m k kmm zkfzFzmkf 证明： Z[f(k – m)]= m m kmk mkk k k zzmkfzmkfzmkf ? ? = ∞ = ??? ∞ = ? ∑∑∑ ?+?=? 1 0 )( 0 )()()( 上式第二项令k – m=n )()()()( 1 0 1 00 zFzzmkfzznfzmkf m m k km m kn nk ? ? = ?? ? = ∞ = ?? +?=+?= ∑∑∑ 特例：若f(k)为因果序列，则f(k – m) ←→z -m F(z) 即：f(k – m) ε (k – m) ←→z -m F(z) 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-14页页页 ■ 电子教案电子教案 7.2 z变换的性质例1：求周期为N的有始周期性单位序列 ∑ ∞ = ? 0 )( m mNkδ 的z变换。 11 1 )( 00 ? = ? =←→? ? ∞ = ? ∞ = ∑∑ N N N m mN m z z z zmNkδ 解 ?z?>1 例2：求f(k)= kε(k)的单边z变换F(z). 解 f(k+1)= (k+1)ε(k+1) = (k+1)ε(k) = f(k) + ε(k) zF(z) – zf(0) = F(z) + 1?z z F(z)= 2 )1( ?z z 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-15页页页 ■ 电子教案电子教案 7.2 z变换的性质三、序列乘a k (z域尺度变换) 若f(k) ←→F(z) , α<?z?<β，且有常数a≠0 则a k f(k) ←→F(z/a) , α?a?<?z?<β?a? 证明： Z[a k f(k)]= )()()( a z F a z kfzkfa k k k kk = ? ? ? ? ? ? = ∑∑ ∞ ?∞= ? ∞ ?∞= ? 例1：a k ε(k) ←→ az z ? 例2：cos(βk)ε(k) ←→? cos(βk)ε(k)=0.5(e j βk + e -j βk )ε(k) ←→ ββ jj e 5.0 e 5.0 ? ? + ? z z z z 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-16页页页 ■ 电子教案电子教案 7.2 z变换的性质四、卷积定理若f 1 (k) ←→F 1 (z) α 1 <?z?<β 1 , f 2 (k) ←→F 2 (k) α 2 <?z?<β 2 则f 1 (k)*f 2 (k) ←→F 1 (z)F 2 (z) 对单边z变换，要求f 1 (k)、f 2 (k)为因果序列其收敛域一般为F 1 (z)与F 2 (z)收敛域的相交部分。例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解：f(k)= kε(k)= ε(k)* ε(k-1) 2 1 )1(11 ? = ?? ←→ ? z z z zz z z 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-17页页页 ■ 电子教案电子教案 7.2 z变换的性质五、序列乘k（z域微分）若f(k) ←→F(z) , α<?z?<β 则 )( d d )( zF z zkkf ?←→ , α<?z?<β 例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解： 1 )( ? ←→ z z kε 22 )1()1( )1( 1d d )( ? = ? ?? ?= ? ? ? ? ? ? ? ?←→ z z z zz z z z z zkkε 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-18页页页 ■ 电子教案电子教案 7.2 z变换的性质六、序列除(k+m)(z域积分）若f(k) ←→F(z) , α<?z?<β，设有整数m，且k+m>0，则 ∫ ∞ + ←→ + z m m d F z mk kf η η η 1 )()( , α<?z?<β 若m=0 ,且k>0，则 ∫ ∞ ←→ z d F k kf η η η)()( 例：求序列的z变换。 )( 1 1 k k ε + 解 1 )( ? ←→ z z kε ) 1 ln() 1 ln() 1 1 1 ( )1( )( 1 1 2 ? = ? =? ? = ? ←→ + ∞ ∞∞ ∫∫ z z zzdzdzk k z zz η η η ηη η ηη η ε 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-19页页页 ■ 电子教案电子教案 7.2 z变换的性质七、k域反转(仅适用双边z变换）若f(k) ←→F(z) , α<?z?<β 则f( –k) ←→F(z -1 ) , 1/β<?z?<1/α 例：已知 az z ka k ? ←→)(ε ，|z| >a 求a –k ε( –k – 1)的z变换。解 1 1 )1( 1 1 ? = ? ←→? ? ? zaz zz ka k ε az ka k ? ←→?? ? ?? 1 1 1 )1(ε ，|z| >a ，|z| < 1/a 乘a得 az a ka k ? ←→?? ? ? 1 )1(ε ，|z| < 1/a 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-20页页页 ■ 电子教案电子教案 7.2 z变换的性质八、部分和若f(k) ←→F(z) , α<?z?<β，则 )( 1 )( zF z z if k i ? ←→ ∑ ?∞= , max(α,1)<?z?<β 证明 )( 1 )()()()(*)( zF z z ifikifkkf k ii ? ←→=?= ∑∑ ?∞= ∞ ?∞= εε 例：求序列(a为实数) (k≥0)的z变换。 ∑ = k i i a 0 解 az z z z iaa k i i k i i ?? ←→= ∑∑ ?∞== 1 )( 0 ε ，|z|>max(|a|,1) 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-21页页页 ■ 电子教案电子教案 7.2 z变换的性质九、初值定理和终值定理初值定理适用于右边序列，即适用于k<M(M为整数) 时f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值 f(M),f(M+1),…，而不必求得原序列。初值定理：如果序列在k<M时，f(k)=0，它与象函数的关系为 f(k)←→F(z) ，α<�z�<∞ 则序列的初值 )(lim)( zFzMf m z ∞→ = 对因果序列f(k)， )(lim)0( zFf z ∞→ = 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-22页页页 ■ 电子教案电子教案 7.2 z变换的性质证明： ...)2()1()()( )()( )2()1( +++++== = +?+?? ∞ = ? ∞ ?∞= ? ∑ ∑ MMM Mk k k k zMfzMfzMfzkf zkfzF 两边乘z M 得 z M F(z) = f(M) + f(M+1)z -1 + f(M+2)z -2 +… )(lim)( zFzMf m z ∞→ = 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-23页页页 ■ 电子教案电子教案 7.2 z变换的性质终值定理：终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。如果序列在k<M时，f(k)=0，它与象函数的关系为 f(k) ←→F(z) ，α<�z�< ∞且0≤α<1 则序列的终值 )()1(lim)( 1 lim)(lim)( 11 zFzzF z z kff zzk ?= ? ==∞ →→∞→ 含单位圆证明见299页。信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-24页页页 ■ 电子教案电子教案设 )()( zFkf ? βα <<= ∑ ∞ ?∞= ? ||,)()( zzkfzF k k 上式两边乘以，为整数，在的收敛域内作围线积分： 1?n z n 1 )( ?n zzF ∫ ∑ ∫ ∞ ?∞= ?+?? = c k nk c n dzzkfdzzzF 11 )()( ∑ ∫ ∞ ?∞= ?+? = k c nk dzzkf 1 )( 柯西公式： ? ? ? ?≠ ?= = ∫ 1,0 1,2 m mj dzz c m π 7.3逆z变换 6.3逆z变换一、逆z变换信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-25页页页 ■ 电子教案电子教案 ? ? ? ≠ =?=?+? =∴ ∫ ?+? kn knnkj dzz c nk ,0 ,11,2 1 即π 令，得： kn = ,)()(2 1 dzzzFkjf c k ∫ ? =π ∞<<∞?= ∫ ? kdzzzF j kf c k ,)( 2 1 )( 1 π 上式称为F(Z) 的Z逆变换. Z逆变换的计算方法：（1）反演积分法（留数法）；（2）幂级数展开法；（3）部分分式展开法；（4）用变换性质求逆变换。 zz 7.3逆z变换信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-26页页页 ■ 电子教案电子教案 7.3逆z变换一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列f 1 (k)和反因果序列f 2 (k)两部分，即 f(k) = f 2 (k)+f 1 (k) = f(k)ε(–k – 1) + f(k) ε(k) 相应地，其z变换也分为两部分 F(z) = F 2 (z) + F 1 (z)，α< |z| <β ∑ ∞ = ? 0 )( k k zkf 其中F 1 (z)= Z[f(k)ε(k)]=，|z| > α F 2 (z)=Z[f(k)ε(–k –1)]= ∑ ? ?∞= ? 1 )( k k zkf ，|z| < β f(k) 单边F (Z) 一一对应 f(k) 双边F (Z) + 收敛域信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-27页页页 ■ 电子教案电子教案 7.3逆z变换当已知象函数F(z)时，根据给定的收敛域不难由 F(z)求得F 1 (z)和F 2 (z)，并分别求得它们所对应的原序列 f 1 (k)和f 2 (k)，将两者相加得原序列f(k)。二、幂级数展开法根据z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是z -1 和z的幂级数。其系数就是相应的序列值。例：已知象函数 2)2)(1( )( 2 22 ?? = ?+ = zz z zz z zF 其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。（1）|z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-28页页页 ■ 电子教案电子教案 7.3逆z变换解（1）由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k) 为因果序列。用长除法将F(z)展开为z -1 的幂级数： z 2 /(z 2 -z-2)=1+ z -1 + 3z -2 + 5z -3 + … f(k)={1，1，3，5，…} ↑k=0 （2）由于F(z)的收敛域为�z�<1，故f(k)为反因果序列。用长除法将F(z)（按升幂排列）展开为z的幂级数: z 2 /( –2 – z – z 2 )= L++?+? 5432 16 5 8 3 4 1 2 1 zzzz 10, 2 1 , 4 1 , 8 3 , 16 5 ,0)( ?=← ? ? ? ? ? ? ??= kkf 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-29页页页 ■ 电子教案电子教案 7.3逆z变换 (3) F(z)的收敛域为1<?z?<2，其原序列f(k)为双边序列。将F(z)展开为部分分式，有 2 3 2 1 3 1 )( ? + + = z z z z zF 第一项属于因果序列的项函数F 1 (z)，第二项属于反因果序列的象函数F 2 (z)， 1 3 1 )( 1 + = z z zF，?z? >1 2 3 2 )( 2 ? = z z zF，?z?< 2 即将它们分别展开为z -1 及z的幂级数，有 L+?+?= ??? 321 1 3 1 3 1 3 1 3 1 )( zzzzF zzzzF 3 1 6 1 12 1 )( 23 2 ??+= L ? ? ? ? ? ? ?????= LL , 3 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 , 6 1 , 12 1 ,)(kf ↑ 难以写成闭合形式。信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-30页页页 ■ 电子教案电子教案 7.3 逆z变换三、部分分式展开法 01 1 1 01 1 1 ..... ..... )( )( )( azazaz bzbzbzb zA zB zF n n n m m m m ++++ ++++ == ? ? ? ? 式中m≤n （1）F(z)均为单极点，且不为0 z zF )( 可展开为： n n zz K zz K z K z zF ? ++ ? += .... )( 1 10 ∑ = ? += n i i i zz zK KzF 1 0 )( 根据给定的收敛域，将上式划分为F 1 (z)(?z?>α)和 F 2 (z)(?z?<β)两部分，根据已知的变换对，如 δ(k)←→1 ||||,)( az az z ka k > ? ←→ε ||||,)1( az az z ka k < ? ←→??? ε 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-31页页页 ■ 电子教案电子教案 7.3 逆z变换例1：已知象函数 )2)(1( )( 2 ?+ = zz z zF 其收敛域分别为：（1）?z?>2 (2) ?z?<1 (3) 1<?z?<2 解部分分式展开为 2 3 2 1 3 1 )2)(1( )( ? + + = ?+ = zzzz z z zF 23 2 13 1 )( ? + + = z z z z zF (1)当?z?>2，故f(k)为因果序列 )(])2( 3 2 )1( 3 1 [)( kkf kk ε+?= (2) 当?z?<1，故f(k)为反因果序列 )1(])2( 3 2 )1( 3 1 [)( ?????= kkf kk ε (3)当1<?z?<2， )1()2( 3 2 )()1( 3 1 )( ????= kkkf kk εε 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-32页页页 ■ 电子教案电子教案 7.3 逆z变换例2：已知象函数 )3)(2)(1)( 2 1 ( ) 1 2 9 4( )( 23 ???? ++? = zzzz z zzzz zF ,1<?z?<2 的逆z变换。解 321 2 2 1 )( ? + ? ? + ? + ? ? = z z z z z z z z zF 由收敛域可知，上式前两项的收敛域满足?z?>1，后两项满足?z?<2。 )1()3()1()2()(2)() 2 1 ()( ?????++= kkkkkf kkk εεεε 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-33页页页 ■ 电子教案电子教案 7.3 逆z变换 (2) F(z)有共轭单极点如z 1,2 =c±jd=αe ±jβ , 则 jdcz K jdcz K z zF +? + ?? = * 11 )( 令K 1 =�K 1 �e jθ β θ β θ αα j j j j ez zeK ez zeK zF ? ? ? + ? = 11 )( 若�z�> α , f(k)=2�K 1 �α k cos(βk+θ)ε(k) 若�z�< α , f(k)= –2�K 1 �α k cos(βk+θ)ε(– k – 1) (3) F(z)有重极点 F(z)展开式中含项(r>1)，则逆变换为 r az z )( ? 若�z�>α ,对应原序列为 )( )!1( )2).....(1( 1 ka r rkkk rk ε +? ? +?? 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-34页页页 ■ 电子教案电子教案 7.3 逆z变换以�z�>α为例：当r=2时，为ka k-1 ε(k) 当r=3时，为 )()1( 2 1 2 kakk k ε ? ? 可这样推导记忆：Z[a k ε(k)]= az z ? 两边对a求导得Z[ka k-1 ε(k)]= 2 )( az z ? 再对a求导得Z[k(k-1)a k-2 ε(k)]= 3 )( 2 az z ? 故Z[0.5k(k-1)a k-2 ε(k)]= 3 )( az z ? 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-35页页页 ■ 电子教案电子教案 7.3 逆z变换例：已知象函数 3 23 )1( )( ? + = z zz zF ，�z�>1 的原函数。解 1)1()1()1( )( 13 2 12 3 11 3 2 ? + ? + ? = ? + = z K z K z K z zz z zF 2 )( )1( 1 3 11 =?= =z z zF zK 3 )( )1( d d 1 3 12 = ? ? ? ? ? ? ?= =z z zF z z K 1 )( )1( d d 2 1 1 3 2 2 13 = ? ? ? ? ? ? ?= =z z zF z z K 1)1( 3 )1( 2 )( 23 ? + ? + ? = z z z z z z zF f(k)=[k(k-1)+3k+1]ε(k) 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-36页页页 ■ 电子教案电子教案例1：求逆变换 3||, )3)(2( 1 )( > ?? = z zz zF )(kf 解：方法1： 3 3 1 2 2 1 6 1 )3)(2( 1)( ? + ? ? += ?? = zzzzzzz zF 33 1 22 1 6 1 )( ? + ? ?= z z z z zF )()3 3 1 2 2 1 ()( 6 1 )( kkkf kk εδ ×?×?= )()32()( 6 1 11 kk kk εδ +? ??= 7.3 逆z变换四、用性质求Z逆变换信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-37页页页 ■ 电子教案电子教案方法2： 3 1 2 1 )3)(2( 1 )( ? + ? ? = ?? = zzzz zF ) 32 ( 1 ? + ? ? = ? z z z z z )1(3)1(2)( 11 ?+??= ?? kkkf kk εε )1()23( 11 ??= ?? k kk ε 7.3 逆z变换信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-38页页页 ■ 电子教案电子教案例2、因果周期信号如图，求的单边变换 )(kf )(kf z )(zF 解：设第一周期内信号为，则可表示为 )(kf T )(kf L+?+?+= )2()()()( NkfNkfkfkf TTT ∑ ∞ = ?= 0 )( m T mNkf 设 )()(),()( zFkfzFkf TT ?? L+++= ?? )()()()( 2 zFzzFzzFzF T N T N T )1)(( 2 L+++= ?? NN T zzzF 1|| 1 )( > ? = ? z z zF N T k )(kf )(kf T 012 N 2N 7.3 逆z变换信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-39页页页 ■ 电子教案电子教案 §7.4离散系统的Z域分析一、离散信号的Z域分解：设为因果信号，由单边逆变换，得 )(kf z ∫ ? = c k dzzzF j kf 1 )( 2 1 )( π 0, )( 2 1 ≥= ∫ kdzz z zF j c k π C z zF )( 为收敛域中一条围线路径。 )(zF的逆变换的物理意义是：分解为围线)(kf C 上不同的指数信号的线性组合，其中， z k z dz z zF j )( 2 1 π 为的复幅度。 k z 7.4 离散系统的z域分析信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-40页页页 ■ 电子教案电子教案二、激励下系统的零状态响应： k z 设LTI离散系统的输入，零状态响应为 k zkf =)( ,单位响应为为因果序列。 )(ky f )(),( khkh ∑ ∞ ?∞= ? =?= i ik f zihkhkfky )()()()( )()( 0 zHzzihz k i ik == ∑ ∞ = ? α>= ∑ ∞ = ? ||,)()( 0 zzkhzH k k )(zH 称离散系统的系统函数。 )(kf )(ky f 0 0 =k 7.4 离散系统的z域分析信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-41页页页 ■ 电子教案电子教案三、任意离散信号f(k)激励下的零状态响应： k z ? 产生的零状态响应表示为 kk zzHz )(→ 则 kk zzHdz z zF j zdz z zF j )() )( 2 1 () )( 2 1 ( ππ → ∫∫ →= c kk c zzHdz z zF j zdz z zF j kf )() )( 2 1 () )( 2 1 ()( ππ 即 ∫∫ ?? →= c k c k dzzzHzF j dzzzF j kf 11 )()( 2 1 )( 2 1 )( ππ 设产生的零状态响应为，则 )(kf )(ky f 0,)()( 2 1 )( 1 ≥= ∫ ? kdzzzHzF j ky c k f π 0,)( 2 1 1 ≥= ∫ ? kdzzzY j c k f π ).()()( ZFzHzY f = ， 7.4 离散系统的z域分析信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-42页页页 ■ 电子教案电子教案 ? ? ? ? ? = == ? )]([)( )]([)()()( 1 zYZky kyZzHzFzY ff ff )()()( khkfky f ?= 求的方法： )(ky f （1）求 )];([)( kfZzF = （2）求 )];([)( khZzH = （3）求);()()( zHzFzY f = （4）求 )]()([)]([)( 11 zHzFZzYZky ff ?? == 7.4 离散系统的z域分析信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-43页页页 ■ 电子教案电子教案例. 已知离散系统的输入 ).()(),(2)( kkhkkf k εε == 求零状态响应 ).(ky f 解： ,2||, 2 )]([)( > ? == z z z kfZzF ,1||, 1 )]([)( > ? == z z z khZzH 2||, )2)(1( )()()( 2 > ?? == z zz z zHzFzY f 2 2 1 ? + ? ? = z z z z )(22)()( kkky k f εε ×+?= )()12( 1 k k ε?= + 7.4 离散系统的z域分析信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-44页页页 ■ 电子教案电子教案 §7.5 系统差分方程的Z域解一、差分方程的Z域解：（LTI因果离散系统）例已知离散系统的方程为： )2()2(2)1(3)( ?=?+?+ kfkykyky )()(,0)2(,1)1( kkfyy ε==?=? 求： ).(),(),( kykyky fx 1、求完全响应： )(ky 由单边变换的右移性质： z ,)()()( 1 0 ∑ ? = ?? ?+?? m k km zmkfzFzmkf 7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-45页页页 ■ 电子教案电子教案根据右移性质，对系统差分方程取单边变换，得 z ])2()([2])1()([3)( 1 0 2 0 0 1 ∑∑ = ?? = ?? ?++?++ k k k k zkyzYzzkyzYzzY )( 2 zFz ? = 由上式得： )()2(2)1()23()231)(( 2121 zFzyyzzzzY ???? +?????=++ )( 231231 )2(2)1()23( )( 21 2 21 1 zF zz z zz yyz zY ?? ? ?? ? ++ + ++ ????? = 1 )(, )2)(1)(1( 33 23 ? = +?+ ++? = z z zF zzz zzz 2||, )2(3 11 )1(2 1 )1(6 1 > + ? + + ? = z z z z z z z 0,)2( 3 11 )1( 2 1 1 6 1 )( ≥???×+×= kky kkk 7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-46页页页 ■ 电子教案电子教案 2、求零输入响应 0)2()2(,1)1()1(:)( =?=?=?=? yyyyky xxx 的方程： )(ky x 0)2(2)1(3)( =?+?+ kykyky xxx 根据右移性质，对的方程取单边变换，得： )(ky x z 0])2()([2])1()([3)( 1 0 2 0 0 1 =?++?++ ∑∑ = ?? = ?? k k xx k k xxx zkyzYzzkyzYzzY 由上式得： 2||, )2)(1( 23 231 )2(2)1()23( )( 2 21 1 > ++ ?? = ++ ????? = ?? ? z zz zz zz yyz zY xx x 2 4 1 + ? + = z z z z 0,)2()1()( 2 ≥???= + kky kk x 7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-47页页页 ■ 电子教案电子教案 3、求 0)2()1(),()(:)( =?=?= fff yykkfky ε )(ky f 的方程： )2()2(2)1(3)( ?=?+?+ kfkykyky fff 由右移性质，对的方程取单边变换，得 )(ky f z )()(2)(3)( 221 zFzzYzzyzzY fff ??? =++ 1 )(),( )231( )( 21 2 ? = ++ = ?? ? z z zFzF zz z zY f 2||, )2)(1)(1( > +?+ = z zzz z , )2(3 1 )1(2 1 )1(6 1 + + + ? ? = z z z z z z )(])2( 3 1 )1( 2 1 1 6 1 [)( kky kkk f ε?+??×= 7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-48页页页 ■ 电子教案电子教案说明：前向差分方程的解法：（1）用左移性质： ,)()()( 1 0 ∑ ? = ? ??+ m k kmm zkfzFzmkf 初始条件：对、、 L)1()0(:)( yyky 对、、 L)1()0(:)( xxx yyky （2）转变为由后向差分方程，用右移性质求解，初始条件：对、、 L)2()1(:)( ?? yyky 对、、 L)2()1(:)( ?? xxx yyky 若初始条件不适用，则用递推法由相应的差分方程递推得到需要的初始条件。 7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-49页页页 ■ 电子教案电子教案二、系统函数H(z): 1、定义： )( )( )( zF zY zH f = )]([)()],([)( kfZzFkyZzY ff == 2、物理意义： )]([)( khZzH = 3、计算： )( )( )( zF zY zH f = （1）（2） )]([)( khZzH = （3）由系统差分方程求 )(zH 7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-50页页页 ■ 电子教案电子教案例： )2()1()2()1()( 0101 ?+?=?+?+ kfbkfbkyakyaky fff )()()()()( 2 0 1 1 2 0 1 1 zFzbzFzbzYzazYzazY fff ???? +=++ )()()()1( 2 0 1 1 2 0 1 1 zFzbzbzYzaza f ???? +=++ 2 0 1 1 2 0 1 1 1)( )( )( ?? ?? ++ + == zaza zbzb zF zY zH f 01 2 01 azaz bzb ++ + = 4、应用：（4）表示系统特性：频率特性、稳定性等（1）求 );()()()],([)( 1 zFzHzYzYZky fff == ? （2）求 )];([)( 1 zHZkh ? = （3）求; )( )( )()],([)( 1 zH zY zFzFZkf f == ? 7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-51页页页 ■ 电子教案电子教案三、离散系统的频率响应： 1、LTI离散系统对正弦序列的响应：设系统输入 ∞<<∞??= kTkAkf ,cos)( 初始时刻 ?∞= 0 k 响应为 )(ky )(kf 表示为： )( 2 )( TkjTkj ee A kf ??? += （1）系统对的响应： Tkj e ? 设输入，响应为 Tkj ekf ? =)()( 1 ky 则∑ ∞ ?∞= ??? =?= m mkTjTkj emhekhky )( 1 )()()( 为因果信号）)((,)( 0 khemhe m TmjTkj ∑ ∞ = ??? = ∑ ∞ = ??? = 0 ))(( m mTjTkj emhe 7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-52页页页 ■ 电子教案电子教案设的收敛域含单位圆，令为 )]([)( khZzH = z Tjj erez ? == θ 则Tj ez m mTkj zmheky ? = ∞ = ?? ∑ = ])([)( 0 1 )(|)( TjTkj ez Tkj eHezHe Tj ?? = ? == ? （2）系统对的响应： Tkj e ?? Tkj ekf ?? =)( 设输入的响应为, )( 2 ky )(|)()()( ** 2 TjTkj ez TkjTkj eHezHeekhky Tj ???? ? ? = ?? ==?= 其中，的收敛域含单位圆。 )(zH 7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-53页页页 ■ 电子教案电子教案（3）系统对正弦序列的响应系统输入 )( 2 )cos()( TkjTkj ee A TkAkf ??? +=?= 响应为，由系统的线性性质，得 )(ky )]()([ 2 )( 21 kyky A ky += )]()([ 2 TjTkjTjTkj eHeeHe A ?????? += 设 )( |)(|)( TjTjTj eeHeH ??? = φ )( |)(|)( TjTjTj eeHeH ???? =? φ 则 ][|)(| 2 )( ))(())(( TTkjTTkjTj eeeH A ky ?+???+?? += φφ ∞<<∞??+?= ? kTTkeHA Tj )),(cos(|)(| φ 一般情况： )cos()( θ+?= TkAkf ))( cos(|)(|)( T TkeHAky Tj ?++ ?= ? φθ 称LTI离散系统的正弦稳态响应。 )(ky 7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-54页页页 ■ 电子教案电子教案 2、LTI离散系统的频率响应：若LTI因果离散系统的系统函数H(z)的收敛域包含单位圆，，则称为LTI因果离散系统的频率 )1,|(| <> ααz )( Tj eH ? 响应。其中 Tj ez Tj zHeH ? = ? = |)()( )( |)(|)( TjTjTj eeHeH ??? = φ |)(| Tj eH ? 称为系统的幅频响应 )( T?φ 称为系统的相频响应说明：（1）是的周期函数，周期为； )( Tj eH ? T? （2）是的连续函数； )( Tj eH ? T? （3）表示系统对不同频率的正弦序列的稳态 )( Tj eH ? T? 响应特性。 π2 7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-55页页页 ■ 电子教案电子教案例1、已知离散系统如图所示，求 10 << a )( Tj eH ? 解：系统差分方程为： ),()1()( kfkayky =?? 为因果信号 )(kf 系统函数： )(zH )()1()( kfkayky ff =?? )()()( 1 zFzYazzY ff =? ? az az z azzF zY zH f > ? = ? == ? ||, 1 1 )( )( )( 1 因为，所以的收敛域含单位圆，系统的频率响应为： 10 << a )(zH )(kf + )(ky a D 7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-56页页页 ■ 电子教案电子教案 ae e zHeH Tj Tj ez Tj Tj ? == ? ? = ? ? |)()( |sincos| 1 || 1 |)(| aTjTae eH Tj Tj ??+? = ? = ? ? TaT ?? 22 sin)(cos 1 +? = Taa ??+ = cos2)1( 1 2 幅频响应曲线：（称数字角频率） T? a eHT Tj ? ==? ? 1 1 |)(|,0 a eHT Tj + ==? ? 1 1 |)(|,π a eHT Tj ? ==? ? 1 1 |)(|,2π T? 5.0|,)(| = ? aeH Tj 0 π π2 π3 π4 2 7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-57页页页 ■ 电子教案电子教案系统函数为 ∞<<∞?+++= kkkkf ), 42 cos(9) 4 cos(99)( πππ 例2、已知离散系统的输入为 )(kf 求稳态响应 , 2 1 ||, 12 1 )( > + = z z zH )(ky 解：因为，所以收敛域包含单位圆 2 1 || >z )(zH , 12 1 )( + = ? ? Tj Tj e eH （1）设 0),cos(99)( 1 =??== TTkkf 3 1 )( = ?Tj eH 设系统对的响应为，则 )( 1 kf )( 1 ky 0,3 3 1 9)](cos[|)(|9)( 1 =?=×=?+?= ? TTTkeHky Tj φ 7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-58页页页 ■ 电子教案电子教案（2）设, 4 ), 4 cos(9)( 2 ππ =?= Tkkf o 3.3036.0 12 1 )( 4 ?∠= + = ? π j Tj e eH 设系统对的响应为，则 )( 2 kf )( 2 ky 4 )],(cos[|)(|9)( 2 π φ =??+?= ? TTTkeHky Tj )3.30 4 cos(36.09 o ?×= k π )3.30 4 cos(24.3 ?= k π （3）设 2 ), 42 cos(9)( 3 πππ =?+= Tkkf o 4.6345.0 21 1 12 1 )( 2 ?∠= + = + = ? j e eH j Tj π 7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-59页页页 ■ 电子教案电子教案设系统对的响应为，则 )( 3 kf )( 3 ky , 2 ),( 4 cos[|)(|9)( 3 π φ π =??++?= ? TTTkeHky Tj )4.63 42 cos[45.09 o ?+×= ππ k )4.18 2 cos(05.4 o ?= k π （4）系统对的响应： )(kf )(ky )()()()( 321 kykykyky ++= )4.18 2 cos(05.4)3.30 4 cos(24.33 oo ?+?+= kk ππ ∞<<∞? k 7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-60页页页 ■ 电子教案电子教案 §7.6 离散系统的表示和模拟一、方框图法： 1、简单方框图表示： 2、系统的串、并联：（LTI因果系统）串联： nizHkh ii L,2,1),()( =? 设串联复合系统的冲激响应为， )(kh )()( zHkh ? 则 )()()()( 21 khkhkhkh n ???= L )()()()( 21 zHzHzHzH n ???= L )(kf )(ky )(kf L )( 1 kh )( 2 kh )(kh n )(ky )(zF L)( 1 zH )( 2 zH )(zH n )(zY 7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-61页页页 ■ 电子教案电子教案并联：设并联复合系统的冲激响应为， )()( zHkh ?)(kh 则)()()()( 21 khkhkhkh n +++= L )()()()( 21 zHzHzHzH n +++= L + )(zF )( 1 zH )( 2 zH )(zH n )(zY M + )(kf )( 1 kh )( 2 kh )(kh n )(ky M 7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-62页页页 ■ 电子教案电子教案 3、用基本运算器表示系统：基本运算器： D 1? z )( 1 zFz ? )(zF )1( ?kf )(kf a a )(kf )(kaf )(zF )(zaF + )( 1 kf )( 2 kf )()( 21 kfkf + + )( 1 zF )( 2 zF )()( 21 zFzF + 0)1( =?f 7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-63页页页 ■ 电子教案电子教案例1图示离散系统，求系统差分方程。 )()()()()()( 2 0 1 12 2 0 1 1 zFzbzFzbzFbzYzazYzazY ???? +++??= )2()1()()2()1()( 01201 ?+?+=?+?+ kfbkfbkfbkyakyaky )(zF 1? z 1? z 1? z 1? z 0 b 1 b 2 b + )(zY 0 a? 1 a? 7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-64页页页 ■ 电子教案电子教案例2图示离散系统，求系统差分方程 )()()()( 2 0 1 1 zFzXzazXzazX +??= ?? , 1 )( )( 2 0 1 1 ?? ++ = zaza zF zX -----------------------（1） )()()()( 2 0 1 12 zXzbzXzbzXbzY ?? ++= -------（2）（1）式代入（2）式得： b0 + + )(zF 1? z 1? z )(zY 0 a? 1 a? 2 b 1 b )(zX )( 1 zXz ? )( 2 zXz ? 7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-65页页页 ■ 电子教案电子教案 )( 1 )( 2 0 1 1 2 0 1 12 zF zaza zbzbb zY ?? ?? ++ ++ = )()()()1( 2 0 1 12 2 0 1 1 zFzbzbbzYzaza ???? ++=++ )2()1()()2()1()( 01201 ?+?+=?+?+ kfbkfbkfbkyakyaky 二、离散系统的信号流图表示： 1、框图表示与信号流图对应关系： )(zF )(zH )(zY )(zF )(zH )()()( zHzFzY = )(zF )(zF a )(zaF a )()( zaFzY = )(zF 1? z )( 1 zFz ? )(zF 1? z )()( 1 zFzzY ? = )( 1 zF )( 2 zF + )()( 21 zFzF + )( 1 zF )( 2 zF )()()( 21 zFzFzY += 1 1 7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-66页页页 ■ 电子教案电子教案 2、信号流图规则：同于连续系统信号流图规则 )()( )()()()()( 33 22114 zXzH zXzHzXzHzX + += )()()( 445 zXzHzX = )()()( 456 zXzHzX = 3、从框图表示到信号流图表示：方法：（1）选加法器输出、单位延迟器输出，、为变量用点表示； )(zF )(zY （2）根据信号流图规定和框图中信号传输关系画出信号流图。 )( 4 zx )( 4 zH )( 1 zx )( 2 zx )( 3 zH )( 3 zx )( 1 zH )( 5 zx )( 6 zx )( 2 zH )( 5 zH b0+ + )(zF 1? z 1? z )(zY 0 a? 1 a? 2 b 1 b )(zF 1 1? z 1? z 2 b 1 b 0 b 1 a? 0 a? )(zY 7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-67页页页 ■ 电子教案电子教案 4、梅森公式：设LTI离散系统的输入为，零状态响应为 )(kf )(ky f )()(),()( zYkyzFkf ff ?? （单边Z变换对） ? ? == ∑ = m i ii f P zF zY zH 1 )( )( )( ? ：流图行列式 L+?+?=? ∑∑∑ qpl ji jii LLLLLL , 1 i ? ：除去第条开路后剩余流图的流图行列式；i i P ：第条开路的开路传输函数； i m ：从到的开路数 )(zF )(zY f 7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-68页页页 ■ 电子教案电子教案例、图示离散系统，求系统函数 )(zH 解：（1）流图的环传输函数及： i L ? 2 3 1 2 1 1 3,2, ??? ?=?=?= zLzLzL 两个不接触环的环传输函数： 3 3113 2 2112 3,2 ?? ==== zLLLzLLL L?+?=? ∑∑ ji ji i i LLL , 1 )32()32(1 32211 ????? ++????= zzzzz 321 3531 ??? +++= zzz )(zF 1 1 1 1 -2 -3 )(zY 1? z 1? z 1? z 2 -1 7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-69页页页 ■ 电子教案电子教案（2）流图的开路传输函数及： i P i ? 21 321 1 1 321)(1,2 ??? ++=+?== zzLLzP ? 1 12 2 2 11, ?? +=?=?= zLzP （3）由梅森公式求 )(zH 321 12211 2 1 3531 )1()321(2 )( ??? ????? = +++ ++++ = ? ? = ∑ zzz zzzzz P zH i ii 353 752 23 2 +++ ++ = zzz zz 7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-70页页页 ■ 电子教案电子教案三、离散系统的模拟： 1、由H(z) 差分方程框图流图例1已知系统函数，画出系统框图 01 2 0 )( azaz b zH ++ = 解：设 )()(),()( zYzyzFkf ff ?? 2 0 1 1 0 01 2 2 0 1)( )( )( ?? ++ = ++ == zaza b azaz zb zF zY zH f )()()1( 0 2 0 1 1 zFbzYzaza f =++ ?? )()2()1()( 001 kfbkyakyaky fff =?+?+ )()2()1()( 001 kfbkyakyaky =?+?+ )()2()1()( 001 kfbkyakyaky +????= 由上式得框图： )(kf + D D )(ky 0 b 1 a? 0 a? 7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-71页页页 ■ 电子教案电子教案例2、已知系统函数，求系统框图 01 2 01 )( azaz bzb zH ++ + = 解： 2 0 1 1 2 0 1 1 1 )( ?? ?? ++ + = zaza zbzb zH 设 )()(),()( zYkyzFkf ff ?? )()()( zFzHzY f = )()()()1( 2 0 1 1 2 0 1 1 zFzbzbzYzaza f ???? +=++ )2()1()2()1()( 0101 ?+?=?+?+ kfbkfbkyakyaky fff )2()1()2()1()( 0101 ?+?=?+?+ kfbkfbkyakyaky 引入辅助函数，令 )(kX )()2()1()( 01 kfkXakXakX =?+?+ -----------（2） ---（1）（2）式代入（1）式，比较等式两边得 )2()1()( 01 ?+?= kXbkXbky -----------------（3） 7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-72页页页 ■ 电子教案电子教案先模拟（2）式对应的框图，然后在（2）式框图基础上画出（3）式的框图 )(kf + D D )(kx 1 a? 0 a? )1( ?kx )2( ?kx (2)式框图 )(kf + D D )1( ?kx )2( ?kx )(kx 0 b + )(ky 1 b 7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-73页页页 ■ 电子教案电子教案 2、由H(z) 信号流图系统框图（1）直接形式：例1、 )223(1 32 223 32 )( 321 32 23 ??? ?? ???? + = +++ + = zzz zz zzz z zH 根据梅森公式，系统信号流图有3个相互接触的环和两条开路组成，环传输函数分别为、 1 1 3 ? ?= zL 2 2 2 ? ?= zL、；开路传输函数为、 3 3 2 ? ?= zL 2 1 2 ? = zP 3 2 3 ? = zP 、信号流图如图所示 1,1 21 =?=? (a)直接形式1 )(zF )(zY 1? z 1? z 1? z 2 1 3 -3 -2 -2 7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-74页页页 ■ 电子教案电子教案 (b)直接形式2 （2）串联形式：例2、)()( )3( )1( 265 )( 21 2 2 zHzH z z z z zz zz zH ?= + + ? + = ++ + = , 2 )( 1 + = z z zH 3 1 )( 2 + + = z z zH 分别对、用直接形式信号流图模拟，然后联接成串联形式 )( 1 zH )( 2 zH )(zF )(zY 1? z 1? z 1? z 2 1 3 -3 -2 -2 7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-75页页页 ■ 电子教案电子教案（3）并联形式：例3、 43 1 127 44 )( 2 2 + + + = ++ ++ = z z zzz zz zH )()( 21 zHzH += , 3 1 )( 1 + = z zH 4 )( 2 + = z z zH 分别和用直接形式信号流图模拟，然后联接成并联形式 )( 1 zH )( 2 zH 7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-76页页页 ■ 电子教案电子教案 §7.7系统函数与系统特性一、H(z)的零、极点： 0 1 1 0 1 1 )( )( )( azaz bzbzb zA zB zH n n n m m m m +++ +++ == ? ? ? ? L L )())(( )())(( 21 21 n mm PzPzPz zzzzzzb ??? ??? = L L nm Pz zzb i n i j m j m ≤ ?Π ?Π = = = , )( )( 1 1 j z H(z)的零点，H(z)的极点 i P j b 、 i a 为实数，H(z)通常为有理分式。若零点或极点为复数，则零点或极点必共轭。 7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-77页页页 ■ 电子教案电子教案二、H(z)的零、极点与h(k)的关系： 1、单位圆内的极点：在实轴上：一阶极点： 1||),( <→ ? akAa az Az k ε 二阶极点： )( )( 2 kAka az Az k ε→ ? 不在实轴上：一阶极点： 1 11 < ? + ? ? ? r rez zA rez zA jj ββ )()cos(||2 1 kkrA k εθβ +→ 二阶极点： 2 1 2 1 )()( ββ jj rez zA rez zA ? ? ? + ? )(])1(cos[||2 1 1 kkrA k εθβ +?→ ? 7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-78页页页 ■ 电子教案电子教案 2、单位圆上的极点：在实轴上： )()1( 1 kA z Az k ε±? ± )()1( )1( 2 kAk z Az k ε±? ± 不在实轴上： ββ jj rez zA rez Az ? ? ? + ? )()cos(||2 kkA εθβ +? 22 )()( ββ jj rez zA rez Az ? ? ? + ? )(])1(cos[||2 kkkA εθβ +?? 3、单位圆外的极点：在实轴上： )( )( 1 2 kAka az Az k ε ? ? ? 不在实轴上： ββ jj rez zA rez Az ? ? ? + ? 1),()cos(||2 >+? rkkrA k εθβ 1||),( >? ? akAa az Az k ε 7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-79页页页 ■ 电子教案电子教案结论：（1）H(z)的极点在单位圆内，对应h(k)按指数规律衰减；（2）H(z)的极点在单位圆上一阶极点对应h(k)为阶跃序列或正弦序列；二阶及二阶以上极点对应h(k)增长。（3）H(z)的极点在单位圆外，对应h(k)按指数规律增长。 7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-80页页页 ■ 电子教案电子教案三、H(z)与系统频率响应：设H(z)的收敛域包含单位圆，对因果系统， H(z)的极点全部在单位圆内，则系统的频率响应为： Tj ez Tj zHeH ? = ? = |)()( )( )( )( 1 1 i n i i m i m Pz zzb zH ?Π ?Π = = = 设 )( )( )( 1 1 i Tj n i i Tj m i m Tj Pe zeb eH ?Π ?Π = ? = ? = ? 则令 ii j ii Tjj ii Tj eAPeeBze θψ =?=? ?? , 则 )( 1 1 |)(|)( TjTj j i n i j i m i m Tj eeH eA eBb eH i i ?? = = ? = Π Π = φ θ ψ 7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-81页页页 ■ 电子教案电子教案 n mm Tj AAA BBBb eH L L 21 21 |)(| = ? )()()( 2121 nm T θθθψψψφ +++?+++=? LL 例：画出系统幅频响应曲线 , 2 1 ||, 12 1 )( > ? + = z z z zH 解：因为H(z)的收敛域为,故系统频率响应为： 2 1 || >z , ) 2 1 (2 1 )( ? + = ? ? ? Tj Tj Tj e e eH 令 θψ jTjjTjTj AeeBeee =?=??=+ ??? 2 1 ,)1(1 把和画在Z复平面上，如图所示： ψj Be θj Ae 7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-82页页页 ■ 电子教案电子教案 0,0,2, 2 1 :0 =====? θψBAT 0)(,2 2 |)(| =?=?== ? θψφ T A B eH Tj ↑↑↓↑↑? θψ ,,,: BAT πθ π ψπ ===== , 2 ,0, 2 3 : BAT? 2 )(,0|)(| π φ ?=?= ? TeH Tj ↑↑↑↓↑? θψ ,,,: BAT πθπψπ 2,2,2, 2 1 :2 =====? BAT 0)(,2|)(| =?= ? TeH Tj φ ][zR e ][zJ m -1 2 1 ψ θ A 1B Tj e ? 0 2 |)(| Tj eH ? π π20 T? 7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-83页页页 ■ 电子教案电子教案四、H(z)与离散系统稳定性： 1、离散稳定系统的定义：（LTI离散系统）一个离散系统，对任意有界输入f(k)，系统的零状态响应也有界，则称系统为有界输入有界输出意义下的稳定系统。 )(ky f 表示：若 ∞<<< ff MMkf 0,|)(| ∞<<< yyf MMky 0,|)(| 且则系统为稳定系统。 2、离散系统稳定的充要条件：设系统的单位响应为h(k) 充要条件： ∑ ∞ ?∞= ∞< k kh |)(| 7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-84页页页 ■ 电子教案电子教案证明：（1）充分性：设 f Mkf <|)(| ∑ ∞ ?∞= ?=?= m f mkfmhkfkhky )()()()()( ∑∑ ∞ ?∞= ∞ ?∞= ??≤?= mm f mkfmhmkfmhky |)(||)(||)()(||)(| |)(||)(| ∑ ∞ ?∞= ≤ m ff mhMky 即： ∞< ∑ ∞ ?∞= |)(| m mh 若 ∞<|)(| ky f 则（2）必要性：必要性是指：若，则至少有一个 ∑ ∞ ?∞= ∞= k kh |)(| 有界输入产生无界输出 )(kf )(ky f 7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-85页页页 ■ 电子教案电子教案设为一整数 rkrhkf )],(sgn[)( ?= 则 ∑ ∞ ?∞= ?=?= m f mkfmhkhkfky )()()()()( ∑ ∞ ?∞= +?= m mkrhmh )](sgn[)( 令，得： rk = ∑ ∞ ?∞= = m f mhmhry )](sgn[)()( ? ? ? ? ? <? = > = 0)(,1 0)(,0 0)(,1 )](sgn[ mh mh mh mhQ |)(|)](sgn[)( mhmhmh =∴ ∑ ∞ ?∞= = m f mhry |)(|)( 若 ∞= ∑ ∞ ?∞=m mh |)(| 则 ∞=)(ry f 即无界。 )(ky f 7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-86页页页 ■ 电子教案电子教案 3、离散系统稳定性判别：（1）离散系统稳定性的Z域充要条件：若LTI因果离散系统的系统函数H(z)的极点全部在单位圆内，则系统为稳定系统（2)朱里准则：朱里排列：设，z的正幂分式 )( )( )( zA zB zH = 0 1 1 )( azazazA n n n n +++= ? ? L 对系数排列如下： i a 7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-87页页页 ■ 电子教案电子教案行： 32 6 5 4 3 2 1 ?n M 2 0 2 0 1 0 r d d C C a a n n n ? ? 1 1 3 1 2 1 1 r d d C C a a n n n L ? ? ? 0 2 4 2 3 2 2 r d d C C a a n n n L ? ? ? L L L L L L L L L L 2 0 2 1 ? ? n n d d C C 1 0 1 1 ? ? n n C C a a n a a 0 L,,, 20 2 3 10 1 2 0 0 1 ? ? ? ?? === n n n n n n n n n aa aa C aa aa C aa aa C L,,, 30 21 4 20 11 3 10 01 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? === n n n n n n n n n CC CC d CC CC d CC CC d 7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-88页页页 ■ 电子教案电子教案朱里准则：若 ,0|)()1( 1 >= =z zAA ,0)1()1( >?? A n |,| 0 aa n > |,| 01 CC n > ? |,| 02 dd n > ? LL .|| 02 rr > 则H(z)的极点全部在单位圆内，系统稳定。例、判断系统是否稳定。 , 13412 1612 )( 23 2 +?? ++ = zzz zz zH 7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-89页页页 ■ 电子教案电子教案 6.4 z域分析单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。一、差分方程的变换解 ∑∑ = ? = ? ?=? m j jm n i in jkfbikya 00 )()( 设f(k)在k=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),…y(-n)。取单边z变换得 ∑∑∑ = ? ? ? = ? = ? ? =?+ m j j jm i n i i k i in zFzbzikyzYza 00 1 0 )]([])()([ ∑∑∑∑ = ? ? == ? = ? ? ? ? =?+ m j j jm n i n i i k k in i in zFzbzikyazYza 000 1 0 )()(])([)(][ 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-90页页页 ■ 电子教案电子教案 7.4 z域分析 6.4 z域分析单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。一、差分方程的变换解 ∑∑ = ? = ? ?=? m j jm n i in jkfbikya 00 )()( 设f(k)在k=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),…y(-n)。取单边z变换得 ∑∑∑ = ? ? ? = ? = ? ? =?+ m j j jm i n i i k i in zFzbzikyzYza 00 1 0 )]([])()([ ∑∑∑∑ = ? ? == ? = ? ? ? ? =?+ m j j jm n i n i i k k in i in zFzbzikyazYza 000 1 0 )()(])([)(][ 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-91页页页 ■ 电子教案电子教案 7.4 z域分析 )()()( )( )( )( )( )( zYzYzF zA zB zA zM zY fx +=+= )( )( )( )( )( zA zB zF zY zH f == 令称为系统函数 h(k)←→H(z) 例1：若某系统的差分方程为 y(k) – y(k – 1) – 2y(k – 2)= f(k)+2f(k – 2) 已知y( –1)=2，y(– 2)= – 1/2，f(k)= ε(k)。求系统的y x (t)、 y f (t)、y(t)。解方程取z变换信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-92页页页 ■ 电子教案电子教案 7.4 z域分析 Y(z)-[z -1 Y(z)+y(-1)]-2[z -2 Y(z)+y(-2)+y(-1)z -1 ]=F(z)+2z -2 F(z) 12 2 2 4 )( 21 21 21 )2(2)1()21( )( 2 2 2 2 21 2 21 1 ??? + + ?? + = ?? + + ?? ?+?+ = ?? ? ?? ? z z zz z zz zz zF zz z zz yyz zY )(])1()2(2[)( 12 2 )1)(2( 4 )( 2 kky z z z z zz zz zY kk xx ε??=→ + ? + ? = +? + = )(] 2 3 )1( 2 1 2[)( 12 3 12 1 2 2 )( 1 kky z z z z z z zY kk ff ε??+=→ ? ? + + ? = + 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-93页页页 ■ 电子教案电子教案 7.4 z域分析例2：某系统，已知当输入f(k)=(– 1/2) k ε(k)时，其零状态响应 )(]) 2 1 ( 2 9 ) 3 1 (4) 2 1 ( 2 3 [)( kky kkk f ε???+= 求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。解 3 1 2 2 1 3 6 1 6 1 2 )( )( )( 2 2 + ? + ? = ?? + == z z z z zz zz zF zY zH f h(k)=[3(1/2) k –2(– 1/3) k ]ε(k) )1(2)()2( 6 1 )1( 6 1 )( ?+=???? kfkfkykyky 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-94页页页 ■ 电子教案电子教案 7.4 z域分析二、系统的z域框图 f (k) D f (k -1) F(z) z 1 )( 1 zF z 信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-95页页页 ■ 电子教案电子教案 7.4 z域分析三、s域与z域的关系 z=e sT z T s ln 1 = 式中T为取样周期如果将s表示为直角坐标形式s = σ+jω，将z表示为极坐标形式z = ρe jθ ρ= e σT ，θ = ωT 由上式可看出：s平面的左半平面（σ<0)--->z平面的单位圆内部（?z?=ρ<1) s平面的右半平面（σ>0)--->z平面的单位圆外部（?z?=ρ>1) s平面的jω轴（σ=0)--->z平面中的单位圆上（?z?=ρ=1) s平面上实轴（ω=0)--->z平面的正实轴（θ=0) s平面上的原点（σ=0，ω=0）---->z平面上z=1的点（ρ=1，θ=0）信号与系统信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第 6-96页页页 ■ 电子教案电子教案 7.4 z域分析四、系统的频率响应 z=e sT

课件简介

课件名称：	西安电子科技大学：信号与系统
课件分类：	电气与自动化
课件类型：	电子图书
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