西安电子科技大学：信号与系统：chapter2

信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-1页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 第二章连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 二、关于0-和0+初始值 三、零输入响应和零状态响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应 二、阶跃响应 2.3 卷积积分 一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解 2.4 卷积积分的性质 一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性 点击目录，进入相关章节 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-2页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解 线性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故 称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚， 是学习各种变换域分析法的基础。 第二章连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 y (n) (t) + a n-1 y (n-1) (t) + …+ a 1 y (1) (t) + a 0 y (t) = b m f (m) (t) + b m-1 f (m-1) (t) + …+ b 1 f (1) (t) + b 0 f (t) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-3页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.1 LTI连续系统的响应 微分方程的经典解： y(t)(完全解) = y h (t)(齐次解) + y p (t)(特解） 齐次解是齐次微分方程 y (n) +a n-1 y (n-1) +…+a 1 y (1) (t)+a 0 y(t)=0 的解。y h (t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。 例描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e -t ，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e -2t ，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。 特解的函数形式与激励函数的形式有关。P43表2-1、2-2 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-4页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.1 LTI连续系统的响应 解: (1) 特征方程为λ 2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ 1 = – 2， λ 2 = – 3。齐次解为 y h (t) = C 1 e –2t + C 2 e –3t 由表2-2可知，当f(t) = 2e –t 时，其特解可设为 y p (t) = Pe –t 将其代入微分方程得 Pe –t + 5(– Pe –t ) + 6Pe –t = 2e –t 解得P=1 于是特解为y p (t) = e –t 全解为：y(t) = y h (t) + y p (t) = C 1 e –2t + C 2 e –3t + e –t 其中待定常数C 1 ,C 2 由初始条件确定。 y(0) = C 1 +C 2 + 1 = 2，y’(0) = – 2C 1 –3C 2 –1= –1 解得C 1 = 3 ，C 2 = – 2 最后得全解y(t) = 3e –2t –2e –3t + e –t , t≥0 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-5页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 （2）齐次解同上。当激励f(t)=e –2t 时，其指数与特征 根之一相重。由表知：其特解为 y p (t) = (P 1 t + P 0 )e –2t 代入微分方程可得P 1 e -2t = e –2t 所以P 1 = 1 但P 0 不能求得。全解为 y(t)= C 1 e –2t + C 2 e –3t + te –2t + P 0 e –2t = (C 1 +P 0 )e –2t +C 2 e –3t + te –2t 将初始条件代入，得 y(0) = (C 1 +P 0 ) + C 2 =1 ，y’(0)= –2(C 1 +P 0 ) –3C 2 +1=0 解得C 1 + P 0 = 2 ,C 2 = –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e –2t –e –3t + te –2t , t≥0 上式第一项的系数C 1 +P 0 = 2，不能区分C 1 和P 0 ，因而 也不能区分自由响应和强迫响应。 2.1 LTI连续系统的响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-6页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.1 LTI连续系统的响应 二、关于0-和0+初始值 若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数 C i 时用t = 0 + 时刻的初始值，即y (j) (0+) (j=0,1,2…，n- 1)。 而y (j) (0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系 统的历史信息。 在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y (j) (0-)反映 了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始 状态或起始值。 通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。 这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态 y (j) (0-)设法求得y (j) (0+)。下列举例说明。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-7页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0 + )和y’(0 + )。 解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （1） 利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0 + 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从 而y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。 但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由 于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 故y(0+) = y(0-) = 2 2.1 LTI连续系统的响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-8页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 对式(1)两端积分有 ∫∫∫∫∫ + ? + ? + ? + ? + ? +=++ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )(6)(2)(2)('3)('' dttdttdttydttydtty εδ 由于积分在无穷小区间[0-，0 + ]进行的，且y(t)在t=0连续， 故 ∫∫ + ? + ? == 0 0 0 0 0)(,0)( dttdtty ε 于是由上式得 [y’(0 + ) – y’(0-)] + 3[y(0 + ) – y(0-)]=2 考虑y(0+) = y(0-)=2 ，所以 y’(0 + ) – y’(0-) = 2 ，y’(0+) = y’(0-) + 2 =2 由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各 阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将 发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。 2.1 LTI连续系统的响应 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-9页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.1 LTI连续系统的响应 三、零输入响应和零状态响应 y(t) = y x (t) + y f (t) ,也可以分别用经典法求解。 注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值 y x (j) (0+), y f (j) (0+) (j = 0，1，2，…，n-1)的计算。 y (j) (0-)= y x (j) (0-)+ y f (j) (0-) y (j) (0+)= y x (j) (0+)+ y f (j) (0+) 对于零输入响应，由于激励为零，故有 y x (j) (0 + )= y x (j) (0 - ) = y (j) (0 - ) 对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 y f (j) (0-)=0 y f (j) (0+)的求法下面举例说明。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-10页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.1 LTI连续系统的响应 例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求该系统的零输 入响应和零状态响应。 解：（1）零输入响应y x (t)激励为0 ，故y x (t)满足 y x ”(t) + 3y x ’(t) + 2y x (t) = 0 y x (0+)= y x (0-)= y(0-)=2 y x ’(0+)= y x ’(0-)= y’(0-)=0 该齐次方程的特征根为–1，–2，故 y x (t) = C x1 e –t + C x2 e –2t 代入初始值并解得系数为C x1 =4 ,C x2 = – 2 ，代入得 y x (t) = 4e –t –2e –2t ,t > 0 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-11页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.1 LTI连续系统的响应 （2）零状态响应y f (t)满足 y f ”(t) + 3y f ’(t) + 2y f (t) = 2δ(t) + 6ε(t) 并有 y f (0-) = y f ’(0-) = 0 由于上式等号右端含有δ(t)，故y f ”(t)含有δ(t)，从而 y f ’(t)跃变，即y f ’(0+)≠y f ’(0-)，而y f (t)在t = 0连续，即 y f (0+) = y f (0-) = 0，积分得 [y f ’(0+)- y f ’(0-)]+ 3[y f (0+)- y f (0-)]+2 ∫∫ + ? + ? += 0 0 0 0 d)(62d)( tttty f ε 因此，y f ’(0+)= 2 – y f ’(0-)=2 对t>0时，有y f ”(t) + 3y f ’(t) + 2y f (t) = 6 不难求得其齐次解为C f1 e -t + C f2 e -2t ，其特解为常数3， 于是有y f (t)=C f1 e -t + C f2 e -2t + 3 代入初始值求得y f (t)= – 4e -t + e -2t + 3 ，t≥0 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-12页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.2 冲激响应和阶跃响应 2.3冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应 由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位 冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)] 例1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。 解根据h(t)的定义有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-13页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.2冲激响应和阶跃响应 因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含 δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续， 即h(0+)=h(0-)。积分得 [h’(0+) - h’(0-)] + 5[h(0+) - h(0-)] + 6 = 1 ∫ + ? 0 0 )( dtth 考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h’(0+) =1 + h’(0-) = 1 对t>0时，有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0 故系统的冲激响应为一齐次解。 微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为 h(t)=(C 1 e -2t + C 2 e -3t )ε(t) 代入初始条件求得C 1 =1,C 2 =-1, 所以 h(t)=( e -2t -e -3t )ε(t) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-14页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.2冲激响应和阶跃响应 例2描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。 解根据h(t)的定义有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。 由方程可知，h(t) 中含δ(t) 故令h(t) = aδ(t) + p 1 (t) [p i (t) 为不含δ(t) 的某函数] h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + p 2 (t) h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ p 3 (t) 代入式(1)，有 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-15页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.2冲激响应和阶跃响应 aδ”(t) + bδ’(t)+ cδ(t) + p 3 (t) + 5[aδ’(t) + bδ(t) + p 2 (t) ] + 6[aδ(t) + p 1 (t) ] = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) 整理得 aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c +5b+6a)δ(t) + p 3 (t)+5 p 2 (t)+6 p 1 (t) = δ”(t) + 2δ’(t) + 3δ(t) 利用δ(t) 系数匹配，得a =1 ，b = - 3，c = 12 所以h(t) = δ(t) + p 1 (t) （2） h’(t) = δ’(t) - 3δ(t) + p 2 (t) （3） h”(t) = δ”(t) - 3 δ’(t) + 12δ(t)+ p 3 (t) （4） 对式(3)从0-到0+积分得h(0+) – h(0-) = – 3 对式(4)从0-到0+积分得h’(0+) – h’(0-) =12 故h(0+) = – 3，h’(0+) =12 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-16页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.2冲激响应和阶跃响应 微分方程的特征根为–2，–3。故系统的冲激响应为 h(t)= C 1 e –2t + C 2 e –3t ，t>0 代入初始条件h(0+) = – 3，h’(0+) =12 求得C 1 =3，C 2 = – 6, 所以 h(t)= 3e –2t –6e –3t , t > 0 结合式(2)得 h(t)= δ(t) + (3e –2t –6e –3t )ε(t) 对t>0时，有h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0 二、阶跃响应 g(t)= T [ε(t) ，{0}] t tg thhtg t d )(d )(,d)()( == ∫ ∞? ττ 由于δ(t) 与ε(t) 为微积分关系，故 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-17页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.3卷积积分 2.3 卷积积分 一、信号的时域分解与卷积积分 1 .信号的时域分解 (1) 预备知识 p(t) ? 1 t 0 2 ? 2 ? ? (a) f1(t) A t0 2 ? ? 2 ? (b) 问f 1 (t) = ? p(t) 直观看出 )(A)( 1 A )( 1 tptptf ?= ? = 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-18页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.3卷积积分 (2) 任意信号分解 2 ? ? 2 ? f(t) t 0 2 3? -1 0 1 2 … … )( ? tf f(0) )(?f )( ??f “0”号脉冲高度f(0) ,宽度为△， 用p(t)表示为：f(0) △p(t) “1”号脉冲高度f(△) ,宽度为 △，用p(t -△)表示为： f(△) △p(t -△) “-1”号脉冲高度f(-△) 、宽度为△，用p(t +△)表示 为：f ( -△) △p(t + △) ∑ ∞ ?∞= ????= n ntpnftf )()()( ? ∫ ∞ ?∞ →? ?== ττδτ d)()()()( ? lim 0 tftftf 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-19页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.3卷积积分 2 .任意信号作用下的零状态响应 LTI系统 零状态 y f (t) f (t) 根据h(t)的定义： δ (t) h(t) 由时不变性： δ (t -τ ) h(t -τ ) f (τ )δ (t -τ ) 由齐次性： f (τ ) h(t -τ ) 由叠加性： ττδτ d)()( ∫ ∞ ?∞ ?tf τττ d)()( ∫ ∞ ?∞ ?thf ‖ f (t) ‖ y f (t) τττ d)()()( ∫ ∞ ?∞ ?= thfty f卷积积分 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-20页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.3卷积积分 3 .卷积积分的定义 已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f 1 (t)和f 2 (t)， 则定义积分 ∫ ∞ ∞? ?= τττ dtfftf )()()( 21 为f 1 (t)与f 2 (t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f 1 (t)*f 2 (t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分 变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。 )(*)(d)()()( thtfthfty f =?= ∫ ∞ ?∞ τττ 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-21页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.3卷积积分 例：f (t) = e t ,（-∞<t<∞)，h(t) = (6e -2t –1)ε(t)，求 y f (t)。 解：y f (t) = f (t) * h(t) ∫ ∞ ?∞ ?? ??= ττε ττ d)(]1e6[e )(2 t t 当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0 ∫∫ ?∞ ? ?∞ ?? ?=?= t t t t f ty ττ ττττ d)eee6(d]1e6[e)( 32)(2 ttttttt tt t eeee2ee2e ded)e6(e 3232 32 =??=??= ?= ? ∞?∞? ? ?∞?∞ ? ∫∫ ττ ττ ττ 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-22页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.3卷积积分 二、卷积的图解法 ∫ ∞ ∞? ?= τττ dtfftftf )()()(*)( 2121 卷积过程可分解为四步： （1）换元：t换为τ→得f 1 (τ)，f 2 (τ) （2）反转平移：由f 2 (τ)反转→f 2 (–τ)右移t →f 2 (t-τ) （3）乘积：f 1 (τ) f 2 (t-τ) （4）积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。 注意：t为参变量。 下面举例说明。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-23页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.3卷积积分 t h(τ )f (t -τ ) 2 0 13 τ 2 1 = 例f (t) ,h(t)如图所示，求y f (t)= h(t) * f (t)。 [解]采用图形卷积。 f ( t -τ) f (τ)反折 f (-τ)平移 t ① t < 0时 , f ( t -τ)向左移 f ( t -τ) h(τ) = 0，故 y f (t) = 0 ② 0≤ t ≤ 1 时 , f ( t -τ)向右移 2 0 4 1 d 2 1 )( tty t f =?= ∫ ττ ③ 1≤ t ≤ 2时 4 1 2 1 d 2 1 )( 1 ?=?= ∫ ? tty t t f ττ ⑤ 3≤ t 时 f ( t -τ) h(τ) = 0，故 y f (t) = 0 f ( t ) t 0 2 1 1 t h ( t ) 2 2 τ τ τ τ h(t)函数形式复杂换元为h(τ)。 f (t)换元f (τ) f (-τ ) f (t -τ ) t-1 t t-1 t t-1 t t yf (t ) 2 0 13 4 1 4 3 t t-1 t t-1 ④ 2≤ t ≤ 3 时 4 3 2 1 4 1 d 2 1 )( 2 2 1 ++?=?= ∫ ? ttty t f ττ 0 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-24页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.3卷积积分 图解法一般比较繁琐，但 若只求某一时刻卷积值时 还是比较方便的。确定积 分的上下限是关键。 例：f 1 (t)、f 2 (t)如图所示，已知 f(t) = f 2 (t)* f 1 (t)，求f(2) =？ t f 2( t ) -1 1 3 1 -1 f 1( t ) t2-2 2 τ τ τ τ f 1 (-τ) f 1 (2-τ) τ f 1(2-τ ) f 2(τ ) 2 2 -2 解： ∫ ∞ ∞? ?= τττ d)2()()2( 12 fff （1）换元 （2）f 1 (τ)得f 1 (–τ) （3）f 1 (–τ)右移2得f 1 (2–τ) （4）f 1 (2–τ)乘f 2 (τ) （5）积分，得f(2) = 0（面积为0） 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-25页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.4卷积积分的性质 2.4卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质 （或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 一、卷积代数 满足乘法的三律： 1.交换律：f 1 (t)* f 2 (t) =f 2 (t)* f 1 (t) 2.分配律：f 1 (t)*[ f 2 (t)+ f 3 (t)] =f 1 (t)* f 2 (t)+ f 1 (t)* f 3 (t) 3.结合律：[f 1 (t)* f 2 (t)]* f 3 (t)] =f 1 (t)*[ f 2 (t) * f 3 (t)] 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-26页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.4卷积积分的性质 二、奇异函数的卷积特性 1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) 证： )(d)()()(*)( tftftft =?= ∫ ∞ ∞? τττδδ f(t)*δ(t –t 0 ) = f(t – t 0 ) 2. f(t)*δ’(t) = f’(t) 证： )('d)()(')(*)(' tftftft =?= ∫ ∞ ∞? τττδδ f(t)*δ (n) (t) = f (n) (t) 3. f(t)*ε(t) ∫∫ ∞? ∞ ∞? =?= t ftf ττττετ d)(d)()( ε(t) *ε(t) = tε(t) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-27页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.4 卷积积分的性质 三、卷积的微积分性质 1. [] n n n n n n t tf tftf t tf tftf t d )(d *)()(* d )(d )(*)( d d 2 12 1 21 == 证：上式= δ (n) (t) *[f 1 (t)* f 2 (t)] = [δ (n) (t) *f 1 (t)] * f 2 (t) = f 1 (n) (t) * f 2 (t) 2. ]d)([*)()(*]d)([d)](*)([ 212121 τττττττ ∫∫∫ ∞?∞?∞? == ttt ftftffff 证：上式= ε(t) *[f 1 (t)* f 2 (t)] = [ε(t) *f 1 (t)] * f 2 (t) = f 1 (–1) (t) * f 2 (t) 3. 在f 1 (–∞) = 0或f 2 (–1) (∞) = 0的前提下， f 1 (t)* f 2 (t) = f 1 ’(t)* f 2 (–1) (t) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-28页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.4 卷积积分的性质 例1：f 1 (t) = 1，f 2 (t) = e –t ε(t)，求f 1 (t)* f 2 (t) 解：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f 2 (t)* f 1 (t)= 1eded)(e 0 0 =?== ∞? ∞ ? ∞ ∞? ? ∫∫ τττ τττε 注意：套用f 1 (t)* f 2 (t) = f 1 ’(t)* f 2 (–1) (t) = 0* f 2 (–1) (t) = 0 显然是错误的。 例2：f 1 (t) 如图, f 2 (t) = e –t ε(t)，求f 1 (t)* f 2 (t) )()e1()(e)(ded)(e)( 0 0 )1( 2 ttttf tt tt εεετττε τττ ??? ∞? ?? ?=??= ? ? ? ? ? ? == ∫∫ f 1(t) t20 1 解法一：f 1 (t)* f 2 (t) = f 1 ’(t)* f 2 (–1) (t) f 1 ’(t) =δ(t) –δ(t –2) f 1 (t)* f 2 (t)=(1- e –t )ε(t) – [1- e –(t-2) ]ε(t-2) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-29页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.4 卷积积分的性质 解： f 1 (t) =ε(t) –ε(t –2) f 1 (t)* f 2 (t)= ε(t) * f 2 (t) –ε(t –2) * f 2 (t) ε(t) * f 2 (t)= f 2 (-1) (t) 四、卷积的时移特性 若f(t) = f 1 (t)* f 2 (t)， 则f 1 (t –t 1 )* f 2 (t –t 2 ) = f 1 (t –t 1 –t 2 )* f 2 (t) = f 1 (t)* f 2 (t –t 1 –t 2 ) = f(t –t 1 –t 2 ) 前例：f 1 (t) 如图, f 2 (t) = e –t ε(t)，求f 1 (t)* f 2 (t) f 1(t) t20 1 利用时移特性，有ε(t –2) * f 2 (t)= f 2 (-1) (t –2) f 1 (t)* f 2 (t)=(1- e –t )ε(t) – [1- e –(t-2) ]ε(t-2) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-30页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.4 卷积积分的性质 例：f 1 (t), f 2 (t)如图，求f 1 (t)* f 2 (t) t1 1 -1 f 1(t) t10 2 f 2(t) 0 解：f 1 (t) = 2ε(t) –2ε(t –1) f 2 (t) = ε(t+1) –ε(t –1) f 1 (t)* f 2 (t) = 2ε(t)* ε(t+1) –2ε(t)* ε(t –1) –2ε(t –1)* ε(t+1) –2ε(t –1)* ε(t –1) 由于ε(t)* ε(t) = tε(t) 据时移特性，有 f 1 (t)* f 2 (t) = 2 (t+1) ε(t+1) - 2 (t –1) ε(t –1) –2 tε(t) –2 (t –2) ε(t –2) 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-31页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 2.4 卷积积分的性质 求卷积是本章的重点与难点。 求解卷积的方法可归纳为： （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的 函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-32页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 LTI连续系统的时域分析可归结为： 建立并求解线性微分方程。 一、微分方程的经典解（复习） 2.5 微分方程的经典解 2.5 LTI连续系统微分方程的经典解 y (n) (t) + a n-1 y (n-1) (t) + …+ a 1 y (1) (t) + a 0 y (t) = b m f (m) (t) + b m-1 f (m-1) (t) + …+ b 1 f (1) (t) + b 0 f (t) 微分方程的经典解： y(t)(完全解) = y h (t)(齐次解) + y p (t)(特解） 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-33页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.5 微分方程的经典解 齐次解是齐次微分方程 y (n) +a n-1 y (n-1) +…+a 1 y (1) (t)+a 0 y(t)=0 的解。y h (t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。 例描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e -t ，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e -2t ，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。 特解的函数形式与激励函数的形式有关。P78表2-4 齐次解 的函数形式仅与系统本身的特性有关，而 与激励f(t)的 函数形式无关，称为系统的 固有响应 或 自由响应 ； 特解 的函数形式由激励确定，称为 强迫响应。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-34页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.5 微分方程的经典解 解: (1) 特征方程为λ 2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ 1 = – 2， λ 2 = – 3。齐次解为 y h (t) = C 1 e –2t + C 2 e –3t 由表2-4可知，当f(t) = 2e –t 时，其特解可设为 y p (t) = Qe –t 将其代入微分方程得 Qe –t + 5(– Qe –t ) + 6Qe –t = 2e –t 解得Q=1 于是特解为y p (t) = e –t 全解为：y(t) = y h (t) + y p (t) = C 1 e –2t + C 2 e –3t + e –t 其中待定常数C 1 ,C 2 由初始条件确定。 y(0) = C 1 +C 2 + 1 = 2，y’(0) = – 2C 1 –3C 2 –1= –1 解得C 1 = 3 ，C 2 = – 2 最后得全解y(t) = 3e –2t –2e –3t + e –t , t≥0 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-35页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 （2）齐次解同上。当激励f(t)=e –2t 时，其指数与特征 根之一相重。由表知：其特解为 y p (t) = (Q 0 + Q 1 t)e –2t 代入微分方程可得Q 1 e -2t = e –2t 所以Q 1 = 1 但Q 0 不能求得。全解为 y(t)= C 1 e –2t + C 2 e –3t + te –2t + Q 0 e –2t = (C 1 +Q 0 )e –2t +C 2 e –3t + te –2t 将初始条件代入，得 y(0) = (C 1 +Q 0 ) + C 2 =1 ，y’(0)= –2(C 1 +Q 0 ) –3C 2 +1=0 解得C 1 + Q 0 = 2 ,C 2 = –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e –2t –e –3t + te –2t , t≥0 上式第一项的系数C 1 +P 0 = 2，不能区分C 1 和P 0 ，因而 也不能区分自由响应和强迫响应。 2.5 微分方程的经典解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-36页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.5 微分方程的经典解 二、用系数匹配法求0+初始值 若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数 C i 时用t = 0 + 时刻的初始值，即y (j) (0+) (j=0,1,2…，n- 1)。 而y (j) (0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系 统的历史信息。 在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y (j) (0-)反映 了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始 状态或起始值。 通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。 这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态 y (j) (0-)设法求得y (j) (0+)。下列举例说明。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-37页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0 + )和y’(0 + )。 解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （1） 用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0 + 区 间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从 而y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。 但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由 于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 即y(0+) = y(0-) = 2 2.5 微分方程的经典解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-38页 页 页 ■ 电子教案 电子教案 对式(1)两端积分有 ∫∫∫∫∫ + ? + ? + ? + ? + ? +=++ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )(6)(2)(2)('3)('' dttdttdttydttydtty εδ 由于积分在无穷小区间[0-，0 + ]进行的，且y(t)在t=0连续， 故 ∫∫ + ? + ? == 0 0 0 0 0)(,0)( dttdtty ε 于是由上式得 [y’(0 + ) – y’(0-)] + 3[y(0 + ) – y(0-)]=2 考虑y(0+) = y(0-)=2 ，所以 y’(0 + ) – y’(0-) = 2 ，y’(0+) = y’(0-) + 2 =2 由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各 阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将 发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。 2.5 微分方程的经典解 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-39页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.5 微分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应 y(t) = y x (t) + y f (t) ,也可以分别用经典法求解。 注意：对t=0时接入激励f(t)的系统， 初始值y x (j) (0+), y f (j) (0+) (j = 0，1，2，…，n-1)的计算： y (j) (0-)= y x (j) (0-)+ y f (j) (0-) y (j) (0+)= y x (j) (0+)+ y f (j) (0+) 对于零输入响应，由于激励为零，故有 y x (j) (0 + )= y x (j) (0 - ) = y (j) (0 - ) 对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 y f (j) (0-)=0 y f (j) (0+)的求法下面举例说明。 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-40页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.5 微分方程的经典解 例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求该系统的零输 入响应和零状态响应。 解：（1）零输入响应y x (t)因为激励为0 ，故y x (t)满 足 y x ”(t) + 3y x ’(t) + 2y x (t) = 0 y x (0+)= y x (0-)= y(0-)=2 y x ’(0+)= y x ’(0-)= y’(0-)=0 该齐次方程的特征根为–1，–2，故 y x (t) = C 1 e –t + C 2 e –2t 代入初始值并解得系数为C 1 =4 ,C 2 = – 2 ，代入得 y x (t) = 4e –t –2e –2t ,t > 0 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-41页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.5 微分方程的经典解 （2）零状态响应y f (t)满足 y f ”(t) + 3y f ’(t) + 2y f (t) = 2δ(t) + 6ε(t) 并有 y f (0-) = y f ’(0-) = 0 由于上式等号右端含有δ(t)，故y f ”(t)含有δ(t)，从而 y f ’(t)跃变，即y f ’(0+)≠y f ’(0-)，而y f (t)在t = 0连续，即 y f (0+) = y f (0-) = 0，积分得 [y f ’(0+)- y f ’(0-)]+ 3[y f (0+)- y f (0-)]+2 ∫∫ + ? + ? += 0 0 0 0 d)(62d)( tttty f ε 因此，y f ’(0+)= 2 – y f ’(0-)=2 对t>0时，有y f ”(t) + 3y f ’(t) + 2y f (t) = 6 不难求得其齐次解为D 1 e -t + D 2 e -2t ，其特解为常数3， 于是有y f (t)=D 1 e -t + D 2 e -2t + 3 代入初始值求得y f (t)= – 4e -t + e -2t + 3 ，t≥0 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-42页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.5 微分方程的经典解 例2描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。 解根据h(t)的定义有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。 用微分方程的传统的经典解法也可以解冲激响应 h(t)。因为单位冲激响应是由单位冲激函数δ(t)所引 起的零状态响应。h(t)=T[{0},δ(t)] （但经典法对于方程右边为复杂输入时运算很繁琐） 因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含 δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续， 即h(0+)=h(0-)。 ∫ + ? 0 0 )( dtth 信号与系统 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第 第 第 2-43页 页 页 ■ 电子教案 电子教案2.5 微分方程的经典解 在无穷小区间[0-，0 + ]对上式积分得： [h’(0+) - h’(0-)] + 5[h(0+) - h(0-)] + 6 = 1 ∫ + ? 0 0 )( dtth 考虑h(0+)= h(0-) =0，由上式可得 h’(0+) =1 + h’(0-) = 1 对t>0时，有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0 故系统的冲激响应为一齐次解（形式）。 微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为 h(t)=(C 1 e -2t + C 2 e -3t )ε(t) 代入初始条件求得C 1 =1,C 2 =-1, 所以 h(t)=( e -2t -e -3t )ε(t)