第十八章 压杆稳定
? § 18.1 概述
? § 18.2 静力法
? § 18.3 能量法
? § 18.4 不同支承条件下细长压杆的临界载荷
? § 18.5 柔度临界应力总图
? § 18.6 压杆的稳定计算
? § 18.7 提高压杆稳定性措施
§ 18.1 概述
18.1.1 压杆稳定的概念
细长压杆平衡，当压力 <“一定值”时，压杆一直处
于直线形式的平衡，微小的外界扰动使其偏离平
衡位置，发生微小的弯曲变形。但干扰解除后，
它仍能恢复到初始直线平衡位置。这时称压杆直
线形式的平衡状态是稳定的。当压力达到“一定数
值”时，外界扰动使其发生微小的弯曲变形。扰动
解除后，它将处于微弯状态下的平衡，而不
能恢复到初始直线平衡位置。这时称压杆直
线形式的平衡状态是不稳定的。
失稳：压杆丧失直线形式的平衡状态转变为曲线
形式的平衡状态，这一过程称失稳，又称
屈曲。
临界载荷：“一定数值”记为 。本章重点研究 。
应使 <,才能保证稳定性。 cr
P
P crP
crP
18.1.2 弹性压杆的平衡路径及分叉屈曲
细长压杆，当压力达到,杆中应力一般 < 。
crP crP
∴ 细长压杆是在弹性范围内失稳的。 ∴ 细长压
杆也称为弹性压杆。
f
P
P
f
P
A
D C
0
crP
B
,OA 直线一种平衡形式稳定
crPP ?
：二种可能平衡形式
crPP ?
AB 直线
AC（ AD） 曲线
说明,直线形式不稳定，扰动，变为屈曲。crPP ?
且 增长很快，f 时
crPP 0 1 5.1?
lf 11.0?
曲线称为压杆的平衡路径。 A点称为平衡路
径的分叉点。 ∴ 细长压杆的屈曲又称为分叉屈
曲。其临界载荷又称为分叉载荷。
fP?
18.1.3 研究方法
静力法（ § 18.2）能量法（ § 18.3）
§ 18.2 静力法
与以前各章不同，研究稳定性，必须应用变形
后形态下的平衡条件。
1,刚性杆稳定问题的静力法 。
l
P
A
B
k k
?
A
P
lk?
AXF
AYF
扰动使 AB
有倾斜 ?
弹簧力对 A之矩,恢复力矩22 lk ?
P对 A之矩,偏离力矩lP?
若 稳定klP 2? )2( 2lklP ???
klP 2? 不稳定
∴ 是临界载荷。klP 2? klPcr 2?
2．两端铰支细长压杆（弹性）稳定角的静力法。
时，压杆可能有两种平衡形式。一种
是直线，另一种是曲线。另一种是曲线。这时直
线形式是不稳定的，稍扰动就过度到曲线形式的
crPP ?
平衡状态。就取这种微弯状态下的平衡来研究。
P
A
l
y
crP
crP
x
crP
crP
y
x
)(xM
任截面上弯矩 yPxM
cr??)(
：绝对值crP
：挠曲线方程)(xyy ?
小变形，当 时，可用近似微分方程P?? ?
yPxMEI y cr??? )("
EI
Pk cr?2令
02" ?? yky则
kxBkxAy c o ss in ??
边界条件,0:0 ?? yx
0,?? ylx
代入上式
将关于 A,B的齐次方程组：
?
?
?
??
????
0c o ss in
010
klBklA
BA
不能取 A=B=0，它虽满足方程组，但使。表示
杆仍处于直线平衡状态。不是我们研究的问题。
若要有非零解,A,B就不能全为零。那么方程
组中关于 A,B的系数行列式就必须等于零，即
0c o ss in 10 ?? klklD 称稳定特征方程
解得 0sin ?kl
)2,1,0( ??? nnkl ?
2
22
l
EInP
cr
??∴
弃去，其它的非零解称为原平衡微分方程的本
征值，要求的临界载荷应是其中最小的本征值。
∴ 取 1?n
2
2
l
EIP
cr
??
此即两端铰支细长压杆的临界载荷公式，
又称欧拉公式
讨论：
1,压杆在抗弯能力最弱的纵向平面内首先失稳
∴ 若各弯曲平面内的约束相同时,取 minII
若取 则L4,3,2?n
?lllk ??? 432 ???
xlAy ?2s in? xlA ?3sin KKxlA ?4s in
若拐点处不存在夹持，这些只是理论上可能存在
的形状，只要稍有扰动，就立即消失。而实际中
干扰因素很多，不可避免，初曲率、力偏心等。
∴ 实际中这些临界状态不存在。工程上有实际意
义上的就是 时的 。1?n
crP
3．当 时，1?n
l
xAy ?s in?
A无法近似微分方程确定的常数，表示杆中
点挠度。
4．对实际存在的外力有点偏心，处小曲率等。
公式仍可用。由安全系数调整。
用静力法步骤：
1,对临界微弯状态建立平衡微分方程。
2,稳定特征方程。
3,解特征方程，求得平衡微分方程的本征值。
其中最小的就是临界载荷。
§ 18.3 能量法
§ 16.6 中势能驻值原理和最小势能原理，知：
当压杆处于平衡状态时，。总势能对某一挠
度函数去驻值，驻值若为最小值，平衡是稳
定的。驻值若为最大值，平衡是不稳定的。
二者之间的平衡状态称为中性的。即临界状
态。
∴ 能量准则：设是从原有平衡位置到任意相邻
平衡位置时总势能的改变量。
0??? ? 为极小，平衡稳定
0??? ? 为极大，平衡不稳定
0??? 平衡中性，即处于临界状态
1．刚性杆稳定问题的能量法
? ? ? ? 22212 lklkU ?? ????????? 弹簧增加弹性势能
P力作用点 B降低，势能减小
? ? 2)2(s in2c o s1 22 lll ???? ?????
2
2 lP
PV ?? ?????
由临界状态时必有,得 0??????? VU
02)(
2
2 ?? lPlk cr ??
klPcr 2?
与静力法结构同
2．两端铰支细长压杆
l
y
P
?
x
dx
P
dx
? ?cosdx
?d
dxd )c o s1( ?? ??
?? l dd 0 ?
压杆由直线 微弯 变形能?
? ???? l l dxyEIdxEI xMU 0 0 22 )"(21)(21
P力作用点下降,势能减少?
dxd )c o s1( ?? ?? )('2c o s1 2 xy??? ???而
? ? dxxyd 2)('21??∴
?? ?? ll dxyd 0 20 )'(21??
?????? l dxyPPV 0 2)'(2?
由临界状态 得 0??????? VU
? ??l lcr dxyPdxyEI0 0 22 )'()"(
?
??
l
l
cr
dxy
dxyEI
P
0
2
0
2
)'(
)"(∴
因此从理论上讲，应遍取一切可能的 y，使上式取
最小值的才是真实的 y和真实的,所以上式应
写为：
crP
?
?
?
? ??
l
l
l
l
cr
dxy
dxyEI
dxy
dxyEI
stP
0
2
0
2
0
2
0
2
)'(
)"(
m i n
)'(
)"(
这是一个泛函数驻值问题，与上节的平衡微分
方程的本征值问题完全等价。求精确解就要求
泛函的最小值。
实际计算时，不必要取出一切可能的 y。
通常的作法是缩小范围求近似解。例如可以把
原来的大范围缩小到只包含一个参数 的挠度
函数集。
?
)1( lxlxy ?? ?
它满足边界位移条件 x=0,y=0
x=l,y=0
? ?l lEIdxyEI0 3 22 4)"( ?
ldxy
l
3)'(
2
0
2 ???
2
12
l
EIP
cr ?
∴
我们已知 精确解为,误差偏大 22%,原因
是它与真实的挠度函数相差太远。
crP 2
2
l
EI?
若使 y包含两个参数，
?????? ???? )1()1( 21 lxlxlxlxy ??
近似值的误差只偏大 0.05%crP
一般情况,可取一组适合边界位移条件的挠度
函数
i?
?? iiy ??
取 2项或 3项便可以达到满意效果
* 两种方法比较,
精确解：二者等价
近似解：求微分方程近似解较困难，求泛函
极值近似解较方便。
§ 18.4 不同支承条件下细长压杆
的临界载荷
2
2
)( l
EIP
cr ?
??
：不同支承条件下压杆失稳时挠曲线正弦半
波的长度l?
：长度系数?
P
A
l
1?u
l5.0
5.0?u
crP
l7.0
7.0?u
2?u
crP
l2
其它情况可用静力法或能量法求，
也可用正弦半波长度类比得出。
§ 18.5 柔度临界应力总图
18.5.1 临界应力和柔度
临界载荷作用下,压杆在直线平衡位置时横截
面上的应力
Al
EI
A
P cr
cr 2
2
)( ?
?? ?? 又 惯性半径
A
Ii ?
则 22222 22 )( ??
?
?
?
?? E
i
l
E
l
Ei
cr ?
?
?
??
?
?
?? 欧拉公式另一形式
称为压杆的柔度或长细比。它反映了压杆
长度、支承条件、截面尺寸形状对的影响是很
重要的参数。
i
l???
18.5.2 欧拉公式适用范围
欧拉公式是由导 出的，而它又用到
胡克定律
)(" xMEI y ?
∴ 欧拉公式只有在 时才适用Pcr ?? ?
P
E
?
?? 2?即
设 欧拉公式适用于
P
P
E
??? ? P?? ?
18.5.3 大柔度杆、中柔度杆和小柔度杆
1．大柔度杆：
① 的压杆称为大柔度杆，也就是细长杆。
② 此类压杆只发生了弹性失稳
③ 稳定计算：欧拉公式
P???
2．中柔度杆：
① 称中柔度杆，也称中长杆
② 此类压杆也会发生失稳，但横截面上的
应力 以超出 。出现塑性变形，称为非
弹性失稳。其平衡路径无分支及分叉点，
只有极限点，也称为极限点屈面。
SP ??? ??
cr? P?
③ 稳定计算：经验公式
3．小柔度杆：
① 称小柔度杆
② 此类压杆不失稳，其破坏原因是压应力
达到屈服极限（塑）或强度极限（脆），
属强度问题。其“临界应力”就是屈服极
限或强度极限。
S???
18.5.4 中柔度杆的临界应力公式、临界应
力总图
经验公式以实验为基础：直线公式、抛物线公式
1．直线公式,?? bacr ??
式中 为压杆实际柔度,a,b是与材料有关常数?
采用直线公式计算中柔度杆的 时,曲线如
下，称为临界应力总图
cr? ?? ?cr
A
P?
cr?
?
s? P?
0
B
C
scr ?? ?
?? bacr ??
2
2
??? Ecr ?
2
2
)(ul
EIP
cr
??
P
P
E
??? ?
b
a s
s
?? ??
（ 1）由压杆材料算出
SP ?? 及
（ 2）由压杆尺寸及支承条件计算出实际柔度
A
Ii
i
l ??,??
若在各个弯曲平面内柔度不同，则取
max?? ?
（ 3）用, 比较，选用 的计算公式
P??与 S? cr?
若,图中 CD段选欧拉公式P?? ?
若,图中 BC段选经验公式PS ??? ??
若,图中 AB段按强度计算，即S??? scr ?? ?
*若压杆由脆性材料制成，将 换为 即可。cr? b?
2．抛物线公式 211 ?? bacr ??
式中, 也是与材料有关常数1a
1b
国钢结构设计中，采用下列形式的抛物线公式
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
??? 243.01
c
scr ?
???
c?? ?
s
c
E
??? 57.0?式中
对 Q-235A钢：,,则有
，,
M P as 2 3 5?? G P aE 2 0 6?
123?c? 200666.0235 ?? ??cr 123??
计算 步骤基本相同cr?
* 注：若压杆上存在钉孔等造成局部削弱的因
素，不予考虑，一律采用未削弱前的横
截面形状和尺寸。
原因：临界力大小是压杆整体变形决定的。
临界应力总图
cr?
?
?????? ?? 2)(43.01
c
scr ?
???
s
c
E
??? 57.0?
例,18.1 矩形 (b=12mm,h=20mm)截面压杆,
l=300mm,材料为 Q-235A钢,计算
(若为中柔度杆,用直线公式 )
(1) 一端固定,一端自由
(2) 两端铰支
(3) 两端固定
crP
解：
32
12
3
m i n
m i n
b
bh
hb
A
Ii ???
2??（ 1）
1 0 02.1 7 3
m i n
m a x ???? Pi
l ??? 用欧拉公式
kNEAP cr 3.162.173 10201210206 2
692
2
m a x
2
????????
??
?
?
1??（ 2）
6.86m a x ?? PS ??? ?? m a x 经验公式
kN
AbaP cr
7.49
10201210)6.8612.1304()( 66
?
????????? ??
5.0??（ 3）
S?? ?? 3.43m a x
kNAP scr 4.5610201210235 66 ??????? ??
§ 18.6 压杆的稳定计算
在会求 及 的基础上，进行稳定计算。三类
问题
cr?crP
? ? ? ?
st
cr
cr n
PPP ??
为稳定安全系数，一般大于强度安全系数。
由于初曲率、载荷偏差、材料不均匀、有钉子孔
等，都会降低 。而且柔度越大，影响越大。
? ?stn
crP
∴ 取值也随 增大而提高。? ?stn ?
一般钢材 ? ? 0.3~8.1?stn
（钢制磨床油缸活塞杆，取到 4~6。所以与压杆
工作条件也有关）
铸铁 ? ? 5.5~0.5?stn 可查专业手册
工程实际中，常用如下公式
? ?stcrst nPPn ??
stn 工作安全系数
安全系数法：实际具备的安全系数不小于规定的
稳定安全系数。
例 18.3 活塞直径,65 mmD ?,2.1 M P ap ? 活塞杆长
,1 2 5 0 mml ? 材料,2 0 6 G P aE ?,2 2 0 M P aP ??
? ?,6?stn 确定 d （杆两端可简化为铰支）
pD
d
分析：由于 d未知,无法求，也就不知该选
什么公式？处理办法是先选用欧拉公式进行计
算。求出 d后，再校核是否满足欧拉公式条件。
?
解,1,计算
crP
)(3 9 8 0
102.1)1065(
44
632
N
pDP
?
?????? ?
??
? ? )(2 3 9 0 03 9 8 06 NPnP stcr ?????
2,用欧拉公式求 d
2
4
32
2
2
)12501(
64
10206
)( ?
???
??
d
ul
EIP
cr
??
?
∴ d=24.7 mm 取 d=25 mm
3,校核是否可用欧拉公式
2 00
4
25
1 25 01 ????
i
ul?
962 2 02 0 6 ??? ????
P
P
E
可见,用欧拉公式计算是正确的,
结论,取 d=25 mm
P?? ?
例,18.5 图示结构,各段材料相同且均为直径为 d
的圆截面杆,c为刚结点,已知,20 mmd ?,2 0 0 G P aE ?
,2 0 0 M P aP ??,5.0 ma ? 若稳定安全系数 ? ?,5.2?stn
试按 DE杆的稳定条件确定许可载荷 ??q
2a a
Ｃ
a
Ａ Ｂ
ＤaＥ
2a
q
解,1,求解静不定
相当系统,DE切开，代之以 1X
11 ?X
a
1??N
11 ?X
2
a
2qa
2
2qa
??????????????? aaaaaaaaaEI 32)221(232)221(232)2221[(111?
EI
a
EI
a
EA
aaaa ???????
4
5]
3
2)
2
1 3
?? p1 ]2)2232(232)21(232)221[(1
222 aqaaaqaaaqaa
EI ?????????????
?
EI
qa
6
5 4??
01111 ??? pX?
qX p 3 3 3.0
11
1
1 ?
???
?
∴
2,DE杆两端铰支 1??∴
mmdi 54 ?? ml 5.0?
100?? il??∴
35.991 ??
P
E
???
而
由于 可选用欧拉公式
1?? ?
KNAEP cr 622
2
?? ?? KNnPP
st
cr 8.24
][][ ??
mKN
Pq 4.74
3 3 3.0
][][ ??
注：此题只要求有稳定性确定 [q]实际还应考虑
其他段的弯曲强度。
例 18.6 圆杆 AB,时将其固定?0 mlcmd 1,5.2 ??
材料 Q-235A钢,?C
l 11092.3 5????
问：杆失稳时温升为多少度
l
1,求
cr?
11 12
4
5.2
1 007.0 ??? ?????
i
l
2
2
?
?? E
cr ??
2,求温度升高 产生的
t?t?
EA
Nllt
l ????? tEA
N
lt ???? ??
3,失稳条件
tcr ?? ?
?1.20
1092.3112 52
2
2
2
??????? ?????
l
t
§ 18.7 提高压杆稳定性措施
越大稳定性越好
cr?
合理材料
中长杆或
细长杆 ?
?
?
?
?
?
????
? ?
????
?
?
?
)(
)(
2
11
2
2
baba
E
ercr
cr
18.7.1 减小柔度 ?
A
Ii
i
l ??,??
1,增强支承的刚性使,滑动轴承尽量增加长度??
2,减小压杆长度 l，可增加中间支承
3,合理选择截面形状尺寸使 当 A一定时增大 I最
经济的方法是采用中空截面
?i
空心截面或用型钢制成组合截面，不能使相互连
接变弱各型钢近似为独立杆等稳定性 ——各弯曲
平面内的柔度相等
(1) 若个弯曲面内约束相同，即 相同，则应选
的截面形状
yz II ?
?
(2) 若 不同则 但使
yz II ? xyxy ?? ??
18.7.2 合理选用材料
1,对大柔度杆 选用 E大的教好
2
2
?
?? E
cr ?
2,对中柔度杆由于 与,有关cr? P? ? ?bs ??
强度越高,也越高cr?
3,对小柔度杆：强度问题
? § 18.1 概述
? § 18.2 静力法
? § 18.3 能量法
? § 18.4 不同支承条件下细长压杆的临界载荷
? § 18.5 柔度临界应力总图
? § 18.6 压杆的稳定计算
? § 18.7 提高压杆稳定性措施
§ 18.1 概述
18.1.1 压杆稳定的概念
细长压杆平衡，当压力 <“一定值”时，压杆一直处
于直线形式的平衡，微小的外界扰动使其偏离平
衡位置，发生微小的弯曲变形。但干扰解除后，
它仍能恢复到初始直线平衡位置。这时称压杆直
线形式的平衡状态是稳定的。当压力达到“一定数
值”时，外界扰动使其发生微小的弯曲变形。扰动
解除后，它将处于微弯状态下的平衡，而不
能恢复到初始直线平衡位置。这时称压杆直
线形式的平衡状态是不稳定的。
失稳：压杆丧失直线形式的平衡状态转变为曲线
形式的平衡状态，这一过程称失稳，又称
屈曲。
临界载荷：“一定数值”记为 。本章重点研究 。
应使 <,才能保证稳定性。 cr
P
P crP
crP
18.1.2 弹性压杆的平衡路径及分叉屈曲
细长压杆，当压力达到,杆中应力一般 < 。
crP crP
∴ 细长压杆是在弹性范围内失稳的。 ∴ 细长压
杆也称为弹性压杆。
f
P
P
f
P
A
D C
0
crP
B
,OA 直线一种平衡形式稳定
crPP ?
：二种可能平衡形式
crPP ?
AB 直线
AC（ AD） 曲线
说明,直线形式不稳定，扰动，变为屈曲。crPP ?
且 增长很快，f 时
crPP 0 1 5.1?
lf 11.0?
曲线称为压杆的平衡路径。 A点称为平衡路
径的分叉点。 ∴ 细长压杆的屈曲又称为分叉屈
曲。其临界载荷又称为分叉载荷。
fP?
18.1.3 研究方法
静力法（ § 18.2）能量法（ § 18.3）
§ 18.2 静力法
与以前各章不同，研究稳定性，必须应用变形
后形态下的平衡条件。
1,刚性杆稳定问题的静力法 。
l
P
A
B
k k
?
A
P
lk?
AXF
AYF
扰动使 AB
有倾斜 ?
弹簧力对 A之矩,恢复力矩22 lk ?
P对 A之矩,偏离力矩lP?
若 稳定klP 2? )2( 2lklP ???
klP 2? 不稳定
∴ 是临界载荷。klP 2? klPcr 2?
2．两端铰支细长压杆（弹性）稳定角的静力法。
时，压杆可能有两种平衡形式。一种
是直线，另一种是曲线。另一种是曲线。这时直
线形式是不稳定的，稍扰动就过度到曲线形式的
crPP ?
平衡状态。就取这种微弯状态下的平衡来研究。
P
A
l
y
crP
crP
x
crP
crP
y
x
)(xM
任截面上弯矩 yPxM
cr??)(
：绝对值crP
：挠曲线方程)(xyy ?
小变形，当 时，可用近似微分方程P?? ?
yPxMEI y cr??? )("
EI
Pk cr?2令
02" ?? yky则
kxBkxAy c o ss in ??
边界条件,0:0 ?? yx
0,?? ylx
代入上式
将关于 A,B的齐次方程组：
?
?
?
??
????
0c o ss in
010
klBklA
BA
不能取 A=B=0，它虽满足方程组，但使。表示
杆仍处于直线平衡状态。不是我们研究的问题。
若要有非零解,A,B就不能全为零。那么方程
组中关于 A,B的系数行列式就必须等于零，即
0c o ss in 10 ?? klklD 称稳定特征方程
解得 0sin ?kl
)2,1,0( ??? nnkl ?
2
22
l
EInP
cr
??∴
弃去，其它的非零解称为原平衡微分方程的本
征值，要求的临界载荷应是其中最小的本征值。
∴ 取 1?n
2
2
l
EIP
cr
??
此即两端铰支细长压杆的临界载荷公式，
又称欧拉公式
讨论：
1,压杆在抗弯能力最弱的纵向平面内首先失稳
∴ 若各弯曲平面内的约束相同时,取 minII
若取 则L4,3,2?n
?lllk ??? 432 ???
xlAy ?2s in? xlA ?3sin KKxlA ?4s in
若拐点处不存在夹持，这些只是理论上可能存在
的形状，只要稍有扰动，就立即消失。而实际中
干扰因素很多，不可避免，初曲率、力偏心等。
∴ 实际中这些临界状态不存在。工程上有实际意
义上的就是 时的 。1?n
crP
3．当 时，1?n
l
xAy ?s in?
A无法近似微分方程确定的常数，表示杆中
点挠度。
4．对实际存在的外力有点偏心，处小曲率等。
公式仍可用。由安全系数调整。
用静力法步骤：
1,对临界微弯状态建立平衡微分方程。
2,稳定特征方程。
3,解特征方程，求得平衡微分方程的本征值。
其中最小的就是临界载荷。
§ 18.3 能量法
§ 16.6 中势能驻值原理和最小势能原理，知：
当压杆处于平衡状态时，。总势能对某一挠
度函数去驻值，驻值若为最小值，平衡是稳
定的。驻值若为最大值，平衡是不稳定的。
二者之间的平衡状态称为中性的。即临界状
态。
∴ 能量准则：设是从原有平衡位置到任意相邻
平衡位置时总势能的改变量。
0??? ? 为极小，平衡稳定
0??? ? 为极大，平衡不稳定
0??? 平衡中性，即处于临界状态
1．刚性杆稳定问题的能量法
? ? ? ? 22212 lklkU ?? ????????? 弹簧增加弹性势能
P力作用点 B降低，势能减小
? ? 2)2(s in2c o s1 22 lll ???? ?????
2
2 lP
PV ?? ?????
由临界状态时必有,得 0??????? VU
02)(
2
2 ?? lPlk cr ??
klPcr 2?
与静力法结构同
2．两端铰支细长压杆
l
y
P
?
x
dx
P
dx
? ?cosdx
?d
dxd )c o s1( ?? ??
?? l dd 0 ?
压杆由直线 微弯 变形能?
? ???? l l dxyEIdxEI xMU 0 0 22 )"(21)(21
P力作用点下降,势能减少?
dxd )c o s1( ?? ?? )('2c o s1 2 xy??? ???而
? ? dxxyd 2)('21??∴
?? ?? ll dxyd 0 20 )'(21??
?????? l dxyPPV 0 2)'(2?
由临界状态 得 0??????? VU
? ??l lcr dxyPdxyEI0 0 22 )'()"(
?
??
l
l
cr
dxy
dxyEI
P
0
2
0
2
)'(
)"(∴
因此从理论上讲，应遍取一切可能的 y，使上式取
最小值的才是真实的 y和真实的,所以上式应
写为：
crP
?
?
?
? ??
l
l
l
l
cr
dxy
dxyEI
dxy
dxyEI
stP
0
2
0
2
0
2
0
2
)'(
)"(
m i n
)'(
)"(
这是一个泛函数驻值问题，与上节的平衡微分
方程的本征值问题完全等价。求精确解就要求
泛函的最小值。
实际计算时，不必要取出一切可能的 y。
通常的作法是缩小范围求近似解。例如可以把
原来的大范围缩小到只包含一个参数 的挠度
函数集。
?
)1( lxlxy ?? ?
它满足边界位移条件 x=0,y=0
x=l,y=0
? ?l lEIdxyEI0 3 22 4)"( ?
ldxy
l
3)'(
2
0
2 ???
2
12
l
EIP
cr ?
∴
我们已知 精确解为,误差偏大 22%,原因
是它与真实的挠度函数相差太远。
crP 2
2
l
EI?
若使 y包含两个参数，
?????? ???? )1()1( 21 lxlxlxlxy ??
近似值的误差只偏大 0.05%crP
一般情况,可取一组适合边界位移条件的挠度
函数
i?
?? iiy ??
取 2项或 3项便可以达到满意效果
* 两种方法比较,
精确解：二者等价
近似解：求微分方程近似解较困难，求泛函
极值近似解较方便。
§ 18.4 不同支承条件下细长压杆
的临界载荷
2
2
)( l
EIP
cr ?
??
：不同支承条件下压杆失稳时挠曲线正弦半
波的长度l?
：长度系数?
P
A
l
1?u
l5.0
5.0?u
crP
l7.0
7.0?u
2?u
crP
l2
其它情况可用静力法或能量法求，
也可用正弦半波长度类比得出。
§ 18.5 柔度临界应力总图
18.5.1 临界应力和柔度
临界载荷作用下,压杆在直线平衡位置时横截
面上的应力
Al
EI
A
P cr
cr 2
2
)( ?
?? ?? 又 惯性半径
A
Ii ?
则 22222 22 )( ??
?
?
?
?? E
i
l
E
l
Ei
cr ?
?
?
??
?
?
?? 欧拉公式另一形式
称为压杆的柔度或长细比。它反映了压杆
长度、支承条件、截面尺寸形状对的影响是很
重要的参数。
i
l???
18.5.2 欧拉公式适用范围
欧拉公式是由导 出的，而它又用到
胡克定律
)(" xMEI y ?
∴ 欧拉公式只有在 时才适用Pcr ?? ?
P
E
?
?? 2?即
设 欧拉公式适用于
P
P
E
??? ? P?? ?
18.5.3 大柔度杆、中柔度杆和小柔度杆
1．大柔度杆：
① 的压杆称为大柔度杆，也就是细长杆。
② 此类压杆只发生了弹性失稳
③ 稳定计算：欧拉公式
P???
2．中柔度杆：
① 称中柔度杆，也称中长杆
② 此类压杆也会发生失稳，但横截面上的
应力 以超出 。出现塑性变形，称为非
弹性失稳。其平衡路径无分支及分叉点，
只有极限点，也称为极限点屈面。
SP ??? ??
cr? P?
③ 稳定计算：经验公式
3．小柔度杆：
① 称小柔度杆
② 此类压杆不失稳，其破坏原因是压应力
达到屈服极限（塑）或强度极限（脆），
属强度问题。其“临界应力”就是屈服极
限或强度极限。
S???
18.5.4 中柔度杆的临界应力公式、临界应
力总图
经验公式以实验为基础：直线公式、抛物线公式
1．直线公式,?? bacr ??
式中 为压杆实际柔度,a,b是与材料有关常数?
采用直线公式计算中柔度杆的 时,曲线如
下，称为临界应力总图
cr? ?? ?cr
A
P?
cr?
?
s? P?
0
B
C
scr ?? ?
?? bacr ??
2
2
??? Ecr ?
2
2
)(ul
EIP
cr
??
P
P
E
??? ?
b
a s
s
?? ??
（ 1）由压杆材料算出
SP ?? 及
（ 2）由压杆尺寸及支承条件计算出实际柔度
A
Ii
i
l ??,??
若在各个弯曲平面内柔度不同，则取
max?? ?
（ 3）用, 比较，选用 的计算公式
P??与 S? cr?
若,图中 CD段选欧拉公式P?? ?
若,图中 BC段选经验公式PS ??? ??
若,图中 AB段按强度计算，即S??? scr ?? ?
*若压杆由脆性材料制成，将 换为 即可。cr? b?
2．抛物线公式 211 ?? bacr ??
式中, 也是与材料有关常数1a
1b
国钢结构设计中，采用下列形式的抛物线公式
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
??? 243.01
c
scr ?
???
c?? ?
s
c
E
??? 57.0?式中
对 Q-235A钢：,,则有
，,
M P as 2 3 5?? G P aE 2 0 6?
123?c? 200666.0235 ?? ??cr 123??
计算 步骤基本相同cr?
* 注：若压杆上存在钉孔等造成局部削弱的因
素，不予考虑，一律采用未削弱前的横
截面形状和尺寸。
原因：临界力大小是压杆整体变形决定的。
临界应力总图
cr?
?
?????? ?? 2)(43.01
c
scr ?
???
s
c
E
??? 57.0?
例,18.1 矩形 (b=12mm,h=20mm)截面压杆,
l=300mm,材料为 Q-235A钢,计算
(若为中柔度杆,用直线公式 )
(1) 一端固定,一端自由
(2) 两端铰支
(3) 两端固定
crP
解：
32
12
3
m i n
m i n
b
bh
hb
A
Ii ???
2??（ 1）
1 0 02.1 7 3
m i n
m a x ???? Pi
l ??? 用欧拉公式
kNEAP cr 3.162.173 10201210206 2
692
2
m a x
2
????????
??
?
?
1??（ 2）
6.86m a x ?? PS ??? ?? m a x 经验公式
kN
AbaP cr
7.49
10201210)6.8612.1304()( 66
?
????????? ??
5.0??（ 3）
S?? ?? 3.43m a x
kNAP scr 4.5610201210235 66 ??????? ??
§ 18.6 压杆的稳定计算
在会求 及 的基础上，进行稳定计算。三类
问题
cr?crP
? ? ? ?
st
cr
cr n
PPP ??
为稳定安全系数，一般大于强度安全系数。
由于初曲率、载荷偏差、材料不均匀、有钉子孔
等，都会降低 。而且柔度越大，影响越大。
? ?stn
crP
∴ 取值也随 增大而提高。? ?stn ?
一般钢材 ? ? 0.3~8.1?stn
（钢制磨床油缸活塞杆，取到 4~6。所以与压杆
工作条件也有关）
铸铁 ? ? 5.5~0.5?stn 可查专业手册
工程实际中，常用如下公式
? ?stcrst nPPn ??
stn 工作安全系数
安全系数法：实际具备的安全系数不小于规定的
稳定安全系数。
例 18.3 活塞直径,65 mmD ?,2.1 M P ap ? 活塞杆长
,1 2 5 0 mml ? 材料,2 0 6 G P aE ?,2 2 0 M P aP ??
? ?,6?stn 确定 d （杆两端可简化为铰支）
pD
d
分析：由于 d未知,无法求，也就不知该选
什么公式？处理办法是先选用欧拉公式进行计
算。求出 d后，再校核是否满足欧拉公式条件。
?
解,1,计算
crP
)(3 9 8 0
102.1)1065(
44
632
N
pDP
?
?????? ?
??
? ? )(2 3 9 0 03 9 8 06 NPnP stcr ?????
2,用欧拉公式求 d
2
4
32
2
2
)12501(
64
10206
)( ?
???
??
d
ul
EIP
cr
??
?
∴ d=24.7 mm 取 d=25 mm
3,校核是否可用欧拉公式
2 00
4
25
1 25 01 ????
i
ul?
962 2 02 0 6 ??? ????
P
P
E
可见,用欧拉公式计算是正确的,
结论,取 d=25 mm
P?? ?
例,18.5 图示结构,各段材料相同且均为直径为 d
的圆截面杆,c为刚结点,已知,20 mmd ?,2 0 0 G P aE ?
,2 0 0 M P aP ??,5.0 ma ? 若稳定安全系数 ? ?,5.2?stn
试按 DE杆的稳定条件确定许可载荷 ??q
2a a
Ｃ
a
Ａ Ｂ
ＤaＥ
2a
q
解,1,求解静不定
相当系统,DE切开，代之以 1X
11 ?X
a
1??N
11 ?X
2
a
2qa
2
2qa
??????????????? aaaaaaaaaEI 32)221(232)221(232)2221[(111?
EI
a
EI
a
EA
aaaa ???????
4
5]
3
2)
2
1 3
?? p1 ]2)2232(232)21(232)221[(1
222 aqaaaqaaaqaa
EI ?????????????
?
EI
qa
6
5 4??
01111 ??? pX?
qX p 3 3 3.0
11
1
1 ?
???
?
∴
2,DE杆两端铰支 1??∴
mmdi 54 ?? ml 5.0?
100?? il??∴
35.991 ??
P
E
???
而
由于 可选用欧拉公式
1?? ?
KNAEP cr 622
2
?? ?? KNnPP
st
cr 8.24
][][ ??
mKN
Pq 4.74
3 3 3.0
][][ ??
注：此题只要求有稳定性确定 [q]实际还应考虑
其他段的弯曲强度。
例 18.6 圆杆 AB,时将其固定?0 mlcmd 1,5.2 ??
材料 Q-235A钢,?C
l 11092.3 5????
问：杆失稳时温升为多少度
l
1,求
cr?
11 12
4
5.2
1 007.0 ??? ?????
i
l
2
2
?
?? E
cr ??
2,求温度升高 产生的
t?t?
EA
Nllt
l ????? tEA
N
lt ???? ??
3,失稳条件
tcr ?? ?
?1.20
1092.3112 52
2
2
2
??????? ?????
l
t
§ 18.7 提高压杆稳定性措施
越大稳定性越好
cr?
合理材料
中长杆或
细长杆 ?
?
?
?
?
?
????
? ?
????
?
?
?
)(
)(
2
11
2
2
baba
E
ercr
cr
18.7.1 减小柔度 ?
A
Ii
i
l ??,??
1,增强支承的刚性使,滑动轴承尽量增加长度??
2,减小压杆长度 l，可增加中间支承
3,合理选择截面形状尺寸使 当 A一定时增大 I最
经济的方法是采用中空截面
?i
空心截面或用型钢制成组合截面，不能使相互连
接变弱各型钢近似为独立杆等稳定性 ——各弯曲
平面内的柔度相等
(1) 若个弯曲面内约束相同，即 相同，则应选
的截面形状
yz II ?
?
(2) 若 不同则 但使
yz II ? xyxy ?? ??
18.7.2 合理选用材料
1,对大柔度杆 选用 E大的教好
2
2
?
?? E
cr ?
2,对中柔度杆由于 与,有关cr? P? ? ?bs ??
强度越高,也越高cr?
3,对小柔度杆：强度问题
