第二十二章 动量原理
动量原理 动量定理
动量矩定理
刚体基本运动形式
动量和动量矩定理则是描述这两种运动
形式的动力学基本物理量。
平动 转动
动量定理,阐述的是质点系动量的
变化与外力系冲量之间的关系, 它的另
一种重要形式 —— 质心运动定理则是用
来描述质点系质心的运动与外力系主矢
之间的关系 。
动量矩定理,建立起质点系对某点动
量矩的变化与外力系对该点主矩之间的关
系，用它可方便的研究质点系中各质点相
对于空间固定点或质心的运动。
第二十二章 达朗伯原理
※ 22.1 动量
※ 22.2 冲量
※ 22.3 动量定理
※ 22.4 质心运动定理
例题 1
第二十二章 达朗伯原理
※ 22.8 刚体一般运动方程
※ 22.6 动量矩定理
※ 22.5 动量矩 例题 2
例题 3,4,5、
6,7,8
1 质点的动量,质点的质量 与其速度
的乘积, 用 表示, 即
m v?
K?
vmK
?? ?
22.1 动量
它用来表示质点机械运动强弱的一种
物理量，矢量，其方向与速度方向一致。
当质点之间存在力的相互作用时,动量
可用来描述质点之间机械运动的传递关系
2 质点系的动量：
质点系的动量,
质点系中各质点的动量的矢量和
将质点系质心的矢径公式
若质点系中质点 相对于空间某一固定
点 o的矢径为
它的质量为,速度为,则其动
量为
Di
ri?
mi vi? ).,.,,2,1( ni ?
vm i
n
i
i
??
?
?
1
K?
M
n
i
ii rm?
?? 1r
c
?
质点系的动量等于想象地将质点系的质
量都集中于质心时质心的动量。
质点系的动量是表示其质心运动的一个
特征量。
表明
vm i
n
i
icvM
?? ?
?
?
1
两边对时间求一阶导数可得
将它代入 得质点系动量的简洁表达式vm
i
n
i i
K ?? ?
?
?
1
cvMK
?? ?
由质点系的动量定理的定义知, 质点系的
动量符合叠加原理,
因此, 当一个质点系由 个刚体组成时, 其
动量可写成
n
式中 分别为第个刚体的质量和质心
的速度。
vm cii ?,i
?
?
?
n
i
i vm c i
1
?K?
例 22.1图示各均质物体重量为 Q,物体
尺寸与质心速度或绕轴转动的角速度如
图所示,试计算各物体对 O点的动量矩,
解, 由于杆绕 O轴转动,
根据转动刚体对于
转轴的动量矩公式,
??? zz JL ?
有 ???
00 JL ?
而
g
QlMlJ
33
22
0 ??
L
故
??
?
g
QlL
3
2
0 ?
2，由于圆盘绕 O轴转动,仿上可有
??? 00 JL ?
而
g
QRMRJ
22
22
0 ??
所以
??
?
g
QRL
2
2
0 ?
R
??
３，由于圆盘绕 O轴转动,故有
g
QRR
g
QR
g
QMRJJ
c 2
3
2
2
222
0 ?????
将之值代入 (1)式中
??? 00 JL ?
（１）
则
??
?
g
QRL
2
3 2
0 ?
??
C
4.由于圆盘绕瞬时中心 O转动,
其对转轴 O之动量矩为
??? 00 JL ?
根据转动惯量的平行移轴定理,得
2222
0 2
3
2 Rg
QR
g
QR
g
QMRJJ
c ?????
所以
??
? 2
0 2
3 R
g
QL ? （ 2）
但因 O轴瞬时中心,故
R
v?? （ 3）
R
C
v?
将 (3)式代入 (2)中,得
vR
g
QL ??
2
3
0 ?
力的冲量,用来度量在一段时间内的积累
的效果
通常 定义为任意力 在微小时间间隔
dt 内的元冲量
dtF? F?
?? tt dtFI 1
2
??
22.2冲量
将 定义为力 在时间间隔
内的冲量，并用 表示，?
t
t dtF
1
2
? F? tt 12 ?
I?
力系的冲量, 将作用于质点上各力
的冲量的矢量和定义为力系的冲
量。即力系的冲量为
)...2,1( nIF i ??
dtFI
n
i
t
t i
1
2
1
? ?
?
? ?
?
交换求和与积分的顺序，并将力系的主矢
?
?
?
n
i iR
FF
1
??
代入得
dttt F RI 2
1
?? ?
?
表明
力系的冲量等于力系的主矢在同一个时
间间隔内的冲量。
由于内力系和力偶系的主矢都为零，故
这两种力系的冲量也都为零。
22.3 动量定理
1) 质点的动量定理的微分形式：
当质点的质量不变时，牛顿第二定律可写为
22.3.1 动量定理
?)( vm
dt
d ? F?
它又可以写为 ? ?
dtFvmd ?? ?
即质点的动量的微分等于作用于其上的
合力的元冲量，称为 质点动量定理的微分
形式。
2)质点的动量定理的积分形式：
将式 在时间 至 积分
并将 代入可得
t2t1? ? dtFvmd ?? ?
?? tt dtFI 1
2
??
?? 22 mvmv IdtFt
t
??
?? 1
2
即质点在至时间间隔内动量等于作用于
其上的合力在同一时间间隔内的冲量，称
为 质点动量定理的积分形式 。
22.3.2质点系的动量定理
1) 质点系动量定理的微分形式
设作用于质点系中质点 上质点系的内
力和外力的合力分别为
Di
FF eiii ?? )()(,
质点系的动量的微分等于作用于其上的外
力系的主矢的元冲量，称为 质点系动量定理的
微分形式
表明
根据
? ? dtFvmd ?? ?
dtFF eiii )( )()( ?? ??)( vmd ii ? ),..,.2,1( ni ?
将它们求矢量和，再交换求和与求微分的
次序，并将式 和
代入得 vm i
n
i i
K ?? ?
?
?
1 ?? ???? FFFF
e
R
e
i
i
R
n
i
i
i
???? )()()(
1
)(,0
dtFKd eR?? )(?
表明
2）质点系动量定理的积分形式
将上式在时间 至 内积分得t
1 t2
)()(
12
2
1
ee
R IdtFKK
t
t
????
??? ?
质点系在至时间间隔内动量的改变量
等于作用于其上的外力系的主矢在同一时间
间隔内的冲量，称为 质点系动量定理的积分
形式。
PS
尽管质点系的内力不会改变质点系的动
量，但是它能够引起质点系内各质点的动
量的相互改变,
动能定理的表达式都是矢量式,
它们可以向固连于惯性参考系的直角坐
标轴投影,得到相应的投影式,
22.3.3 质点系的动能守恒定律
若质点系的外力系的主矢 则由
式 可得，质点系的动量 K=常矢量 ;
若质点系的外力系的主矢在某一个固
连于惯性参考空间的直角坐标轴，如 轴上
的投影,则由 得质
点系的动量在该轴上的投影 =常数
这就称为 质点系的动量守恒定律 。
0)( ?F eR?
0)( ?F eR?
dtFdK eR? )(?
Kx?
dtFKdKd eRxxx ??? )()()( ??
x
表明
dtFMd eRcv ?? )()( ?
FM eRcv ?? )(?
对于不变质点系，则 M =常数。此时上式两边
同除 得dt
质点系的质量与其质心加速度的乘积等于作用
与其上外力系的主矢，称为 质心的运动定理。
22.4质心运动定理
22.4.1质心运动定理
将质点系的动量表达式 代入
质点系的动量定理得微分形式
dtFKd eR?? )(?
MK ??
cv
?
质点系的动量定理其实质只能描述
其质心的运动，且与这样的一个质点的
运动相同，该质点的质量等于质点系的
质量，并受到一个大小和方向与该质点
系的外力系的主矢相同的力的作用。
质点系质心的这种运动不仅与质点
系的内力无关，而且与作用在其上个外
力的作用点位置也无关 。
注意
Fam eRC
n
i
i i
?? )(
1
??
?
式中 分别为第 i个刚体的质量和其质心
的加速度 。
ici am,
若一个质点系由 n个刚体组成，则由式
或质心矢径公式知，其质心运动
定理可表示为 ic
n
i
i vm
?
1
?
?
?K?
设系统中各刚体的质心在同一时间间隔内
产生的有限位移,则由上式及系统的
质心矢径公式可得 icr??
)(
11 iii
cc
n
i
ic
n
i
ic rrmmrM r
??? ? ???? ??
??
当质点系由 n个刚体组成时,若作用在
其上的外力系主矢,且初始时,系统的质心
速度为零，则根据式 知,系统的质
心相对于某固定点 O的矢径
=常矢量
FeR? )(
FM eRcv )(?
rc?
22.4.2质心运动守恒定律
于是有
0
1
???
?
ic
n
i
i rm
?
FaM eRxcx ?? )(?
易知系统得质心在该轴上的坐标值
若外力系的主矢在固连于惯性参考空间的直
角坐标轴，如 轴上的投影,且初始时系
统得质心速度在该轴上的投影等于零，则由
式 在该轴上的投影式
FeRx? )(x
FaM eRc ?? )(?
xC =常数
)(
11
x cx cmx cmMx iii
n
i
i
n
i
ic ???? ??
??
0
1
???
?
x cm
i
n
i
i
于是有
这个结论就是 质心运动的守恒定律
现假设各刚体对该轴得坐标值同时产生
有限改变量,则由上式及系统的质心坐
标公式可得 x iC?
把质点 D在某瞬时相对于空间某一固定点
的矢径 与其动量 的叉积定义为该瞬
时质点 D的动量对点 O的动量矩，记作
22.5动量矩
22..5.1 质点的动量矩
vm?
)( vmL O ??
r?
vmrvmL O ??? ??)(
若在 O点建立直角坐标系,则
Oxyz
kyxmjxzmizym
mmm
zyx
kji
vm
vvvvvv
vvv
L
xyzxyz
zyx
O
???
???
??
)()()(
)(
??????
?
式中 i,j,k,分别为 轴正向的单位矢量
为点 D的坐标 分别为 沿
轴的投影。
zyx,,
zyx,,
vvv zyx,,zyx,,v?
与定义力对轴的矩类似，可定义动量对
轴的矩，又称为质点对轴的动量矩，并且相
应的有以下结论：质点对某一固定轴 的动
量矩 等于质点对该轴上任意一点 A的动
量矩在该轴上的投影。即
l
)(1 vmL ?
lvmLvmL A ??? 01 )()( ??
式 中为 轴正向的单位矢量。lo
l
质点对点的动量矩式一个定位矢量
而质点对轴的动量矩是一个代数量
注意
22.5.2质点系的动量矩
1） 质点系对某个固定点、某固定轴的动量矩 。
vmrvm iin
i
iii
n
i
OO LL
????? ??? ??
?? 11
)(
设质点系中质点 相对于某一固定点 O的矢径
为,动量为 。将质点系中各质点对
固定点 o得动量矩的矢量和定义为 质点系对该点
的动量矩 。用表示,即
Di
ri? vm ii
LO
)...2,1( ni ?
与力系对不同两点的主矩关系类似，质点对不
同的两固定点 O,A得动量矩的关系为
将质点系中各质点对某一固定轴 的动量矩的
代数和为 质点系对该轴的动量矩 用 表示
l
Ll?
KAOLL OA ??? ???
(式中 为系统的动量 )K?
即,
)(
1
v ii
n
i
ll mLL
??? ?
?
?
BA
va
vb
O ?
例 22.2 图示无重细杆长为 L,两端各固连一
个质量为 m的小球 A和 B,在杆的中点 O受固
定铰支座约束 ;杆的角速度为,转向为逆
时针,求系统对 O的动量矩,
?
解, 的大小为L
O
?
???
???
???
2
2
1
2
)
2
(
2
)
2
(
2
)(
2
)(
mL
LL
m
LL
m
L
v
L
vL B
BAAO mm
???
??
的方向为垂直纸面向外LO?
2） 质点系对动点的动量矩
设在惯性参考系中有任意一动点 A，
其速度为 v
A?
现以 A为原点建立平动直角坐标系 zyxA ???
设质点系中质点 相对于 A的矢径为D
i ri
??
相对于平动直角坐标系 的相对速度为zyxA ??? vi??
将质点系中各质点的相对动量 对动点 A的
矩的矢量和定义为 质点系对该点的相对动量
矩,用表示,
vm ii ?
LA?
vvv Aii ??? ?? ? )...,2,1( ni ?
质点 的绝对速度为D
i
则由复合运动的知识知，
即
)()(
11
vmrvmLL iin
i
iii
n
i AA
????? ??? ? ??
??
将质点系中各质点的相对动量对动点 A的
矩的矢量和定义为 质点系对该点的相对动量矩
用 表示L
A
??
即
)()(
11
vmrvm iin
i
iii
n
i
AA LL
????? ?? ??? ?????
??
将 代入vvv
Aii
??? ?? ? )()(
11
vmrvm iin
i iii
n
i AA
LL ????? ??? ? ??
??
并由 )()(
11
vmrvm iin
i iii
n
i AA
LL ????? ?? ??? ?????
??
可得 )(
ACAA vr MLL
???? ???? ?
这就是质点系对动点的绝对动量矩的关系式
当 A取质心时 LL CC ?? ?? )0( ??r C
质点系质心 C相对于 A的矢径公式
质点系对质心的绝对动量矩与相对动量矩相等
M
rm i
n
i
i
???
?? 1
cr?
?
22.5.3刚体的动量矩
(1)平动刚体,
平动刚体对任意固定点 A的动量矩为将
平动刚体的质量全部集中在质心时对 A
的动量矩
(2)定轴转动刚体, kJjJiJL zyzxzO ???? ??? ????
根据 代入各相关式子
所得,结果说明定轴转动刚体对轴上
任意一点的动量矩方向一般不沿转
轴
dmrrL MO )( ???? ??? ? ?
(3)一般平面运动刚体,
cCA vMACLL
??? ???
)( cA vMACL ?? ??
22.6 动量矩定理
22.6.1 质点的动量矩定理
设质量为 m的质点 D对固定点 O的矢径 r,作用
在其上的合力为 F,将该质点对 O点的动量矩
对时间求一阶导数 得
)()()( vmdtdrvmdt rdvmrdtdvmLdtd O ???
?????
??????
vdtrd ?
?
?
因 则
0?? vmdtrd ?
?
由牛顿第二定律知
故右端第二项为合力 F对 O点的矩,Famvmdt
d ??? ??)(
质点对某一固定点的动量矩对时
间得一阶导数等于作用在其上的合力对同
一点的矩,称为 质点的动量矩定理,
表明
)()( FvmLdtd m OO ??? ?
于是
22.6.2质点系对固定点的动量矩定理
1)质点系对固定点的动量矩定理
由质点的动量矩定理即
知,质点系中有 )()( FvmLdt
d m
OO
??? ?
)()()( )()( FFLdtd eiOiiOiiO mmvm ??? ? ?? ).,.,3,2,1( ni ?
表明
对各质点求和,交换求和与求导的关系
内力成对出现,它们对同一点的动量矩的矢
量和为零
0)( )(
1
??
?
F ii
n
i
Om
?
即
得
)()(
1
)( eoein
i O
O MF
dt
Ld m ??? ?? ?
?
质点系对某一固定点得动量矩对时间
的一阶导数等于作用在其上外力系对同一点
的主矩,称为 质点系对固定点得动量矩定理,
例 22.3图示均质圆轮 A和 B的质量均为 m,半径
都为 r在轮 A上作用一力偶矩为 的主动力偶
并通过不可伸长的,质量可不计的柔绳带动轮 B
在与水平段绳平行的水平地面上作纯滚动,绳与
轮之间无相对滑动,
试求圆轮 B中心的加速度及圆轮 B与地面间的摩
擦力,
MO
BA
MO
解：
即需求加速度，又要求约束反力的
问题，受力分析很关键，纯滚动的摩擦力
属静摩擦力，其方向依赖于主动力，一般
可先假定其指向。动量矩定理经常与质心
运动定理联合使用。若列写的独立动力学
方程个数比其中未知量个数少，则一般可
补充运动学关系是方程封闭。其具体解题
过程为：
1，取圆轮 B为研究对象，
其受力分析如图
F摩
?B
?Ba
B
N
T摩
mg
由质心运动定理，得到
aFT Bm ??? ?? 摩绳
0?? mgN
由对定点 A的动量矩定理
MdtL
d e
A
A )(?
由 知 )(
BBA vmABLL
??? ???
?? ???? BBBBA rJ mLL 221???
得到
rFTM eA )()( 摩绳 ??
于是 化为ML e
A
Adtd )(? rm FTr
B )(2
1 2
摩绳 ???
2，取圆轮 A为研究对象,
其受力分析如图。
FAX
MO
aA
T摩
FAYA
mg
由对定点 A的动量矩定理
ｒＴ 绳绳 ???? ? MTMr OOA rm ?221
3，以上方程含有 5个未知量，
补充以下两个运动学关系
??
?
BA
BB ra
2?
?
4，联立以上几个方程，可以得
mr
Ma O
B 7
4?
r
MF O
7??摩
PS
2)质点系对动点的动量矩定理
)()( aML AeAA MACdtd ?????
A的主矩外力
系对动点 A为移动点,C为刚体的质心
这就是 质点系对动点的动量矩定理的数学表达式,
对于动点 A,一般不
成立,但是有三种例外,
)()( )(
1
edtd MFmL
O
e
i
n
i O
O ?? ?
?
质点系对其质心的动量矩对时间的一
阶导数等于作用于其上外力系对质心的主矩,
称为 质点系相对于质心的动量矩定理,
这说明
(1)动点 A就取质点系的质心,因
LL CC ??
)()( aML AeAA MACdtd ????? 变为 ML e
C
C
dt
d )(?
(2)当 0?a
A 时
)()( aML AeAA MACdtd ????? 变为 ML eAAdtd )(??
此时 =常矢量,
即平动坐标系也是一个惯性参考系
vA
这说明
(3)当动点 A取为刚体的速度瞬心 P的时候,将
两边对时间求一阶导数,并将)( vrLL
ACAA M??? ??
0?vP 代入
)( aLL PPP MPCdtddtd ??? ?
得
ML ePPdtd )(?
得
刚体对其速度瞬心得动量矩定理,
其形式与刚体对定点的动量矩定理相同,
将 代入 )()( aML
A
e
A
A MACdtd ?????
注意
(1)若利用动量矩定理来建立系统的动
力学方程,一般是对定点或质心来列写动量矩
方程,这样比较方便,
(2)在动力学中,必须将刚体运动和它所
受的力联系起来,考虑到质心运动定理可将刚
体的质心运动与外力联系起来,相对于质心的
动量矩定理又可将质心平动坐标系的转动和外
力系对质心的主矩联系起来,
因此在动力学中,将一般平面运动的刚
体的基点选在质心上是方便的,
刚体运动 所受的力
质心运动定理
质心运动 外力
质心平动坐标系的转动 外力系对质心的主矩
相对于质心的动量矩定理
图示
例 22.4图示均质细杆 AB质量为 m,长为 L,其 B端
面与光滑水平面接触,初始时杆与前垂线的夹
角为,试求杆无初速度释放的瞬间,水平面
对杆的约束反力,
?0
x
y
C
B o
A
NB
mg
?
?
?解,
(1)对杆进行受力分析如图
(2)建立图示直角坐标系
用,且初始
时,则,即质
心沿铅垂线运动,于是
Oxyz 0)( ?F eRx
0?vC 常数?xC
?c o s21 ly C ? (1)
对时间求一阶导数,
将初瞬时,代入得
0,0 ?? ?? ?
???? c o s21s i n21 2lly C ???
?? (2)
(3)由质心运动定理
(4)由对质心的动量矩定理
(5)联立 (2)(3)(4)解得
?? 02 s i n2121 lNm l ?? (4)
mgNym C ???? (3)
l
g
mg
N
)s in31(
s in6
s in31
0
2
0
0
2
?
?
?
?
?
?
?
?
转向如图所示
4.质点系动量矩守恒定律
作用于其上的外力系对 O点
的主矩为零,即,0)( ?M eO
常矢量?L O
质
点
系
得
动
量
矩
守
恒
定
律
作用于其上的外力系对某一
固定直角坐标系的坐标轴的
矩为零,即,0)( ?M e
Z 常数?L Z
x
y
C
B O
A
NB
mg
?
?
?
规定转角 顺时针方向为正?
例 22.5圆柱体的质量是,在其中部绕以细
绳,绳的一端 固定不动,圆柱体解开绳子而
下坠,其初速度为零,求当圆柱体的轴降落了
高度 时,这轴的速度 和绳子的张力,
m
h v T
B
解,
研究圆柱体,在当解开绳
子它下落时,作平面运动,其上
作用有绳子的张力 和重力T P
A
A h
B
0A
以圆柱体重心下落的起始
位置 为原点,选静止坐
标系 如图,
0A
yxA0
由刚体平面运动微分方程,可有
TPym A ????
Trmr ????221
(1)
(2)
因点为瞬心,故
?rya ? ????? ry A ?
将此值代入 (1)式中,得 TPmr ?????
所以
???mrPT ?? (3)
将 (3)式代入 (2)中,则 ?? ??? ?????? 22
2
1 mrmg rmrPrmr ????
?? ???? rgr ??21
或
由此得到
r
g
3
2????
根据初始条件,当 时0?t 0?
Ay?
因之 0?C 所以 tgyv AA 32?? ? (5)
再将 (5)式进行积分,并考虑到
dt
dhy
A ??
将 (6)式得入 (5)中,即得圆柱体的轴下落
时的速度为
h
ghghgyv AA 332332 ??? ?
绳子的张力为
???mrPT ??
33
2
3
2 PPP
r
gmrP ??????
有
2
3 t
gh ?
故
g
ht 3? (6)
2.这里考虑到圆柱体沿绳滚而不滑的运动条
件，建立了补充方程 ?ry
A ?
1.在解平面运动问题时，质心加速度的
正向与绕质心转动的角加速度的正向，
必须规定一致，否则出现正负号上的麻
烦。
小结
例 22.6 位于铅垂平面的均质杆 AB和 BD,长度
均为 L重量都是 P.杆 AB的 A端预固定绞支座连
接,B端与杆 BD铰连,杆 BD的 D端与可沿铅垂滑
槽滑动的滑块 D绞接,今用一细绳将 B点拉住,使
杆 AB和 BD位于同一直线上,该直线与水平面
间的夹角为,系统保持平衡,如图各处摩擦
和滑块 D的质量与大小略去不计。
试求（ 1）剪断绳子瞬时,滑槽相对于滑块
D的反力
（ 2）杆 AB运动至水平位置时,杆 AB
的角速度
030
解 1)求剪断绳子后
滑槽对滑块 D的反力
设 AB杆有瞬钟向角
加速度, BD杆有
逆钟向角加速度
?1
?2
由于初瞬时两杆角速度 和
均等于零，所以
BD杆作平面运动，以 B点为基点
分析 D点的加速度。
?1 ?2
?1LaB ?
aaaa nDBDBBD ??? ?其中
0,22 ??? ??? LL aa nDBDB
030
D
B
A
将上式分别沿 DB和垂直于 DB方向投影，
可得
030s in 0 ?a D
aaa DBBD ???030c o s
求得 0?aD ?? 21 ?
即 D点为该瞬时加速度瞬心
所以 BD杆质心 C的加速度 ?
22
La
C ?
030A
B
D
B
D
?2
C
P
aC
aD
ND
NBx
NBy
取 BD为研究对象，
受力如图。 BD杆作
平面运动，根据平面
运动微分方程，有
NNa BxDCgP ???030s i n
Na ByC PgP ???? 030co s
000
1
2 30c o s
230s i n230s i n212
1 LLL
g
P NNNL
ByBxD ???????
取 AB为研究对象，受力如图。 AB杆作定轴
转动，应用定轴转动微分方程，有
2
3
222
3
3
1
1
2 ??????? ?? LPLL
g
P NNL
BxBy?
考虑到 NNNNa
ByByBxBxC
L ???? ??,,,,
2 212 ???
由以上几式解得剪断绳子瞬时时,AB杆和
BD杆的角加速度以及滑块 D处反力分别为
B
A
?1
NAx
NAy
NBx?
NBy?
P
gL4 3321 ?? ??
PN D 43?
2）求杆 AB运动至水平位置时的角速度
取整个系统为研究对象，利用动能定理求解。
因为系统在初瞬时,AB杆与 BD杆的角速度
均为零，且 BD杆的质心速度也为零。
而当 AB杆运动到水平位置时，若设 AB杆
的角速度为,此时 BD杆为瞬时平动。
所以系统在这一过程的初动能和末动能为
?1
01 ?T ??? 212212122 32)(21)31(21 LgPLgPLgPT ???
系统在上述运动过程中重力所作的功
]2
332
1[]2
)13(
30s i n23[30s i n2
222
00
?
??
??
???? PL
L
LPLPW L
根据动能定理 ?
?? WTT 22
有 ]
2
332
1[32 2 `12
?
?? PLgP L ?
解得杆 AB运动至水平位置时，杆 AB角速度
L
g994.0
1 ??
顺钟向
C
?1
030
B
A
vB
a
例 22.7两根均质杆 AD,BD质量都是 M,长度都为 L
用光滑的铰链 D连接并放在光滑水平面上，
如图所示。开始时，系统静止于铅直面内，且
杆对水平面的倾角是 。
求两杆运动到与水平面成倾角 时铰销 D的
速度和加速度，并求水平面的支反力。
?0
?
?0
D
A B
C1 C2
解,系统由于质量分
布和受力对称，以及
所给的初始条件，将
保留在原铅直平面内
它的位置用 角确定。?
取整个系统为研究对象，受力如图。
应用动能定理的积分形式求速度，用动量定理
或质心运动定理求反力。
C2
y
C1
x
?
vDG
1 G2NA NB
D
OA B
?
vC1
(1) 求速度和加速度
由于对称，在系统
的铅垂平面内取固
定坐标系 Oxy，
在系统的运动过程中，,系统的
初速度等于零，因此系统的质心 C在水平
方向的位置守恒，即 C将沿铅垂线下降
0?? F x
因而铰销 D也沿铅垂线下降。同时杆端 A,B
只能沿着 x轴按反方向分开。所以两杆在平
面运动中各自的速度瞬心分别是 E,F.
根据动能定理的积分形式
??? WTT 12
其中初动能,系统在任意位置的动能0
1 ?T
)2121(22 212 12 ? ADCCAD IvTT m ???
而
?? co sL
v D
AD ? ??? c o s22c o s11 vvCv DDADC LLE ????? LI mC 21 121?
)2121(22 212 12 ? ADCCAD IvTT m ???代入 得
?2
2
2 c os2
vT Dm?
系统在运动过程中只有重力做功，故
)s i n( s i n)s i n( s i n22 00 ?? ?? ????? mgLLmgW
??? WTT 12代入 得
)s i n( s i nc o s2 02
2
?? ? ?? m g Lm v D
从而得所求铰销 D的速度
?? ? s i n( s i n3c o s 0 ?? gLv D
表示为变量 的函数，对时间求导得
铰销 D的加速度
)(t?vD
即 mgm NNy
BAC 22 ?????
(2)求水平面的支反力
根据质心运动定理，得 ?? Fy
yCM ??
即 mgmmg yNN
CBA )s i n2
3s i n
4
9
4
1(
0
2 ?? ?????? ??
例 22.8 摆杆滑槽机构如图所示。均质摆杆
OA在主动力偶矩 L作用下绕 O轴摆动，并
带动滑块 A在滑槽中运动，从而推动滑槽
沿水平方向运动。设当 时，摆杆的
角加速度,角速度,杆
OA长 m，质量,滑槽质量
质心在 C处，,滑块 A
的质量及各处摩擦不计。
试求此瞬时支承 B和 D处的反力以及力偶矩
L.
045??
kg5?
sra d 22?? srad4??
24.0 kgm 102 ?
.3.0,4.1,3.0,7.0 mdmlmbma ????
?
l
dCA B
L A
解：先分析滑杆的加速
度。取滑块 A为动点，
动系固连于滑槽，定系
固连于机座。根据牵连
运动为平动时的加速度
合成定理，有
aaaa renAA ????
A
045
anA a?
ae
aA?
aaaa renAA ????
其中
22 4*24.0
,2*24.0
??
??
?
??
r
r
a
a
n
A
A
两边投影到水平方向即的滑槽的加速度
20 2.745c o s)( smaaa
n
AAe ???
?
NA?
取滑槽为研究对象，受力如图所示。
由质心运动定理得
0
72
2
2
???
??
g
N
mNN
amN
DB
eA
由相对质心得动量矩定理得
50473
0)45s i n( 0
??
?????
NN
NNN
DB
ADB rdlb
即：
联立求解 ;可得所求支承处的反力
NN NN DB 21,9.118 ???
为求力偶矩 L，再取摆杆连同滑块为研究
对象，受力如图所示，由刚体定轴转动
微分方程得
00
1
2
1 45s i n45c o s23
1 rrgL Nmrm
A
?????
代入已知值，
注意到 NN
AA ?
?
解得所求力偶矩
L=39.66N M (逆钟向 )?
ND NB
ae
NA
B
A
a bD
C
22.8刚体一般运动的方程
刚体的一般运动
随质心的平动
绕质心平动坐
标系的定点运
动
设刚体质量为 M,质心在 C.以 C为坐标原点建立
与刚体相固连的惯量主轴坐标系 Cxyz
在惯性参考空间中建立定直角坐标系 ???O
作用在刚体上的外力系的主矢为 Fe
R
)(
力系对质心的主矩为 Me
C
)(
由质心运动定理,刚体随质心的平动部分的
动力学方程为
Fa eRCM )(?
将它沿各轴投影,得 F e
RCM
)(
?? ?
??
F eRCM )( ?? ???
F eRCM )( ?? ???
由对质心得动量矩定理,刚体绕质心平动坐
标系坐定点运动的欧拉动力学方程为,
MJJJ eCxzyyzxx )()( ???? ???
MJJJ eCyxzzxyy )()( ???? ???
MJJJ eCyxzzxyy )()( ???? ???
动量原理 动量定理
动量矩定理
刚体基本运动形式
动量和动量矩定理则是描述这两种运动
形式的动力学基本物理量。
平动 转动
动量定理,阐述的是质点系动量的
变化与外力系冲量之间的关系, 它的另
一种重要形式 —— 质心运动定理则是用
来描述质点系质心的运动与外力系主矢
之间的关系 。
动量矩定理,建立起质点系对某点动
量矩的变化与外力系对该点主矩之间的关
系，用它可方便的研究质点系中各质点相
对于空间固定点或质心的运动。
第二十二章 达朗伯原理
※ 22.1 动量
※ 22.2 冲量
※ 22.3 动量定理
※ 22.4 质心运动定理
例题 1
第二十二章 达朗伯原理
※ 22.8 刚体一般运动方程
※ 22.6 动量矩定理
※ 22.5 动量矩 例题 2
例题 3,4,5、
6,7,8
1 质点的动量,质点的质量 与其速度
的乘积, 用 表示, 即
m v?
K?
vmK
?? ?
22.1 动量
它用来表示质点机械运动强弱的一种
物理量，矢量，其方向与速度方向一致。
当质点之间存在力的相互作用时,动量
可用来描述质点之间机械运动的传递关系
2 质点系的动量：
质点系的动量,
质点系中各质点的动量的矢量和
将质点系质心的矢径公式
若质点系中质点 相对于空间某一固定
点 o的矢径为
它的质量为,速度为,则其动
量为
Di
ri?
mi vi? ).,.,,2,1( ni ?
vm i
n
i
i
??
?
?
1
K?
M
n
i
ii rm?
?? 1r
c
?
质点系的动量等于想象地将质点系的质
量都集中于质心时质心的动量。
质点系的动量是表示其质心运动的一个
特征量。
表明
vm i
n
i
icvM
?? ?
?
?
1
两边对时间求一阶导数可得
将它代入 得质点系动量的简洁表达式vm
i
n
i i
K ?? ?
?
?
1
cvMK
?? ?
由质点系的动量定理的定义知, 质点系的
动量符合叠加原理,
因此, 当一个质点系由 个刚体组成时, 其
动量可写成
n
式中 分别为第个刚体的质量和质心
的速度。
vm cii ?,i
?
?
?
n
i
i vm c i
1
?K?
例 22.1图示各均质物体重量为 Q,物体
尺寸与质心速度或绕轴转动的角速度如
图所示,试计算各物体对 O点的动量矩,
解, 由于杆绕 O轴转动,
根据转动刚体对于
转轴的动量矩公式,
??? zz JL ?
有 ???
00 JL ?
而
g
QlMlJ
33
22
0 ??
L
故
??
?
g
QlL
3
2
0 ?
2，由于圆盘绕 O轴转动,仿上可有
??? 00 JL ?
而
g
QRMRJ
22
22
0 ??
所以
??
?
g
QRL
2
2
0 ?
R
??
３，由于圆盘绕 O轴转动,故有
g
QRR
g
QR
g
QMRJJ
c 2
3
2
2
222
0 ?????
将之值代入 (1)式中
??? 00 JL ?
（１）
则
??
?
g
QRL
2
3 2
0 ?
??
C
4.由于圆盘绕瞬时中心 O转动,
其对转轴 O之动量矩为
??? 00 JL ?
根据转动惯量的平行移轴定理,得
2222
0 2
3
2 Rg
QR
g
QR
g
QMRJJ
c ?????
所以
??
? 2
0 2
3 R
g
QL ? （ 2）
但因 O轴瞬时中心,故
R
v?? （ 3）
R
C
v?
将 (3)式代入 (2)中,得
vR
g
QL ??
2
3
0 ?
力的冲量,用来度量在一段时间内的积累
的效果
通常 定义为任意力 在微小时间间隔
dt 内的元冲量
dtF? F?
?? tt dtFI 1
2
??
22.2冲量
将 定义为力 在时间间隔
内的冲量，并用 表示，?
t
t dtF
1
2
? F? tt 12 ?
I?
力系的冲量, 将作用于质点上各力
的冲量的矢量和定义为力系的冲
量。即力系的冲量为
)...2,1( nIF i ??
dtFI
n
i
t
t i
1
2
1
? ?
?
? ?
?
交换求和与积分的顺序，并将力系的主矢
?
?
?
n
i iR
FF
1
??
代入得
dttt F RI 2
1
?? ?
?
表明
力系的冲量等于力系的主矢在同一个时
间间隔内的冲量。
由于内力系和力偶系的主矢都为零，故
这两种力系的冲量也都为零。
22.3 动量定理
1) 质点的动量定理的微分形式：
当质点的质量不变时，牛顿第二定律可写为
22.3.1 动量定理
?)( vm
dt
d ? F?
它又可以写为 ? ?
dtFvmd ?? ?
即质点的动量的微分等于作用于其上的
合力的元冲量，称为 质点动量定理的微分
形式。
2)质点的动量定理的积分形式：
将式 在时间 至 积分
并将 代入可得
t2t1? ? dtFvmd ?? ?
?? tt dtFI 1
2
??
?? 22 mvmv IdtFt
t
??
?? 1
2
即质点在至时间间隔内动量等于作用于
其上的合力在同一时间间隔内的冲量，称
为 质点动量定理的积分形式 。
22.3.2质点系的动量定理
1) 质点系动量定理的微分形式
设作用于质点系中质点 上质点系的内
力和外力的合力分别为
Di
FF eiii ?? )()(,
质点系的动量的微分等于作用于其上的外
力系的主矢的元冲量，称为 质点系动量定理的
微分形式
表明
根据
? ? dtFvmd ?? ?
dtFF eiii )( )()( ?? ??)( vmd ii ? ),..,.2,1( ni ?
将它们求矢量和，再交换求和与求微分的
次序，并将式 和
代入得 vm i
n
i i
K ?? ?
?
?
1 ?? ???? FFFF
e
R
e
i
i
R
n
i
i
i
???? )()()(
1
)(,0
dtFKd eR?? )(?
表明
2）质点系动量定理的积分形式
将上式在时间 至 内积分得t
1 t2
)()(
12
2
1
ee
R IdtFKK
t
t
????
??? ?
质点系在至时间间隔内动量的改变量
等于作用于其上的外力系的主矢在同一时间
间隔内的冲量，称为 质点系动量定理的积分
形式。
PS
尽管质点系的内力不会改变质点系的动
量，但是它能够引起质点系内各质点的动
量的相互改变,
动能定理的表达式都是矢量式,
它们可以向固连于惯性参考系的直角坐
标轴投影,得到相应的投影式,
22.3.3 质点系的动能守恒定律
若质点系的外力系的主矢 则由
式 可得，质点系的动量 K=常矢量 ;
若质点系的外力系的主矢在某一个固
连于惯性参考空间的直角坐标轴，如 轴上
的投影,则由 得质
点系的动量在该轴上的投影 =常数
这就称为 质点系的动量守恒定律 。
0)( ?F eR?
0)( ?F eR?
dtFdK eR? )(?
Kx?
dtFKdKd eRxxx ??? )()()( ??
x
表明
dtFMd eRcv ?? )()( ?
FM eRcv ?? )(?
对于不变质点系，则 M =常数。此时上式两边
同除 得dt
质点系的质量与其质心加速度的乘积等于作用
与其上外力系的主矢，称为 质心的运动定理。
22.4质心运动定理
22.4.1质心运动定理
将质点系的动量表达式 代入
质点系的动量定理得微分形式
dtFKd eR?? )(?
MK ??
cv
?
质点系的动量定理其实质只能描述
其质心的运动，且与这样的一个质点的
运动相同，该质点的质量等于质点系的
质量，并受到一个大小和方向与该质点
系的外力系的主矢相同的力的作用。
质点系质心的这种运动不仅与质点
系的内力无关，而且与作用在其上个外
力的作用点位置也无关 。
注意
Fam eRC
n
i
i i
?? )(
1
??
?
式中 分别为第 i个刚体的质量和其质心
的加速度 。
ici am,
若一个质点系由 n个刚体组成，则由式
或质心矢径公式知，其质心运动
定理可表示为 ic
n
i
i vm
?
1
?
?
?K?
设系统中各刚体的质心在同一时间间隔内
产生的有限位移,则由上式及系统的
质心矢径公式可得 icr??
)(
11 iii
cc
n
i
ic
n
i
ic rrmmrM r
??? ? ???? ??
??
当质点系由 n个刚体组成时,若作用在
其上的外力系主矢,且初始时,系统的质心
速度为零，则根据式 知,系统的质
心相对于某固定点 O的矢径
=常矢量
FeR? )(
FM eRcv )(?
rc?
22.4.2质心运动守恒定律
于是有
0
1
???
?
ic
n
i
i rm
?
FaM eRxcx ?? )(?
易知系统得质心在该轴上的坐标值
若外力系的主矢在固连于惯性参考空间的直
角坐标轴，如 轴上的投影,且初始时系
统得质心速度在该轴上的投影等于零，则由
式 在该轴上的投影式
FeRx? )(x
FaM eRc ?? )(?
xC =常数
)(
11
x cx cmx cmMx iii
n
i
i
n
i
ic ???? ??
??
0
1
???
?
x cm
i
n
i
i
于是有
这个结论就是 质心运动的守恒定律
现假设各刚体对该轴得坐标值同时产生
有限改变量,则由上式及系统的质心坐
标公式可得 x iC?
把质点 D在某瞬时相对于空间某一固定点
的矢径 与其动量 的叉积定义为该瞬
时质点 D的动量对点 O的动量矩，记作
22.5动量矩
22..5.1 质点的动量矩
vm?
)( vmL O ??
r?
vmrvmL O ??? ??)(
若在 O点建立直角坐标系,则
Oxyz
kyxmjxzmizym
mmm
zyx
kji
vm
vvvvvv
vvv
L
xyzxyz
zyx
O
???
???
??
)()()(
)(
??????
?
式中 i,j,k,分别为 轴正向的单位矢量
为点 D的坐标 分别为 沿
轴的投影。
zyx,,
zyx,,
vvv zyx,,zyx,,v?
与定义力对轴的矩类似，可定义动量对
轴的矩，又称为质点对轴的动量矩，并且相
应的有以下结论：质点对某一固定轴 的动
量矩 等于质点对该轴上任意一点 A的动
量矩在该轴上的投影。即
l
)(1 vmL ?
lvmLvmL A ??? 01 )()( ??
式 中为 轴正向的单位矢量。lo
l
质点对点的动量矩式一个定位矢量
而质点对轴的动量矩是一个代数量
注意
22.5.2质点系的动量矩
1） 质点系对某个固定点、某固定轴的动量矩 。
vmrvm iin
i
iii
n
i
OO LL
????? ??? ??
?? 11
)(
设质点系中质点 相对于某一固定点 O的矢径
为,动量为 。将质点系中各质点对
固定点 o得动量矩的矢量和定义为 质点系对该点
的动量矩 。用表示,即
Di
ri? vm ii
LO
)...2,1( ni ?
与力系对不同两点的主矩关系类似，质点对不
同的两固定点 O,A得动量矩的关系为
将质点系中各质点对某一固定轴 的动量矩的
代数和为 质点系对该轴的动量矩 用 表示
l
Ll?
KAOLL OA ??? ???
(式中 为系统的动量 )K?
即,
)(
1
v ii
n
i
ll mLL
??? ?
?
?
BA
va
vb
O ?
例 22.2 图示无重细杆长为 L,两端各固连一
个质量为 m的小球 A和 B,在杆的中点 O受固
定铰支座约束 ;杆的角速度为,转向为逆
时针,求系统对 O的动量矩,
?
解, 的大小为L
O
?
???
???
???
2
2
1
2
)
2
(
2
)
2
(
2
)(
2
)(
mL
LL
m
LL
m
L
v
L
vL B
BAAO mm
???
??
的方向为垂直纸面向外LO?
2） 质点系对动点的动量矩
设在惯性参考系中有任意一动点 A，
其速度为 v
A?
现以 A为原点建立平动直角坐标系 zyxA ???
设质点系中质点 相对于 A的矢径为D
i ri
??
相对于平动直角坐标系 的相对速度为zyxA ??? vi??
将质点系中各质点的相对动量 对动点 A的
矩的矢量和定义为 质点系对该点的相对动量
矩,用表示,
vm ii ?
LA?
vvv Aii ??? ?? ? )...,2,1( ni ?
质点 的绝对速度为D
i
则由复合运动的知识知，
即
)()(
11
vmrvmLL iin
i
iii
n
i AA
????? ??? ? ??
??
将质点系中各质点的相对动量对动点 A的
矩的矢量和定义为 质点系对该点的相对动量矩
用 表示L
A
??
即
)()(
11
vmrvm iin
i
iii
n
i
AA LL
????? ?? ??? ?????
??
将 代入vvv
Aii
??? ?? ? )()(
11
vmrvm iin
i iii
n
i AA
LL ????? ??? ? ??
??
并由 )()(
11
vmrvm iin
i iii
n
i AA
LL ????? ?? ??? ?????
??
可得 )(
ACAA vr MLL
???? ???? ?
这就是质点系对动点的绝对动量矩的关系式
当 A取质心时 LL CC ?? ?? )0( ??r C
质点系质心 C相对于 A的矢径公式
质点系对质心的绝对动量矩与相对动量矩相等
M
rm i
n
i
i
???
?? 1
cr?
?
22.5.3刚体的动量矩
(1)平动刚体,
平动刚体对任意固定点 A的动量矩为将
平动刚体的质量全部集中在质心时对 A
的动量矩
(2)定轴转动刚体, kJjJiJL zyzxzO ???? ??? ????
根据 代入各相关式子
所得,结果说明定轴转动刚体对轴上
任意一点的动量矩方向一般不沿转
轴
dmrrL MO )( ???? ??? ? ?
(3)一般平面运动刚体,
cCA vMACLL
??? ???
)( cA vMACL ?? ??
22.6 动量矩定理
22.6.1 质点的动量矩定理
设质量为 m的质点 D对固定点 O的矢径 r,作用
在其上的合力为 F,将该质点对 O点的动量矩
对时间求一阶导数 得
)()()( vmdtdrvmdt rdvmrdtdvmLdtd O ???
?????
??????
vdtrd ?
?
?
因 则
0?? vmdtrd ?
?
由牛顿第二定律知
故右端第二项为合力 F对 O点的矩,Famvmdt
d ??? ??)(
质点对某一固定点的动量矩对时
间得一阶导数等于作用在其上的合力对同
一点的矩,称为 质点的动量矩定理,
表明
)()( FvmLdtd m OO ??? ?
于是
22.6.2质点系对固定点的动量矩定理
1)质点系对固定点的动量矩定理
由质点的动量矩定理即
知,质点系中有 )()( FvmLdt
d m
OO
??? ?
)()()( )()( FFLdtd eiOiiOiiO mmvm ??? ? ?? ).,.,3,2,1( ni ?
表明
对各质点求和,交换求和与求导的关系
内力成对出现,它们对同一点的动量矩的矢
量和为零
0)( )(
1
??
?
F ii
n
i
Om
?
即
得
)()(
1
)( eoein
i O
O MF
dt
Ld m ??? ?? ?
?
质点系对某一固定点得动量矩对时间
的一阶导数等于作用在其上外力系对同一点
的主矩,称为 质点系对固定点得动量矩定理,
例 22.3图示均质圆轮 A和 B的质量均为 m,半径
都为 r在轮 A上作用一力偶矩为 的主动力偶
并通过不可伸长的,质量可不计的柔绳带动轮 B
在与水平段绳平行的水平地面上作纯滚动,绳与
轮之间无相对滑动,
试求圆轮 B中心的加速度及圆轮 B与地面间的摩
擦力,
MO
BA
MO
解：
即需求加速度，又要求约束反力的
问题，受力分析很关键，纯滚动的摩擦力
属静摩擦力，其方向依赖于主动力，一般
可先假定其指向。动量矩定理经常与质心
运动定理联合使用。若列写的独立动力学
方程个数比其中未知量个数少，则一般可
补充运动学关系是方程封闭。其具体解题
过程为：
1，取圆轮 B为研究对象，
其受力分析如图
F摩
?B
?Ba
B
N
T摩
mg
由质心运动定理，得到
aFT Bm ??? ?? 摩绳
0?? mgN
由对定点 A的动量矩定理
MdtL
d e
A
A )(?
由 知 )(
BBA vmABLL
??? ???
?? ???? BBBBA rJ mLL 221???
得到
rFTM eA )()( 摩绳 ??
于是 化为ML e
A
Adtd )(? rm FTr
B )(2
1 2
摩绳 ???
2，取圆轮 A为研究对象,
其受力分析如图。
FAX
MO
aA
T摩
FAYA
mg
由对定点 A的动量矩定理
ｒＴ 绳绳 ???? ? MTMr OOA rm ?221
3，以上方程含有 5个未知量，
补充以下两个运动学关系
??
?
BA
BB ra
2?
?
4，联立以上几个方程，可以得
mr
Ma O
B 7
4?
r
MF O
7??摩
PS
2)质点系对动点的动量矩定理
)()( aML AeAA MACdtd ?????
A的主矩外力
系对动点 A为移动点,C为刚体的质心
这就是 质点系对动点的动量矩定理的数学表达式,
对于动点 A,一般不
成立,但是有三种例外,
)()( )(
1
edtd MFmL
O
e
i
n
i O
O ?? ?
?
质点系对其质心的动量矩对时间的一
阶导数等于作用于其上外力系对质心的主矩,
称为 质点系相对于质心的动量矩定理,
这说明
(1)动点 A就取质点系的质心,因
LL CC ??
)()( aML AeAA MACdtd ????? 变为 ML e
C
C
dt
d )(?
(2)当 0?a
A 时
)()( aML AeAA MACdtd ????? 变为 ML eAAdtd )(??
此时 =常矢量,
即平动坐标系也是一个惯性参考系
vA
这说明
(3)当动点 A取为刚体的速度瞬心 P的时候,将
两边对时间求一阶导数,并将)( vrLL
ACAA M??? ??
0?vP 代入
)( aLL PPP MPCdtddtd ??? ?
得
ML ePPdtd )(?
得
刚体对其速度瞬心得动量矩定理,
其形式与刚体对定点的动量矩定理相同,
将 代入 )()( aML
A
e
A
A MACdtd ?????
注意
(1)若利用动量矩定理来建立系统的动
力学方程,一般是对定点或质心来列写动量矩
方程,这样比较方便,
(2)在动力学中,必须将刚体运动和它所
受的力联系起来,考虑到质心运动定理可将刚
体的质心运动与外力联系起来,相对于质心的
动量矩定理又可将质心平动坐标系的转动和外
力系对质心的主矩联系起来,
因此在动力学中,将一般平面运动的刚
体的基点选在质心上是方便的,
刚体运动 所受的力
质心运动定理
质心运动 外力
质心平动坐标系的转动 外力系对质心的主矩
相对于质心的动量矩定理
图示
例 22.4图示均质细杆 AB质量为 m,长为 L,其 B端
面与光滑水平面接触,初始时杆与前垂线的夹
角为,试求杆无初速度释放的瞬间,水平面
对杆的约束反力,
?0
x
y
C
B o
A
NB
mg
?
?
?解,
(1)对杆进行受力分析如图
(2)建立图示直角坐标系
用,且初始
时,则,即质
心沿铅垂线运动,于是
Oxyz 0)( ?F eRx
0?vC 常数?xC
?c o s21 ly C ? (1)
对时间求一阶导数,
将初瞬时,代入得
0,0 ?? ?? ?
???? c o s21s i n21 2lly C ???
?? (2)
(3)由质心运动定理
(4)由对质心的动量矩定理
(5)联立 (2)(3)(4)解得
?? 02 s i n2121 lNm l ?? (4)
mgNym C ???? (3)
l
g
mg
N
)s in31(
s in6
s in31
0
2
0
0
2
?
?
?
?
?
?
?
?
转向如图所示
4.质点系动量矩守恒定律
作用于其上的外力系对 O点
的主矩为零,即,0)( ?M eO
常矢量?L O
质
点
系
得
动
量
矩
守
恒
定
律
作用于其上的外力系对某一
固定直角坐标系的坐标轴的
矩为零,即,0)( ?M e
Z 常数?L Z
x
y
C
B O
A
NB
mg
?
?
?
规定转角 顺时针方向为正?
例 22.5圆柱体的质量是,在其中部绕以细
绳,绳的一端 固定不动,圆柱体解开绳子而
下坠,其初速度为零,求当圆柱体的轴降落了
高度 时,这轴的速度 和绳子的张力,
m
h v T
B
解,
研究圆柱体,在当解开绳
子它下落时,作平面运动,其上
作用有绳子的张力 和重力T P
A
A h
B
0A
以圆柱体重心下落的起始
位置 为原点,选静止坐
标系 如图,
0A
yxA0
由刚体平面运动微分方程,可有
TPym A ????
Trmr ????221
(1)
(2)
因点为瞬心,故
?rya ? ????? ry A ?
将此值代入 (1)式中,得 TPmr ?????
所以
???mrPT ?? (3)
将 (3)式代入 (2)中,则 ?? ??? ?????? 22
2
1 mrmg rmrPrmr ????
?? ???? rgr ??21
或
由此得到
r
g
3
2????
根据初始条件,当 时0?t 0?
Ay?
因之 0?C 所以 tgyv AA 32?? ? (5)
再将 (5)式进行积分,并考虑到
dt
dhy
A ??
将 (6)式得入 (5)中,即得圆柱体的轴下落
时的速度为
h
ghghgyv AA 332332 ??? ?
绳子的张力为
???mrPT ??
33
2
3
2 PPP
r
gmrP ??????
有
2
3 t
gh ?
故
g
ht 3? (6)
2.这里考虑到圆柱体沿绳滚而不滑的运动条
件，建立了补充方程 ?ry
A ?
1.在解平面运动问题时，质心加速度的
正向与绕质心转动的角加速度的正向，
必须规定一致，否则出现正负号上的麻
烦。
小结
例 22.6 位于铅垂平面的均质杆 AB和 BD,长度
均为 L重量都是 P.杆 AB的 A端预固定绞支座连
接,B端与杆 BD铰连,杆 BD的 D端与可沿铅垂滑
槽滑动的滑块 D绞接,今用一细绳将 B点拉住,使
杆 AB和 BD位于同一直线上,该直线与水平面
间的夹角为,系统保持平衡,如图各处摩擦
和滑块 D的质量与大小略去不计。
试求（ 1）剪断绳子瞬时,滑槽相对于滑块
D的反力
（ 2）杆 AB运动至水平位置时,杆 AB
的角速度
030
解 1)求剪断绳子后
滑槽对滑块 D的反力
设 AB杆有瞬钟向角
加速度, BD杆有
逆钟向角加速度
?1
?2
由于初瞬时两杆角速度 和
均等于零，所以
BD杆作平面运动，以 B点为基点
分析 D点的加速度。
?1 ?2
?1LaB ?
aaaa nDBDBBD ??? ?其中
0,22 ??? ??? LL aa nDBDB
030
D
B
A
将上式分别沿 DB和垂直于 DB方向投影，
可得
030s in 0 ?a D
aaa DBBD ???030c o s
求得 0?aD ?? 21 ?
即 D点为该瞬时加速度瞬心
所以 BD杆质心 C的加速度 ?
22
La
C ?
030A
B
D
B
D
?2
C
P
aC
aD
ND
NBx
NBy
取 BD为研究对象，
受力如图。 BD杆作
平面运动，根据平面
运动微分方程，有
NNa BxDCgP ???030s i n
Na ByC PgP ???? 030co s
000
1
2 30c o s
230s i n230s i n212
1 LLL
g
P NNNL
ByBxD ???????
取 AB为研究对象，受力如图。 AB杆作定轴
转动，应用定轴转动微分方程，有
2
3
222
3
3
1
1
2 ??????? ?? LPLL
g
P NNL
BxBy?
考虑到 NNNNa
ByByBxBxC
L ???? ??,,,,
2 212 ???
由以上几式解得剪断绳子瞬时时,AB杆和
BD杆的角加速度以及滑块 D处反力分别为
B
A
?1
NAx
NAy
NBx?
NBy?
P
gL4 3321 ?? ??
PN D 43?
2）求杆 AB运动至水平位置时的角速度
取整个系统为研究对象，利用动能定理求解。
因为系统在初瞬时,AB杆与 BD杆的角速度
均为零，且 BD杆的质心速度也为零。
而当 AB杆运动到水平位置时，若设 AB杆
的角速度为,此时 BD杆为瞬时平动。
所以系统在这一过程的初动能和末动能为
?1
01 ?T ??? 212212122 32)(21)31(21 LgPLgPLgPT ???
系统在上述运动过程中重力所作的功
]2
332
1[]2
)13(
30s i n23[30s i n2
222
00
?
??
??
???? PL
L
LPLPW L
根据动能定理 ?
?? WTT 22
有 ]
2
332
1[32 2 `12
?
?? PLgP L ?
解得杆 AB运动至水平位置时，杆 AB角速度
L
g994.0
1 ??
顺钟向
C
?1
030
B
A
vB
a
例 22.7两根均质杆 AD,BD质量都是 M,长度都为 L
用光滑的铰链 D连接并放在光滑水平面上，
如图所示。开始时，系统静止于铅直面内，且
杆对水平面的倾角是 。
求两杆运动到与水平面成倾角 时铰销 D的
速度和加速度，并求水平面的支反力。
?0
?
?0
D
A B
C1 C2
解,系统由于质量分
布和受力对称，以及
所给的初始条件，将
保留在原铅直平面内
它的位置用 角确定。?
取整个系统为研究对象，受力如图。
应用动能定理的积分形式求速度，用动量定理
或质心运动定理求反力。
C2
y
C1
x
?
vDG
1 G2NA NB
D
OA B
?
vC1
(1) 求速度和加速度
由于对称，在系统
的铅垂平面内取固
定坐标系 Oxy，
在系统的运动过程中，,系统的
初速度等于零，因此系统的质心 C在水平
方向的位置守恒，即 C将沿铅垂线下降
0?? F x
因而铰销 D也沿铅垂线下降。同时杆端 A,B
只能沿着 x轴按反方向分开。所以两杆在平
面运动中各自的速度瞬心分别是 E,F.
根据动能定理的积分形式
??? WTT 12
其中初动能,系统在任意位置的动能0
1 ?T
)2121(22 212 12 ? ADCCAD IvTT m ???
而
?? co sL
v D
AD ? ??? c o s22c o s11 vvCv DDADC LLE ????? LI mC 21 121?
)2121(22 212 12 ? ADCCAD IvTT m ???代入 得
?2
2
2 c os2
vT Dm?
系统在运动过程中只有重力做功，故
)s i n( s i n)s i n( s i n22 00 ?? ?? ????? mgLLmgW
??? WTT 12代入 得
)s i n( s i nc o s2 02
2
?? ? ?? m g Lm v D
从而得所求铰销 D的速度
?? ? s i n( s i n3c o s 0 ?? gLv D
表示为变量 的函数，对时间求导得
铰销 D的加速度
)(t?vD
即 mgm NNy
BAC 22 ?????
(2)求水平面的支反力
根据质心运动定理，得 ?? Fy
yCM ??
即 mgmmg yNN
CBA )s i n2
3s i n
4
9
4
1(
0
2 ?? ?????? ??
例 22.8 摆杆滑槽机构如图所示。均质摆杆
OA在主动力偶矩 L作用下绕 O轴摆动，并
带动滑块 A在滑槽中运动，从而推动滑槽
沿水平方向运动。设当 时，摆杆的
角加速度,角速度,杆
OA长 m，质量,滑槽质量
质心在 C处，,滑块 A
的质量及各处摩擦不计。
试求此瞬时支承 B和 D处的反力以及力偶矩
L.
045??
kg5?
sra d 22?? srad4??
24.0 kgm 102 ?
.3.0,4.1,3.0,7.0 mdmlmbma ????
?
l
dCA B
L A
解：先分析滑杆的加速
度。取滑块 A为动点，
动系固连于滑槽，定系
固连于机座。根据牵连
运动为平动时的加速度
合成定理，有
aaaa renAA ????
A
045
anA a?
ae
aA?
aaaa renAA ????
其中
22 4*24.0
,2*24.0
??
??
?
??
r
r
a
a
n
A
A
两边投影到水平方向即的滑槽的加速度
20 2.745c o s)( smaaa
n
AAe ???
?
NA?
取滑槽为研究对象，受力如图所示。
由质心运动定理得
0
72
2
2
???
??
g
N
mNN
amN
DB
eA
由相对质心得动量矩定理得
50473
0)45s i n( 0
??
?????
NN
NNN
DB
ADB rdlb
即：
联立求解 ;可得所求支承处的反力
NN NN DB 21,9.118 ???
为求力偶矩 L，再取摆杆连同滑块为研究
对象，受力如图所示，由刚体定轴转动
微分方程得
00
1
2
1 45s i n45c o s23
1 rrgL Nmrm
A
?????
代入已知值，
注意到 NN
AA ?
?
解得所求力偶矩
L=39.66N M (逆钟向 )?
ND NB
ae
NA
B
A
a bD
C
22.8刚体一般运动的方程
刚体的一般运动
随质心的平动
绕质心平动坐
标系的定点运
动
设刚体质量为 M,质心在 C.以 C为坐标原点建立
与刚体相固连的惯量主轴坐标系 Cxyz
在惯性参考空间中建立定直角坐标系 ???O
作用在刚体上的外力系的主矢为 Fe
R
)(
力系对质心的主矩为 Me
C
)(
由质心运动定理,刚体随质心的平动部分的
动力学方程为
Fa eRCM )(?
将它沿各轴投影,得 F e
RCM
)(
?? ?
??
F eRCM )( ?? ???
F eRCM )( ?? ???
由对质心得动量矩定理,刚体绕质心平动坐
标系坐定点运动的欧拉动力学方程为,
MJJJ eCxzyyzxx )()( ???? ???
MJJJ eCyxzzxyy )()( ???? ???
MJJJ eCyxzzxyy )()( ???? ???
