第二十五章 动力学普遍方程 和
拉格朗日方程
25.1 动力学普遍方程 例题 1
25.2 第二类拉格朗日方程
例题 2 例题 3 例题 4 例题 5
第二十五章 动力学普遍方程
和 拉格朗日方程
根据 达朗伯原理 和 虚位移原理,可
以导出非自由质点的 动力学普遍方程 。
利用它解决问题时，可以避免约束反力
在动力学方程中的出现，比较方便 !
第一类拉格朗日方程, 用直角坐标描述的
非自由质点系的拉格朗日方程
------模拟和求解复杂系统的动力学问
题
第二类拉格朗日方程,将完整约束系统的动
力学普遍方程表示为广义坐标的形式，可以
推得。
----可以直接写出个数与系统自由
度相同的独立运动方程 。
25.1 动力学普遍方程
设一个质点系由 n个质点组成，
air在任意瞬时,加速度为
第 i个质点的质量为 mi
根据达朗伯原理，在其上加达朗伯惯性力
am iiiqF rr ??
作用于此质点上
的主动力的合力
约束反力的合力
达朗伯惯性力
0??? FNF
iqii
rrr ).,.........2,1( ni ?
(25.1)
则
点积虚位移 r
i?
对这 n个式子求和
若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件知
).,.........2,1( ni ?
(25.2)
0)( ??? rFNF iiqii ?
0)(
1
????
?
rFNF iiqii
n
i
?(25.3)
0
1
??
?
rN i
n
i
i?
在具有理想约束的质点系中，在
运动的任一瞬时，作用在其上的主动力
系和达朗伯惯性力系在任意系统的任何
一组虚位移上的虚功之和等于零 。
动力学普遍方程或者达朗伯 — 拉格朗日原理
说明
0)0)(
11
???? ??
??
ramFrFF iii
n
i
iiiqi
n
i
?? （或者(25.4)
上式变为：
例 25.1 如图所示，有两个半径皆为
r的轮子 A,B，轮心通过光滑圆柱铰链
与直杆 AB相连，在倾角为 的固定不
动的斜面上作纯滚动。设两轮重皆为 P，
重心都在轮上，对轮心的转动惯量为 J，
连杆重 Q。求连杆运动的加速度。
?
解,
(1)以两轮和连杆组成
的系统为研究对象
系统所受约束为理想约
束
a
A
B
Fq1
Fq2
Fq3
?
P PQ
Mq2
Mq1
若连杆发生平行于斜面向下的的虚位移为,
则轮心的虚位移也为,轮子相应的虚转角
s?
r
s??? ?
(3) 轮子作纯滚动,其达朗伯惯性系可以简化为
通过轮心的达朗伯惯性力
达朗伯惯性力偶矩 其中
agPFF qq ?? 21
?JMM qq ?? 21 ra??
连杆作平动,其达朗伯惯性力系可简化为过其
质心的一个达朗伯惯性力 agQF
q ?3
(2)系统所受的主动力为重力 P,P和 Q
（ 5） 根据动力学普遍方程
0)()(s in)2( 21321 ??????? ????? MMFFF qqqqq ssQP
JgQP
gQPa
r
r
2)2(
s in)2(
2
2
??
?? ?
得,
方向平行于斜面向下,
25.2 第二类拉格朗日方程
直接用质点系的广义坐标的变分来表示各
质点的虚位移,对完整约束系统来说,可推
得与系统自由度相同的一组独立的运动微
分方程
设完整约束的质点系由 n个质点组成,系统的自
由度为 k,广义坐标为 qqq k......,,21
各点的虚位移可表示为
代入 0)0)(
11
???? ??
?? ramr iii
n
i iiiqi
n
i FFF
rrr rrr ?? （或者
各质点相对于定点 O的矢径可表示为
),,......,,( 21 tqqqrr kii ?,..,.,.,)2,1( ?i (25.5)
（ 25.6)q
q
rr
j
n
i
j
i
i ?? ?
? ?
?
?
1
)..,2,1( ni ?
得
0)(
11
??
?
?? ??
??
qqramF jk
j i
i
ii
n
i i
?
rrr （ 25.7）
交换上式 求和顺序得
0])([
11 1
?
?
?
???
?
?
? ?? ?
?? ?
qqramqrF j
j
i
i
n
j
i
j
i
k
j
n
i i
?
rrrr
广义主动力,qrFQ
j
i
n
i ij ?
?
?? ?
?
rr
1
广义达朗伯惯性力：
q
ramG
j
i
i
n
i
ij ?
?
??? ?
?
rr
)(
1
先引入两个经典的拉格朗日关系式：
（ 1） 第一个经典拉格朗日方程
由 对时间求导 ),,......,,( 21 tqqqrr kii ?
再对 求偏导数q
j
q
r
q
r
q
r
q
v
j
i
j
i
j
i
j
i
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
? 或
得到 )...2,1( kj ?
（ 2） 第二个经典拉格朗日方程
在上式对 s个广义坐标 求偏导数得)...,2,1( ksq
s ?
)()(
1
2
1
2
q
r
qq
r
q
q
r
qqq
r
q
v
s
i
j
s
i
k
j
j
s
i
k
j j
sj
i
s
i
t
t
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
r
&
r
&
rr
即
)( qrqv
s
i
s
i
dt
d
?
?
?
?
? rr
也可以写为
)( qrqv
j
i
j
i
dt
d
?
?
??
? rr )(
q
r
q
r
j
i
j
i
dt
d
?
?
?
?
? rr或 )...2,1( kj ?
对于不变质点系 qrvmG
j
i
i
n
i ij dt
d
?
???? ?
?
)][
1
(
由 )()()]([])[(
qrvmqrvmqrvm jiiijiiijiii dt
d
dt
d
dt
d
?
??
?
???
?
??
qvvmqvvmG jii
n
i ij
i
ii
n
ij dt
d
?
???
?
???? ??
??
)(])[(
11 ?
得
引入系统动能 vvmvm
iii
n
ii
i
n
i
T ??? ??
?? 11 2
12
2
1
对 求偏导数qq jj,?
q
v
vm
q
q
v
vm
j
i
i
n
i
i
j
j
i
i
n
i
i
j
T
q
T
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
r
r
&
r
r
&
1
1
将以上公式代入
q
vvm
q
vvmG
j
i
i
n
i
i
j
i
ii
n
i
j dt
d
?
???
?
???? ??
??
)(])[(
11 ?得
qqG jjj
TT
dt
d
?
??
?
??? )(
?
由以上将 0])([
11 1
????????? ?? ?
?? ?
qqramqrF j
j
i
i
n
j ij
ik
j
n
i i
?改写为
0])([
1
?
?
??
?
???
?
qqq j
jj
n
i
TT
dt
dQ ?
因为 的相互独立性qqq n.......,21 ??
得 第二类拉格朗日方程 Q
qq jjj
TT
dt
d ?
?
??
?
?
?
若质点系所受的全部的主动力为有势力
qQ jj
V
?
???
系统的势能只是系统广义坐标的函数 0?
?
?
q j
V
?
0(])([ ?? ???? ?? qq
jj
VTVT
dt
d ）
?
可得
引进 L=T-V,成为 拉格朗日函数,则上式为
0?
?
??
?
?
qq jj
LL
dt
d
?
应用动力学普遍方程解题时的注意事项：
（ 1）系统中各质点的加速度与各刚体
的角速度都必须是绝对加速度于绝对角
速度。
（ 2）计算主动力与惯性力的虚功时所
涉及到的虚位移必须是绝对虚位移。
拉格朗日方程得解题步骤
（ 1）以整个系统为研究对象，分析系统的
约束性质，确定系统的自由度数，并恰当选
取同样数目的广义坐标
（ 2）写出广义坐标，广义速度表示的系统
的动能
（ 3）计算广义力。比较方便而且常用得式
由公式 计算。当主动力均为有势
力时，则需求广义坐标表示的系统的势能，
并写出拉氏函数。
qQ j
j
j
W
?
? ][?
（ 4）计算各相应的导数
（ 5）根据相应形式的拉氏方程，建立质点系
的运动微分方程。
例 25,2 一质量为 m的小球与弹簧的一端相连，
弹簧的另一端固定。已知弹簧的质量不计，弹
性系数为 k，在平衡位置式的长度为 L。是求小
球在同一铅垂面内运动的拉氏方程。
o
k
m
r
?
(1) 取小球和
弹簧组成的系统为
研究对象，系统由
两个自由度，选取
小球的极坐标 为
广义坐标
),( ?r
])([21 22 ?rrmT ?? ?
(2)系统的动能为
（ 3）设衡位置时系统的势能为零,则系统的势
能为
2
0
2
0 )-2
1(
2
1)c os( ll lrkrlmgV （） ????? ?
其中 kmgll ??0
（ 4）系统的拉格朗日函数
2
0
2
0
222 )(
2
1)(
2
1)c o s()(
2
1 llrr lkrkrlmgmVTL ?????????? ?? ??
（ 5）分别计算导数
?
?
??
?
?
?
??
s in
2
)(c o s
2
2
0
2
m g r
L
mrmr
L
dt
d
m
L
rkmgmr
r
L
rm
r
L
dt
d
rm
r
L
r
r
l
??
?
?
??
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
（ 6）由保守系统的第二类拉格朗日方程
0?
?
?
?
?
?
r
L
r
L
dt
d
?
0?????? ?? LLdtd ?
0s in2
0)1()c o s1(2
???
??????
???
??
grr
rkmgmrrm
????
???
得
例 25.3 图是一质量为 M的均质圆盘，半径为
R,其中心 A与弹性系数为 k，弹簧原长为,
且与水平地面平行的弹簧一端相连，弹簧
的另一端固定。质量为 m，长为 的均质杆
AB通过以光滑铰链 A与圆盘中心相连。若圆
盘在水平地面上作纯滚动，试求系统运动的
拉式方程。
l
l0
k
?
x
B
P
C
vA
vCA
vC
(2) 圆盘和杆的动能分别为
解 （ 1） 系统的自由度为 2，以图中的
x,为系统的广义坐标。
设杆的质心为 C，圆盘的速度瞬心为 P
?
2222
11 4
3))
2
3(
2
1
2
1 xM
r
xM rJT
P ?
? ??? ?
???
????
???
?
c o s
2
1
6
1
2
1
24
1
]c o s)
2
(2)
2
([
2
1
)
12
1
(
2
1
)]c o s (2[
2
1
2
1
2
1
222
2222
2222
2
2
2
2
????
?????
?
xmlmxm
m
l
x
l
xm
mm
m
l
l
lvvvv
JvT
CAACAA
CC
???
????
?????
??
故系统的动能为 TTT
21 ??
（ 3）设过 A的水平面为重力势能的零势能面，
弹簧原长为弹性势能的零势能点
则系统的势能为
?c os2)(21 20 lmgxkV l ???
（ 4）系统的拉格朗日函数为
L=T-V
(5) 计算导数
)(
s in
2
1
c o s
2
1
)
2
3
(
c o s
2
1
)
2
3
(
0
2
lxk
x
L
mlmlxmM
x
L
dt
d
mlxmM
x
L
???
?
?
????
?
?
???
?
?
????
??
?????
?
??
?
???
?
????
?
??
?
s in
2
s in
2
1
s in
2
1
c o s
2
1
3
1
c o s
2
1
3
1
22
2
l
mgxml
L
xmlxmlml
L
dt
d
xmlml
L
???
?
?
???
?
?
??
?
?
??
??????
?
??
?
（ 6） 由拉氏方程
0
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
LL
dt
d
x
L
x
L
dt
d
?
?
可得到
0)(2s inc o s)23( 02 ?????? lxkmlmlxmM ???? ?????
0s in3c o s32 ??? ??? gxl ????
例 25.4 质量为 M的均质圆柱再三角块斜边上作
纯滚动，如图所示。三角块的质量也为 M，
置于光滑水平面上，其上有刚度系数为 k的弹簧
平行于斜面系在圆柱体轴心 O上。设角
试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。
030??
解,取整个系统为研究对象
三角块作平动，
圆柱作平面运动，
系统具有两个自由度。?
o
k
选三角块的水平位移 和圆柱中心 O沿三角块
斜面的位移 为广义坐标，其中 由静止
时三角块任一点位置计起,由弹簧原长处计起
如图 。因为作用在系统上的主动力 mg 和弹性力
均为有势力，所以，可用拉格朗日方程式求解
x1
x2 x1
x2
0)(
11
?????? xx LLdtd ?
0)(
22
?????? xx LLdtd ? v
e
mgmg
x2
?
o
k
l0
取圆柱中心 O为动点，动系与三角块固连，
定系与水平面固连，则 O点的绝对速度
vvv reO rrr ??
其中 xv
e ?1? xvr ?2?
所以，系统的动能
?
??
c o s
4
3
))(
2
1
(
2
1
)c o s2(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
21
2
2
2
1
22
21
2
2
2
1
2
1
222
1
xxxx
x
r
xxxxxIvx
mmm
r
m
mmmmT
OO
&&&&
&
&&&&&r&
????
???????
0
1
???xL ?co s23 12
1
xxx mmL ??? ????
?co s23)( 12
1
xxx mmLdtd ????? ????
?s in2
2
mgkL xx ?????
将以上表达式代入
0)(
11
?????? xx LLdtd ? 0)(
22
?????? xx LLdtd ?
整理得到系统的
微分方程
0232 21 ?? xx ????
0212323 222 ???? mgkmm xxx ????
例 25.5 如图所示系统中，均质圆柱 B的质量
，半径 R=10cm,通过绳和弹簧与
质量 的物块 M相连，弹簧的刚度系数
,斜面的倾角 。假设圆柱 B滚
动而不滑动，绳子的倾角段与斜面平行，
不计定滑轮 A，绳子和弹簧的质量，以及轴承
A处摩擦，试求系统的运动微分方程
kgm 21 ?
kgm 12 ?
cmNk 2? 030??
解：取整个系统为研究
对象。圆柱 B作平面运动
物块 M作作平动，定滑轮
A作定轴转动
M?
A
B
系统有两个自由度，选圆柱 B的质心沿斜面向
上坐标 及物块 M铅垂向下的的坐标 为广
义坐标，其原点均在静平衡位置。如图
x1 x2
A
M?
B
gm1 gm
2
x1
x2
因为作用在系统
上的主动力重力
和弹
性力均为有势力
gm1 gm2
所以可用拉格朗日方程式求解 0)( 11 ?????? xx LLdtd ?
0)(
22
?????? xx LLdtd ?
若选弹簧原长处为势能零点，则系统的
势能
?s in2 222 xx mgkV ??
故系统的拉氏函数
?? s in2c os43 222212221 xxxxxx mgkmmmVTL ??????? ????
求各偏导数：
?co s2 21
1
xxx mmL ??? ????
?co s2)( 21
1
xxx mmLdtd ????? ????
系统的动能
xmx
xmxRxxmIx
m
R
mmmT
BB
??
?????
2
22
2
1
2
22
212
1
2
1
2
22
22
1
2
1
4
3
2
1
))(
2
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
??
?????? ?
选静平衡位置为势能零点，故弹性力静变形
的势能与重力势能相互抵消，
于是系统的势能
2
12 )(2 xx
kV ??
故系统的拉氏函数
2
12
2
22
2
11 )(22
1
4
3 xxxmxm kVTL ?????? ??
求各偏导数
xmxL ?? 11
1 2
3?
?
?
xmxLdtd ??? 11
1 2
3)( ?
?
?
)( 12
1
xxkxL ????
xmxL ?? 22
2
???
xmxLdtd ??? 22
2
)( ???
)( 12
2
xxkxL ?????
将以上的表达式代入 0)( 11 ?????? xx LLdtd ?
0)(
22
?????? xx LLdtd ?
整理得到系统的微分方程
0)(23 1211 ??? xxxm k??
0)( 1222 ??? xxxm k??
代入已知值
02002003 211 ??? xxx??
0200200 212 ??? xxx??
拉格朗日方程
25.1 动力学普遍方程 例题 1
25.2 第二类拉格朗日方程
例题 2 例题 3 例题 4 例题 5
第二十五章 动力学普遍方程
和 拉格朗日方程
根据 达朗伯原理 和 虚位移原理,可
以导出非自由质点的 动力学普遍方程 。
利用它解决问题时，可以避免约束反力
在动力学方程中的出现，比较方便 !
第一类拉格朗日方程, 用直角坐标描述的
非自由质点系的拉格朗日方程
------模拟和求解复杂系统的动力学问
题
第二类拉格朗日方程,将完整约束系统的动
力学普遍方程表示为广义坐标的形式，可以
推得。
----可以直接写出个数与系统自由
度相同的独立运动方程 。
25.1 动力学普遍方程
设一个质点系由 n个质点组成，
air在任意瞬时,加速度为
第 i个质点的质量为 mi
根据达朗伯原理，在其上加达朗伯惯性力
am iiiqF rr ??
作用于此质点上
的主动力的合力
约束反力的合力
达朗伯惯性力
0??? FNF
iqii
rrr ).,.........2,1( ni ?
(25.1)
则
点积虚位移 r
i?
对这 n个式子求和
若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件知
).,.........2,1( ni ?
(25.2)
0)( ??? rFNF iiqii ?
0)(
1
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rFNF iiqii
n
i
?(25.3)
0
1
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n
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i?
在具有理想约束的质点系中，在
运动的任一瞬时，作用在其上的主动力
系和达朗伯惯性力系在任意系统的任何
一组虚位移上的虚功之和等于零 。
动力学普遍方程或者达朗伯 — 拉格朗日原理
说明
0)0)(
11
???? ??
??
ramFrFF iii
n
i
iiiqi
n
i
?? （或者(25.4)
上式变为：
例 25.1 如图所示，有两个半径皆为
r的轮子 A,B，轮心通过光滑圆柱铰链
与直杆 AB相连，在倾角为 的固定不
动的斜面上作纯滚动。设两轮重皆为 P，
重心都在轮上，对轮心的转动惯量为 J，
连杆重 Q。求连杆运动的加速度。
?
解,
(1)以两轮和连杆组成
的系统为研究对象
系统所受约束为理想约
束
a
A
B
Fq1
Fq2
Fq3
?
P PQ
Mq2
Mq1
若连杆发生平行于斜面向下的的虚位移为,
则轮心的虚位移也为,轮子相应的虚转角
s?
r
s??? ?
(3) 轮子作纯滚动,其达朗伯惯性系可以简化为
通过轮心的达朗伯惯性力
达朗伯惯性力偶矩 其中
agPFF qq ?? 21
?JMM qq ?? 21 ra??
连杆作平动,其达朗伯惯性力系可简化为过其
质心的一个达朗伯惯性力 agQF
q ?3
(2)系统所受的主动力为重力 P,P和 Q
（ 5） 根据动力学普遍方程
0)()(s in)2( 21321 ??????? ????? MMFFF qqqqq ssQP
JgQP
gQPa
r
r
2)2(
s in)2(
2
2
??
?? ?
得,
方向平行于斜面向下,
25.2 第二类拉格朗日方程
直接用质点系的广义坐标的变分来表示各
质点的虚位移,对完整约束系统来说,可推
得与系统自由度相同的一组独立的运动微
分方程
设完整约束的质点系由 n个质点组成,系统的自
由度为 k,广义坐标为 qqq k......,,21
各点的虚位移可表示为
代入 0)0)(
11
???? ??
?? ramr iii
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i iiiqi
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rrr rrr ?? （或者
各质点相对于定点 O的矢径可表示为
),,......,,( 21 tqqqrr kii ?,..,.,.,)2,1( ?i (25.5)
（ 25.6)q
q
rr
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j
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)..,2,1( ni ?
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0)(
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?
?? ??
??
qqramF jk
j i
i
ii
n
i i
?
rrr （ 25.7）
交换上式 求和顺序得
0])([
11 1
?
?
?
???
?
?
? ?? ?
?? ?
qqramqrF j
j
i
i
n
j
i
j
i
k
j
n
i i
?
rrrr
广义主动力,qrFQ
j
i
n
i ij ?
?
?? ?
?
rr
1
广义达朗伯惯性力：
q
ramG
j
i
i
n
i
ij ?
?
??? ?
?
rr
)(
1
先引入两个经典的拉格朗日关系式：
（ 1） 第一个经典拉格朗日方程
由 对时间求导 ),,......,,( 21 tqqqrr kii ?
再对 求偏导数q
j
q
r
q
r
q
r
q
v
j
i
j
i
j
i
j
i
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
? 或
得到 )...2,1( kj ?
（ 2） 第二个经典拉格朗日方程
在上式对 s个广义坐标 求偏导数得)...,2,1( ksq
s ?
)()(
1
2
1
2
q
r
r
q
q
r
qqq
r
q
v
s
i
j
s
i
k
j
j
s
i
k
j j
sj
i
s
i
t
t
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
r
&
r
&
rr
即
)( qrqv
s
i
s
i
dt
d
?
?
?
?
? rr
也可以写为
)( qrqv
j
i
j
i
dt
d
?
?
??
? rr )(
q
r
q
r
j
i
j
i
dt
d
?
?
?
?
? rr或 )...2,1( kj ?
对于不变质点系 qrvmG
j
i
i
n
i ij dt
d
?
???? ?
?
)][
1
(
由 )()()]([])[(
qrvmqrvmqrvm jiiijiiijiii dt
d
dt
d
dt
d
?
??
?
???
?
??
qvvmqvvmG jii
n
i ij
i
ii
n
ij dt
d
?
???
?
???? ??
??
)(])[(
11 ?
得
引入系统动能 vvmvm
iii
n
ii
i
n
i
T ??? ??
?? 11 2
12
2
1
对 求偏导数qq jj,?
q
v
vm
q
q
v
vm
j
i
i
n
i
i
j
j
i
i
n
i
i
j
T
q
T
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
r
r
&
r
r
&
1
1
将以上公式代入
q
vvm
q
vvmG
j
i
i
n
i
i
j
i
ii
n
i
j dt
d
?
???
?
???? ??
??
)(])[(
11 ?得
qqG jjj
TT
dt
d
?
??
?
??? )(
?
由以上将 0])([
11 1
????????? ?? ?
?? ?
qqramqrF j
j
i
i
n
j ij
ik
j
n
i i
?改写为
0])([
1
?
?
??
?
???
?
qqq j
jj
n
i
TT
dt
dQ ?
因为 的相互独立性qqq n.......,21 ??
得 第二类拉格朗日方程 Q
qq jjj
TT
dt
d ?
?
??
?
?
?
若质点系所受的全部的主动力为有势力
qQ jj
V
?
???
系统的势能只是系统广义坐标的函数 0?
?
?
q j
V
?
0(])([ ?? ???? ?? qq
jj
VTVT
dt
d ）
?
可得
引进 L=T-V,成为 拉格朗日函数,则上式为
0?
?
??
?
?
qq jj
LL
dt
d
?
应用动力学普遍方程解题时的注意事项：
（ 1）系统中各质点的加速度与各刚体
的角速度都必须是绝对加速度于绝对角
速度。
（ 2）计算主动力与惯性力的虚功时所
涉及到的虚位移必须是绝对虚位移。
拉格朗日方程得解题步骤
（ 1）以整个系统为研究对象，分析系统的
约束性质，确定系统的自由度数，并恰当选
取同样数目的广义坐标
（ 2）写出广义坐标，广义速度表示的系统
的动能
（ 3）计算广义力。比较方便而且常用得式
由公式 计算。当主动力均为有势
力时，则需求广义坐标表示的系统的势能，
并写出拉氏函数。
qQ j
j
j
W
?
? ][?
（ 4）计算各相应的导数
（ 5）根据相应形式的拉氏方程，建立质点系
的运动微分方程。
例 25,2 一质量为 m的小球与弹簧的一端相连，
弹簧的另一端固定。已知弹簧的质量不计，弹
性系数为 k，在平衡位置式的长度为 L。是求小
球在同一铅垂面内运动的拉氏方程。
o
k
m
r
?
(1) 取小球和
弹簧组成的系统为
研究对象，系统由
两个自由度，选取
小球的极坐标 为
广义坐标
),( ?r
])([21 22 ?rrmT ?? ?
(2)系统的动能为
（ 3）设衡位置时系统的势能为零,则系统的势
能为
2
0
2
0 )-2
1(
2
1)c os( ll lrkrlmgV （） ????? ?
其中 kmgll ??0
（ 4）系统的拉格朗日函数
2
0
2
0
222 )(
2
1)(
2
1)c o s()(
2
1 llrr lkrkrlmgmVTL ?????????? ?? ??
（ 5）分别计算导数
?
?
??
?
?
?
??
s in
2
)(c o s
2
2
0
2
m g r
L
mrmr
L
dt
d
m
L
rkmgmr
r
L
rm
r
L
dt
d
rm
r
L
r
r
l
??
?
?
??
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
（ 6）由保守系统的第二类拉格朗日方程
0?
?
?
?
?
?
r
L
r
L
dt
d
?
0?????? ?? LLdtd ?
0s in2
0)1()c o s1(2
???
??????
???
??
grr
rkmgmrrm
????
???
得
例 25.3 图是一质量为 M的均质圆盘，半径为
R,其中心 A与弹性系数为 k，弹簧原长为,
且与水平地面平行的弹簧一端相连，弹簧
的另一端固定。质量为 m，长为 的均质杆
AB通过以光滑铰链 A与圆盘中心相连。若圆
盘在水平地面上作纯滚动，试求系统运动的
拉式方程。
l
l0
k
?
x
B
P
C
vA
vCA
vC
(2) 圆盘和杆的动能分别为
解 （ 1） 系统的自由度为 2，以图中的
x,为系统的广义坐标。
设杆的质心为 C，圆盘的速度瞬心为 P
?
2222
11 4
3))
2
3(
2
1
2
1 xM
r
xM rJT
P ?
? ??? ?
???
????
???
?
c o s
2
1
6
1
2
1
24
1
]c o s)
2
(2)
2
([
2
1
)
12
1
(
2
1
)]c o s (2[
2
1
2
1
2
1
222
2222
2222
2
2
2
2
????
?????
?
xmlmxm
m
l
x
l
xm
mm
m
l
l
lvvvv
JvT
CAACAA
CC
???
????
?????
??
故系统的动能为 TTT
21 ??
（ 3）设过 A的水平面为重力势能的零势能面，
弹簧原长为弹性势能的零势能点
则系统的势能为
?c os2)(21 20 lmgxkV l ???
（ 4）系统的拉格朗日函数为
L=T-V
(5) 计算导数
)(
s in
2
1
c o s
2
1
)
2
3
(
c o s
2
1
)
2
3
(
0
2
lxk
x
L
mlmlxmM
x
L
dt
d
mlxmM
x
L
???
?
?
????
?
?
???
?
?
????
??
?????
?
??
?
???
?
????
?
??
?
s in
2
s in
2
1
s in
2
1
c o s
2
1
3
1
c o s
2
1
3
1
22
2
l
mgxml
L
xmlxmlml
L
dt
d
xmlml
L
???
?
?
???
?
?
??
?
?
??
??????
?
??
?
（ 6） 由拉氏方程
0
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
LL
dt
d
x
L
x
L
dt
d
?
?
可得到
0)(2s inc o s)23( 02 ?????? lxkmlmlxmM ???? ?????
0s in3c o s32 ??? ??? gxl ????
例 25.4 质量为 M的均质圆柱再三角块斜边上作
纯滚动，如图所示。三角块的质量也为 M，
置于光滑水平面上，其上有刚度系数为 k的弹簧
平行于斜面系在圆柱体轴心 O上。设角
试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。
030??
解,取整个系统为研究对象
三角块作平动，
圆柱作平面运动，
系统具有两个自由度。?
o
k
选三角块的水平位移 和圆柱中心 O沿三角块
斜面的位移 为广义坐标，其中 由静止
时三角块任一点位置计起,由弹簧原长处计起
如图 。因为作用在系统上的主动力 mg 和弹性力
均为有势力，所以，可用拉格朗日方程式求解
x1
x2 x1
x2
0)(
11
?????? xx LLdtd ?
0)(
22
?????? xx LLdtd ? v
e
mgmg
x2
?
o
k
l0
取圆柱中心 O为动点，动系与三角块固连，
定系与水平面固连，则 O点的绝对速度
vvv reO rrr ??
其中 xv
e ?1? xvr ?2?
所以，系统的动能
?
??
c o s
4
3
))(
2
1
(
2
1
)c o s2(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
21
2
2
2
1
22
21
2
2
2
1
2
1
222
1
xxxx
x
r
xxxxxIvx
mmm
r
m
mmmmT
OO
&&&&
&
&&&&&r&
????
???????
0
1
???xL ?co s23 12
1
xxx mmL ??? ????
?co s23)( 12
1
xxx mmLdtd ????? ????
?s in2
2
mgkL xx ?????
将以上表达式代入
0)(
11
?????? xx LLdtd ? 0)(
22
?????? xx LLdtd ?
整理得到系统的
微分方程
0232 21 ?? xx ????
0212323 222 ???? mgkmm xxx ????
例 25.5 如图所示系统中，均质圆柱 B的质量
，半径 R=10cm,通过绳和弹簧与
质量 的物块 M相连，弹簧的刚度系数
,斜面的倾角 。假设圆柱 B滚
动而不滑动，绳子的倾角段与斜面平行，
不计定滑轮 A，绳子和弹簧的质量，以及轴承
A处摩擦，试求系统的运动微分方程
kgm 21 ?
kgm 12 ?
cmNk 2? 030??
解：取整个系统为研究
对象。圆柱 B作平面运动
物块 M作作平动，定滑轮
A作定轴转动
M?
A
B
系统有两个自由度，选圆柱 B的质心沿斜面向
上坐标 及物块 M铅垂向下的的坐标 为广
义坐标，其原点均在静平衡位置。如图
x1 x2
A
M?
B
gm1 gm
2
x1
x2
因为作用在系统
上的主动力重力
和弹
性力均为有势力
gm1 gm2
所以可用拉格朗日方程式求解 0)( 11 ?????? xx LLdtd ?
0)(
22
?????? xx LLdtd ?
若选弹簧原长处为势能零点，则系统的
势能
?s in2 222 xx mgkV ??
故系统的拉氏函数
?? s in2c os43 222212221 xxxxxx mgkmmmVTL ??????? ????
求各偏导数：
?co s2 21
1
xxx mmL ??? ????
?co s2)( 21
1
xxx mmLdtd ????? ????
系统的动能
xmx
xmxRxxmIx
m
R
mmmT
BB
??
?????
2
22
2
1
2
22
212
1
2
1
2
22
22
1
2
1
4
3
2
1
))(
2
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
??
?????? ?
选静平衡位置为势能零点，故弹性力静变形
的势能与重力势能相互抵消，
于是系统的势能
2
12 )(2 xx
kV ??
故系统的拉氏函数
2
12
2
22
2
11 )(22
1
4
3 xxxmxm kVTL ?????? ??
求各偏导数
xmxL ?? 11
1 2
3?
?
?
xmxLdtd ??? 11
1 2
3)( ?
?
?
)( 12
1
xxkxL ????
xmxL ?? 22
2
???
xmxLdtd ??? 22
2
)( ???
)( 12
2
xxkxL ?????
将以上的表达式代入 0)( 11 ?????? xx LLdtd ?
0)(
22
?????? xx LLdtd ?
整理得到系统的微分方程
0)(23 1211 ??? xxxm k??
0)( 1222 ??? xxxm k??
代入已知值
02002003 211 ??? xxx??
0200200 212 ??? xxx??
