平面图形的几何性质和弯曲强度
编者 材料力学教研室 周际平
PI
一．平面图形几何性质
杆件的和截面是平面图形，它的几何性
质与强度、刚度计算密切相关，必须很好掌
握。拉压中的面积 A，扭转中的极惯性矩 都
属于截面图形的几何性质。在附录 1中我们还
要学到静矩、惯性矩和惯性积。
（ 2）截面图形对形心轴的静矩等于零。
（一）静矩（一次矩）和形心
?? Ay zdAS
?? Az ydAS
A
Sz
A
Sy y
c
z
c ??,
1．定义：截面图形对 y轴的静矩：
截面图形对 z轴的静矩：
截面图形形心坐标：
2．静矩的性质：
（ 1）截面图形对不同的坐标轴静矩是不同的。
静矩的数值可正、可负、可为零。量纲为
长度的三次方。
（ 3） 组合截面对某一轴的静矩等于各部分对
该轴静矩的代数和 。 其形心坐标,
?
?
?
??
n
i
i
n
i
cii
c
A
yA
y
1
1
?
?
?
??
n
i
i
n
i
cii
c
A
zA
z
1
1
（二）惯性矩（二次矩）和惯性半径
1,定义：
截面图形对 y轴的惯性矩,?
? Ay dAzI 2
截面图形对 y轴的惯性半径：
A
Ii y
y ?
截面图形对 z轴的惯性半径：
A
Ii z
z ?
2．惯性矩的性质
（ 1）截面图形对不同坐标轴的惯性矩是不
同的，但惯性矩恒为正。量纲为长度的四次方。
（ 2）组合截面对某一轴的惯性矩等于各部
分对该轴的惯性矩之代数和。
?? Az dAyI 2截面图形对 z轴的惯性矩：
4．几种常用图形的几何特性：
见教科书 P340、表 I— 1，其中长方形、圆、圆
环及工字形的公式应该记住。
（三）惯性积
1．定义：
截面图形对 y,z轴的惯性积 ??
Ayz yzd AI
2．性质：
（ 1） 的数值可正、可负、可为零。量
纲是长度的四次方。 yz
I
???? AzyP dAIII 2?3．惯性矩与极惯性矩的关系：
（ 2）若 y,z轴中有一个是图形的对称轴。
则 0?
yzI
（四）平行移轴公式
设 是通过形心的一对坐标轴,y,z是与其平
行的另一对坐标轴，则有,
cc zy,
AaII ycy 2?? 轴之间距离）与为 cyya(
AbII zcz 2?? 轴之间距离）与为 czzb(
abAII y c z cyz ??
标）坐标中的纵坐标和横坐为形心在 zyba,,(
（五）转轴公式
1．设 y,z为任一对坐标轴，将其绕 O点逆时针
旋转 角，得到新坐标轴，则有：?
zyzy
yz
zyzy
z
yz
zyzy
y
IIII
I
IIII
I
I
IIII
I
????
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
1
1
2s in2c os
22
2s in2c os
22
??
??
?? 2c o s2s in211 yzzyzy IIII ???
注：待学完第八章后，可将此公式与任意斜截
面上的应力公式相比较，形式相同。
2,主惯性轴, 主惯性矩
（ 1）主惯性轴：若圆形对一对坐标轴的惯性积
等于零，这一对坐标轴就称为主惯性轴。
（ 2）主惯性矩：对主惯性轴的惯性矩。
注意：圆形对通过 O点的所有轴的惯性矩中，两个
主惯性矩中的一个是最大值，另一个是最小值。
（ 3）形心主惯性轴：通过形心 C的主惯性轴。
注意：对称轴一定是形心主惯性轴 。
例 1 求图示截面对 z轴的惯性矩 。
R
z)1(
R
)2( z
a
a
z)3(
z
a
a
)4(
864
)2(
2
1 44 RRI
z
?? ???
1682
1 44 RRI
z
?? ???
42
24
3
1
212 aa
aaI
z ????
??
?
???
4
44
163
1
163 a
aaI
z ??
??
?
? ???? ??
a a
z)5(
'z
'y
正方形对 和 轴的惯性矩
均为 。而 与 轴是形
心主惯性轴,及 则是形
心主惯性矩。对所有的形
心轴来说,及 中的一个
是最大值，另一个是最小值。
'y 'z
12
4a
'y 'z
'yI 'zI
'yI 'zI
而,所以正方形对任一形心轴的惯性
12
4
''
aII
zy ??
12
4a
12,
4a
I z ?即矩也等于
此结论可推广到任意正多边形，即正多边形对任
一形心轴的惯性矩为常量。
z
a
a2 a2
? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
??
464
2
12
2 22422
4
aaaaaaI
z
??
4
64
17
3
7 a?
?
??
?
? ?? ?
例 2 判断正误
h
y
1y
bhhII yy 2121 ???
1212
33 bhBH
I z ??
hH
b
B
z
Z轴为槽形的形心轴
编者 材料力学教研室 周际平
PI
一．平面图形几何性质
杆件的和截面是平面图形，它的几何性
质与强度、刚度计算密切相关，必须很好掌
握。拉压中的面积 A，扭转中的极惯性矩 都
属于截面图形的几何性质。在附录 1中我们还
要学到静矩、惯性矩和惯性积。
（ 2）截面图形对形心轴的静矩等于零。
（一）静矩（一次矩）和形心
?? Ay zdAS
?? Az ydAS
A
Sz
A
Sy y
c
z
c ??,
1．定义：截面图形对 y轴的静矩：
截面图形对 z轴的静矩：
截面图形形心坐标：
2．静矩的性质：
（ 1）截面图形对不同的坐标轴静矩是不同的。
静矩的数值可正、可负、可为零。量纲为
长度的三次方。
（ 3） 组合截面对某一轴的静矩等于各部分对
该轴静矩的代数和 。 其形心坐标,
?
?
?
??
n
i
i
n
i
cii
c
A
yA
y
1
1
?
?
?
??
n
i
i
n
i
cii
c
A
zA
z
1
1
（二）惯性矩（二次矩）和惯性半径
1,定义：
截面图形对 y轴的惯性矩,?
? Ay dAzI 2
截面图形对 y轴的惯性半径：
A
Ii y
y ?
截面图形对 z轴的惯性半径：
A
Ii z
z ?
2．惯性矩的性质
（ 1）截面图形对不同坐标轴的惯性矩是不
同的，但惯性矩恒为正。量纲为长度的四次方。
（ 2）组合截面对某一轴的惯性矩等于各部
分对该轴的惯性矩之代数和。
?? Az dAyI 2截面图形对 z轴的惯性矩：
4．几种常用图形的几何特性：
见教科书 P340、表 I— 1，其中长方形、圆、圆
环及工字形的公式应该记住。
（三）惯性积
1．定义：
截面图形对 y,z轴的惯性积 ??
Ayz yzd AI
2．性质：
（ 1） 的数值可正、可负、可为零。量
纲是长度的四次方。 yz
I
???? AzyP dAIII 2?3．惯性矩与极惯性矩的关系：
（ 2）若 y,z轴中有一个是图形的对称轴。
则 0?
yzI
（四）平行移轴公式
设 是通过形心的一对坐标轴,y,z是与其平
行的另一对坐标轴，则有,
cc zy,
AaII ycy 2?? 轴之间距离）与为 cyya(
AbII zcz 2?? 轴之间距离）与为 czzb(
abAII y c z cyz ??
标）坐标中的纵坐标和横坐为形心在 zyba,,(
（五）转轴公式
1．设 y,z为任一对坐标轴，将其绕 O点逆时针
旋转 角，得到新坐标轴，则有：?
zyzy
yz
zyzy
z
yz
zyzy
y
IIII
I
IIII
I
I
IIII
I
????
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
1
1
2s in2c os
22
2s in2c os
22
??
??
?? 2c o s2s in211 yzzyzy IIII ???
注：待学完第八章后，可将此公式与任意斜截
面上的应力公式相比较，形式相同。
2,主惯性轴, 主惯性矩
（ 1）主惯性轴：若圆形对一对坐标轴的惯性积
等于零，这一对坐标轴就称为主惯性轴。
（ 2）主惯性矩：对主惯性轴的惯性矩。
注意：圆形对通过 O点的所有轴的惯性矩中，两个
主惯性矩中的一个是最大值，另一个是最小值。
（ 3）形心主惯性轴：通过形心 C的主惯性轴。
注意：对称轴一定是形心主惯性轴 。
例 1 求图示截面对 z轴的惯性矩 。
R
z)1(
R
)2( z
a
a
z)3(
z
a
a
)4(
864
)2(
2
1 44 RRI
z
?? ???
1682
1 44 RRI
z
?? ???
42
24
3
1
212 aa
aaI
z ????
??
?
???
4
44
163
1
163 a
aaI
z ??
??
?
? ???? ??
a a
z)5(
'z
'y
正方形对 和 轴的惯性矩
均为 。而 与 轴是形
心主惯性轴,及 则是形
心主惯性矩。对所有的形
心轴来说,及 中的一个
是最大值，另一个是最小值。
'y 'z
12
4a
'y 'z
'yI 'zI
'yI 'zI
而,所以正方形对任一形心轴的惯性
12
4
''
aII
zy ??
12
4a
12,
4a
I z ?即矩也等于
此结论可推广到任意正多边形，即正多边形对任
一形心轴的惯性矩为常量。
z
a
a2 a2
? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
??
464
2
12
2 22422
4
aaaaaaI
z
??
4
64
17
3
7 a?
?
??
?
? ?? ?
例 2 判断正误
h
y
1y
bhhII yy 2121 ???
1212
33 bhBH
I z ??
hH
b
B
z
Z轴为槽形的形心轴
