1
第二章 刚体的平面运动
§ ２,1,刚体平面运动的简化
§ ２,2,用分析方法研究平面图形的运动
§ 2.2.1,运动方程
§ 2.2.２,平面图形的角位移、角速
角加速度
§ 2.2.3,平面图形上点的运动分析
2
§ 2.3,用矢量方法研究平面图形的运动
§ 2.3.1 平面平动
§ 2.3.2 定轴转动
§ 2.3.3 平面图形上点的速度
§ 2.3.4,平面图形上两点的加速度关系
3
第二章、刚体的平面运动
§ 2.1 刚体平面运动的简化
4
一、刚体运动形式
空间运动
一般运动
定点运动
平面运动
一般平面运动
转动
平面平动
空间平动
平动
基本运动
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5
二、平面运动定义
平面运动,刚体上任意一确定点到某
固定平面的距离始终保持
不变的运动称为刚体的平
面运动 。
6
?
简化
以任意延伸制
形状不受限可
三, 简化研究对象
S
A
?
A
1A
2A
S
7
§ 2.2 分析法研究平面图形的运动
2.2.1.运动方程
一、确定图形位置
自由的平面图形 S,其位置的确定
可由其上任一线段 AB 的位置来确定 。
8
AB 位置由下述方法确定：
建立与参考空间固连
直角坐标 Oxy
AA yxA,点坐标：
y
x
?
?A
B
9
的位置可确定
夹角）与固定线（方位角
AB
OxAB?
3?k刚体自由度
动不受其他约束的平面运
10
二、刚体平面运动的运动方程
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tf
tfY
tfX
A
A
3
2
1
?
此式描述了平面运动体的整体
运动性质, 完全确定了平面运动刚
体的运动规律 。
11
2
)(
2
)(
1
?
??
?
?
?
?
?
k
tf
A
Y
tf
A
X
，自由度运动方程
，转动、
??
?
?
?
??
??
c o n s ttf
A
Y
c o n s ttf
A
X
)(
2
)(
1
)2(
1)(3 ?? ktf,单自由度运动方程 ?
平动）、（
特殊情形：
,)(1 3 c on s ttf ???
12
（ 3）, 一般平面运动
直线平动
一般平面运动
定轴转动
曲线平动
13
2.2.2.平面图形的角位移、角速角
加速度
的角位移AB
)t(f)tt(f'
?
???????? 33 ??
AB、任一有向线段)1(
1、平面图形的角位移
14
x?
A
B
?
D
C?
)(t?????
（ 2)、任意二条线段的方位角为
因此
图形的角位移
，也称为的角位移
图形上任意有向线段
??
图形的角位移：
????? )()( tt
15
?
2,图形的角速度、角加速度
?
?
? ??
?
?
??
?
t0t
1 lim）定义：角速度（
??
?
? ??? ??
?
?
??
?
t0tlim
角加速度
表示为
A
B
?
16
（ 2）、注意：
??
??
??
??
?
?
??
?
的转向不一致时，有与
，
的转向一致才有与只有 定义、根据 ??
17
方位角的随意性：
转向不一致情形。如：
的正向与不唯一，因而经常出现
角的选取的真实变化情况，方位
的转向反映刚体方位实际中常由
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
??
18
?? ???
?
??
?
??
?? ?
??
A
?
B
?
?
Av
?
19
?
???
c o s
,c o s
l
vlv A
Ax ???
,,
c o s
s in
??
??
?
???
?
?
??
??
AAAx
A
A
vxv
lx
lx
所以：
以 ?为广义坐标，则
A
?
B
?
?
Av?
20
?
?
s inl
v A???
有若
?
??
s inl
v A
AB ???
?
?
?
s inl
v A大小为 矛盾转向与图反 ?
?
??
s inl
v A
AB ???
?正确结果
为广义坐标，则：如果以 ?
????? ?? s inlx A;c o s ?? lx A
21
也可用矢量表示）、（ ??,3;k?? ??? ;k?? ???
dt
d ?
?
?
? ?
22
2.2.3、平面图形上点的运动分析
?,,AA YX
此部分实质属于点的运动学
部分内容，用描述平面运动图形
运动的广义坐标 表示出
所研究点的运动方程，求解速度、
加速度。
23
§ 2.3,矢量法研究平面图形的运动
BAAB rrr
??? ??
、平面平动1.3.2
BAAB vvv
??? ??
求导
)0( ?BAr??
ABAB aavv
???? ??,故：
B
Br
?
BAr
?
O
A
Ar
?
24
O
?
?
z
M? M
V
Mr?
M
MM
M
M
MM
rdrd
dt
rd
v
trr
??
?
?
??
??
?
?
?
)(
、定轴转动2.3.2
25
)( MMM
MM
rra
rv
?????
???
?????
???
???
?
大小不变，仅方向变
如图（平面运动）方位角
:
M
r
?
?
?? ???
26
M
t
M ra
??? ???式中;称为切向加速度
)( MnM ra ???? ?????式中;称为法向加速度
27
?
C
2.3.3.平面图形上点的速度
)()()( trtrtr BAAB ??? ??
dt
rdvv BA
AB
???
??
求导
B
Br?
BAr?
BAv
1,两点速度关系
A
O
Ar?
28
BAAB rvv
???? ????
刚?
dtdd 刚??? ??? ??
BABA rdrd
??? ?? ?
BAAB vvv
???
??
系：平面图形上两点速度关
BABA rv
??? ??
刚?
29
?
?
?
?
?
一致，与方向：
大小,刚
?
?
AB
r
v
BA
BA
?
BCBCBCcB
BA
rvvvv
B
Av
??????
?
???? 刚
所具有的速度转动时
绕：相当于或看成是刚体
?,
? ? ? ? ABAABB vv ?? ?
B
A
C
BAv?
BCv?
?
2、速度投影定理
30
槽内滑动。
可在圆弧所示，滑块例：曲柄连杆机构如图 B
杆的角速度。的速度和试求：该瞬时滑块
。点的法线夹角与槽在，且
，，角加速度为时，曲柄角速度为示位置
。在图圆弧半径已知：
ABB
BABABOA
rRrlABrOA
?
?
??
?
????
30
60
2,32,
?
???
1O
R
?
B
O ?
??
??
31
解：用速度合成法（基点法）求解。
取 A 为基点,B 点的速度为
BAAB vvv ??? ??
相垂直。方向与式中,OArv A ??
?
Bv?
A
Av?
AB?
B
点的切线，大小未知。方位沿圆弧在 BBv?
32
相垂直，大小未知。方位与连杆 ABv BA?
BAv?
?
Bv?
AB?
A
B
Av?
Av?
作速度平行四边形，如图，得：
方向如图）(230s ins in ??? rrvv AB ??? ?
??? rrvv ABA 330t a nt a n ??? ?
33
232
3 ??
? ???
r
r
l
v
AB
BA
AB
杆的角速度所以，
转向逆时针
BAv?
?
Bv?
AB?
A
B
Av?
Av?
34
3．速度瞬心法
0?Pv即：
存在性、证明,。1
?定理：平面运动图形的角速度 ?如果在
某一瞬时不等于零，则该图形（或其沿
拓部分）上一定惟一地存在一点，它的
速度在此刻等于零。
，可能有两种情况，即任取一点 A
35
?
?
?
????
??
得出由
即为所找点
PAAPA
A
vvvv
v
??
?
0
0
反证法：至少有两点
唯一性。2
0
0
0
???
?
?
?
?
?
矛盾：
M
P
v
v
?
?
36
速度称为速度瞬心。任一点:P
?
?
?
??
??
?
转向一致，与方向：
大小,刚
PM
PM
速度瞬心法与两点速度关系是各自
独立的方法, 速度瞬心法也可由欧拉 —
沙尔定理得到 。
PMv M ?? ???
37
A
Av?
Bv?
B
使用速度瞬心法的前提是知道速度瞬心
? 求速度瞬心 P点的所在位置
瞬时转动绕 P,0??
Av
?
Bv
?
? 0??? ?,P
瞬时平动绕 P,0??
P
38
Av?
Bv?
Av?
Bv?
Av?
Bv?
P
P
瞬时平动,0??
瞬时转动绕 P,0??
39
?
由此得出：
体为其一
平面刚任
，刚体作瞬时平动
瞬时转动刚体绕,
0
,0 tP
?
?
?
??
??
P
纯滚
ov
?
?
P
O
40
一般平面运动的实质：
绕不同的瞬轴转动, 瞬轴可能在有
限距离处, 也可能在无穷远处；
?
p
41
o
1?
B
Bv
?
v?
找速度瞬心
P
AB?
1P
Av?
42
BCp
BC?
030
AC?
oc?
ACp
c
cv
O A B Bv
Av
。60。60
43
o
A?
B
AB?
ABp
44
BDp
BD?
A
O
?
B
Bv?
Dv?
D
45
2.3.4.平面图形上两点的加速度关系
ABvv AB ???? 刚???
求一阶导数对 t
）刚 AB
dt
d
dt
vd
dt
vd AB ???? ??? (
)ABr
dt
ABdAB
dt
daa
BAAB ?????
??? ?????,（
刚
刚
46
ra tBA ??? ????? ?? 刚记作
BABA rrdt
d ???? ?????
刚
刚
)BAnBA ra ???? ??????? ?? 刚刚记作 （
)BAr
dt
ABd ????
???? 刚刚刚 （ ???
47
刚体）两点加速度关系（同一?
n
BA
t
BA aaB
A
??
??
?
???
且点所具有的加速度时
转动，点以图形相当于图绕
,
n
BA
t
BAAB aaaa
???? ???
n
BA
t
BABA aaa
?? ??
48
n
B
n
BA
t
B
t
BA
aABa
aABa
????
????
2
,切向加速度
A
B
nBAa?
nBAa?
49
??
?? C
D
E
B
A
。
已知：
cmAC
cmCDcmAB
40
,60,20
?
??
平面机构如图所示。：例 2
顺时针）逆时针）角加速度
杆的角速度平行。与
在图示位置时，
(
s
r a d4(
s
r a d6
?
??
a
ABCD
AB
点的加速度。试求：该瞬时 E
杆定轴转动解,AB
方向如图sm2.162.0 ?????? ABBv
方向如图2sm2.7262.02 ?????? ABnBa
方向如图2sm8.042.02 ?????? ABtBa
E
D
B
Bv?
nBa?
tBa?
50
E
D
B
?a
Bv
?
nBa?
tBa?
1.速度分析
在图示位置,D 点速度方位水平，可知 BDE
板瞬时平动
smvv BD 2.1??
Dv?
0?? ?板的角速度B D E
51
加速度分析.2 在 CD杆作定轴转动可知,D点的加速度应有切
向和法向两个分量。
对 BDE板分析，取 B点为基点，则 D点的加速度
为
tDBnDBtBnBtDnD aaaaaa ?????? ????? )(a
2
22
4.26.0 )2.1( smCDva DnD ???式中：
点；，指向方向沿 CDC
E
D
B
?a
Bv?
nBa?
tBa?
Dv?
nDa?
52
左，如图，大小未知方位水平，指向假设向tDa?
02 ???? ?BDa nDB?
tDBa?
E
D
B
?a
Bv?
nBa?
tBa?
Dv?
nDa?
。向假设如图，大小未知
，指方位垂直于 BDa tDB?
tDa?
????? c o stDBnBnD aaa
由此可得
228.445c o s
4.22.7
c o s s
maaa
n
D
n
Bt
DB ?
?
?
?
? ?
?
得：
53
所以,BDE板的角加速度为
逆时针sr a d
BD
a tDB 12
24.0
28.4 ????
?
再取 B为基点，则 E点的加速度为
02 ???? ?BEa nEB?式中：
方向向左
28.4124.0 s
mBEa t
EB ????? ??
?
)( baaaaa tEBnEBtBnBE ????? ????
tEBa?
E
B
DtBa?
nBa?
??
nBa?
tBa?
54
轴上投影，如图三得和在将矢量式（ EyExb )
2sm48.48.0 ??????
tEBatBaExa
2sm2.7????
nBaEya
所以
jiEa ??? 2.74 ???
y
E
B
D
tBa?t
EBa
?
nBa? ??
nBa?
tBa?
图三）(
第二章 刚体的平面运动
§ ２,1,刚体平面运动的简化
§ ２,2,用分析方法研究平面图形的运动
§ 2.2.1,运动方程
§ 2.2.２,平面图形的角位移、角速
角加速度
§ 2.2.3,平面图形上点的运动分析
2
§ 2.3,用矢量方法研究平面图形的运动
§ 2.3.1 平面平动
§ 2.3.2 定轴转动
§ 2.3.3 平面图形上点的速度
§ 2.3.4,平面图形上两点的加速度关系
3
第二章、刚体的平面运动
§ 2.1 刚体平面运动的简化
4
一、刚体运动形式
空间运动
一般运动
定点运动
平面运动
一般平面运动
转动
平面平动
空间平动
平动
基本运动
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5
二、平面运动定义
平面运动,刚体上任意一确定点到某
固定平面的距离始终保持
不变的运动称为刚体的平
面运动 。
6
?
简化
以任意延伸制
形状不受限可
三, 简化研究对象
S
A
?
A
1A
2A
S
7
§ 2.2 分析法研究平面图形的运动
2.2.1.运动方程
一、确定图形位置
自由的平面图形 S,其位置的确定
可由其上任一线段 AB 的位置来确定 。
8
AB 位置由下述方法确定：
建立与参考空间固连
直角坐标 Oxy
AA yxA,点坐标：
y
x
?
?A
B
9
的位置可确定
夹角）与固定线（方位角
AB
OxAB?
3?k刚体自由度
动不受其他约束的平面运
10
二、刚体平面运动的运动方程
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tf
tfY
tfX
A
A
3
2
1
?
此式描述了平面运动体的整体
运动性质, 完全确定了平面运动刚
体的运动规律 。
11
2
)(
2
)(
1
?
??
?
?
?
?
?
k
tf
A
Y
tf
A
X
，自由度运动方程
，转动、
??
?
?
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A
Y
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A
X
)(
2
)(
1
)2(
1)(3 ?? ktf,单自由度运动方程 ?
平动）、（
特殊情形：
,)(1 3 c on s ttf ???
12
（ 3）, 一般平面运动
直线平动
一般平面运动
定轴转动
曲线平动
13
2.2.2.平面图形的角位移、角速角
加速度
的角位移AB
)t(f)tt(f'
?
???????? 33 ??
AB、任一有向线段)1(
1、平面图形的角位移
14
x?
A
B
?
D
C?
)(t?????
（ 2)、任意二条线段的方位角为
因此
图形的角位移
，也称为的角位移
图形上任意有向线段
??
图形的角位移：
????? )()( tt
15
?
2,图形的角速度、角加速度
?
?
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?
?
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?
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1 lim）定义：角速度（
??
?
? ??? ??
?
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??
?
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角加速度
表示为
A
B
?
16
（ 2）、注意：
??
??
??
??
?
?
??
?
的转向不一致时，有与
，
的转向一致才有与只有 定义、根据 ??
17
方位角的随意性：
转向不一致情形。如：
的正向与不唯一，因而经常出现
角的选取的真实变化情况，方位
的转向反映刚体方位实际中常由
?
?
?
??
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?
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18
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所以：
以 ?为广义坐标，则
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?
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?正确结果
为广义坐标，则：如果以 ?
????? ?? s inlx A;c o s ?? lx A
21
也可用矢量表示）、（ ??,3;k?? ??? ;k?? ???
dt
d ?
?
?
? ?
22
2.2.3、平面图形上点的运动分析
?,,AA YX
此部分实质属于点的运动学
部分内容，用描述平面运动图形
运动的广义坐标 表示出
所研究点的运动方程，求解速度、
加速度。
23
§ 2.3,矢量法研究平面图形的运动
BAAB rrr
??? ??
、平面平动1.3.2
BAAB vvv
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求导
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、定轴转动2.3.2
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?
大小不变，仅方向变
如图（平面运动）方位角
:
M
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26
M
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M ra
??? ???式中;称为切向加速度
)( MnM ra ???? ?????式中;称为法向加速度
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2.3.3.平面图形上点的速度
)()()( trtrtr BAAB ??? ??
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求导
B
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1,两点速度关系
A
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28
BAAB rvv
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BAAB vvv
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系：平面图形上两点速度关
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29
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?
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一致，与方向：
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所具有的速度转动时
绕：相当于或看成是刚体
?,
? ? ? ? ABAABB vv ?? ?
B
A
C
BAv?
BCv?
?
2、速度投影定理
30
槽内滑动。
可在圆弧所示，滑块例：曲柄连杆机构如图 B
杆的角速度。的速度和试求：该瞬时滑块
。点的法线夹角与槽在，且
，，角加速度为时，曲柄角速度为示位置
。在图圆弧半径已知：
ABB
BABABOA
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?
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30
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2,32,
?
???
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B
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31
解：用速度合成法（基点法）求解。
取 A 为基点,B 点的速度为
BAAB vvv ??? ??
相垂直。方向与式中,OArv A ??
?
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A
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点的切线，大小未知。方位沿圆弧在 BBv?
32
相垂直，大小未知。方位与连杆 ABv BA?
BAv?
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A
B
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作速度平行四边形，如图，得：
方向如图）(230s ins in ??? rrvv AB ??? ?
??? rrvv ABA 330t a nt a n ??? ?
33
232
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AB
BA
AB
杆的角速度所以，
转向逆时针
BAv?
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AB?
A
B
Av?
Av?
34
3．速度瞬心法
0?Pv即：
存在性、证明,。1
?定理：平面运动图形的角速度 ?如果在
某一瞬时不等于零，则该图形（或其沿
拓部分）上一定惟一地存在一点，它的
速度在此刻等于零。
，可能有两种情况，即任取一点 A
35
?
?
?
????
??
得出由
即为所找点
PAAPA
A
vvvv
v
??
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0
0
反证法：至少有两点
唯一性。2
0
0
0
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矛盾：
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P
v
v
?
?
36
速度称为速度瞬心。任一点:P
?
?
?
??
??
?
转向一致，与方向：
大小,刚
PM
PM
速度瞬心法与两点速度关系是各自
独立的方法, 速度瞬心法也可由欧拉 —
沙尔定理得到 。
PMv M ?? ???
37
A
Av?
Bv?
B
使用速度瞬心法的前提是知道速度瞬心
? 求速度瞬心 P点的所在位置
瞬时转动绕 P,0??
Av
?
Bv
?
? 0??? ?,P
瞬时平动绕 P,0??
P
38
Av?
Bv?
Av?
Bv?
Av?
Bv?
P
P
瞬时平动,0??
瞬时转动绕 P,0??
39
?
由此得出：
体为其一
平面刚任
，刚体作瞬时平动
瞬时转动刚体绕,
0
,0 tP
?
?
?
??
??
P
纯滚
ov
?
?
P
O
40
一般平面运动的实质：
绕不同的瞬轴转动, 瞬轴可能在有
限距离处, 也可能在无穷远处；
?
p
41
o
1?
B
Bv
?
v?
找速度瞬心
P
AB?
1P
Av?
42
BCp
BC?
030
AC?
oc?
ACp
c
cv
O A B Bv
Av
。60。60
43
o
A?
B
AB?
ABp
44
BDp
BD?
A
O
?
B
Bv?
Dv?
D
45
2.3.4.平面图形上两点的加速度关系
ABvv AB ???? 刚???
求一阶导数对 t
）刚 AB
dt
d
dt
vd
dt
vd AB ???? ??? (
)ABr
dt
ABdAB
dt
daa
BAAB ?????
??? ?????,（
刚
刚
46
ra tBA ??? ????? ?? 刚记作
BABA rrdt
d ???? ?????
刚
刚
)BAnBA ra ???? ??????? ?? 刚刚记作 （
)BAr
dt
ABd ????
???? 刚刚刚 （ ???
47
刚体）两点加速度关系（同一?
n
BA
t
BA aaB
A
??
??
?
???
且点所具有的加速度时
转动，点以图形相当于图绕
,
n
BA
t
BAAB aaaa
???? ???
n
BA
t
BABA aaa
?? ??
48
n
B
n
BA
t
B
t
BA
aABa
aABa
????
????
2
,切向加速度
A
B
nBAa?
nBAa?
49
??
?? C
D
E
B
A
。
已知：
cmAC
cmCDcmAB
40
,60,20
?
??
平面机构如图所示。：例 2
顺时针）逆时针）角加速度
杆的角速度平行。与
在图示位置时，
(
s
r a d4(
s
r a d6
?
??
a
ABCD
AB
点的加速度。试求：该瞬时 E
杆定轴转动解,AB
方向如图sm2.162.0 ?????? ABBv
方向如图2sm2.7262.02 ?????? ABnBa
方向如图2sm8.042.02 ?????? ABtBa
E
D
B
Bv?
nBa?
tBa?
50
E
D
B
?a
Bv
?
nBa?
tBa?
1.速度分析
在图示位置,D 点速度方位水平，可知 BDE
板瞬时平动
smvv BD 2.1??
Dv?
0?? ?板的角速度B D E
51
加速度分析.2 在 CD杆作定轴转动可知,D点的加速度应有切
向和法向两个分量。
对 BDE板分析，取 B点为基点，则 D点的加速度
为
tDBnDBtBnBtDnD aaaaaa ?????? ????? )(a
2
22
4.26.0 )2.1( smCDva DnD ???式中：
点；，指向方向沿 CDC
E
D
B
?a
Bv?
nBa?
tBa?
Dv?
nDa?
52
左，如图，大小未知方位水平，指向假设向tDa?
02 ???? ?BDa nDB?
tDBa?
E
D
B
?a
Bv?
nBa?
tBa?
Dv?
nDa?
。向假设如图，大小未知
，指方位垂直于 BDa tDB?
tDa?
????? c o stDBnBnD aaa
由此可得
228.445c o s
4.22.7
c o s s
maaa
n
D
n
Bt
DB ?
?
?
?
? ?
?
得：
53
所以,BDE板的角加速度为
逆时针sr a d
BD
a tDB 12
24.0
28.4 ????
?
再取 B为基点，则 E点的加速度为
02 ???? ?BEa nEB?式中：
方向向左
28.4124.0 s
mBEa t
EB ????? ??
?
)( baaaaa tEBnEBtBnBE ????? ????
tEBa?
E
B
DtBa?
nBa?
??
nBa?
tBa?
54
轴上投影，如图三得和在将矢量式（ EyExb )
2sm48.48.0 ??????
tEBatBaExa
2sm2.7????
nBaEya
所以
jiEa ??? 2.74 ???
y
E
B
D
tBa?t
EBa
?
nBa? ??
nBa?
tBa?
图三）(
