第十二章 轴向拉压
? § 12.1 拉压杆的应力和变形
? § 12.2 材料的力学性能
? § 12.3 许用应力及拉压杆的强度计算
? § 12.4 应力集中的概念
? § 12.5 桁架的位移
? § 12.6 连接杆件的工程实用计算
*静不定问题 *
在拉压杆的表面上
刻划纵线和与之垂
直的横线形成均匀
的小方格
§ 12.1 拉压杆的应力和变形
一, 拉压杆横截面上的应力
?
P
N
PP
拉 伸 内 力 与 应 力
拉压杆横截面上只有正应力, 且均匀
分布 （ 各处变形相同 ） 各单元体处于
单向应力状态 （ 根据边侧单元 ）
设杆的横截面为 A
则 或NA ??
AN??
对于横截面直杆
? ? ? ?? ?xA xNx ?? (当杆的截面变化不是很剧烈时 )
q
P
x
? 二、拉压杆斜截面上的应力
对于斜截面上的应力
?????? ? 2c o s2c o s22 ???
?????? ? c o ss in2s in2 ??
?
????? ???
c o s
c o sc o s22 AN
A
Nq ?????
n
? PP
m
m
?
?
?
n
?
当 （ 横截面 ）0??
??? ?? ?? m a x
0???
当 ?45??
245
?? ?
?
2m a x45
???
? ???
P
?
??
?q
??
P
?
?q
? 三、圣维南原理
现考虑端面外
力不同作用方
式的影响问题
,如图
P P
P P
“不同分布的加载方式, 只要静力等
效, 则在载荷作用区域略远处, 作
用效果相同, 称为圣维南原理 。
例：内有一小孔
的板, 板小孔内
作用有均匀压力
? 四、拉压杆的变形
? 1、纵向变形
Ex
?? ?
A
N??
的伸长量为x? x
x??
拉压杆总的伸长量 （ 纵向 ）l?
x
y
l
PP
b
? 2、横向变形
ldxl x
l
x ?? ??? ?0 l
l
x
???或
因此
EA
Nll ?? EA ——抗拉压刚度
Ey
??? ?? y? 的, 伸长量
” 为
yy??
拉压杆横向的, 伸长量,
bb
E
dyb y
b
b y ?
??? ????? ?
?
2
2
或
b
b
y
???
例 KNP 4?
mmll 1 0 021 ??
mmd 10?
G P aE 2 1 0?
ACl?
求
解：轴力图
AB,PN ?
1
mm
EA
Pl
EA
lN
l 0 0 2 4.0
10
4
10210
10104)(
23
23
111
1 ?
???
??????
?
伸长
d
N
P
P
A B C
P P
P2
1l 2l
BC,PN ??
2
)(2222 实际缩短EAPlEA lNl ????
021 ?????? lll AC
因此
???
ii
ii
AE
lNl
例：求 B点的位
移
B?
解, ? ?
xlWqxxN ??
WN ?m a x
A
W?
max?
l
EAA
B
l
Wq?
x
dx
? ?xN
? ? qdxxN ?
N W
微段 的伸长dx ? ?
EA
dxxNdx ??
? ?
EA
Wldx
lE A
Wx
EA
dxxNdxl lll
2000 ?????? ???
? ???? lB?
由轴向拉压试件测得：
由
A
P
A
N ???
l
l???
曲线?? ?
§ 12.2 材料的力学性能
l
P P
P
l?
?
?
低 碳 钢 拉 伸 实 验
理 想 塑 性 曲 线
oa段比例极限 P?
ab段弹性极限 e?
一, 低碳钢拉伸时的力学性能
（ 一 ） 四个阶段
1,弹性阶段 ab
O
p?
e?
s?
a
b
c
c?
d
e
f
?
?
? ? ?
gd? f?
1?
b?
cc’应力不断增加变形不断增加称为屈服
,该段的最低应力称为屈服应力, 在
材料屈服后若卸载出现不能恢复的变形
称为塑性变形 。
s?
材料恢复抵抗变形的能力称为强化
强度极限 b?
2,屈服阶段 cc’
3,强化阶段 ce’
s? 应力达到 材料出现显著变形s?
b?应力达到 材料出现断裂b?
4,局部变形阶段 ef
(二 )主要力学性能指标
1,强度指标,
变形集中于某一局部范围颈缩断裂
伸长率 %100%100
1
1 ????? ??
l
l
%5?? 为塑性材料如低碳钢, 铝,
铜
%5?? 为脆性材料如铸铁, 高碳
钢, 岩石, 玻璃
P?? ? ?? E? ?tgE ?2、
lll ??? 11
1ll ?
3,塑性指标,拉断 塑性变
形为
截面收缩率 %1 0 01
A
AA ???
当 后卸载P?? ? Pe ??? ??
P?
——塑性应变
??? tgE ???? 卸载后再加载 PP ??? ? ???
(三 )卸载现象及冷作硬化
原点移至 d’点
11 ?? ??
塑性指标下降称为冷作硬化 。
2.0?? ?s
称为名义屈服应力
二, 其他塑性材料拉伸时的力学性能
?
%2.0
2.6?
?
其 他 拉 伸 曲 线
铸 铁 拉 伸实 验
由于 曲线曲率很小, 工程上
以割线代替曲线
?? ?
?tgE ? ?? E?
三, 铸铁拉伸时的力学性能
?
b?
?
?
低 碳 钢 压 缩 实 验
四, 材料压缩时的力学性能
1,低碳钢 (塑性材料类似 )
可用拉伸曲线代替压缩曲线
压
拉
?
?
P
铸 铁 压 缩 实 验
远大于 （ 约 3-4倍 ）bc? bT?
断口与轴线成 45度试件沿 面错动剪
断 max
?
2,铸铁 (脆性材料类似 )
?
?
bc?
bT?
?45
P
2,线性强化材料
五, 简化的应力 ——应变曲线
1、理想弹塑性材料
?
?
s?
s?
?
s?
s?
? E?
E
3、刚塑性材料
4、强化材料，加载 nc?? ?
?
?
s?
?
?
s?
?
?
失效时对应的应力称为极限应力
u?
塑性材料
su ?? ?
脆性材料
bu ?? ?
§ 12.3 许用应力及拉压杆的强度计算
当构件已不能正常使用时, 如断裂或
变形过大称为失效
极限应力与安全系数的比称为许用应
力 ? ?
u
u??
?
?
塑性材料 ? ?
s
s n?? ?
脆性材料 ? ?
b
b n?? ?
强度条件工作应力不超过材料的
许用应力 ? ??? ??
A
N
例：已知 21 1 0 0 mmA ?
22 50 mmA ? ? ? M P aT 100??
? ? M P ac 200??
求：许可载荷 ? ?P
解,⑴ 内力
? ? 0xF 045cos12 ?? ?NN
A
P
??1
??2
B
C
?45
? ? 0yF 045s in
1 ?? PN ?
)(21 拉PN ? )(
2 压PN ??
⑵ 求 ? ?P
AB杆,? ?
TA
N ??
1
1
? ? NAP T 31
1 1007.72
1 0 01 0 0
2
????? ?
CB杆,? ?
cA
N ??
2
2
? ? NAP 3222 101020050 ????? ?
? ? ? ? KNPPP 07.7,m in 21 ??
由于截面尺寸明显变化, 而引起的应
力局部增大的现象称为应力集中 。
?
? max?K 称为应力集中系数
§ 12.4 应力集中的概念
当圆孔很小时, 3?K
P
P
P
?
P
?
max?
P
例,ml 1
1 ? 21 1 0 0 mmA ?
22 4 0 0 0 mmA ?
G P aE 2001 ?
G P aE 102 ?
KNP 10?
求,B点的位移??b?
解,⑴ 内力, )(21 拉PN ?
)(2 压PN ??
§ 12.5 桁架的位移
P
??1
??2
B
C
?45
⑵ 变形, )(7 0 7.0
11
11
1 伸长mmAE
lNl ???
2
12 ll ? )(1 7 7.0
22
22
2 缩短mmAE
lNl ????
⑶ 位移,
作位移图：
以切线代圆
弧
B?
2B
3B
4B
B
B
?
?
铅垂位移
3443 BBBBBBf B ???
212 ll ???? mm18.1?
mmf BBB 2.122 ?????
15.02.1177.0 ????
B
B
ftg ?
?4.8??
水平位移 ? ????? mml
B 1 7 7.02
如：剪床剪切钢板
§ 12.6 连接杆件的工程实用计算
一, 剪切
冲 压 剪 切
轮轴间用键连接
安全销剪切
受力特点：作用线相距很近的横向力
作用
变形：位于横向力间的截面发生
相对错动称为剪切, 该错动面称
为剪切面, 面积
SA
剪切面上的内力,
剪力 Q
PQ ?
面上的平均剪应力
SA
? ? —剪切许用应力）—强度条件(?? ??
SA
Q
Q
P
例：连接吊钩用的销钉剪切面 m-m或
n-n上的剪力
2
PQ ?
P
P
P
Q
Q
P
2P
2P
m-m
n-n
例：两拉压杆的连接销钉
二, 挤压
jyA
构件间相互作用的面称为挤压面
jy?
挤压面上的压强称为挤压应力
P
P
PP
maxjr?
销钉的上半部分
P
右板
挤压应力的平均
值
jy
jy A
P??
对圆柱体其侧面的
挤压面面积可取
tdA jy ??
d
l
则挤压强度条件 ? ?
jy
jy
jy A
P ?? ??
例：键的强度问题 已知键的尺寸：
mmb h l 1 0 01220 ???
mmd 70?
KNmm 2?
? ? M P a60??键 ? ? M Pajy 1 0 0??
试校核键的强度
b
m
O
h
d
m
O
Q
解,1,剪切
?? blAQ S ??
? ? 00m由
mdbldQ ?? 22 ?
? ? )(6.282 安全?? ??? M P a
b ld
m
Q
b
P
l
2h
2,挤压
QP ?
jyjyAP ??
所以
jyl
hbl ??
2
?
? ?jyjy M P ahb ??? ??? 3.952
安全
? § 12.1 拉压杆的应力和变形
? § 12.2 材料的力学性能
? § 12.3 许用应力及拉压杆的强度计算
? § 12.4 应力集中的概念
? § 12.5 桁架的位移
? § 12.6 连接杆件的工程实用计算
*静不定问题 *
在拉压杆的表面上
刻划纵线和与之垂
直的横线形成均匀
的小方格
§ 12.1 拉压杆的应力和变形
一, 拉压杆横截面上的应力
?
P
N
PP
拉 伸 内 力 与 应 力
拉压杆横截面上只有正应力, 且均匀
分布 （ 各处变形相同 ） 各单元体处于
单向应力状态 （ 根据边侧单元 ）
设杆的横截面为 A
则 或NA ??
AN??
对于横截面直杆
? ? ? ?? ?xA xNx ?? (当杆的截面变化不是很剧烈时 )
q
P
x
? 二、拉压杆斜截面上的应力
对于斜截面上的应力
?????? ? 2c o s2c o s22 ???
?????? ? c o ss in2s in2 ??
?
????? ???
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c o sc o s22 AN
A
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m
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当 （ 横截面 ）0??
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245
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?
2m a x45
???
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P
?
??
?q
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P
?
?q
? 三、圣维南原理
现考虑端面外
力不同作用方
式的影响问题
,如图
P P
P P
“不同分布的加载方式, 只要静力等
效, 则在载荷作用区域略远处, 作
用效果相同, 称为圣维南原理 。
例：内有一小孔
的板, 板小孔内
作用有均匀压力
? 四、拉压杆的变形
? 1、纵向变形
Ex
?? ?
A
N??
的伸长量为x? x
x??
拉压杆总的伸长量 （ 纵向 ）l?
x
y
l
PP
b
? 2、横向变形
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l
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l
x
???或
因此
EA
Nll ?? EA ——抗拉压刚度
Ey
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” 为
yy??
拉压杆横向的, 伸长量,
bb
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2
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或
b
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例 KNP 4?
mmll 1 0 021 ??
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ACl?
求
解：轴力图
AB,PN ?
1
mm
EA
Pl
EA
lN
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10
4
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N
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2
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ii
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例：求 B点的位
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由轴向拉压试件测得：
由
A
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曲线?? ?
§ 12.2 材料的力学性能
l
P P
P
l?
?
?
低 碳 钢 拉 伸 实 验
理 想 塑 性 曲 线
oa段比例极限 P?
ab段弹性极限 e?
一, 低碳钢拉伸时的力学性能
（ 一 ） 四个阶段
1,弹性阶段 ab
O
p?
e?
s?
a
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c
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f
?
?
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cc’应力不断增加变形不断增加称为屈服
,该段的最低应力称为屈服应力, 在
材料屈服后若卸载出现不能恢复的变形
称为塑性变形 。
s?
材料恢复抵抗变形的能力称为强化
强度极限 b?
2,屈服阶段 cc’
3,强化阶段 ce’
s? 应力达到 材料出现显著变形s?
b?应力达到 材料出现断裂b?
4,局部变形阶段 ef
(二 )主要力学性能指标
1,强度指标,
变形集中于某一局部范围颈缩断裂
伸长率 %100%100
1
1 ????? ??
l
l
%5?? 为塑性材料如低碳钢, 铝,
铜
%5?? 为脆性材料如铸铁, 高碳
钢, 岩石, 玻璃
P?? ? ?? E? ?tgE ?2、
lll ??? 11
1ll ?
3,塑性指标,拉断 塑性变
形为
截面收缩率 %1 0 01
A
AA ???
当 后卸载P?? ? Pe ??? ??
P?
——塑性应变
??? tgE ???? 卸载后再加载 PP ??? ? ???
(三 )卸载现象及冷作硬化
原点移至 d’点
11 ?? ??
塑性指标下降称为冷作硬化 。
2.0?? ?s
称为名义屈服应力
二, 其他塑性材料拉伸时的力学性能
?
%2.0
2.6?
?
其 他 拉 伸 曲 线
铸 铁 拉 伸实 验
由于 曲线曲率很小, 工程上
以割线代替曲线
?? ?
?tgE ? ?? E?
三, 铸铁拉伸时的力学性能
?
b?
?
?
低 碳 钢 压 缩 实 验
四, 材料压缩时的力学性能
1,低碳钢 (塑性材料类似 )
可用拉伸曲线代替压缩曲线
压
拉
?
?
P
铸 铁 压 缩 实 验
远大于 （ 约 3-4倍 ）bc? bT?
断口与轴线成 45度试件沿 面错动剪
断 max
?
2,铸铁 (脆性材料类似 )
?
?
bc?
bT?
?45
P
2,线性强化材料
五, 简化的应力 ——应变曲线
1、理想弹塑性材料
?
?
s?
s?
?
s?
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? E?
E
3、刚塑性材料
4、强化材料，加载 nc?? ?
?
?
s?
?
?
s?
?
?
失效时对应的应力称为极限应力
u?
塑性材料
su ?? ?
脆性材料
bu ?? ?
§ 12.3 许用应力及拉压杆的强度计算
当构件已不能正常使用时, 如断裂或
变形过大称为失效
极限应力与安全系数的比称为许用应
力 ? ?
u
u??
?
?
塑性材料 ? ?
s
s n?? ?
脆性材料 ? ?
b
b n?? ?
强度条件工作应力不超过材料的
许用应力 ? ??? ??
A
N
例：已知 21 1 0 0 mmA ?
22 50 mmA ? ? ? M P aT 100??
? ? M P ac 200??
求：许可载荷 ? ?P
解,⑴ 内力
? ? 0xF 045cos12 ?? ?NN
A
P
??1
??2
B
C
?45
? ? 0yF 045s in
1 ?? PN ?
)(21 拉PN ? )(
2 压PN ??
⑵ 求 ? ?P
AB杆,? ?
TA
N ??
1
1
? ? NAP T 31
1 1007.72
1 0 01 0 0
2
????? ?
CB杆,? ?
cA
N ??
2
2
? ? NAP 3222 101020050 ????? ?
? ? ? ? KNPPP 07.7,m in 21 ??
由于截面尺寸明显变化, 而引起的应
力局部增大的现象称为应力集中 。
?
? max?K 称为应力集中系数
§ 12.4 应力集中的概念
当圆孔很小时, 3?K
P
P
P
?
P
?
max?
P
例,ml 1
1 ? 21 1 0 0 mmA ?
22 4 0 0 0 mmA ?
G P aE 2001 ?
G P aE 102 ?
KNP 10?
求,B点的位移??b?
解,⑴ 内力, )(21 拉PN ?
)(2 压PN ??
§ 12.5 桁架的位移
P
??1
??2
B
C
?45
⑵ 变形, )(7 0 7.0
11
11
1 伸长mmAE
lNl ???
2
12 ll ? )(1 7 7.0
22
22
2 缩短mmAE
lNl ????
⑶ 位移,
作位移图：
以切线代圆
弧
B?
2B
3B
4B
B
B
?
?
铅垂位移
3443 BBBBBBf B ???
212 ll ???? mm18.1?
mmf BBB 2.122 ?????
15.02.1177.0 ????
B
B
ftg ?
?4.8??
水平位移 ? ????? mml
B 1 7 7.02
如：剪床剪切钢板
§ 12.6 连接杆件的工程实用计算
一, 剪切
冲 压 剪 切
轮轴间用键连接
安全销剪切
受力特点：作用线相距很近的横向力
作用
变形：位于横向力间的截面发生
相对错动称为剪切, 该错动面称
为剪切面, 面积
SA
剪切面上的内力,
剪力 Q
PQ ?
面上的平均剪应力
SA
? ? —剪切许用应力）—强度条件(?? ??
SA
Q
Q
P
例：连接吊钩用的销钉剪切面 m-m或
n-n上的剪力
2
PQ ?
P
P
P
Q
Q
P
2P
2P
m-m
n-n
例：两拉压杆的连接销钉
二, 挤压
jyA
构件间相互作用的面称为挤压面
jy?
挤压面上的压强称为挤压应力
P
P
PP
maxjr?
销钉的上半部分
P
右板
挤压应力的平均
值
jy
jy A
P??
对圆柱体其侧面的
挤压面面积可取
tdA jy ??
d
l
则挤压强度条件 ? ?
jy
jy
jy A
P ?? ??
例：键的强度问题 已知键的尺寸：
mmb h l 1 0 01220 ???
mmd 70?
KNmm 2?
? ? M P a60??键 ? ? M Pajy 1 0 0??
试校核键的强度
b
m
O
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Q
解,1,剪切
?? blAQ S ??
? ? 00m由
mdbldQ ?? 22 ?
? ? )(6.282 安全?? ??? M P a
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P
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2,挤压
QP ?
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所以
jyl
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2
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安全
