第三篇 工程动力学
? 学习任务：分析运动与力之间的关系
? 学习内容,动能定理
? 动量定理
? 达朗伯原理
? 动力学普遍方程和拉格朗日方程
? 基本问题,已知运动求力 ----动力学第一类问题
? 已知力求运动 ----动力学第二类问题
第二十一章 动能定理
21.1 质点系质量分布的特征量
21.2 动能
21.3 动能定理
例题 1 例题 2 例题 3
例题 4 例题 5
例题 6 例题 7
例题 9 例题 10 例题 11
例题 8
例题 12 例题 13
第二十一章 动能定理
? 基本概念：
? 动能,物体由于作机械运动而具有的作功能力
1,质点系的质量中心 ---平动的动力学特性
2．质点系的转动惯量 ---转动的动力学特性
21.1 质点系质量分布的特征量
质点系的动力学特性与质点系质量分布密
切相关,质点系质量分布有两个特征量
? 21.1.1质点系的质量和质量中心
? 定义,设一质点系有 n个质点组成,
其中第个质点的质量为,相对于某确定定
点的矢径为,将质点系的质量总和,定义为
质点系的质量用 M表示,即
M
n
i
ii
C
rm
r
?
?? 1
由下式确定的矢径 所对应的点称为质点
系的质量中心，简称质心,rc
?
?
?
n
i
imM
1
注意
M
n
i
ii
C
xm
x
?
?? 1
M
n
i
ii
C
ym
y
?
?? 1
M
zm
z
i
n
i
i
C
?
?? 1
(1)质点系的质心不一定与质点系中的
某个质点重合,它有可能在质点系外 !
其中 为质点的直角坐标 。ziy ixi,,
在以 O点为基点建立的直角坐标系 中,质
心的直角坐标公式为
oxyz
2)当质点系中的各质点位置发生变化时,其质
心的位置一般也要发生变化 !
例如, 圆环的质心不在其环上，而在圆环中心
O
21.1.2刚体的转动惯量
1.转动惯量
定义,将刚体体内个质点的质量与该质点到
某一确定轴的距离平方的乘积之和定义为刚
体对该轴的转动惯量,
用 J表示,即
? 2
1
i
n
i
im?
?
式中 分别为第 个质点的质量和
到该轴的距离
J=
?iim,i
说明
若刚体的质量是连续分布的,就可以引入积
分形式表示,
式中 为质量为 的微元到该轴的距离
M 表示积分范围遍及刚体全部质量,
dmJ M?? 2?
? dm
刚体的转动惯量是一个与其运动状态无关
的而仅与其质量分布有关的特征量
若在某一个刚体上或其延拓部分的 O点建
立一与刚体固接的直角坐标系 Oxyz,设质量
为 的微元的坐标为 ( ),该刚体对轴
的转动惯量为
dm zyx,,
M,刚体的总质量
,刚体对 z轴的回转半径或惯量半径?
Z
? 2ZZ MJ ?
如刚体对 z轴的转动惯量表示为
它可视为将刚体的全部质量都集中于距 z
轴距离为 的某一点对 z轴的转动惯量,?z
注意
dmMx zyJ )(
22? ??
dmxzJ
My
)( 22? ??
dmxyJ
Mz
)( 2
2?
??
在解决实际问题中一般规则几何性形状的
匀质刚体的转动惯量可以直接算出
另外的一些转动惯量可以通过查询工程手
册得到
例 21.1 一直均质的细长杆的质量为 M,
长为 L，求杆对通过其质心，且垂直与杆
的 z轴的转动惯量和回转半径。
x
y
C
dx
x
(1)建立坐标系，如图所示，沿杆向取微
段,其坐标为（ x,0,0），其质量为
解,
dm dx
L
M=
(2)上述质量微元离 z轴的距离为,
杆对 z 轴转动惯量为,x
Jz 2
2
222
1
2
1
2
3
1
l
lM xxx L
Mdx
L
Mdm
??
??? ??
LM 2121?
(3) 杆对 z轴的回转半径为
L
M
J Z
Z 6
3???
例 21,2 已知厚度相等的均质薄圆盘的半径
为 R，质量为 M，求圆盘对过其中心，且垂
直于圆盘平面的 z轴的转动惯量和回转半径
r d r
M
r d r
M
dm
RR
22
2
)2( ?? ?
?
x
y
C
r
dr
解,
1．取半径为 r,宽度为的圆环，其质量是,
3．圆盘对 z轴的回转半径为
R
M
J Z
Z 2
2???
Rr
R
r
R
M
r M
Mdrdm RR
MJ z
2
0
43
0 2
2
2
12
22
???? ??
2．上述圆环的各质点到 z轴的距离都为 r,于是
圆盘对 z轴的转动惯量为,
说明 dMJJ Zz
2??
?
由转动惯量的平行轴定理和转动惯
量叠加定理，可以快捷的的求出由几个简
单图形组合而成的刚体对任意轴的转动惯
量。有空心刚体 =无空心整体 -空心部分
(转动惯量）
刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过
质心且与该轴平行的轴的转动惯量加上刚
体质量与两轴之间距离平方的乘积 记为
2.转动惯量的平行轴定理
例 21.3均质细长直杆长为 L,质量为 m,杆的
一段与以质量为 M的,外径为 2R的,内径为 2r
的均质元环相固连,求该刚体对过杆的另一
端 O且垂直于刚体所在平面的轴的转动惯量
c1 c2o
(1) 设,分别为杆,圆环的质心,c1 c2
解,
刚体可看成是由这三部分组成的,
)( 22
2
1 rRm
rM
??? ?
?
)( 22
2
2 rRm
rMM
??? ?
?
#2半径为 r,中心在 处的均质圆盘 1,质量为c2
#3半径为 R,中心也在 处的均质圆盘 2c
2
#1杆,质量为
于是
JJJJ OOOO 21 圆盘圆盘杆 ???
2222 )()(
2
1
3
1 RLMRMmL r ?????
2
2
2
2
2
22
22
2
1
2
1
2
21
11
2222
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
3
1
)
2
(
12
1
)(
2
2
1
RLOC
C
RLOC
C
mL
L
mmLOCm
C
mRmmJJ
mrmmJJ
JJ
O
O
O
?????
?????
?????
圆盘圆盘
圆盘圆盘
杆杆
3.刚体对任意轴的转动惯量公式
y
x
z
A
l0
L
dm
?r1
如图所示,L为空间任一
轴,以 A为原点建立任
一与刚体固连的直角
坐标系 则 L轴正
向在 三个方向的
余弦为
Axyz
Axyz
iiil 3210 c o sc o sc o s ??? ???
矢量式中,,,分别 为 L,x,y,z轴正向的单位l0 i
1 i2 i3
设质量为 的微元相对于 A的矢径为 r,它在
中的坐标为,该微元到 L轴的
距离的平方为
dm
Axyz ),,( zyx
222 r
lr ???
式中 ??? c o sc o sc o s0 zyxr lr
l ?????
zyxr 2222 ???
1c o sc o sc o s 222 ??? ???
得
??????
????
co sco s2co sco s2co sco s2
co s)(co s)(co s)( 2222222222
xzyzxy
yxxzzy
???
??????
引入
?? Mxy x y dmJ ??
Myz y zdmJ ?
? Mxz x zdmJ
称其为 惯性积
表示刚体内各质量微元的质量与其两个
直角坐标的乘积之和
再将惯性积代入
??????
???
c o sc o s2c o sc o s2c o sc o s2
c o sc o sc o s 222
JJJ
JJJJ
xzyzxy
ZyxL
???
???
写成矩阵形式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
JJJ
JJJ
JJJ
zyzxz
yzyxy
xzxyx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
cos
cos
cos
?[ c o s?J L ?cos ??cos
?J ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
JJJ
JJJ
JJJ
zyzxz
yzyxy
xzxyx
转动惯量 惯性积
对确定的刚体,各元素都为常数,
与刚体的运动无关注意
特征惯量, J
x Jy Jz Jxy Jyz Jxz
惯量张量矩阵, 矩阵 J
??????
???
c o sc o s2c o sc o s2c o sc o s2
c o sc o sc o s 222
JJJ
JJJJ
xzyzxy
ZyxL
???
???
刚体对任意轴的转动惯量转轴公式,
4.主转动惯量
如果与某一轴相关的两个惯性积都为零,
那么这轴为刚体对原点的一根
惯量主轴或惯性主轴
如在直角坐标系 中,与 z轴相关的
两个惯性积 为零,则称 z轴为刚体对 A点的
惯量主轴或惯性主轴 Jxz Jyz
Axyz
若在 A点再建立一个与刚体相固连的直角坐标系
,设 为三轴正向的单位矢量???A eee 321,,
这两个坐标系的单位正交基之间是一个正交变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
i
i
i
QQQ
QQQ
QQQ
e
e
e
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
记为 Q
于是
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Q
T
z
y
x
式中 为质量为 的同一微元在 中
坐标,若记
),,( ??? ???Adm
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
JJJ
JJJ
JJJ
?????
?????
?????
??J
则有 QJJ Q T ?? 或
JQJ Q T??
J?存在正交变换矩阵 Q,使 为对角矩阵
此时,说明轴都为刚体 A的惯量
主轴,这样的坐标系称为 惯量主轴坐标系
0??? JJJ ??????
说明
主转动惯量, 刚体对惯量主轴的转动惯量
中心转动惯量, 过质心的惯量主轴
中心主转动惯量, 过中心转动主轴所对应的
转动惯量
J的三个特征值为主转动惯量
三个特征值对应的特征向量方向为
惯量主轴方向
当刚体质量分布具有对称性时,
定理一, 如果刚体有质量对称轴,则该轴是
刚体对轴上任一点的一根惯量主轴,
同时也是刚体的一根中心惯量主轴
D(x,y,z)
),,( zyxD?
z
y
x
证明
设 z轴为刚体的质量对称轴
在 z轴上选一点 A,以 A为原点
建立任意与刚体固连的直角
坐标系 Axyz.
根据对称性,若在坐标为 (x,y,z)的 D处有一质量
为 m的质点,则在坐标为 (-x,-y,z)的处也有一质量
也为 m的另一质点,则整个刚体的D?
? ?? 0m x zJ xz
? ?? 0m y zJ yz
故 Az轴是刚体对 A点的一根惯性主轴,
又 A点是刚体质量对称轴上的任选的一点
证明,刚体的质量对称轴必是刚体对称轴
任一点的一根惯量主轴
刚体的质心必在其质量对称轴上,故
Az轴必过刚体的质心
也证明了刚体的质量对称轴必是刚体
的一根中心惯量主轴
如果刚体具有质量对称面,则垂直于
该对称面的任一轴必为刚体对该轴与
对称轴交点的一根惯量主轴
定理二,
D(x,y,z)
),,( zyxD ?x
y
z 证明
设垂直与刚体质量
对称面的任意轴为
z轴,它与对称面的
交点为 A,以 A为原点
建立以与刚体固连的
直角坐标系 Axyz.
若在质量对称面的一边坐标为 (x,y,z)的 D处
有一质量为 m的质点,在另一坐标为 (x,y-z)的
处也有质量为 m的另一质点D?
则刚体的
? ?? 0m x zJ xz
? ?? 0m y zJ yz
证明了 Az轴必是刚体的一根中心惯量主轴
21.2 动能
质点的动能, vmvmT v ??
2
1
2
1 2 或
质点系的动能, vvmvm
iii
n
iii
n
i
T ?? ??
?? 1
2
1 2
1
2
1 或
（标量）
（质点系各质点动能之和）
若以速度作平动的刚体，则其动能为：
(其中 )
vMT 221?
??? ni imM 1
若以角速度绕轴作定轴转动的刚体，则动能为：
?? ? 22
1 2
1)(
2
1 Jm
Zii
n
i
T ?? ?
?
例 21.4 图示各均质物体重量为 Q，物体尺寸
与质心速度或绕轴转动的角速度如图所示。
试计算各物体的动能 。
一般平面运动刚体动能：
? 22 2121 Jv CCMT ??
L
解,
如图,杆 OA绕 O轴作定轴转动，
根据刚体绕定周转动的动能公
式
2
2
1 ?
zJT ?
?
可得
2
2
2
2
2
0 632
1
2
1 ???
g
Ql
g
QlJT ???
其中
g
QlJ
3
2
0 ?
R
?
2 圆盘绕 O轴作定轴转动，仿上可得
2
2
2
2
2
0 422
1
2
1 ???
g
QR
g
QRJT ???
其中
g
QRJ
2
2
0 ?
C
3 圆盘绕 O轴作定轴转动，但
转轴不通过质心，故利用转动
惯量的平行移轴定理，有
g
QRR
g
Q
g
QRJ
2
3
2
2
2
2
0 ???
于是可得
2
2
2
2
2
0 4
3
2
3
2
1
2
1 ???
g
QR
g
QRJT ???
?
vC
O
R
4 圆盘作平面运动，点 O为瞬心。
由于 ?Rv ?
所以
R
v??
圆盘对瞬心 O的转动惯量为
22
2
0 4
3
2 vg
QR
g
Q
g
QRJ ???
于是可得圆盘的动能
2
22
2
0 4
3
2
3
2
1
2
1 v
g
Q
R
v
g
QRJT ??
?
??
?
??? ?
例 21.5质量为 m的滑块 A可在水平轨道上滑动
，它与质量为 M，长为 L的匀质杆用铰链相连
。杆可在铅垂面内自由转动，求系统动能。
B
C?
vA
?
x
A
解,
(1) 以图示的
为描述系统的广义
坐标。
?,x
(2) 滑块作平动，其动能为 2
2
1 2
1
2
1 ??? xmm vT
A
(3) 杆作平面运动，先求其质心绝对速度
vvv CAAC ??
??
???
? c o s
4
)
2
(c o s)
2
(2
2
2
2
2
2
2
222
??
????
???
????
??????
xl
ll
xx
l
x
vvvvvvv CACAAACCC
??
可得
根据两点速度关系
故杆的动能
?????
????
??
22
222
22
2
)
12
1
(
2
1
)co s
4
(
2
1
2
1
2
1
????
?
Mlxlx
l
xM
M JvT
CC
(4) 系统的动能
??? c o s6161)(21 22221 ???????? xMlMMmT lxTT ??
21.3 动能定理
? 动能定理描述的是质点或者质点系的动
能的改变量与作用力的功之间的数量关
系
F
dm
dvm ?
两边点乘 得drv dt ?
1．动能定理微分形式：
21.3.1 质点的动能定理
根据牛顿第二定律
?上式左端
dTmvdvmvddvmv ????? )21()(21 2
?显然右端为作用在质点上的合力 F的元功
? 于是
Wd?
WddT ??
drFdvmv ???
质点动能的微分等于作用于质点上
的合力的元功，
这就是 质点动能定理的微分形式
这表明
这表明
设在时间 至 的过程中, 质点由
位置 1沿路径 L运动至位置 2,同时它的速度就
由 变成,作积分, 将代入 得drFLW ?? ?12
t1 t2
v1 v2
质点在某一运动过程中动能的改变量等于作
用在质点上的合力在同一运动过程中所作的功
这就是 质点运动定理的积分形式 。
WTT 1212 ??
2.质点动能定理积分形式
例 21.6 重物 M重 P，放在于水平面成角的粗糙
的倾斜面上，且与刚性系数为 C的弹簧的一端
相联，弹簧的另一端是固定的。如果开始时
弹簧没有伸长，重物无初速度的放下，重物
与斜面间的摩擦系数为 且
试求弹簧的最大变形 S。
?tgf ?f
解,
1,以重物 M为研究
对象，且视为质
点。
p
N
M
F
3．以重物的最初位置（弹簧的原长），为
坐标原点 O，选直角坐标系 xoy，使 ox 轴沿
斜面。
2,重物作直线运动，在开始运动时，初速度
,当它沿斜面运动到最底位置其速度
，此时弹簧的变形最大 。
00 ?v
0?v
4,当重物位于坐标,处，其
上作用的外力有重力 P，弹性力 F，摩擦力及反
力 N。
0?yxx ?
5．由于已知力，速度及质量，要求弹簧的最大变形
可用动能定理求解此题。
Amvmv ?? 202
2
1
2
1
由于 0
0 ?? vv
所以 0?A
而 ? ? ? ? ? ? ? ?
1FAFANAPAA ????
SfPcx d xPSA S ?????? ? ?? co s0s i n 0
?? c o s2s i n
2
P S fCSPS ????
所以，有
0c o s2s i n
2
???? ?? P S fCSPS
由此可得
??
C
fPS ?? c o ss i n2 ??
这表明 ?? ??
n
i
iW
ddT
1
21.3.2质点系的动能定理
1 质点系动能定理的微分形式
对于质点系中的每一个质点, 都可以写
出如式 的关系成立 。 将所有的这些
方程左右分别相加, 再交换求和与求微分的
顺序, 并将 代入得?
?
?
n
i
iTT
1
WddT ??
质点系动能的微分等于作用在质点系
上的各力（外力和内力）的元功的代数和，
这就是 质点系动能定理的微分形式 。
这表明
? ?WWWTT ie
12
)(
121212 ????
2.质点系动能定理的积分形式,
设在时间 至 的过程中, 质点系发生了
某一运动, 若在这一运动过程中, 质点系的所
有外力所作的功用 表示, 质点系的所有内
力所作的功用 表示, 则积分
得
t1 t2
We)(12
Wi)(12 ?
?
??
n
i
iWddT
1
质点系的动能在某一运动过程中的改变量
等于作用在质点系的所有外力和内力在同一运
动过程所作的功的代数和,这就是质点系动能
定理的积分形式。
?例 21.7 如图所示，放置于倾角为 的固定斜
面上的质量为,半径为 的匀质圆盘，其
中心 A系有一跟一端固定，并且与斜面平行
的弹簧，同时与一根绕在质量为,半径为
的鼓轮 B上的张紧绳子相连。
rm
m r
A
B
k
M
C ?
A
B
k
M
C ?
今在鼓轮上作用一常力偶矩 M，使系统
由静止开始运动，且斜面足够粗糙，圆
盘沿斜面向上作纯滚动。已知鼓轮对轮
心 B得回转半径为,弹簧的弹性系数为
且初始时弹簧为原长。
若不计弹簧，绳子的质量及轴承 B处摩
擦，求鼓轮转过 时，圆盘的角速度
和角加速度的大小
k
2
?
2
r
解：
系统所受约束为理想约束，各约束力都不作
功，作功的力有力偶矩 M，重力和弹簧力。该
题先将圆盘的角速度表示为鼓轮转角的函数，
比较方便
1,初始时圆盘的动能为
00 ?T
2,当鼓轮转过角 时，设圆盘的角
速度为,则由运动学知，鼓轮的角速
度也为,
此时系统的动能是
?
?
?
222
2
1
2
1
2
1 wmwT JvJ
AAB ???
?
22
22222
222
8
7
)
2
1
(
2
1
)(
2
1
])
2
([
2
1
2
1
2
1
2
1
r
JvJ
m
wmrrmmw
r
m
wmwT
AAB
?
???
???
3,当鼓轮转过角 过程中，系
统的所有外力和内力所作的功为 ?
)2121)s i n( 220 ????? kkrmgMW ????
22
0
2
1
)s i n(
,0
????
???
krm g rMW
r
????
??
4,当动能定理的积分形式 WTT ??
0
即
m
krmgrM
r
w
mr
krmgrM
w
krmgrMwmr
7
s i n441
2
]
7
]
2
1
)s i n([8
[
2
1
)s i n(
8
7
22
2
1
2
22
2222
?????
?
????
????
??
??
??
?
???
5,两边对时间求导
wkrwmg rMwwmr ??? 22 )s i n(47 ???
2
2
2
2
7
)s i n22(2
2
7
s i n(4
mr
krm g rM
mr
krmgM
???
??
??
?
??
??
??
?
于是
若质点系在运动过程中只有势能做功, 则
根据第九章 （ 有势力的元功等于其势能的微分
并冠以负号 ）, 于是有
dVd
n
i
iW ????
? 1
0)( ?? VTd
常数?? VT
21.3.3机械能守恒定律
即
?
?
?? n
i
iWddT
1
将它代入 移项后得
这表明
质点系在运动过程中，若只有有势力
做功，则质点系的机械能保持不变。这一
结论就是 机械能守恒定律
动能定理的数学表达式是一个标量
式，它只能提供一个独立的动力学方
程。
注意
(1) 若系统所受的约束为理想约束,
且主动力已知时,利用动能定理的积分和
微分形式一定可以解决单自由度系统的
速度或角加速度问题 。
(2) 当系统具有两个或两个以上自由
度,则一般需要联立其他定理或原理才能
解决问题进行求解 。
例 21.8 图示均质圆盘 A质量为,半径为 R;均
质定滑轮 B质量为,半径为 r,物块 C的质量
为,相互连接如图，（ DE段绳子及弹簧与
斜面平行 ),已知弹簧的弹性系数为 k,固定面的
倾角为,圆盘 A能沿斜面作纯滚动,初瞬时系统
静止,且弹簧为原长,若不计弹簧与绳子质量及
轴承 B处摩擦,且绳子与滑轮,圆盘间无相对滑
动, 求重物 C下降了 h时,它的速度等于多少
m1
m2
m3
?
?
A
D
C
解,
系统只有重力和弹力,
它们皆为有势力,故
系统的机械性能守恒,具
体运算过程为,
?
A
D
C
(1) 由已知条件知 0?v
O
0?T O
设
(2) 运动学分析,设重物 C下降了 h时,其
速度为,则vC
r
v
R
vv C
B
C
A
C
Av ??? ??,2,2
(3) 重物 C下降了 h是系统的动能和势能为
?
??
s i n
2
)
2
(
2
1
)348(
16
1
)
2
)(
2
1
(
2
1
))(
2
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
13
2
2
123
22
1
22
2
2
3
22
1
22
3
h
ggh
h
kV
Rr
T
mm
vmmm
v
Rm
v
rmvm
JvmJvm
C
CC
C
AAABBC
???
???
???
????
(4) 根据机械能守恒定律
00 VVT T ???
得
321
13
2
843
s i n8162
mmm
ghmghkh m
v C ??
??
?
?
例 21.9 链条长为 L，重为 G，展放在光滑的
桌面上，初瞬时静止，并有长为 a的一段下
垂，如图所示。求链条刚离开桌面是的速度
和时间。
解,
取整个链条为研究对象
链条在桌面上部分的重力
和约束反力平衡，在链条
运动过程中都不作功。
链条下垂的重力引起链条运动，其长度在不断
改变。链条不可伸长，链条上各点的速度大小
相同。
设链条小落到某一时刻时，下垂长度为 S，
其增量为,链条重力所作的元功为dS
SdSLGWd ??
链条下落到某时刻重力所作的功为
)(2 22 aSLGSdSLGW s
a
??? ?
链条的初动能 下落到某时刻的动能0
1 ?T vT g
G 2
2 2
1?
应用积分形式的动能定理，有
??? WTT 12
将功、动能代入上式得
)(22 222 aSv LGgG ??
从而的某时刻链条的速度为
)( 22 aSLgdtdSv ???
当 S=L时，得链条刚离开桌面的速度
)( 22 aLLgdtdSv ???
将 积分，注意到 t=0时,S=a
t=T时,S=L,得
)( 22 aSLgdtdSv ???
T
L
g
a
L
dt
L
gdS
aL
aS
TL
a
?
??
?
?
??
)l n (
22
022
由上式得链条离开桌面所经历的时间为
)l n (
22
a
L
g
LT aL ???
讨论
（ 1）系统为理想约束。在重力作用下
链条运动了一段路程后，求其速度，
选用动能定理比较简单
（ 2）链条下垂部分的重力在不断改变
所作的功需用元功的积分来计算
（ 3）为了求得链条离开桌面所经历的
时间，应如上述过程一样，先求出链条
运动至任一瞬时的速度式，让后对其进
行积分求解而得所求时间。
例 21.10质量为 M=100g的刚体构件 ABC是
汽车气化器的控制部分，如图所示瞬间，
控制杆 BF的速度,加速度,
方向均向左。试求推动 BE杆的力 F的大小。
已知系统位于水平面内,L=24mm,二控制件
BE和 AH的质量及摩擦均忽略不计。杆 BE和
AH分别在 A,B处与构件 ABC铰接。
smma 210?smmv 20?
解 系统为理想约束
ABC作平面运动
设其质心为 D，
AH杆和 BD杆作平
动A BL
vDB
v D
vA
045 E
F
a
v
H C
取整个系统为研究对象，应用微分形式的
动能定理求解。
由微分形式的动能定理，得 ? ?? WddT
其中 ?? 22222
2
1)(
2
1
2
1
2
1 IvvIv
DDyDxDD mmT ?????
系统在图示瞬时，构件 ABC的速度瞬心在 C
点，则其角速度
L v ? ?
以 B为基点，分析质心 D的速度，有
vvv DBBD ??
其中 vLvLBDv
DB 3
2
2
2
3
2 ????? ?
沿 x,y轴投影 式 vvv
DBBD ??
vv vv DBDx 3245c o s 0 ???x：
vvv DBDy 3145s i n 0 ??y：
为求构件 ABC的角加速度，又以 B为基点，
分析 A点加速度
aaaa nABABBA ??? ?
C
x
y
A B
O
aa
a
aAB?
anAB
aDB?
anDB
aA D
x
y
A
D
B
C
O
a
a
aAB?
anAB
aDB?
anDB
aA
分别沿 x,y轴投影
aaaa nABABBA ??? ?
aaa nABBAx ??
aa ABAy ??
其中 ??? LLa aaa ABnABB ???,,2
又因 AH杆作平动，有 aa AyAx ?
从而得到 ? 2La ? 即 LvLa 22???
x
y
A
D
B
C
O
a
a
aAB?
anAB
aDB?
anDB
aA 以 B点为基点，分析质心 D
的加速度，有
aaaa nDBDBBD ??? ?
分别沿 x,y轴投影
aBDBDaa Dx 3245s i n45c os 020 ?????? ??
)2(3145co s45co s
2
020
LaBDBD
va
Dy ?????? ??
计算构件 ABC对质心 D的极转动惯量
取 坐标系如图
ID
yxO 11
A B
C
D
O
x1
y1
L
L
O为 AC边中点，有
LI mx 21 121?
LIII mxxO 221 61???
LI my 21 121?
2ODmII OD ???
将已知的各式代入，整理可得
NLmmaF v 10 42 11.1332 ?????
例 21.11 在图中所示机构中，摆杆 OC为均质杆，
长 L=1m，质量,可绕水平轴 O转动。
套筒质量,可沿着 OC杆滑动，套筒的
质心在 A点，套筒对过 A点与 O轴平行的转动惯
量为 。 AB杆质量 可在铅垂
槽中滑动。 AB杆与 O轴距离为 0.25m不计各处
摩擦，摆杆 OC在 时无初速度释放。
求当 时 OC杆的角速度
kgm 101 ?
kgm 32 ?
mI kgA 21.0 ?? kgm 1.23 ?
060??
o
030??
?
A
C
O
0.25m
B
?
A
C
O
0.25m
B
解 取整个系统为研究对象
应用积分形式的动定理求解
设 时 OC杆的角速度为
?
030??
其中
根据积分形式的动能定能定理
有
??? WTT 12 01?T
vmIvmmT AAAL 232222212 212121)31(21 ???? ??
vvvv reaA ???由速度合成定理
030c o s
25.0??? ?OAv
e
其中
应用点的复合运动理论 与 的关系。其 A为
动点，动系固连于 OC杆上，定系固连于机座。
则动点 A的绝对运动沿着铅垂滑道的 直线运动 。
相对运动为沿着 OC杆的 直线运动
牵连运动为随 OC杆的 定轴转动
vA ?
?
?
vr
ve
va
得
?3130co s 0 ?? vv eA
所以 ? 2
2 )18
1.2
2
1.0
18
3
6
10( ????T
系统从 运动到 过程中，只有
重力做功
0
0 60?? 030??
36.32)3060(25.0)()30s i n60( s i n2 0012001 ????????? tgtgglgW mmm
代入以上各式 36.3202 2 ???
从而求得 时 OC杆的角速度030??
sr a d02.4?? 顺钟向
r
例 21.12 均质细杆质量为,长为,上端
B靠在光滑的铅直墙上，下端 A以光滑圆柱
铰链与质量为,并径为 的均质圆盘的中
心 A相连，圆盘能够沿粗糙水平面作纯滚动
若当 时，圆盘中心 A的速度为,方向
向左，求该瞬时 A点的加速度。
m1
m2
l
045?? vo
x
aA vA
A
C
B
P1
P2
?
?AB
?AB
anBA
aBA?
gm1
gm2
解：动能定理的微分形式
中的 是对系统动能求
微分，这就需要写出系统
动能的微分 时的值等
于该瞬时作用于系统上所
dT
045??
有力的元功的代数和。具体解体步骤为
1,设 为任意角时，圆盘中心 A点的速度
为,杆 AB的角速度为 。圆盘 A和杆
AB都作平面运动，其速度瞬心分别为,
它们对各自速度瞬心的转动惯量分别为
?
vA ?AB
P1
P2
rmrmrmPmJJ AP A 222222212 2321)(1 ?????
lmlmrmPmJJ CP C 21
2
1
2
1
2
21 3
1(
12
1)( )
22
?????
系统的动能为
?
?
??
22
1
2
2
22
1
22
2
22
6
1
4
3
)
3
1
(
2
1
))(
2
3
(
2
1
2
1
2
1
21
ABA
AB
A
ABA
lmvm
lm
v
rm
JJ
r
PP
T
??
??
??
2，求系统动能的微分
?? ABABAA dddT lmvvm 212 3123 ??
3，当 的瞬间，设 A点发生了位移 。
则作用于系统的各力只有杆 AB的重力有元功
045?? ds
其元功值为
g d s
l
l
ds
gdgWd
m
mrm c
1
0
01
0
145
2
1
45co s)
245s i n
(45co s)(0
?
???
??
4，由动能定理的微分形式
00 4545 ?? ?? ?? WddT
dt两边同时除以,并将
代入得,,,
045 va
v
oAB
AB
A
A
dt
ds
dt
d
dt
d ???
???
?
vv A 045 0 ???
vm
lmavm
o
ABABA
g
1
4545
2
14502
2
1
))((
3
1
)(
2
3
000
?
?
??? ??? ??
5，对系统进行运动学分析
ll
vv
AB
0
0
0
45
2
45s i n0 ??? ???
根据两点之间的加速度关系
aaaa nBABAAB ??? ?
x
aA vA
A
C
B
P1
P2
?
?AB
?AB
anBA
aBA?
gm1
gm2
将上式沿 x方向投影得
02 2)(2 2)( 000 4524545 ??? ??? ??? ?? ABABA lla
于是
)3 2221(49 6 00
12
1
45 0 vmm
m
gl
g
AB ??????
当其值为正，则表示方向水平向左；
当其值为负，则表示方向水平性右；
B
A
O x
y
vB vA
ve
vr
?
的速度的大小求时滑了
下相对于当且初始时系统静止接触面光滑
若所有斜面的倾角皆为与的斜面滑下块
的大三角上质量为下沿着放置在水平地面
在重力作用小三角块图示质量为例
B,
,,
.B.
13.21
s
BA
AB
A
m
m
B
A
?
(1)建立图示直角坐标系 Oxyz,A,B都做平动。
设它们的速度为 v
A vB
(2)因为 又系统初始静止，故0)( ?F e
Rx
0??? vmvmK BxBAxAx
(3)系统初始动能 设系统初始时势能
则 B相对于 A运动了 S距离时
系统的动能和势能分别为：
TO VO
?s ingsV m A?? vmvm BBAAT 22 2121 ??
由机械能守恒定律得
00 VTVT ???
即
0s i n2121 22 ??? ?ghsmvmvm ABBAA
(4)由运动学分析,以 A为研究对象,动系与 B固连,
设 A相对于 B的速度为,则vr
vvvvv BrerA ????
于是
(5) 求解未知量,将 (3),(4)代入 (1),(2),可得解
））（（
）（
?
??
2
2
s i n
2s i nc os
mmmm
mv
ABBA
A
B
gs
??
?
?
?
co s2
co s
222
vvvvv
vvv
rBrBA
BrAx
???
??
vvvvv BrerA ????
于是
? 学习任务：分析运动与力之间的关系
? 学习内容,动能定理
? 动量定理
? 达朗伯原理
? 动力学普遍方程和拉格朗日方程
? 基本问题,已知运动求力 ----动力学第一类问题
? 已知力求运动 ----动力学第二类问题
第二十一章 动能定理
21.1 质点系质量分布的特征量
21.2 动能
21.3 动能定理
例题 1 例题 2 例题 3
例题 4 例题 5
例题 6 例题 7
例题 9 例题 10 例题 11
例题 8
例题 12 例题 13
第二十一章 动能定理
? 基本概念：
? 动能,物体由于作机械运动而具有的作功能力
1,质点系的质量中心 ---平动的动力学特性
2．质点系的转动惯量 ---转动的动力学特性
21.1 质点系质量分布的特征量
质点系的动力学特性与质点系质量分布密
切相关,质点系质量分布有两个特征量
? 21.1.1质点系的质量和质量中心
? 定义,设一质点系有 n个质点组成,
其中第个质点的质量为,相对于某确定定
点的矢径为,将质点系的质量总和,定义为
质点系的质量用 M表示,即
M
n
i
ii
C
rm
r
?
?? 1
由下式确定的矢径 所对应的点称为质点
系的质量中心，简称质心,rc
?
?
?
n
i
imM
1
注意
M
n
i
ii
C
xm
x
?
?? 1
M
n
i
ii
C
ym
y
?
?? 1
M
zm
z
i
n
i
i
C
?
?? 1
(1)质点系的质心不一定与质点系中的
某个质点重合,它有可能在质点系外 !
其中 为质点的直角坐标 。ziy ixi,,
在以 O点为基点建立的直角坐标系 中,质
心的直角坐标公式为
oxyz
2)当质点系中的各质点位置发生变化时,其质
心的位置一般也要发生变化 !
例如, 圆环的质心不在其环上，而在圆环中心
O
21.1.2刚体的转动惯量
1.转动惯量
定义,将刚体体内个质点的质量与该质点到
某一确定轴的距离平方的乘积之和定义为刚
体对该轴的转动惯量,
用 J表示,即
? 2
1
i
n
i
im?
?
式中 分别为第 个质点的质量和
到该轴的距离
J=
?iim,i
说明
若刚体的质量是连续分布的,就可以引入积
分形式表示,
式中 为质量为 的微元到该轴的距离
M 表示积分范围遍及刚体全部质量,
dmJ M?? 2?
? dm
刚体的转动惯量是一个与其运动状态无关
的而仅与其质量分布有关的特征量
若在某一个刚体上或其延拓部分的 O点建
立一与刚体固接的直角坐标系 Oxyz,设质量
为 的微元的坐标为 ( ),该刚体对轴
的转动惯量为
dm zyx,,
M,刚体的总质量
,刚体对 z轴的回转半径或惯量半径?
Z
? 2ZZ MJ ?
如刚体对 z轴的转动惯量表示为
它可视为将刚体的全部质量都集中于距 z
轴距离为 的某一点对 z轴的转动惯量,?z
注意
dmMx zyJ )(
22? ??
dmxzJ
My
)( 22? ??
dmxyJ
Mz
)( 2
2?
??
在解决实际问题中一般规则几何性形状的
匀质刚体的转动惯量可以直接算出
另外的一些转动惯量可以通过查询工程手
册得到
例 21.1 一直均质的细长杆的质量为 M,
长为 L，求杆对通过其质心，且垂直与杆
的 z轴的转动惯量和回转半径。
x
y
C
dx
x
(1)建立坐标系，如图所示，沿杆向取微
段,其坐标为（ x,0,0），其质量为
解,
dm dx
L
M=
(2)上述质量微元离 z轴的距离为,
杆对 z 轴转动惯量为,x
Jz 2
2
222
1
2
1
2
3
1
l
lM xxx L
Mdx
L
Mdm
??
??? ??
LM 2121?
(3) 杆对 z轴的回转半径为
L
M
J Z
Z 6
3???
例 21,2 已知厚度相等的均质薄圆盘的半径
为 R，质量为 M，求圆盘对过其中心，且垂
直于圆盘平面的 z轴的转动惯量和回转半径
r d r
M
r d r
M
dm
RR
22
2
)2( ?? ?
?
x
y
C
r
dr
解,
1．取半径为 r,宽度为的圆环，其质量是,
3．圆盘对 z轴的回转半径为
R
M
J Z
Z 2
2???
Rr
R
r
R
M
r M
Mdrdm RR
MJ z
2
0
43
0 2
2
2
12
22
???? ??
2．上述圆环的各质点到 z轴的距离都为 r,于是
圆盘对 z轴的转动惯量为,
说明 dMJJ Zz
2??
?
由转动惯量的平行轴定理和转动惯
量叠加定理，可以快捷的的求出由几个简
单图形组合而成的刚体对任意轴的转动惯
量。有空心刚体 =无空心整体 -空心部分
(转动惯量）
刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过
质心且与该轴平行的轴的转动惯量加上刚
体质量与两轴之间距离平方的乘积 记为
2.转动惯量的平行轴定理
例 21.3均质细长直杆长为 L,质量为 m,杆的
一段与以质量为 M的,外径为 2R的,内径为 2r
的均质元环相固连,求该刚体对过杆的另一
端 O且垂直于刚体所在平面的轴的转动惯量
c1 c2o
(1) 设,分别为杆,圆环的质心,c1 c2
解,
刚体可看成是由这三部分组成的,
)( 22
2
1 rRm
rM
??? ?
?
)( 22
2
2 rRm
rMM
??? ?
?
#2半径为 r,中心在 处的均质圆盘 1,质量为c2
#3半径为 R,中心也在 处的均质圆盘 2c
2
#1杆,质量为
于是
JJJJ OOOO 21 圆盘圆盘杆 ???
2222 )()(
2
1
3
1 RLMRMmL r ?????
2
2
2
2
2
22
22
2
1
2
1
2
21
11
2222
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
3
1
)
2
(
12
1
)(
2
2
1
RLOC
C
RLOC
C
mL
L
mmLOCm
C
mRmmJJ
mrmmJJ
JJ
O
O
O
?????
?????
?????
圆盘圆盘
圆盘圆盘
杆杆
3.刚体对任意轴的转动惯量公式
y
x
z
A
l0
L
dm
?r1
如图所示,L为空间任一
轴,以 A为原点建立任
一与刚体固连的直角
坐标系 则 L轴正
向在 三个方向的
余弦为
Axyz
Axyz
iiil 3210 c o sc o sc o s ??? ???
矢量式中,,,分别 为 L,x,y,z轴正向的单位l0 i
1 i2 i3
设质量为 的微元相对于 A的矢径为 r,它在
中的坐标为,该微元到 L轴的
距离的平方为
dm
Axyz ),,( zyx
222 r
lr ???
式中 ??? c o sc o sc o s0 zyxr lr
l ?????
zyxr 2222 ???
1c o sc o sc o s 222 ??? ???
得
??????
????
co sco s2co sco s2co sco s2
co s)(co s)(co s)( 2222222222
xzyzxy
yxxzzy
???
??????
引入
?? Mxy x y dmJ ??
Myz y zdmJ ?
? Mxz x zdmJ
称其为 惯性积
表示刚体内各质量微元的质量与其两个
直角坐标的乘积之和
再将惯性积代入
??????
???
c o sc o s2c o sc o s2c o sc o s2
c o sc o sc o s 222
JJJ
JJJJ
xzyzxy
ZyxL
???
???
写成矩阵形式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
JJJ
JJJ
JJJ
zyzxz
yzyxy
xzxyx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
cos
cos
cos
?[ c o s?J L ?cos ??cos
?J ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
JJJ
JJJ
JJJ
zyzxz
yzyxy
xzxyx
转动惯量 惯性积
对确定的刚体,各元素都为常数,
与刚体的运动无关注意
特征惯量, J
x Jy Jz Jxy Jyz Jxz
惯量张量矩阵, 矩阵 J
??????
???
c o sc o s2c o sc o s2c o sc o s2
c o sc o sc o s 222
JJJ
JJJJ
xzyzxy
ZyxL
???
???
刚体对任意轴的转动惯量转轴公式,
4.主转动惯量
如果与某一轴相关的两个惯性积都为零,
那么这轴为刚体对原点的一根
惯量主轴或惯性主轴
如在直角坐标系 中,与 z轴相关的
两个惯性积 为零,则称 z轴为刚体对 A点的
惯量主轴或惯性主轴 Jxz Jyz
Axyz
若在 A点再建立一个与刚体相固连的直角坐标系
,设 为三轴正向的单位矢量???A eee 321,,
这两个坐标系的单位正交基之间是一个正交变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
i
i
i
QQQ
QQQ
QQQ
e
e
e
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
记为 Q
于是
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Q
T
z
y
x
式中 为质量为 的同一微元在 中
坐标,若记
),,( ??? ???Adm
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
JJJ
JJJ
JJJ
?????
?????
?????
??J
则有 QJJ Q T ?? 或
JQJ Q T??
J?存在正交变换矩阵 Q,使 为对角矩阵
此时,说明轴都为刚体 A的惯量
主轴,这样的坐标系称为 惯量主轴坐标系
0??? JJJ ??????
说明
主转动惯量, 刚体对惯量主轴的转动惯量
中心转动惯量, 过质心的惯量主轴
中心主转动惯量, 过中心转动主轴所对应的
转动惯量
J的三个特征值为主转动惯量
三个特征值对应的特征向量方向为
惯量主轴方向
当刚体质量分布具有对称性时,
定理一, 如果刚体有质量对称轴,则该轴是
刚体对轴上任一点的一根惯量主轴,
同时也是刚体的一根中心惯量主轴
D(x,y,z)
),,( zyxD?
z
y
x
证明
设 z轴为刚体的质量对称轴
在 z轴上选一点 A,以 A为原点
建立任意与刚体固连的直角
坐标系 Axyz.
根据对称性,若在坐标为 (x,y,z)的 D处有一质量
为 m的质点,则在坐标为 (-x,-y,z)的处也有一质量
也为 m的另一质点,则整个刚体的D?
? ?? 0m x zJ xz
? ?? 0m y zJ yz
故 Az轴是刚体对 A点的一根惯性主轴,
又 A点是刚体质量对称轴上的任选的一点
证明,刚体的质量对称轴必是刚体对称轴
任一点的一根惯量主轴
刚体的质心必在其质量对称轴上,故
Az轴必过刚体的质心
也证明了刚体的质量对称轴必是刚体
的一根中心惯量主轴
如果刚体具有质量对称面,则垂直于
该对称面的任一轴必为刚体对该轴与
对称轴交点的一根惯量主轴
定理二,
D(x,y,z)
),,( zyxD ?x
y
z 证明
设垂直与刚体质量
对称面的任意轴为
z轴,它与对称面的
交点为 A,以 A为原点
建立以与刚体固连的
直角坐标系 Axyz.
若在质量对称面的一边坐标为 (x,y,z)的 D处
有一质量为 m的质点,在另一坐标为 (x,y-z)的
处也有质量为 m的另一质点D?
则刚体的
? ?? 0m x zJ xz
? ?? 0m y zJ yz
证明了 Az轴必是刚体的一根中心惯量主轴
21.2 动能
质点的动能, vmvmT v ??
2
1
2
1 2 或
质点系的动能, vvmvm
iii
n
iii
n
i
T ?? ??
?? 1
2
1 2
1
2
1 或
（标量）
（质点系各质点动能之和）
若以速度作平动的刚体，则其动能为：
(其中 )
vMT 221?
??? ni imM 1
若以角速度绕轴作定轴转动的刚体，则动能为：
?? ? 22
1 2
1)(
2
1 Jm
Zii
n
i
T ?? ?
?
例 21.4 图示各均质物体重量为 Q，物体尺寸
与质心速度或绕轴转动的角速度如图所示。
试计算各物体的动能 。
一般平面运动刚体动能：
? 22 2121 Jv CCMT ??
L
解,
如图,杆 OA绕 O轴作定轴转动，
根据刚体绕定周转动的动能公
式
2
2
1 ?
zJT ?
?
可得
2
2
2
2
2
0 632
1
2
1 ???
g
Ql
g
QlJT ???
其中
g
QlJ
3
2
0 ?
R
?
2 圆盘绕 O轴作定轴转动，仿上可得
2
2
2
2
2
0 422
1
2
1 ???
g
QR
g
QRJT ???
其中
g
QRJ
2
2
0 ?
C
3 圆盘绕 O轴作定轴转动，但
转轴不通过质心，故利用转动
惯量的平行移轴定理，有
g
QRR
g
Q
g
QRJ
2
3
2
2
2
2
0 ???
于是可得
2
2
2
2
2
0 4
3
2
3
2
1
2
1 ???
g
QR
g
QRJT ???
?
vC
O
R
4 圆盘作平面运动，点 O为瞬心。
由于 ?Rv ?
所以
R
v??
圆盘对瞬心 O的转动惯量为
22
2
0 4
3
2 vg
QR
g
Q
g
QRJ ???
于是可得圆盘的动能
2
22
2
0 4
3
2
3
2
1
2
1 v
g
Q
R
v
g
QRJT ??
?
??
?
??? ?
例 21.5质量为 m的滑块 A可在水平轨道上滑动
，它与质量为 M，长为 L的匀质杆用铰链相连
。杆可在铅垂面内自由转动，求系统动能。
B
C?
vA
?
x
A
解,
(1) 以图示的
为描述系统的广义
坐标。
?,x
(2) 滑块作平动，其动能为 2
2
1 2
1
2
1 ??? xmm vT
A
(3) 杆作平面运动，先求其质心绝对速度
vvv CAAC ??
??
???
? c o s
4
)
2
(c o s)
2
(2
2
2
2
2
2
2
222
??
????
???
????
??????
xl
ll
xx
l
x
vvvvvvv CACAAACCC
??
可得
根据两点速度关系
故杆的动能
?????
????
??
22
222
22
2
)
12
1
(
2
1
)co s
4
(
2
1
2
1
2
1
????
?
Mlxlx
l
xM
M JvT
CC
(4) 系统的动能
??? c o s6161)(21 22221 ???????? xMlMMmT lxTT ??
21.3 动能定理
? 动能定理描述的是质点或者质点系的动
能的改变量与作用力的功之间的数量关
系
F
dm
dvm ?
两边点乘 得drv dt ?
1．动能定理微分形式：
21.3.1 质点的动能定理
根据牛顿第二定律
?上式左端
dTmvdvmvddvmv ????? )21()(21 2
?显然右端为作用在质点上的合力 F的元功
? 于是
Wd?
WddT ??
drFdvmv ???
质点动能的微分等于作用于质点上
的合力的元功，
这就是 质点动能定理的微分形式
这表明
这表明
设在时间 至 的过程中, 质点由
位置 1沿路径 L运动至位置 2,同时它的速度就
由 变成,作积分, 将代入 得drFLW ?? ?12
t1 t2
v1 v2
质点在某一运动过程中动能的改变量等于作
用在质点上的合力在同一运动过程中所作的功
这就是 质点运动定理的积分形式 。
WTT 1212 ??
2.质点动能定理积分形式
例 21.6 重物 M重 P，放在于水平面成角的粗糙
的倾斜面上，且与刚性系数为 C的弹簧的一端
相联，弹簧的另一端是固定的。如果开始时
弹簧没有伸长，重物无初速度的放下，重物
与斜面间的摩擦系数为 且
试求弹簧的最大变形 S。
?tgf ?f
解,
1,以重物 M为研究
对象，且视为质
点。
p
N
M
F
3．以重物的最初位置（弹簧的原长），为
坐标原点 O，选直角坐标系 xoy，使 ox 轴沿
斜面。
2,重物作直线运动，在开始运动时，初速度
,当它沿斜面运动到最底位置其速度
，此时弹簧的变形最大 。
00 ?v
0?v
4,当重物位于坐标,处，其
上作用的外力有重力 P，弹性力 F，摩擦力及反
力 N。
0?yxx ?
5．由于已知力，速度及质量，要求弹簧的最大变形
可用动能定理求解此题。
Amvmv ?? 202
2
1
2
1
由于 0
0 ?? vv
所以 0?A
而 ? ? ? ? ? ? ? ?
1FAFANAPAA ????
SfPcx d xPSA S ?????? ? ?? co s0s i n 0
?? c o s2s i n
2
P S fCSPS ????
所以，有
0c o s2s i n
2
???? ?? P S fCSPS
由此可得
??
C
fPS ?? c o ss i n2 ??
这表明 ?? ??
n
i
iW
ddT
1
21.3.2质点系的动能定理
1 质点系动能定理的微分形式
对于质点系中的每一个质点, 都可以写
出如式 的关系成立 。 将所有的这些
方程左右分别相加, 再交换求和与求微分的
顺序, 并将 代入得?
?
?
n
i
iTT
1
WddT ??
质点系动能的微分等于作用在质点系
上的各力（外力和内力）的元功的代数和，
这就是 质点系动能定理的微分形式 。
这表明
? ?WWWTT ie
12
)(
121212 ????
2.质点系动能定理的积分形式,
设在时间 至 的过程中, 质点系发生了
某一运动, 若在这一运动过程中, 质点系的所
有外力所作的功用 表示, 质点系的所有内
力所作的功用 表示, 则积分
得
t1 t2
We)(12
Wi)(12 ?
?
??
n
i
iWddT
1
质点系的动能在某一运动过程中的改变量
等于作用在质点系的所有外力和内力在同一运
动过程所作的功的代数和,这就是质点系动能
定理的积分形式。
?例 21.7 如图所示，放置于倾角为 的固定斜
面上的质量为,半径为 的匀质圆盘，其
中心 A系有一跟一端固定，并且与斜面平行
的弹簧，同时与一根绕在质量为,半径为
的鼓轮 B上的张紧绳子相连。
rm
m r
A
B
k
M
C ?
A
B
k
M
C ?
今在鼓轮上作用一常力偶矩 M，使系统
由静止开始运动，且斜面足够粗糙，圆
盘沿斜面向上作纯滚动。已知鼓轮对轮
心 B得回转半径为,弹簧的弹性系数为
且初始时弹簧为原长。
若不计弹簧，绳子的质量及轴承 B处摩
擦，求鼓轮转过 时，圆盘的角速度
和角加速度的大小
k
2
?
2
r
解：
系统所受约束为理想约束，各约束力都不作
功，作功的力有力偶矩 M，重力和弹簧力。该
题先将圆盘的角速度表示为鼓轮转角的函数，
比较方便
1,初始时圆盘的动能为
00 ?T
2,当鼓轮转过角 时，设圆盘的角
速度为,则由运动学知，鼓轮的角速
度也为,
此时系统的动能是
?
?
?
222
2
1
2
1
2
1 wmwT JvJ
AAB ???
?
22
22222
222
8
7
)
2
1
(
2
1
)(
2
1
])
2
([
2
1
2
1
2
1
2
1
r
JvJ
m
wmrrmmw
r
m
wmwT
AAB
?
???
???
3,当鼓轮转过角 过程中，系
统的所有外力和内力所作的功为 ?
)2121)s i n( 220 ????? kkrmgMW ????
22
0
2
1
)s i n(
,0
????
???
krm g rMW
r
????
??
4,当动能定理的积分形式 WTT ??
0
即
m
krmgrM
r
w
mr
krmgrM
w
krmgrMwmr
7
s i n441
2
]
7
]
2
1
)s i n([8
[
2
1
)s i n(
8
7
22
2
1
2
22
2222
?????
?
????
????
??
??
??
?
???
5,两边对时间求导
wkrwmg rMwwmr ??? 22 )s i n(47 ???
2
2
2
2
7
)s i n22(2
2
7
s i n(4
mr
krm g rM
mr
krmgM
???
??
??
?
??
??
??
?
于是
若质点系在运动过程中只有势能做功, 则
根据第九章 （ 有势力的元功等于其势能的微分
并冠以负号 ）, 于是有
dVd
n
i
iW ????
? 1
0)( ?? VTd
常数?? VT
21.3.3机械能守恒定律
即
?
?
?? n
i
iWddT
1
将它代入 移项后得
这表明
质点系在运动过程中，若只有有势力
做功，则质点系的机械能保持不变。这一
结论就是 机械能守恒定律
动能定理的数学表达式是一个标量
式，它只能提供一个独立的动力学方
程。
注意
(1) 若系统所受的约束为理想约束,
且主动力已知时,利用动能定理的积分和
微分形式一定可以解决单自由度系统的
速度或角加速度问题 。
(2) 当系统具有两个或两个以上自由
度,则一般需要联立其他定理或原理才能
解决问题进行求解 。
例 21.8 图示均质圆盘 A质量为,半径为 R;均
质定滑轮 B质量为,半径为 r,物块 C的质量
为,相互连接如图，（ DE段绳子及弹簧与
斜面平行 ),已知弹簧的弹性系数为 k,固定面的
倾角为,圆盘 A能沿斜面作纯滚动,初瞬时系统
静止,且弹簧为原长,若不计弹簧与绳子质量及
轴承 B处摩擦,且绳子与滑轮,圆盘间无相对滑
动, 求重物 C下降了 h时,它的速度等于多少
m1
m2
m3
?
?
A
D
C
解,
系统只有重力和弹力,
它们皆为有势力,故
系统的机械性能守恒,具
体运算过程为,
?
A
D
C
(1) 由已知条件知 0?v
O
0?T O
设
(2) 运动学分析,设重物 C下降了 h时,其
速度为,则vC
r
v
R
vv C
B
C
A
C
Av ??? ??,2,2
(3) 重物 C下降了 h是系统的动能和势能为
?
??
s i n
2
)
2
(
2
1
)348(
16
1
)
2
)(
2
1
(
2
1
))(
2
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
13
2
2
123
22
1
22
2
2
3
22
1
22
3
h
ggh
h
kV
Rr
T
mm
vmmm
v
Rm
v
rmvm
JvmJvm
C
CC
C
AAABBC
???
???
???
????
(4) 根据机械能守恒定律
00 VVT T ???
得
321
13
2
843
s i n8162
mmm
ghmghkh m
v C ??
??
?
?
例 21.9 链条长为 L，重为 G，展放在光滑的
桌面上，初瞬时静止，并有长为 a的一段下
垂，如图所示。求链条刚离开桌面是的速度
和时间。
解,
取整个链条为研究对象
链条在桌面上部分的重力
和约束反力平衡，在链条
运动过程中都不作功。
链条下垂的重力引起链条运动，其长度在不断
改变。链条不可伸长，链条上各点的速度大小
相同。
设链条小落到某一时刻时，下垂长度为 S，
其增量为,链条重力所作的元功为dS
SdSLGWd ??
链条下落到某时刻重力所作的功为
)(2 22 aSLGSdSLGW s
a
??? ?
链条的初动能 下落到某时刻的动能0
1 ?T vT g
G 2
2 2
1?
应用积分形式的动能定理，有
??? WTT 12
将功、动能代入上式得
)(22 222 aSv LGgG ??
从而的某时刻链条的速度为
)( 22 aSLgdtdSv ???
当 S=L时，得链条刚离开桌面的速度
)( 22 aLLgdtdSv ???
将 积分，注意到 t=0时,S=a
t=T时,S=L,得
)( 22 aSLgdtdSv ???
T
L
g
a
L
dt
L
gdS
aL
aS
TL
a
?
??
?
?
??
)l n (
22
022
由上式得链条离开桌面所经历的时间为
)l n (
22
a
L
g
LT aL ???
讨论
（ 1）系统为理想约束。在重力作用下
链条运动了一段路程后，求其速度，
选用动能定理比较简单
（ 2）链条下垂部分的重力在不断改变
所作的功需用元功的积分来计算
（ 3）为了求得链条离开桌面所经历的
时间，应如上述过程一样，先求出链条
运动至任一瞬时的速度式，让后对其进
行积分求解而得所求时间。
例 21.10质量为 M=100g的刚体构件 ABC是
汽车气化器的控制部分，如图所示瞬间，
控制杆 BF的速度,加速度,
方向均向左。试求推动 BE杆的力 F的大小。
已知系统位于水平面内,L=24mm,二控制件
BE和 AH的质量及摩擦均忽略不计。杆 BE和
AH分别在 A,B处与构件 ABC铰接。
smma 210?smmv 20?
解 系统为理想约束
ABC作平面运动
设其质心为 D，
AH杆和 BD杆作平
动A BL
vDB
v D
vA
045 E
F
a
v
H C
取整个系统为研究对象，应用微分形式的
动能定理求解。
由微分形式的动能定理，得 ? ?? WddT
其中 ?? 22222
2
1)(
2
1
2
1
2
1 IvvIv
DDyDxDD mmT ?????
系统在图示瞬时，构件 ABC的速度瞬心在 C
点，则其角速度
L v ? ?
以 B为基点，分析质心 D的速度，有
vvv DBBD ??
其中 vLvLBDv
DB 3
2
2
2
3
2 ????? ?
沿 x,y轴投影 式 vvv
DBBD ??
vv vv DBDx 3245c o s 0 ???x：
vvv DBDy 3145s i n 0 ??y：
为求构件 ABC的角加速度，又以 B为基点，
分析 A点加速度
aaaa nABABBA ??? ?
C
x
y
A B
O
aa
a
aAB?
anAB
aDB?
anDB
aA D
x
y
A
D
B
C
O
a
a
aAB?
anAB
aDB?
anDB
aA
分别沿 x,y轴投影
aaaa nABABBA ??? ?
aaa nABBAx ??
aa ABAy ??
其中 ??? LLa aaa ABnABB ???,,2
又因 AH杆作平动，有 aa AyAx ?
从而得到 ? 2La ? 即 LvLa 22???
x
y
A
D
B
C
O
a
a
aAB?
anAB
aDB?
anDB
aA 以 B点为基点，分析质心 D
的加速度，有
aaaa nDBDBBD ??? ?
分别沿 x,y轴投影
aBDBDaa Dx 3245s i n45c os 020 ?????? ??
)2(3145co s45co s
2
020
LaBDBD
va
Dy ?????? ??
计算构件 ABC对质心 D的极转动惯量
取 坐标系如图
ID
yxO 11
A B
C
D
O
x1
y1
L
L
O为 AC边中点，有
LI mx 21 121?
LIII mxxO 221 61???
LI my 21 121?
2ODmII OD ???
将已知的各式代入，整理可得
NLmmaF v 10 42 11.1332 ?????
例 21.11 在图中所示机构中，摆杆 OC为均质杆，
长 L=1m，质量,可绕水平轴 O转动。
套筒质量,可沿着 OC杆滑动，套筒的
质心在 A点，套筒对过 A点与 O轴平行的转动惯
量为 。 AB杆质量 可在铅垂
槽中滑动。 AB杆与 O轴距离为 0.25m不计各处
摩擦，摆杆 OC在 时无初速度释放。
求当 时 OC杆的角速度
kgm 101 ?
kgm 32 ?
mI kgA 21.0 ?? kgm 1.23 ?
060??
o
030??
?
A
C
O
0.25m
B
?
A
C
O
0.25m
B
解 取整个系统为研究对象
应用积分形式的动定理求解
设 时 OC杆的角速度为
?
030??
其中
根据积分形式的动能定能定理
有
??? WTT 12 01?T
vmIvmmT AAAL 232222212 212121)31(21 ???? ??
vvvv reaA ???由速度合成定理
030c o s
25.0??? ?OAv
e
其中
应用点的复合运动理论 与 的关系。其 A为
动点，动系固连于 OC杆上，定系固连于机座。
则动点 A的绝对运动沿着铅垂滑道的 直线运动 。
相对运动为沿着 OC杆的 直线运动
牵连运动为随 OC杆的 定轴转动
vA ?
?
?
vr
ve
va
得
?3130co s 0 ?? vv eA
所以 ? 2
2 )18
1.2
2
1.0
18
3
6
10( ????T
系统从 运动到 过程中，只有
重力做功
0
0 60?? 030??
36.32)3060(25.0)()30s i n60( s i n2 0012001 ????????? tgtgglgW mmm
代入以上各式 36.3202 2 ???
从而求得 时 OC杆的角速度030??
sr a d02.4?? 顺钟向
r
例 21.12 均质细杆质量为,长为,上端
B靠在光滑的铅直墙上，下端 A以光滑圆柱
铰链与质量为,并径为 的均质圆盘的中
心 A相连，圆盘能够沿粗糙水平面作纯滚动
若当 时，圆盘中心 A的速度为,方向
向左，求该瞬时 A点的加速度。
m1
m2
l
045?? vo
x
aA vA
A
C
B
P1
P2
?
?AB
?AB
anBA
aBA?
gm1
gm2
解：动能定理的微分形式
中的 是对系统动能求
微分，这就需要写出系统
动能的微分 时的值等
于该瞬时作用于系统上所
dT
045??
有力的元功的代数和。具体解体步骤为
1,设 为任意角时，圆盘中心 A点的速度
为,杆 AB的角速度为 。圆盘 A和杆
AB都作平面运动，其速度瞬心分别为,
它们对各自速度瞬心的转动惯量分别为
?
vA ?AB
P1
P2
rmrmrmPmJJ AP A 222222212 2321)(1 ?????
lmlmrmPmJJ CP C 21
2
1
2
1
2
21 3
1(
12
1)( )
22
?????
系统的动能为
?
?
??
22
1
2
2
22
1
22
2
22
6
1
4
3
)
3
1
(
2
1
))(
2
3
(
2
1
2
1
2
1
21
ABA
AB
A
ABA
lmvm
lm
v
rm
JJ
r
PP
T
??
??
??
2，求系统动能的微分
?? ABABAA dddT lmvvm 212 3123 ??
3，当 的瞬间，设 A点发生了位移 。
则作用于系统的各力只有杆 AB的重力有元功
045?? ds
其元功值为
g d s
l
l
ds
gdgWd
m
mrm c
1
0
01
0
145
2
1
45co s)
245s i n
(45co s)(0
?
???
??
4，由动能定理的微分形式
00 4545 ?? ?? ?? WddT
dt两边同时除以,并将
代入得,,,
045 va
v
oAB
AB
A
A
dt
ds
dt
d
dt
d ???
???
?
vv A 045 0 ???
vm
lmavm
o
ABABA
g
1
4545
2
14502
2
1
))((
3
1
)(
2
3
000
?
?
??? ??? ??
5，对系统进行运动学分析
ll
vv
AB
0
0
0
45
2
45s i n0 ??? ???
根据两点之间的加速度关系
aaaa nBABAAB ??? ?
x
aA vA
A
C
B
P1
P2
?
?AB
?AB
anBA
aBA?
gm1
gm2
将上式沿 x方向投影得
02 2)(2 2)( 000 4524545 ??? ??? ??? ?? ABABA lla
于是
)3 2221(49 6 00
12
1
45 0 vmm
m
gl
g
AB ??????
当其值为正，则表示方向水平向左；
当其值为负，则表示方向水平性右；
B
A
O x
y
vB vA
ve
vr
?
的速度的大小求时滑了
下相对于当且初始时系统静止接触面光滑
若所有斜面的倾角皆为与的斜面滑下块
的大三角上质量为下沿着放置在水平地面
在重力作用小三角块图示质量为例
B,
,,
.B.
13.21
s
BA
AB
A
m
m
B
A
?
(1)建立图示直角坐标系 Oxyz,A,B都做平动。
设它们的速度为 v
A vB
(2)因为 又系统初始静止，故0)( ?F e
Rx
0??? vmvmK BxBAxAx
(3)系统初始动能 设系统初始时势能
则 B相对于 A运动了 S距离时
系统的动能和势能分别为：
TO VO
?s ingsV m A?? vmvm BBAAT 22 2121 ??
由机械能守恒定律得
00 VTVT ???
即
0s i n2121 22 ??? ?ghsmvmvm ABBAA
(4)由运动学分析,以 A为研究对象,动系与 B固连,
设 A相对于 B的速度为,则vr
vvvvv BrerA ????
于是
(5) 求解未知量,将 (3),(4)代入 (1),(2),可得解
））（（
）（
?
??
2
2
s i n
2s i nc os
mmmm
mv
ABBA
A
B
gs
??
?
?
?
co s2
co s
222
vvvvv
vvv
rBrBA
BrAx
???
??
vvvvv BrerA ????
于是
