第十一章 应力应变分析
?本章研究一点处的应力状态应力和
应变是变形体力学中非常重要的概
念。
?主要内容如下：
第十一章 应力应变分析
? § 11.1 一点处的应力状态
? § 11.2 应力张量的表示方法
? § 11.3 平面应力状态
? § 11.4 应力圆
? § 11.5 三向应力状态
? § 11.6 应变状态 (与平面应力状态对应的 )
? § 11.7 应力应变关系
§ 11,1 一点处的应力状态
内力是截面上的分布内力的等效力系
A?
A
R
?
?
?载荷集度 称为
上的平均应力
??Q??N
??R将 分解为与 法
向和切向的力,
A?
M
A?
??Q ??R
??N
n
内 力 与 应 力 的 概 念
A
N
?
?则 称为正应力（法向应力）
A
Q
?
? 称为剪应力（切应力）
A
N
A ?
??
??
?
0
lim?M点在截面上的正应力
A
Q
A ?
??
??
?
0
lim?
M点在截面上的剪应力
? 应力的量纲
PamN 2 ? MPa
Pa10mmN 62 ?
GPa Pa10
mmKN
9
2 ?
??ba
?nA?
A
R
A ?
?
?
?? 0
lim
一点处所有各方位截面上的应力的集合称
为该点的应力状态，一点处的应力与其集
度 以及 的法向 相关,因此可用
两个并在一起的矢量 表示,并且在不
同的坐标系中满足一点的坐标转换关系，
这在数学上成为张量，描述应力的张量称
为应力张量
? § 11.2 应力张量的表示方法
zz?
zy?zx?
yz?
yx?
yy?
xz?
xy?
xx? dx
dzdydx,,
取一包围该点的微元体（单元体）
其各棱边相互垂直，各棱边的长分
别为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
???
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzyzx
yzyyx
xzxyx
???
???
???
或
由于单元体很小其上的应力可看作均匀
分布各面上的应力可用 3*3的矩阵表示
（ i,j=1,2,3） 应力分量,应力张量。
ij?
按上述约定假设应力的方向对正应力，
则是拉应力为正。
考虑单元体力矩对轴的平衡方程有：
（不考虑体力偶）
02222 ??? dxd y d zdyd x d z xyyx ??
yxxy ?? ?
同理
zxxz ?? ? zyyz ?? ?
上述关系称为 剪应力互等定理
jiij ?? ?
设 表示 轴与 轴的方向余弦 。ij?? i? j
y
y?
x?
z?
x
z
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
???
???
???
T
则可以证明 ? ? ? ?? ?? ?TTT ?? ??
应力张量 可用来描述一点的应力
状态
ij?
坐标变换矩阵
? § 11.3 平面应力状态
? 若单元体上不为零的应力分量都位
于同一平面内称为平面应力状态。
? 例如当物体的表面不受力时在表面
取出单元体
? 例如外力作用在板平面内的薄板
? 设不为 0的应力分量都位于 xy平面内
y
x
z
x?
xy?
yx?
y?
?
x?
y?
y?
x?
xy?
xy?
yx?
yx?
?
xef
一点的应力状态应给出各方位截面上的
应力情况，截面 上的应力,其与 轴
正向的夹角 以逆时针方向为正
a
d c
b
?
?
e
f
y?
x?
xy?
n
初始单元体：
? ???? ?? ?
? ???? ?? ?显然：
由 ? ? 0
nF
?????? ? c o sc o sc o s dAdAdA xxy ??
0s ins inc o ss in ??? ?????? dAdA yyx
将 代入
xyyx ?? ??
?
a
e
f
??
??
y?
yx?
xy?
x?
n
T
由 同理可得0??
TF
???????? ? c o ss in2s inc o s 22 xyyx ???
??????? 2s in2c o s22 xyyxyx ?????
(a)
?????? ? 2c o s2s in
2 xy
yx ??? (b)
0??
x?? ? ? xy?? ? ?
2
?? ?
y?? ? ? xy?? ? ??
0?? ? 位的极值及其所在截面方
???
?
???
? ???? ?????
?
? ? 2c o s2s in
22 xy
yx
d
d
0
0
?
? ??
?
?
?
d
d设
02c o s2s in
2 00
??? ????? xyyx则
)(
2
2 0 ctg
yx
xy
??
?
?
?
??即
(c)式有两个解
01? 02?
20201
??? ??且
将 (c)式代入 (b)式有 0
0 ???
单元体上剪应力为 0的截面称为主平面
主平面上的正应力称为主应力
主应力为各方程截面上正应力的极值一
个为极大值一个为极小值,
以主平面为单元体的各面称为主单元体
max? min?
01?
02?
x
max?
min?
0
22
0
2
22
0 2s in2c o s22 ???
????
? ? xyyxyx ???
?
?
???
? ?
???
?
?
???
? ?
?
00 2c o s2s in22 ??
??
? yxxy
?
?
0
22
0
2
2
2c o s2s in
2
0 ???
??
xy
yx ?
???
?
???
? ??
00 2c o s2s in22 ??
??? yx
xy
??
)(
22
2
2
m i n
m a x d
xy
yxyx ?????
?
?
???
?
?
??
?
? ?
?
?
?
同理可求出 的极值 及
?? 0
? 0??
400
??? ??且
例已知初始单元体上
的应力（ Mpa）
求主单元体上的应力
并画出主单元体
解,M P a80?x? 0?
y?
M P a30??xy?
M P a10905040304040 22
m i n
m a x
?
?
?
?????????
?
?
?
30
80
0?方位 4
3
80
602
0 ???tg
o45.1801 ?? o55.7102 ???
45.18
x
max?
min?
? § 11.4 应力圆
? 一点处平面应力状态的图解法，直
观各方位的应力情况一目了然。
n
?
xy?
x?
y?
由
???
????
? ? 2s in2c o s
22 xy
yxyx ?
???
?
???
? ???? (a)
???
??
? ? 2c o s2s in
2 xy
yx ?
???
?
???
? ?? (b)
上两式两边平方后相加
2
2
2
2
22 xy
yxyx ???????
?? ???
?
?
??
?
? ?
????
?
?
??
?
? ?
?
? ? 222 ba ??? ?? ??
O
??
??
C
? ?xyxxD ??,
? ?yxyyD ??,
则上式在应力坐标中为一圆称为应
力圆莫尔圆
???
?
???
? ? 0,
2
yx ??
圆心坐标,
2
2
2 xy
yx ??? ?
???
?
???
? ?
半径,
因此，当 连续变化至 时，坐
标 绕应力圆的圆心转一周
? ?? ?
? ??? ??,
应力圆的画法：建应力坐标系,取比例
尺,定 点或由圆心,半径 —— 画圆DyDx,
应力圆上一点，由 绕圆心转过 角，
对应 截面上的应力
Dx ?2
? ? ??? ??,
??
??
max??
O
? ???? ??,D
? ?xyxxD ??,
max?
C
2
yx ?? ?
2
yx ?? ?
022?
?2
012?yA
xA
min?
? ?yxyxyD ??,
应 力 圆 画 法
证明,
? ???? 22c o s 0 ?????? CDOCCHOHOH
???? 2s in2s in2c o s2c o s 00 xx CDCDOC ???
???
????
2s in2c o s
22 xy
yxyx ?????
???
同理可以证明：
?? ??HD
max? min?
及 的方位
极值点的方位与主平面方位相差??
4
?
对应的应力
???
?
???
? ? '
m a x,2 ?
?? yx
任意两相互垂直截面上的正应力之和由
(a)式
yx ???? ?
?
? ???
?
2
例 确定主平面方程
画出主单元体及其上
的应力，并在应力圆
上标出图示截面上的
应力单位, MPa
30
20
50
100
解：
2
2
m i n
m a x 20
2
10030
2
10030 ?
?
?
??
?
? ????
?
?
?
?
?
M Pa6.24 3.1 0 5
?
?
??
? ? 7
1 0 030
2022
0 ???
????tg
?8.292 01 ???
??
yD
xD
C
?80
012?
022? ??
20?
30 100
max?min?
?9.1401 ??? ?? 1.75900102 ??? ??
M Pa6.7840 ??? M P a9.3740 ????
主单元体：
?1.75
?9.14
7.24
3.105
例 2 已知应力圆
画出初始单元体
及其应力主单元
体及应力单位 MPa
解：初始单元
体
C 40
20
yD
xD
x?
??
20
40
半径 28.28202 ??
? ? M P a28.48202122020m a x ??????
? ? ? ? M P a28.8201220220m i n ?????????
主单元体：
?5.22
28.4828.8
? § 11.5 三向应力状态
将三个主应力按代数
量的大小顺序排列
321 ??? ??
因此根据每一点的应
力状态可以找到 3个
相互垂直的主应力
?
y?
x?
z?
xy?
max?
min?
z?
1?
2?
3?
1?
2?
3?
1?
2?
3?
? 三向应力圆
空间任意方程截面
上的应力, 与三
向应力圆所夹阴影
面中某点 的应力
坐标表示。
? ?
K
一点处最大的剪应力
2
31
m a x
??? ??
3?
1?
2?
1?
3?
2? ?
三向应力圆
? 单向、双向、三向应力状态
例：求
1? 2? 3?
? ?M P am a x?
解, M P a50??
z?
在, 平面内x y
M P a
10
90
504030
2
80
2
80 22
m i n
m a x
?
?
?
?
?????
?
??
?
???
?
?
?
?
?
30
80
50
x
y
z
M P a901 ?? M P a102 ???
M P a503 ???
M Pa702 21m a x ??? ???
三向应力圆如图
C
??
??
yD
xD
50?
10? 90
? 注意：不是同一平面的应力不能用
平面应力状态方法求解。
? § 11.6 应变状态 （与平面应力
状态对应的）
一点的变形有线应变和剪应变,
单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体
的变形
? ?
在, 坐标下x y x?
y? xy
?
xu x ??? ? xv xy ??? ?
x?
u?
??
?
x
y
x?
y?
在, 坐标下,方向到 方向夹角x? y? x x? ?
x?? yx ???
令, 各个方位应变
的情况称为一点的应变状态与平面应
力状态的分析类似有
x?? ?? ? yx ??? ?? ?
?? ?? ? ?
? ?? ?
2
???????? ? 2s in22c o s22 xyyxyx ?????
?????? ? 2c o s22s in22 xyyx ???
22
m i n
m a x
222 ?
?
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
? xyyxyx ?????
?
?
yx
xytg
??
?
?
?
??02方位：
应变花：
321 ??? ??
可证明：在应力或变形不是很大的
情况 下（线弹性范围）主应力与主
应变 的方位是重合的。
45?
0?
90?
虎克定律 ?? E?
比例系数 称为材料的弹性模量E
???
?
??? 比例系数 称为泊松比?
??? ???
2
10 ?? ?
§ 11.7 应力应变关系
1、单向应力状态
0? 0
?
2、纯剪应力状态
在线弹性范围内 ?? G?
剪切虎克定律 —— 剪切弹性模量G
可证明
? ???? 12
EG
?
?
只有 作用时
x?
E
x
x
?
? ?
E
x
y
?
?? ??
E
x
z
?
?? ??
3、广义虎克定律
z?
y?
x?
xy?
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
广义虎克定律
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
G
E
E
E
xy
xy
yxzz
xzyy
zyxx
?
?
?????
?????
?????
1
1
1
对主单元体
? ?? ? ????????? 2111 1 ????? E
例：已知一构件表面一
点的应变 4
0 1012 ????
490 106 ????? 445 105.1 ?????
G P aE 2 0 0? 3.0??
求 该点的主应力和最大剪应力
1?
2?
3?
0?
45?90
?
解：设
0qx ?? ?90?y?
则 ?? 90s in
290c o s2245
xyyxyx ?????? ?????
? ? 445 1095.126122 ??????????? ???? yxxy
? ? xyxyxy
EG ?
??? ??? 12
M Pa2.691093.12 10200 4
3
???? ?? ?
y?
x?
xy?
? ?yxx
E ???? ??
1 ? ?
xyy E ???? ??
1
整理后
M Pa2.2 2 41 2 ???? ? ???? yxx EE
M P a7.521 2 ????? ? ???? xyy EE
M P a1.69 5.2408.1547.852.695.1387.85 22
m i n
m a x
?
?
?
?????????
?
?
?
M P a5.2401 ?? 02 ?? M P a1.693 ???
M Pa8.1542 31m a x ??? ???
例 2已知,求
设
45? ?
?,E
解：
? ?3145 1 ???? ?? E ? ???? ?? E1
?
??
?? 1
45E
?
?45
取一单元体体积 受应
力作用变形
变形后的体积
abcV ?
aa 1??? bb 2??? cc 3???
? ?? ?? ?ccbbaaV ???????1
? ?? ?? ?321 111 ??? ???? a b c
? ?3211 ??? ???? a b c
4、体积变形
a
c
b
3?
2?
1?
单位体积的改变量
V
V
V
VV ????????
321
1 ????
—— 体积应变?
321 ???? ???
? ?32121 ???? ????
E
令 ? ?
3213
1 ???? ???
m 称为三个应力的平均应力
设
? ??213 ??
EK 称为体积弹性模量
则 或
对非主单元体由于剪应变不改变单
元体的体积
?? Km ? Km?? ?
因
zyx ???? ???
? ?
3
zyx
m
???? ???
例：证明：
? ???? 12
EG
证明：取一纯剪单
元（正方形） A
B C
D
?
x?
?
x??? ?
22
45c o s
45c o s
45
?
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
xxBD
BDDB
? ? ?????? EE ????? 11 3145 ?? G?
G245
?? ?
? ???? 12
EG则
?? ??3
?? ?1
?45
?本章研究一点处的应力状态应力和
应变是变形体力学中非常重要的概
念。
?主要内容如下：
第十一章 应力应变分析
? § 11.1 一点处的应力状态
? § 11.2 应力张量的表示方法
? § 11.3 平面应力状态
? § 11.4 应力圆
? § 11.5 三向应力状态
? § 11.6 应变状态 (与平面应力状态对应的 )
? § 11.7 应力应变关系
§ 11,1 一点处的应力状态
内力是截面上的分布内力的等效力系
A?
A
R
?
?
?载荷集度 称为
上的平均应力
??Q??N
??R将 分解为与 法
向和切向的力,
A?
M
A?
??Q ??R
??N
n
内 力 与 应 力 的 概 念
A
N
?
?则 称为正应力（法向应力）
A
Q
?
? 称为剪应力（切应力）
A
N
A ?
??
??
?
0
lim?M点在截面上的正应力
A
Q
A ?
??
??
?
0
lim?
M点在截面上的剪应力
? 应力的量纲
PamN 2 ? MPa
Pa10mmN 62 ?
GPa Pa10
mmKN
9
2 ?
??ba
?nA?
A
R
A ?
?
?
?? 0
lim
一点处所有各方位截面上的应力的集合称
为该点的应力状态，一点处的应力与其集
度 以及 的法向 相关,因此可用
两个并在一起的矢量 表示,并且在不
同的坐标系中满足一点的坐标转换关系，
这在数学上成为张量，描述应力的张量称
为应力张量
? § 11.2 应力张量的表示方法
zz?
zy?zx?
yz?
yx?
yy?
xz?
xy?
xx? dx
dzdydx,,
取一包围该点的微元体（单元体）
其各棱边相互垂直，各棱边的长分
别为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
???
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzyzx
yzyyx
xzxyx
???
???
???
或
由于单元体很小其上的应力可看作均匀
分布各面上的应力可用 3*3的矩阵表示
（ i,j=1,2,3） 应力分量,应力张量。
ij?
按上述约定假设应力的方向对正应力，
则是拉应力为正。
考虑单元体力矩对轴的平衡方程有：
（不考虑体力偶）
02222 ??? dxd y d zdyd x d z xyyx ??
yxxy ?? ?
同理
zxxz ?? ? zyyz ?? ?
上述关系称为 剪应力互等定理
jiij ?? ?
设 表示 轴与 轴的方向余弦 。ij?? i? j
y
y?
x?
z?
x
z
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
???
???
???
T
则可以证明 ? ? ? ?? ?? ?TTT ?? ??
应力张量 可用来描述一点的应力
状态
ij?
坐标变换矩阵
? § 11.3 平面应力状态
? 若单元体上不为零的应力分量都位
于同一平面内称为平面应力状态。
? 例如当物体的表面不受力时在表面
取出单元体
? 例如外力作用在板平面内的薄板
? 设不为 0的应力分量都位于 xy平面内
y
x
z
x?
xy?
yx?
y?
?
x?
y?
y?
x?
xy?
xy?
yx?
yx?
?
xef
一点的应力状态应给出各方位截面上的
应力情况，截面 上的应力,其与 轴
正向的夹角 以逆时针方向为正
a
d c
b
?
?
e
f
y?
x?
xy?
n
初始单元体：
? ???? ?? ?
? ???? ?? ?显然：
由 ? ? 0
nF
?????? ? c o sc o sc o s dAdAdA xxy ??
0s ins inc o ss in ??? ?????? dAdA yyx
将 代入
xyyx ?? ??
?
a
e
f
??
??
y?
yx?
xy?
x?
n
T
由 同理可得0??
TF
???????? ? c o ss in2s inc o s 22 xyyx ???
??????? 2s in2c o s22 xyyxyx ?????
(a)
?????? ? 2c o s2s in
2 xy
yx ??? (b)
0??
x?? ? ? xy?? ? ?
2
?? ?
y?? ? ? xy?? ? ??
0?? ? 位的极值及其所在截面方
???
?
???
? ???? ?????
?
? ? 2c o s2s in
22 xy
yx
d
d
0
0
?
? ??
?
?
?
d
d设
02c o s2s in
2 00
??? ????? xyyx则
)(
2
2 0 ctg
yx
xy
??
?
?
?
??即
(c)式有两个解
01? 02?
20201
??? ??且
将 (c)式代入 (b)式有 0
0 ???
单元体上剪应力为 0的截面称为主平面
主平面上的正应力称为主应力
主应力为各方程截面上正应力的极值一
个为极大值一个为极小值,
以主平面为单元体的各面称为主单元体
max? min?
01?
02?
x
max?
min?
0
22
0
2
22
0 2s in2c o s22 ???
????
? ? xyyxyx ???
?
?
???
? ?
???
?
?
???
? ?
?
00 2c o s2s in22 ??
??
? yxxy
?
?
0
22
0
2
2
2c o s2s in
2
0 ???
??
xy
yx ?
???
?
???
? ??
00 2c o s2s in22 ??
??? yx
xy
??
)(
22
2
2
m i n
m a x d
xy
yxyx ?????
?
?
???
?
?
??
?
? ?
?
?
?
同理可求出 的极值 及
?? 0
? 0??
400
??? ??且
例已知初始单元体上
的应力（ Mpa）
求主单元体上的应力
并画出主单元体
解,M P a80?x? 0?
y?
M P a30??xy?
M P a10905040304040 22
m i n
m a x
?
?
?
?????????
?
?
?
30
80
0?方位 4
3
80
602
0 ???tg
o45.1801 ?? o55.7102 ???
45.18
x
max?
min?
? § 11.4 应力圆
? 一点处平面应力状态的图解法，直
观各方位的应力情况一目了然。
n
?
xy?
x?
y?
由
???
????
? ? 2s in2c o s
22 xy
yxyx ?
???
?
???
? ???? (a)
???
??
? ? 2c o s2s in
2 xy
yx ?
???
?
???
? ?? (b)
上两式两边平方后相加
2
2
2
2
22 xy
yxyx ???????
?? ???
?
?
??
?
? ?
????
?
?
??
?
? ?
?
? ? 222 ba ??? ?? ??
O
??
??
C
? ?xyxxD ??,
? ?yxyyD ??,
则上式在应力坐标中为一圆称为应
力圆莫尔圆
???
?
???
? ? 0,
2
yx ??
圆心坐标,
2
2
2 xy
yx ??? ?
???
?
???
? ?
半径,
因此，当 连续变化至 时，坐
标 绕应力圆的圆心转一周
? ?? ?
? ??? ??,
应力圆的画法：建应力坐标系,取比例
尺,定 点或由圆心,半径 —— 画圆DyDx,
应力圆上一点，由 绕圆心转过 角，
对应 截面上的应力
Dx ?2
? ? ??? ??,
??
??
max??
O
? ???? ??,D
? ?xyxxD ??,
max?
C
2
yx ?? ?
2
yx ?? ?
022?
?2
012?yA
xA
min?
? ?yxyxyD ??,
应 力 圆 画 法
证明,
? ???? 22c o s 0 ?????? CDOCCHOHOH
???? 2s in2s in2c o s2c o s 00 xx CDCDOC ???
???
????
2s in2c o s
22 xy
yxyx ?????
???
同理可以证明：
?? ??HD
max? min?
及 的方位
极值点的方位与主平面方位相差??
4
?
对应的应力
???
?
???
? ? '
m a x,2 ?
?? yx
任意两相互垂直截面上的正应力之和由
(a)式
yx ???? ?
?
? ???
?
2
例 确定主平面方程
画出主单元体及其上
的应力，并在应力圆
上标出图示截面上的
应力单位, MPa
30
20
50
100
解：
2
2
m i n
m a x 20
2
10030
2
10030 ?
?
?
??
?
? ????
?
?
?
?
?
M Pa6.24 3.1 0 5
?
?
??
? ? 7
1 0 030
2022
0 ???
????tg
?8.292 01 ???
??
yD
xD
C
?80
012?
022? ??
20?
30 100
max?min?
?9.1401 ??? ?? 1.75900102 ??? ??
M Pa6.7840 ??? M P a9.3740 ????
主单元体：
?1.75
?9.14
7.24
3.105
例 2 已知应力圆
画出初始单元体
及其应力主单元
体及应力单位 MPa
解：初始单元
体
C 40
20
yD
xD
x?
??
20
40
半径 28.28202 ??
? ? M P a28.48202122020m a x ??????
? ? ? ? M P a28.8201220220m i n ?????????
主单元体：
?5.22
28.4828.8
? § 11.5 三向应力状态
将三个主应力按代数
量的大小顺序排列
321 ??? ??
因此根据每一点的应
力状态可以找到 3个
相互垂直的主应力
?
y?
x?
z?
xy?
max?
min?
z?
1?
2?
3?
1?
2?
3?
1?
2?
3?
? 三向应力圆
空间任意方程截面
上的应力, 与三
向应力圆所夹阴影
面中某点 的应力
坐标表示。
? ?
K
一点处最大的剪应力
2
31
m a x
??? ??
3?
1?
2?
1?
3?
2? ?
三向应力圆
? 单向、双向、三向应力状态
例：求
1? 2? 3?
? ?M P am a x?
解, M P a50??
z?
在, 平面内x y
M P a
10
90
504030
2
80
2
80 22
m i n
m a x
?
?
?
?
?????
?
??
?
???
?
?
?
?
?
30
80
50
x
y
z
M P a901 ?? M P a102 ???
M P a503 ???
M Pa702 21m a x ??? ???
三向应力圆如图
C
??
??
yD
xD
50?
10? 90
? 注意：不是同一平面的应力不能用
平面应力状态方法求解。
? § 11.6 应变状态 （与平面应力
状态对应的）
一点的变形有线应变和剪应变,
单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体
的变形
? ?
在, 坐标下x y x?
y? xy
?
xu x ??? ? xv xy ??? ?
x?
u?
??
?
x
y
x?
y?
在, 坐标下,方向到 方向夹角x? y? x x? ?
x?? yx ???
令, 各个方位应变
的情况称为一点的应变状态与平面应
力状态的分析类似有
x?? ?? ? yx ??? ?? ?
?? ?? ? ?
? ?? ?
2
???????? ? 2s in22c o s22 xyyxyx ?????
?????? ? 2c o s22s in22 xyyx ???
22
m i n
m a x
222 ?
?
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
? xyyxyx ?????
?
?
yx
xytg
??
?
?
?
??02方位：
应变花：
321 ??? ??
可证明：在应力或变形不是很大的
情况 下（线弹性范围）主应力与主
应变 的方位是重合的。
45?
0?
90?
虎克定律 ?? E?
比例系数 称为材料的弹性模量E
???
?
??? 比例系数 称为泊松比?
??? ???
2
10 ?? ?
§ 11.7 应力应变关系
1、单向应力状态
0? 0
?
2、纯剪应力状态
在线弹性范围内 ?? G?
剪切虎克定律 —— 剪切弹性模量G
可证明
? ???? 12
EG
?
?
只有 作用时
x?
E
x
x
?
? ?
E
x
y
?
?? ??
E
x
z
?
?? ??
3、广义虎克定律
z?
y?
x?
xy?
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
广义虎克定律
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
G
E
E
E
xy
xy
yxzz
xzyy
zyxx
?
?
?????
?????
?????
1
1
1
对主单元体
? ?? ? ????????? 2111 1 ????? E
例：已知一构件表面一
点的应变 4
0 1012 ????
490 106 ????? 445 105.1 ?????
G P aE 2 0 0? 3.0??
求 该点的主应力和最大剪应力
1?
2?
3?
0?
45?90
?
解：设
0qx ?? ?90?y?
则 ?? 90s in
290c o s2245
xyyxyx ?????? ?????
? ? 445 1095.126122 ??????????? ???? yxxy
? ? xyxyxy
EG ?
??? ??? 12
M Pa2.691093.12 10200 4
3
???? ?? ?
y?
x?
xy?
? ?yxx
E ???? ??
1 ? ?
xyy E ???? ??
1
整理后
M Pa2.2 2 41 2 ???? ? ???? yxx EE
M P a7.521 2 ????? ? ???? xyy EE
M P a1.69 5.2408.1547.852.695.1387.85 22
m i n
m a x
?
?
?
?????????
?
?
?
M P a5.2401 ?? 02 ?? M P a1.693 ???
M Pa8.1542 31m a x ??? ???
例 2已知,求
设
45? ?
?,E
解：
? ?3145 1 ???? ?? E ? ???? ?? E1
?
??
?? 1
45E
?
?45
取一单元体体积 受应
力作用变形
变形后的体积
abcV ?
aa 1??? bb 2??? cc 3???
? ?? ?? ?ccbbaaV ???????1
? ?? ?? ?321 111 ??? ???? a b c
? ?3211 ??? ???? a b c
4、体积变形
a
c
b
3?
2?
1?
单位体积的改变量
V
V
V
VV ????????
321
1 ????
—— 体积应变?
321 ???? ???
? ?32121 ???? ????
E
令 ? ?
3213
1 ???? ???
m 称为三个应力的平均应力
设
? ??213 ??
EK 称为体积弹性模量
则 或
对非主单元体由于剪应变不改变单
元体的体积
?? Km ? Km?? ?
因
zyx ???? ???
? ?
3
zyx
m
???? ???
例：证明：
? ???? 12
EG
证明：取一纯剪单
元（正方形） A
B C
D
?
x?
?
x??? ?
22
45c o s
45c o s
45
?
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
xxBD
BDDB
? ? ?????? EE ????? 11 3145 ?? G?
G245
?? ?
? ???? 12
EG则
?? ??3
?? ?1
?45
