第二十三章 达朗伯原理
? 达朗伯原理, 在引入达朗伯惯性力的基
础上, 利用静力学平衡方程的数学形式
列写系统的动力学方程
? 即,将一个事实上的动力学问题转化为
形式上的静力学问题, 通常将这种处理
问题的方法称为 动静法 。
第二十三章 达朗伯原理
※ 23.1 惯性力的概念
※ 23.2 达朗伯原理
※ 23.3 质点系达朗伯力系的简化
※ 23.4 动静法的应用举例
※ 23.5 定轴转动刚体的轴承附加动反力
23.1 惯性力的概念
第一类惯性力
第二类惯性力
?
? 第一类惯性力 ---------在研究质点相对运动动
力学中引入的,
? 取惯性参考系为定系, 非惯性参考系为
动系, 质点为动点, 则复合运动的知识
知, 质点运动的绝对加速度为
cer aaaa
???? ???
?
牵连惯性力 科氏惯性力
eqF
?
上式表明：除质量为 m的质点上作用的
真实合力外，若设想再增加两个力：
一个等于,称为 牵连惯性力,用 表示 ;
一个等于, 称为 科氏惯性力,用 表示。
Feq?
Fcq?
eam
??
cam
??
rce amamamF
???? ????? )()(移项后得到
amF ?? ?
代入牛顿第二定律
Fcq?
0)( ???? amNF ???
移项后得到
第二类惯性力 ------在达朗伯原理中引入的,
设质量为 m的非自由质点，在主动力的合力
和约束力的合力 的作用下，在惯性参考系中以
加速度 运动，则由牛顿第二定律知
F?
N?
a?
amNF ??? ??
F?am?
N?
表明
这样质点在运动的任一瞬时，
主动力、约束力和达朗伯惯性力
组成了一个形式上的平衡汇交力系 。
)( am??
用 表示 。F
q
?
除质点上作用的真实力的合力 F和 N外，
设想再加上一个等于 的力，
称为 达朗伯惯性力
该式称为 质点的达朗伯原理的数学表达式
0??? qFNF ???
23.2.2质点的达朗伯定理
设某质点系由 n个质点组成，作用于第 i个质
点上的主动力和约束反力的合力分别为
和,质点 的质量和加速度分别为 和Fi
?
Ni? Di mi ai?
23.2达朗伯原理
0)( ???? amNF ???可写为
23.2.1质点的达朗伯原理
引入达朗伯惯性力后，
质点系在运动的任意瞬时，其达朗伯惯性
力系和外力系组成了一平衡力系，称为 质
点系的达朗伯原理 。
说明
若质点系各质点所受外力的合力用
表示，根据平衡力系的主矢和对任一点 A
的主矩都为零可写出以下平衡方程
)...2,1()( niF ei ??
0??? iqii FNF ???
写为
0??? qFNF ???
0
11
)( ?? ??
??
n
i
iq
n
i
e
i FF
rr
0)()(
1
)(
1
?? ??
??
iq
n
i
A
e
i
n
i
A FmFm
rr
为了便于问题的处理，常将质点系的达
朗伯惯性力系用一个简单的与之等效的力
系来代替，称为 质点系达朗伯惯性力系的
简化 。
23.3.1 质点系的达朗伯惯性力系的主矢和主矩
质点系的达朗伯惯性力系的主矢为各质点
达朗伯惯性力的矢量和
23.3 质点系达朗伯惯性力系的简化
??
??
??? n
i
ii
n
i
iqRq amFF
11
)( ???
两边对时间求二阶导数
?
?
?
n
i
iiC amaM
1
??
代入 ??
??
??? n
i
ii
n
i
iqRq amFF
11
)( ??? cRq aMF ?? ??
M
rm
r
n
i
ii
C
?
?? 1
?
?
设质点系的质点 相对于空间某一固定点 o的
矢径为 质点系的总质量为 M,
则将质点系质心的矢径公式
Dir
i?
)....2,1( n
表明
说明
质点系的达朗伯惯性力系的主矢等于
质点系的总质量与质心加速度的乘积并冠以
负号
质点系达朗伯惯性力系对空间固定点 O的
主矩为各质点的达朗伯惯性力对 O的力矩的
矢量和
)()(
11
ii
n
i
iiq
n
i
OOq amrFmM
???? ???? ??
??
根据定义
并将 代入,得 0
11
)( ?? ??
??
n
i iq
n
i
ei FF ??
?? ?? ?? ni iqRqni eieR FFFF 11 )()(,????
CRq aMF
?? ?? ceR aMF ?? ?)(
本质上为 质心运动定理的数学表达式
0
11
)( ?? ??
??
n
i iq
n
i
e
i FF
??
表明
代入 )()(
11 amrFMM ii
n
i iiq
n
i OOq
????? ???? ??
??
利用 并交换求和,求导顺序0??vv ii ??
dt
LdM O
Oq
??
??
式中 为质点系对 O的动量矩)(
1 vmrL ii
n
i iO
??? ?? ?
?
质点系的达朗伯惯性力系对 O点的
主矩等于质点系对 O点的动量矩对时间的
一阶导数并冠以负号
amrvmvvmr iiiiiiiiidtd ?????? ????? )(
对于质量不变的质点系,将
0)()(
1
)(
1
?? ??
??
FF iq
n
i A
e
i
n
i A
mm ??对于
当其中的 A取为固定点时,其本质为对空间
固定点的 O的动量矩的数学表达式
当其中的 A取为质点系质心 C时,其本质
是质点系对质心的动量矩定理的数学表达式
MdtLd eOO ?
?
)(?
MdtLd eCC ?
?
)(?
质
点
系
达
朗
伯
原
理
的
平
衡
方
程
质心运动定理
对空间动量矩定理
对质心的动量矩定理
c
e
R aMF
?? ?)(
MdtL
d e
O
O ?
?
)(?
MdtL
d e
C
C ?
?
)(?
23.3.2 平面运动的达朗伯惯性力系的简化
刚体作平面运动,其达朗伯惯性力系向 C简化
得到一个达朗伯惯性力,一个达朗伯惯性力偶
一个达朗伯惯性力,作用线过质心,大小和方向
与达朗伯惯性力 的主矢相同F
Rq
?
一个达朗伯惯性力偶,力偶矩为达朗伯
惯性力系对 C的主矩 M
Cq?
cCq aMF
?? ??
dt
Ld C
CqM
??
??
当平面运动的刚体有质量对称面,且质量
对称面沿自身所在平面运动,此时 的方向
垂直于其质量对称面且
LC?
??? JL CC ?
于是
( 为刚体对过其质心并垂直于其质量对称
面的轴的转动惯量 ;
为其运动的角速度 )
LC?
??
??? JM CCq ??
为运动的角加速度?
在这种情况下,平面运动刚体的达朗伯惯性力系
向其质心简化的一个达朗伯惯性力和
达朗伯惯性力偶矩 如图所示
FCq?
MCq?
特殊情况
1.平面平动 刚体
2.定轴转动 刚体
C ca
?
1.平面平动刚体
其力矢为
如图示
即达朗伯惯性力系向质心简化只有
一个达朗伯惯性力
因为,所以0?L
C? 0?MCq
?
cCq aMF
?? ??
C
FCq
aC
n
CqF
r ?
qCF
r
2.定轴转动刚体
其质心加速度可由质心的向心加速度和
切向加速度表示
达朗伯惯性力系简化为
若定轴转动刚体有对称面,
且定轴垂直质量对称面
??? JM CCq ??
dt
Ld
M
aMF
aMF
C
Cq
CCq
n
C
n
cq
?
?
??
??
??
??
??
??达朗伯惯性力
达朗伯惯性力偶
ncar
?car
o
c
?r
?r
qCM
r
23.5 定轴转动的轴承附加动反力
如图,
Di
质量为 m 的刚体在
上受主动力或主动
合力 F
i
? )....2,1( ni ?
的作用下,
以角速度
角加速度 绕 AB
作定轴转动
??
??
A
B
rC
Dn
Fn
D1
D2
Di
FBx
FBy
FAx
FAy
FAz
y
x
z
?r
?r
以止推轴承 A为原点,建立 一与刚体固连的
动直角坐标系 Axyz 并使 z 轴与 AB轴重合,则
刚体质心 C相对于固定点 A的矢径可以表示为
kji zyxr CCCC ???? ???
中的坐标常值式中 zyx CCC,,为质心在动坐标系 Axyz
质心速度为
zyx
rv
CCC
CC
kji
?? 00
???
? ?? ???
质心加速度为
vvva CCCC dt
d
dt
d rrrr r
???? ?
由定义
jidtvd xy C
C
c rr
r
?? ???
~
0
00
??
??
xy
v
CC
C
kji
?
??
???
? ?
代入质心加速度公式
ji yxxya CCCCC ??? )()( 22 ???? ?????
A的动量矩为
kJjJiJL zyzxzA ???? ??? ????
求一阶导数
LdtLddtLd AAA ??
??
??? ?
~
kJjJJiJJdtLd zxzyzyzxzA ???????
?
????? ?????? )()( 22
得
刚体的达朗伯力系向 A点简化
达朗伯惯性力
jmimF yxxy CCCCAq ??? )()( 22 ???? ????
达朗伯惯性力偶
kJjJJiJJM zxzyzyzxzAq ???? ????? ????? )()( 22
刚体所受约束反力为 FFFFF ByBxAzAyAx ?????,,,,
根据达朗伯定理
0)(:0 2
1
?????? ??
?
?? ?????? xy CCBxAxn
i ixx
mFFFF
0)(:0 2
1
?????? ??
?
?? ?????? yx CCByAyn
i iyy
mFFFF
0:0
1
??? ??
? FFF Az
n
i izz
???
0)()(:0 2
1
????? ??
?
?? ????? JJlFFMM yzxzByin
i
xx
0)()(:0 2
1
????? ??
?
?? ????? JJlFFMM xzyzBxin
i
yy
0)(:0
1
??? ??
?
???? JFMM zin
i
zz
解方程
)(1)](1[ 2
1
?? ???? JJlFMlF xzyzin
i
yBx ???? ?
?
)(1)](1[ 2
1
?? ??? JJlFMlF yzxzin
i
xBy ???? ?
?
)()(1)](1[ 22
11
???? rrrrrr xy CCxzyzin
i
y
n
i ix
Ax mJJlFMlFF ??????? ??
??
)()(1)](1[ 22
11
???? rrrrrrr yx CCyzxzin
i
x
n
i iyAy
mJJlFMlFF ?????? ??
??
][
1??
?? n
i iZAZ FF
??
动反力, 刚体在运动条件下
所受的约束反力
静反力
附加动反力
[ ….,]
注意
与主动力的作用直接相关,与刚体的运动无关
静反力,
附加动反力,
与刚体的达朗伯惯性力有关
在实际工程中,当转子 (作定轴转动的刚体 )进入
正常工作状态后 (即 ),由上式知
附加动反力在动直角坐标轴上投影是固定不变的
常数?? ?? ??,0
注意
消除附加动反力的根本办法,
使达朗伯惯性力系自成平衡力系
0
0
??
??
JJ yzxz
CC yx
无论刚体转动的角速度和角加速度为何值
刚体都不会受到附加反力
1)刚体的转轴必须过其质心
2)刚体的转轴必须为惯量主轴
刚体坐定轴转动时,轴承的附加动反力为
零的 条件是 转轴必须为中心惯量主轴
? 达朗伯原理, 在引入达朗伯惯性力的基
础上, 利用静力学平衡方程的数学形式
列写系统的动力学方程
? 即,将一个事实上的动力学问题转化为
形式上的静力学问题, 通常将这种处理
问题的方法称为 动静法 。
第二十三章 达朗伯原理
※ 23.1 惯性力的概念
※ 23.2 达朗伯原理
※ 23.3 质点系达朗伯力系的简化
※ 23.4 动静法的应用举例
※ 23.5 定轴转动刚体的轴承附加动反力
23.1 惯性力的概念
第一类惯性力
第二类惯性力
?
? 第一类惯性力 ---------在研究质点相对运动动
力学中引入的,
? 取惯性参考系为定系, 非惯性参考系为
动系, 质点为动点, 则复合运动的知识
知, 质点运动的绝对加速度为
cer aaaa
???? ???
?
牵连惯性力 科氏惯性力
eqF
?
上式表明：除质量为 m的质点上作用的
真实合力外，若设想再增加两个力：
一个等于,称为 牵连惯性力,用 表示 ;
一个等于, 称为 科氏惯性力,用 表示。
Feq?
Fcq?
eam
??
cam
??
rce amamamF
???? ????? )()(移项后得到
amF ?? ?
代入牛顿第二定律
Fcq?
0)( ???? amNF ???
移项后得到
第二类惯性力 ------在达朗伯原理中引入的,
设质量为 m的非自由质点，在主动力的合力
和约束力的合力 的作用下，在惯性参考系中以
加速度 运动，则由牛顿第二定律知
F?
N?
a?
amNF ??? ??
F?am?
N?
表明
这样质点在运动的任一瞬时，
主动力、约束力和达朗伯惯性力
组成了一个形式上的平衡汇交力系 。
)( am??
用 表示 。F
q
?
除质点上作用的真实力的合力 F和 N外，
设想再加上一个等于 的力，
称为 达朗伯惯性力
该式称为 质点的达朗伯原理的数学表达式
0??? qFNF ???
23.2.2质点的达朗伯定理
设某质点系由 n个质点组成，作用于第 i个质
点上的主动力和约束反力的合力分别为
和,质点 的质量和加速度分别为 和Fi
?
Ni? Di mi ai?
23.2达朗伯原理
0)( ???? amNF ???可写为
23.2.1质点的达朗伯原理
引入达朗伯惯性力后，
质点系在运动的任意瞬时，其达朗伯惯性
力系和外力系组成了一平衡力系，称为 质
点系的达朗伯原理 。
说明
若质点系各质点所受外力的合力用
表示，根据平衡力系的主矢和对任一点 A
的主矩都为零可写出以下平衡方程
)...2,1()( niF ei ??
0??? iqii FNF ???
写为
0??? qFNF ???
0
11
)( ?? ??
??
n
i
iq
n
i
e
i FF
rr
0)()(
1
)(
1
?? ??
??
iq
n
i
A
e
i
n
i
A FmFm
rr
为了便于问题的处理，常将质点系的达
朗伯惯性力系用一个简单的与之等效的力
系来代替，称为 质点系达朗伯惯性力系的
简化 。
23.3.1 质点系的达朗伯惯性力系的主矢和主矩
质点系的达朗伯惯性力系的主矢为各质点
达朗伯惯性力的矢量和
23.3 质点系达朗伯惯性力系的简化
??
??
??? n
i
ii
n
i
iqRq amFF
11
)( ???
两边对时间求二阶导数
?
?
?
n
i
iiC amaM
1
??
代入 ??
??
??? n
i
ii
n
i
iqRq amFF
11
)( ??? cRq aMF ?? ??
M
rm
r
n
i
ii
C
?
?? 1
?
?
设质点系的质点 相对于空间某一固定点 o的
矢径为 质点系的总质量为 M,
则将质点系质心的矢径公式
Dir
i?
)....2,1( n
表明
说明
质点系的达朗伯惯性力系的主矢等于
质点系的总质量与质心加速度的乘积并冠以
负号
质点系达朗伯惯性力系对空间固定点 O的
主矩为各质点的达朗伯惯性力对 O的力矩的
矢量和
)()(
11
ii
n
i
iiq
n
i
OOq amrFmM
???? ???? ??
??
根据定义
并将 代入,得 0
11
)( ?? ??
??
n
i iq
n
i
ei FF ??
?? ?? ?? ni iqRqni eieR FFFF 11 )()(,????
CRq aMF
?? ?? ceR aMF ?? ?)(
本质上为 质心运动定理的数学表达式
0
11
)( ?? ??
??
n
i iq
n
i
e
i FF
??
表明
代入 )()(
11 amrFMM ii
n
i iiq
n
i OOq
????? ???? ??
??
利用 并交换求和,求导顺序0??vv ii ??
dt
LdM O
Oq
??
??
式中 为质点系对 O的动量矩)(
1 vmrL ii
n
i iO
??? ?? ?
?
质点系的达朗伯惯性力系对 O点的
主矩等于质点系对 O点的动量矩对时间的
一阶导数并冠以负号
amrvmvvmr iiiiiiiiidtd ?????? ????? )(
对于质量不变的质点系,将
0)()(
1
)(
1
?? ??
??
FF iq
n
i A
e
i
n
i A
mm ??对于
当其中的 A取为固定点时,其本质为对空间
固定点的 O的动量矩的数学表达式
当其中的 A取为质点系质心 C时,其本质
是质点系对质心的动量矩定理的数学表达式
MdtLd eOO ?
?
)(?
MdtLd eCC ?
?
)(?
质
点
系
达
朗
伯
原
理
的
平
衡
方
程
质心运动定理
对空间动量矩定理
对质心的动量矩定理
c
e
R aMF
?? ?)(
MdtL
d e
O
O ?
?
)(?
MdtL
d e
C
C ?
?
)(?
23.3.2 平面运动的达朗伯惯性力系的简化
刚体作平面运动,其达朗伯惯性力系向 C简化
得到一个达朗伯惯性力,一个达朗伯惯性力偶
一个达朗伯惯性力,作用线过质心,大小和方向
与达朗伯惯性力 的主矢相同F
Rq
?
一个达朗伯惯性力偶,力偶矩为达朗伯
惯性力系对 C的主矩 M
Cq?
cCq aMF
?? ??
dt
Ld C
CqM
??
??
当平面运动的刚体有质量对称面,且质量
对称面沿自身所在平面运动,此时 的方向
垂直于其质量对称面且
LC?
??? JL CC ?
于是
( 为刚体对过其质心并垂直于其质量对称
面的轴的转动惯量 ;
为其运动的角速度 )
LC?
??
??? JM CCq ??
为运动的角加速度?
在这种情况下,平面运动刚体的达朗伯惯性力系
向其质心简化的一个达朗伯惯性力和
达朗伯惯性力偶矩 如图所示
FCq?
MCq?
特殊情况
1.平面平动 刚体
2.定轴转动 刚体
C ca
?
1.平面平动刚体
其力矢为
如图示
即达朗伯惯性力系向质心简化只有
一个达朗伯惯性力
因为,所以0?L
C? 0?MCq
?
cCq aMF
?? ??
C
FCq
aC
n
CqF
r ?
qCF
r
2.定轴转动刚体
其质心加速度可由质心的向心加速度和
切向加速度表示
达朗伯惯性力系简化为
若定轴转动刚体有对称面,
且定轴垂直质量对称面
??? JM CCq ??
dt
Ld
M
aMF
aMF
C
Cq
CCq
n
C
n
cq
?
?
??
??
??
??
??
??达朗伯惯性力
达朗伯惯性力偶
ncar
?car
o
c
?r
?r
qCM
r
23.5 定轴转动的轴承附加动反力
如图,
Di
质量为 m 的刚体在
上受主动力或主动
合力 F
i
? )....2,1( ni ?
的作用下,
以角速度
角加速度 绕 AB
作定轴转动
??
??
A
B
rC
Dn
Fn
D1
D2
Di
FBx
FBy
FAx
FAy
FAz
y
x
z
?r
?r
以止推轴承 A为原点,建立 一与刚体固连的
动直角坐标系 Axyz 并使 z 轴与 AB轴重合,则
刚体质心 C相对于固定点 A的矢径可以表示为
kji zyxr CCCC ???? ???
中的坐标常值式中 zyx CCC,,为质心在动坐标系 Axyz
质心速度为
zyx
rv
CCC
CC
kji
?? 00
???
? ?? ???
质心加速度为
vvva CCCC dt
d
dt
d rrrr r
???? ?
由定义
jidtvd xy C
C
c rr
r
?? ???
~
0
00
??
??
xy
v
CC
C
kji
?
??
???
? ?
代入质心加速度公式
ji yxxya CCCCC ??? )()( 22 ???? ?????
A的动量矩为
kJjJiJL zyzxzA ???? ??? ????
求一阶导数
LdtLddtLd AAA ??
??
??? ?
~
kJjJJiJJdtLd zxzyzyzxzA ???????
?
????? ?????? )()( 22
得
刚体的达朗伯力系向 A点简化
达朗伯惯性力
jmimF yxxy CCCCAq ??? )()( 22 ???? ????
达朗伯惯性力偶
kJjJJiJJM zxzyzyzxzAq ???? ????? ????? )()( 22
刚体所受约束反力为 FFFFF ByBxAzAyAx ?????,,,,
根据达朗伯定理
0)(:0 2
1
?????? ??
?
?? ?????? xy CCBxAxn
i ixx
mFFFF
0)(:0 2
1
?????? ??
?
?? ?????? yx CCByAyn
i iyy
mFFFF
0:0
1
??? ??
? FFF Az
n
i izz
???
0)()(:0 2
1
????? ??
?
?? ????? JJlFFMM yzxzByin
i
xx
0)()(:0 2
1
????? ??
?
?? ????? JJlFFMM xzyzBxin
i
yy
0)(:0
1
??? ??
?
???? JFMM zin
i
zz
解方程
)(1)](1[ 2
1
?? ???? JJlFMlF xzyzin
i
yBx ???? ?
?
)(1)](1[ 2
1
?? ??? JJlFMlF yzxzin
i
xBy ???? ?
?
)()(1)](1[ 22
11
???? rrrrrr xy CCxzyzin
i
y
n
i ix
Ax mJJlFMlFF ??????? ??
??
)()(1)](1[ 22
11
???? rrrrrrr yx CCyzxzin
i
x
n
i iyAy
mJJlFMlFF ?????? ??
??
][
1??
?? n
i iZAZ FF
??
动反力, 刚体在运动条件下
所受的约束反力
静反力
附加动反力
[ ….,]
注意
与主动力的作用直接相关,与刚体的运动无关
静反力,
附加动反力,
与刚体的达朗伯惯性力有关
在实际工程中,当转子 (作定轴转动的刚体 )进入
正常工作状态后 (即 ),由上式知
附加动反力在动直角坐标轴上投影是固定不变的
常数?? ?? ??,0
注意
消除附加动反力的根本办法,
使达朗伯惯性力系自成平衡力系
0
0
??
??
JJ yzxz
CC yx
无论刚体转动的角速度和角加速度为何值
刚体都不会受到附加反力
1)刚体的转轴必须过其质心
2)刚体的转轴必须为惯量主轴
刚体坐定轴转动时,轴承的附加动反力为
零的 条件是 转轴必须为中心惯量主轴
