第 8章 线性电路的过渡过程
8.1 换路定律与初始条件
8.2 一阶电路的零输入响应
8.3 一阶电路的零状态响应
8.4 一阶电路的全响应
8.5 一阶电路的三要素法
*8.6 RLC 串联电路的零输入响应
第 8章 线性电路中的过渡过程
第 8章 线性电路的过渡过程
8.1 换路定律与初始条件
8.1.1
＋
－
S
U
s
CLR
L
1
L
2
L
3
图 8.1 过渡过程演示电路图
第 8章 线性电路的过渡过程
在电路理论中,通常把电路状态的改变 （ 如通电, 断电,
短路, 电信号突变, 电路参数的变化等 ）,统称为换路 。
换路是外因,电路中有储能元件 （ 也叫动态元件 ） 是内
因 。
第 8章 线性电路的过渡过程
8.1.2 换路定律
1,具有电感的电路
)0()0( ?? ? LL ii
2,具有电容的电路
)0()0( ?? ? CC uu
第 8章 线性电路的过渡过程
8.1.3
换路后的最初一瞬间（即 t=0+时刻）的电流、电压值,
统称为初始值。
第 8章 线性电路的过渡过程
S
U
s
＋
－
C u C
i
C
R
1
i
1
R
2
i
2
( a )
U
s
＋
－
C
u
C
(0
＋
)
i
C
(0
＋
)
R
1
i
1
(0
＋
)
R
2
i
2
(0
＋
)
( b )
例 8.1 图 8.2（ a） 所示电路中,已知 Us=12V,R1=4kΩ,
R2=8kΩ,C=1μF,开关 S原来处于断开状态,电容上电压
uC(0-)=0。 求开关 S闭合后,t=0+时,各电流及电容电压的
数值 。
图 8.2 例 8.1
(a) 电原理图； (b) t=0+时的等效电路
第 8章 线性电路的过渡过程
解 选定有关参考方向如图所示 。
(1) 由已知条件可知, uC(0-)=0。
(2) 由换路定律可知, uC(0+)=uC(0-)=0。
(3) 求其它各电流, 电压的初始值 。 画出 t=0+时刻的等效
电路,如图 8.1（ b） 所示 。 由于 uC(0+)=0,所以在等效电路中
电容相当于短路 。 故有
mA
R
U
i
RR
u
i
s
C
3
104
12
)0(
,0
0)0(
)0(
3
1
1
22
2
?
?
??
???
?
?
?
由 KCL有 iC(0+)=i1（ 0+） -i2（ 0+） =3-0=3mA。
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.2 如图 8.3（ a） 所示电路,已知 Us=10V,R1=6Ω,
R2=4Ω,L=2mH,开关 S原处于断开状态 。 求开关 S闭合后
t=0+时,各电流及电感电压 uL的数值 。
S
U
s
＋
－
i
3
R
1
i
1
R
2
i
2
( a )
U
s
＋
－
i
3
(0
＋
)
R
1
i
1
(0
＋
)
R
2
i
2
(0
＋
)
( b )
i
L
(0
＋
) = 1 A
u
L
(0
＋
)
L
u
L
图 8.3 例 8.2
(a) 电原理图； (b) t=0+时的等效电路
第 8章 线性电路的过渡过程
解 选定有关参考方向如图所示 。
(1) 求 t=0-时电感电流 iL(0-)。
由原电路已知条件得
0)0(
1
46
10
)0()0()0(
3
21
21
?
?
?
?
?
???
?
???
i
A
RR
U
iii sL
(2) 求 t=0+时 iL(0+)。
由换路定律知
Aii LL 1)0()0( ?? ??
第 8章 线性电路的过渡过程
(3) 求其它各电压, 电流的初始值 。 画出 t=0+时的等效
电路如图 8.3（ b） 所示 。 由于 S闭合,R2被短路,则 R2两端电
压为零,故 i2(0+)=0。
由 KCL有
Aiiii 1)0()0()0()0( 1213 ???? ????
由 KVL有
VRiUU
uRiU
sL
Ls
46110)0()0(
)0()0(
11
11
??????
??
??
??
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.3 如图 8.4（ a） 所示电路,已知 Us=12V,R1=4Ω,
R2=8Ω,R3=4Ω,uC（ 0-） =0,iL（ 0-） =0,当 t=0时开关 S闭合 。
求当开关 S闭合后,各支路电流的初始值和电感上电压的初
始值 。
S
U
s L u
L
i
L
R
1
i
R
2
u
C
C
i
C
R
3
U
s
u
L
(0
＋
)
R
1 R
2
u
C
(0
＋
)C
i
C
(0
＋
)
R
3
i (0
＋
) i
L
(0
＋
)
( a )
( b )
图 8.4 例 8.3电路图
(a) 电原理图； (b) t=0+时的等效电路
第 8章 线性电路的过渡过程
解 (1) 由已知条件可得
0)0(,0)0( ?? ?? LC iu
(2) 求 t=0+时,uC(0+)和 iL（ 0+） 的值 。
由换路定律知
0)0()0(,0)0()0( ???? ???? LLCC iiuu
（ 3） 求其它各电压电流的初始值。
VRiu
A
RR
U
ii
CL
s
C
881)0()0(
1
84
12
)0()0(
2
21
????
?
?
?
?
??
??
??
第 8章 线性电路的过渡过程
8.2 一阶电路的零输入响应
只含有一个储能元件的电路称为一阶电路。
8.2.1 RC串联电路的零输入响应
U
s
＋
－
u
C
(0 )
R
( a )
＋
－
1
2
C
R
C
u
R
S
( b )
u
C
V
S
U
O
i
i
图 8.7 一阶 RC
(a) 电路图； (b) 换路瞬间等效电路
第 8章 线性电路的过渡过程
根据 KVL,uR=uC=Ri,而 i=-C(duC/dt)(式中负号表明 iC与
uC的参考方向相反 )。 将 i=-C(duC/dt)代入 uC=Ri得
RC
t
pt
C
pt
ptpt
pt
C
C
AeAeu
RC
p
R C p
AeR C p
AeR C p A e
Aeu
uc
dt
du
RC
?
??
??
??
??
??
?
??
1
01
0)1(
0
0
第 8章 线性电路的过渡过程
由换路定律知,uC(0+)=uC(0-)=U0,即
将 A=U0代入式 （ 8.6）,得
.000 AAeAeU RC ??? ?
RC
t
C eUu
??
0
RCC e
R
U
R
ui 10 ???
τ的数值大小反映了电路过渡过程的快慢,故把 τ叫 RC
电路的时间常数。
第 8章 线性电路的过渡过程
0
U
0
u
C
t
( a )
0
i
t
( b )
U
0
R
图 8.8 一阶 RC电路的零输入响应波形
(a) uC波形； (b) i波形
第 8章 线性电路的过渡过程
表 8.1 电容电压及电流随时间变化的规律
t i
0 e0=1
τ
2τ
3τ
4τ
5τ
… … … …
∞ 0 0
?
te?
368.01 ??e
13 5.02 ??e
05 0.03 ??e
01 8.04 ??e
00 7.05 ??e
??e
Cu
0U
0368.0 U
0135.0 U
0050.0 U
0018.0 U
0007.0 U
R
U0
R
U0368.0
R
U0135.0
R
U0050.0
R
U0018.0
R
U0007.0
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.4 供电局向某一企业供电电压为１０ kV,在切断电源
瞬间,电网上遗留有 的电压 。 已知送电线路长
L=30km,电网对地绝缘电阻为 500MΩ,电网的分布每千米电容
为 C0=0.008 μF/km,
(1) 拉闸后 1分钟,电网对地的残余电压为多少？
(2) 拉闸后 10分钟,电网对地的残余电压为多少？
解 电网拉闸后,储存在电网电容上的电能逐渐通过对地
绝缘电阻放电,这是一个 RC串联电路的零输入响应问题 。
由题意知,长 30 km 的电网总电容量为
KV210
FFLCC 70 104.224.030008.0 ???????? ?
第 8章 线性电路的过渡过程
?
?
t
C
eUtu
kVU
sRC
MR
?
?
?
?
??????
?????
0
0
78
8
)(
210
1 2 0104.2105
1055 0 0
Vesu
kVVesu
C
C
3.9510210)6 0 0(
6.88 5 7 610210)60(
12 0
60 0
3
12 0
60
3
???
????
?
?
放电电阻为
时间常数为
电容上初始电压为
在电容放电过程中,电容电压 (即电网电压 )的变化规律为
故
第 8章 线性电路的过渡过程
8.2.2 ＲＬ 串联电路的零输入响应
S
u
R
U
s
＋
－
R
1
A
R
Lu
L
＋
－
＋
－
i
L
图 8.9 一阶 RL电路的零输入响应
第 8章 线性电路的过渡过程
由 KVL得
0?? LR uu
而 uR=iLR,uL=L(diL/dt)。故
?
?
?
t
L
L
t
LR
t
L
L
L
L
I
dt
di
Lu
IRiu
eIi
i
dt
di
R
L
dt
di
LRi
?
?
?
???
??
?
??
??
Re
Re
0
0
0
0
0
或
第 8章 线性电路的过渡过程
0
I
0
i
L
t
( a )
0
I
0
R
u
R
t
( b )
0
－ I
0
R
u
L
t
( c )
图 8.10 一阶 RL电路的零输入响应波形
(1) 一阶电路的零输入响应都是按指数规律随时间变
化而衰减到零的。
(2) 零输入响应取决于电路的初始状态和电路的时间
常数。
第 8章 线性电路的过渡过程
8.3 一阶电路的零状态响应
若在一阶电路中,换路前储能元件没有储能,即 uC（ 0-）,
iL（ 0-）都为零,此情况下由外加激励而引起的响应叫做零
状态响应。
8.3.1 RC串联电路的零状态响应
S
u
R
u
C
C
i
R
U
s
图 8.12 RC电路的零状态响应
第 8章 线性电路的过渡过程
由 KVL有
sCR Uuu ??
将各元件的伏安关系 uR=iR和
(8.11) 得 dt
duCi C?
sC
C Uu
dt
duRC ??
?
t
C
sC
CCC
Aeu
Uu
uuu
?
?
?
??
"
'
"'
（ 8.11）
(8.12)
(8.13)
(8.14)
(8.15)
上式中 τ=RC。
第 8章 线性电路的过渡过程
将式（ 8.14）、（ 8.15）代入式（ 8.13）,得
?
t
sCCC AeUuuu
????? "'
0)0()0( ?? ?? CC uu
s
sss
UA
AUAeUAeU
??
??????
? 0
0
0 ?
于是
?
t
ssC eUUu
???
式中,Us为电容充电电压的最大值,称为稳态分量或强迫分量。
第 8章 线性电路的过渡过程
是随时间按指数规律衰减的分量，称为暂态分量
或自由分量。
?
t
seU
?
)1( ?
t
sC eUu
???
??
tt
sRC
s
RC
t
ss
C
eIe
R
U
eU
RC
C
eUU
dt
d
C
dt
du
Ci
???
?
???
?
?
?
?
?
???
???
0
1
)(
1
)(
??
t
s
t
s
R eUReR
U
iRu
??
???
。
第 8章 线性电路的过渡过程
图 8.13 RC 电路的零状态响应曲线
0
u
R
t
U
s
u
R
i
U
s
R
0
u
C
t
U
s
( a )
( b )
i
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.5 如图 8.14(a） 所示电路,已知 Us=220V,R=200Ω,
C=1μF,电容事先未充电,在 t=0时合上开关 S。
(1） 时间常数 ;
（ 2） 最大充电电流 ;
（ 3） uC,uR和 i的表达式 ;
（ 4） 作 uC,uR和 i随时间的变化曲线 ;
（ 5） 开关合上后 1ms时的 uC,uR和 i的值 。
第 8章 线性电路的过渡过程
解 （ 1） 时间常数
ssRC ?? 200102101200 46 ??????? ??
（ 2） 最大充电电流
ARUi s 1.1200220m a x ???
（ 3） uC,uR,i的表达式为
Aeee
R
U
i
VeeUu
VeeeUu
t
tt
s
t
t
sR
t
tt
sC
3
3
34
105
105
105102
1.1
2 0 0
2 2 0
2 2 0
)1(2 0 0)1(2 0 0)1(
??
??
??
?
???
??
???
??
??????
?
??
?
?
第 8章 线性电路的过渡过程
（ 4） 画出 uC,uR,i的曲线如图 8.14(b)所示 。
S
u
R
u
CC
i
R
0
i / A
t
220 V
u
R
i
U
s
＋
－
( a )
( b )
u
C
1.1 A
u
C
u
R
/V
，
图 8.14 例 8.5 图
第 8章 线性电路的过渡过程
（ 5） 当 时smst 3101 ???
Aei
Veu
Veeu
R
C
0 0 7 7.00 0 7.01.11.1
5.10 0 7.02 2 02 2 0
5.2 1 8)0 0 7.01(2 2 0)1(2 2 0)1(2 2 0
33
33
33
10105
10105
510105
????
????
???????
?
?
?
???
???
????
第 8章 线性电路的过渡过程
8.3.2 RL串联电路的零状态响应
S
u
L
i
L
R
U
s
＋
－
L
A
u
R
.
图 8.15 一阶 RL电路零状态响应电路
第 8章 线性电路的过渡过程
由 KVL有, uR+uL=Us。
根据元件的伏安关系得
sL Udt
diLRi ??
即
R
Ui
dt
di
R
L s
L
L ??
?
t
s
L AeR
Ui ???
0)0( ????? ?? ARUAeRUi s
t
s
L
?
(8.22)
第 8章 线性电路的过渡过程
即
R
UA s??
将 A=-Us/R 代入式 (8.22),得
)1( ??
tt
ss
L eIeR
U
R
Ui ?? ????
式中,I=Us/R。
求得电感上电压为
???
?
?
t
s
t
s
t
t
L
eUe
R
U
L
R
LIeL
eI
dt
d
L
dt
di
Lu
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
1
)]1([
)1()1( ??
t
s
t
LR eUeRIRiu
?? ?????
第 8章 线性电路的过渡过程
0
i
L
t
( a )
0 t
u
R
( b )
u
L
U
s
U
s
R
u
L
u
R,
图 8.16 一阶 RL电路零状态响应波形
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.5 如图 8.14(a） 所示电路,已知 Us=220V,R=200Ω,
C=1μF,电容事先未充电,在 t=0时合上开关 S。
(1） 时间常数 ;
（ 2） 最大充电电流 ;
（ 3） uC,uR和 i的表达式 ;
（ 4） 作 uC,uR和 i随时间的变化曲线 ;
（ 5） 开关合上后 1 ms时的 uC,uR和 i的值 。
第 8章 线性电路的过渡过程
解 （ 1） 时间常数
ssRC ?? 200102101200 46 ??????? ??
（ 2） 最大充电电流
ARUi s 1.1200220m a x ???
（ 3） uC,uR,i的表达式为
Aeee
R
U
i
VeeUu
Ve
t
eeUu
t
t
s
t
sR
t
t
sC
t
t
3
3
3
105
105
105
4
1.1
2 0 0
2 2 0
2 2 0
)1(2 2 0)
102
1(2 2 0)1(
??
?
??
??
?
?
???
??
??
?
????
?
?
?
?
?
?
第 8章 线性电路的过渡过程
（ 4） 画出 uC,uR,i的曲线如图 8.14(b)所示。
S
u
R
u
CC
i
R
0
i / A
t
220 V
u
R
i
＋
－
( a )
u
C
1.1 A
u
C
u
R
/V
，
图 8.14 例 8.5 图
（ b）
第 8章 线性电路的过渡过程
（ 5） 当 t=1ms=10-3s 时
Aeee
R
U
i
Veu
Veeu
t
t
s
R
C
t
3
33
33
105
10105
510105
1.1
2 0 0
2 2 0
5.10 0 7.02 2 02 2 0
5.2 1 8)0 0 7.01(2 2 0)1(2 2 0)1(2 2 0
??
?
???
????
???
????
???????
?
?
?
?
?
第 8章 线性电路的过渡过程
8.3.2 RL串联电路的零状态响应
S
u
L
i
L
R
U
s
＋
－
L
A
u
R
.
图 8.15 一阶 RL电路零状态响应电路
第 8章 线性电路的过渡过程
由 KVL有, uR+uL=Us。
根据元件的伏安关系得
s
L
L Udt
diLRi ??
即
R
Ui
dt
di
R
L s
L
L ??
?
t
s
L AeR
Ui ???
0)0( ????? ?? ARUAeRUi s
t
s
L
?
(8.22)
第 8章 线性电路的过渡过程
即
R
UA s??
将 A=-Us/R 代入式 (8.22),得
)1(
t-
??
t
ss
L eIeR
U
R
Ui ?????
式中,I=Us/R。
求得电感上电压为
)1()1(
1
)]1([
??
???
?
?
tt
ttt
eUeRIRiu
eUe
R
U
L
R
LIeL
eI
dt
d
L
dt
di
Lu
sLR
s
s
t
L
L
??
???
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
第 8章 线性电路的过渡过程
0
i
L
t
( a )
0 t
u
R
( b )
u
L
U
s
U
s
R
u
L
u
R,
图 8.16 一阶 RL电路零状态响应波形
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.6 图 8.17所示电路为一直流发电机电路简图,已知
励磁电阻 R=20Ω,励磁电感 L=20H,外加电压为 Us=200V,试
（ 1） 当 S闭合后,励磁电流的变化规律和达到稳态值所
需的时间 ;
(2) 如果将电源电压提高到 250V,求励磁电流达到额定
值的时间 。
第 8章 线性电路的过渡过程
S
i
L
R
U
s
＋
－
L
G
图 8.17 例 8.6图
第 8章 线性电路的过渡过程
解 (1） 这是一个 RL零状态响应的问题,由 RL串联电路的
分析知,
)1( ?
t
s
L eR
Ui ???
式中 Us=200 V,R=20 Ω,τ=L/R=20/20=1s,所以
Aeei t
t
L )1(10)1(20
200 ?? ???? ?
一般认为当 t=（ 3～ 5） τ时过渡过程基本结束,取 t=5τ,则
合上开关 S后,电流达到稳态所需的时间为 5秒 。
第 8章 线性电路的过渡过程
（ 2） 由上述计算知使励磁电流达到稳态需要 5秒钟时间。
st
e
eeti
t
t
t
6.1
)1(5.1210
)1(5.12)1(
20
250
)(
?
??
????
?
?
?
?
第 8章 线性电路的过渡过程
0
i
L
/ A
t / s
10
1 2,5
1,6 5
图 8.18 强迫励磁法的励磁电流波形
第 8章 线性电路的过渡过程
8.4 一阶电路的全响应
当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时,电路中
所产生的响应叫做一阶电路的全响应 。
S
i
u
C
R
U
s
U
o
t = 0
＋
－
＋
－
图 8.19 一阶 RC电路的全响应
第 8章 线性电路的过渡过程
由 KVL有
sC
C
sCR Uudt
duRCUuu ???? 或
RC
t
sCCC AeUuuu
????? "'
由初始条件,uC(0+)=uC(0-)=U0,代入上式有 U0=Us+A,即
A=U0-Us。 所以,电容上电压的表达式为
?
t-
0 )( eUUUu ssC ???
由式 （ 8.26） 可见,Us为电路的稳态分量,
为电路的暂态分量,
全响应 =稳态分量 +暂态分量
?
t
s eUU
?? )(
0
(8.26)
第 8章 线性电路的过渡过程
有三种情况, (a) U0<Us,(b) U0=Us,(c) U0>Us
0
u
C
t
U
s
U
0
U
0
－ U
s
稳态分量
全响应
暂态分量
u
C
t
全响应= 稳态分
量
0
u
C
t
全响应
0
U
0
= U
s
稳态分量
U
0
－ U
s
U
0
U
s
暂态分量
图 8.20 一阶 RC电路全响应曲线
第 8章 线性电路的过渡过程
电路中的电流为
?
t
sC e
R
UU
dt
duCi ???? 0
??
tt
sC eUeUu
?? ???
0)1(
上式中 是电容初始值电压为零时的零状态响
应,是电容初始值电压为 U0时的零输入响应 。 故又
有
)1( ?
t
s eU
??
?
t
eU ?0
全响应 =零状态响应 +零输入响应
R
eU
e
R
U
i s
?
?
t
-
0
t
- ?
??
(8.27)
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.7 图 8.21所示电路中,开关 S断开前电路处于稳态 。
设已知 Us=20V,R1=R2=1kΩ,C=1μF。 求开关打开后,uC和 iC
的解析式,并画出其曲线 。
S
R
2
C
i
1
i
C
R
1
t = 0
U
s
＋
－
＋
u
C
－
i
2
图 8.21 例 8.7图
第 8章 线性电路的过渡过程
解 选定各电流电压的参考方向如图所示 。
因为换路前电容上电流 iC（ 0-） =0,故有
mAA
RR
U
ii
s
101010
1010
20
)0()0(
3
33
21
21
???
?
?
?
??
?
??
换路前电容上电压为
VRiu C 101011010)0()0( 3322 ?????? ???
即 U0=10V。
第 8章 线性电路的过渡过程
由于 Uo<Us,所以换路后电容将继续充电,其充电时间常
数为
mssCR 110101101 3631 ??????? ???
将上述数据代入式 (8.26),(8.27),得
mAeAeee
R
UU
i
VeeeUUUu
tts
C
t
tt
ssC
tt
1 0 0 01 0 0 00
1 0 0 010
0
1001.0
1000
1020
1020)2010(20)(
3
10
3
??
?
??
??
?
?
?
?
????????
?
??
?
?
?
第 8章 线性电路的过渡过程
uC,iC随时间的变化曲线如图 8.22所示。
0
u
C
/ V
20
( a )
10
1 2 43 0
i
C
/ m A
( b )
10
1 2 43
t / m s
t / m s
图 8.22 例 8.7 uC,iC随时间变化曲线
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.8 如图 8.23(a)所示电路,已知 Us=100V,R0=150Ω,
R=50Ω,L=2H,在开关 S闭合前电路已处于稳态,t=0时将开关 S
闭合,求开关闭合后电流 i和电压 UL的变化规律 。
＋
－
U
s
R
0
R
L
i (0
＋
) = I
o
u
L
S
( a )
L
u
L
R
i (0
＋
) = 0
L
u
L
R
( b )
( c )
＋
－
U
s
i
图 8.23 例 8.8
(a) 电路图； (b) 零输入； (c) 零状态
第 8章 线性电路的过渡过程
解法 1 全响应 =稳态分量 +
开关 S 闭合前电路已处于稳态,故有
0)0(
5.0
1 501 50
1 00)0(
0
0
?
?
?
?
?
??
?
?
L
s
u
A
RR
UIi
当开关 S 闭合后,R0被短路,其时间常数为
A
R
U
i
s
R
L
s
2
50
1 0 0
04.0
50
2
'
???
????
电流的稳态分量为
第 8章 线性电路的过渡过程
t
T
AeAei 25" ?? ?? ?电流的暂态分量为
全响应为
tAeiiti 25"' 2)( ?????
由初始条件和换路定律知
Aii 5.0)0()0( ?? ??
0
2525.0
?
???
t
tAe
Vee
dt
d
dt
di
Lu
Aeti
AA
tt
L
t
2525
25
75)5.12(2
5.12)(
5.1,25.0
??
?
????
??
????
故
即
所以
第 8章 线性电路的过渡过程
解法 2 全响应 =零输入响应 +
电流的零输入响应如图 8.23 (b)所示,i(0+)=I0=0.5A。 于
是
AeeIi t
t
25
0 5.0
?? ?? ?
电流的零状态响应如图 8.23 (c)所示,i(0+)=0。所以
AeeRUi t
t
s 25" 22)1( ?? ???? ?
全响应
Vee
dt
d
dt
di
Lu
Aeeeiii
tt
L
ttt
2525
252525"'
75)5.12(2
5.12225.0
??
???
????
???????
第 8章 线性电路的过渡过程
8.5
稳态值,初始值和时间常数,我们称这三个量为一阶电
路的三要素,由三要素可以直接写出一阶电路过渡过程的
解 。 此方法叫三要素法 。
设 f（ 0+） 表示电压或电流的初始值, f（ ∞） 表示电
压或电流的新稳态值,τ表示电路的时间常数,f（ t） 表示要
求解的电压或电流 。 这样,电路的全响应表达式为
?
t
effftf ?? ????? )]()0([)()( （ 8.30）
第 8章 线性电路的过渡过程
表 8.2
名 称 微分方程之解 三要素表示法
RC电路的零输入响
应
直流激励下 RC电路
的零状态响应
?
??
t
e
R
U
i
RCeUu
t
C
?
?
??
?
0
0 )(
?
?
t
e
R
U
i
eeUu
s
t
sC
?
?
??
?
)1(
?
t
eftf ??? )0()(
?
?
t
t
eftf
eftf
?
?
?
?
???
)0()(
)1)(()(
第 8章 线性电路的过渡过程
名 称 微分方程之解 三要素表示法
直流激励下 RL电路的零
状态响应
RL电路的零输入响应
一阶 RC电路的全响应
表 8.2
?
? ?
t
sL
t
eUu
R
L
eIi
?
?
?
??? ))(1(
?
?
t
L
t
eRIu
eIi
?
?
??
?
0
0
?
?
t
s
t
ssC
e
R
UU
i
eUUUu
?
?
?
?
???
0
0 )(
?
?
t
eftf
eftf
t
?
?
?
?
???
)0()(
)1)(()(
?
t
eftf ??? )0()(
?
?
t
t
eftf
effftf
?
?
?
?
?
?????
)0()(
)]()0([)()(
第 8章 线性电路的过渡过程
下面归纳出用三要素法解题的一般步骤,
(1) 画出换路前 （ t=0-） 的等效电路 。 求出电容电压 uC（ 0-）
或电感电流 iL(0-)。
(2) 根据换路定律 uC(0+)=uC(0-),iL(0+)=iL(0-),画出换路瞬间
（ t=0+） 时的等效电路,求出响应电流或电压的初始值 i(0+)或
u(0+),即 f(0+)。
(3) 画出 t=∞时的稳态等效电路 （ 稳态时电容相当于开路,
电感相当于短路 ）,求出稳态下响应电流或电压的稳态值 i(∞)
或 u(∞),即 f(∞)。
(4) 求出电路的时间常数 τ。 τ=RC或 L/R,其中 R值是换路后
断开储能元件 C或 L,由储能元件两端看进去,用戴维南或诺顿
等效电路求得的等效内阻 。
(5) 根据所求得的三要素,代入式 (8.30)即可得响应电流或
电压的动态过程表达式。
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.9 如图 8.26（ a） 所示电路,已知 R1=100Ω,R2=400Ω,
C=125μF,Us=200V,在换路前电容有电压 uC(0-)=50V。 求 S闭
合后电容电压和电流的变化规律 。
解 用三要素法求解,
(1) 画 t=0- 时的等效电路, 如图 8.26(b)所示 。 由题意已知
uC(0-)=50V。
(2) 画 t=0+时的等效电路,如图 8.26 (c)所示 。 由换路定律
可得 uC(0+)=uC(0-)=50V 。
(3) 画 t=∞时的等效电路,如图 8.26(d)所示。
VRRR Uu sC 1 6 04 0 04 0 01 0 0 2 0 0)( 2
21
???????
第 8章 线性电路的过渡过程
(4) 求电路时间常数 τ
sCR
RR
RR
R
01.01012580
80
400100
400100
6
0
21
21
0
?????
??
?
?
?
?
?
??
(5) 由公式 (8.30)得
Vee
euuutu
t
t
t
CCCC
10 001.0 1 1 01 6 0)1 6 050(1 6 0
)]()0([)()(
?
?
?
?
?????
????? ?
Aedt tduCti tCC 1 003 7 5.1)()( ???
第 8章 线性电路的过渡过程
＋
－
U
s
R
1
R
2
C
u
C
( a )
i
C
S
＋
－
U
s
R
1
R
2
( b )
i
C
(0
－
)
u
C
(0
－
) = 50 V
＋
－
U
s
R
1
R
2
( c )
i
C
(0
＋
)
u
C
(0
＋
) = 50 V
＋
－
U
s
R
1
R
2
( d )
i ( ∞)
u
C
( ∞)
图 8.26 例 8.9图
第 8章 线性电路的过渡过程
0
i
C
t
160 V
i
C
u
C
u
C
1.375 A
50 V
图 8 - 2 7例 8.9波形图
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.10 电路如图 8.28所示,已知 R1=1Ω,R2=1Ω,R3=2Ω,
L=3H,t=0时开关由 a拨向 b,试求 iL和 i的表达式,并绘出波
形图 。 (假定换路前电路已处于稳态 。 )
解 (1) 画出 t=0- 时的等效电路,如图 8.28(b)所示 。 因
换路前电路已处于稳态,故电感 L相当于短路,于是
2/)0( RUi ABL ??
V
RR
RR
R
RR
RR
U AB
5
6
21
21
1
21
21
)3()3(
32
32
1
32
32
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
???
??? 2)0( RUi ABL
A
R
U
i ABL
5
6
1
5
6
)0(
2
??
?
???
第 8章 线性电路的过渡过程
(2) 由换路定律 )0()0(
?? ? iiL
得 Ai
L 5
6)0( ??
?
(3) 画出 t=0+时的等效电路,如图 8.28(c)所示,求 i(0+)。 对 3V
电源 R1,R3回路有
321 )0()0(3 RiRi ?? ??
对节点 A有 )0()0()0(
2 ??? ?? Liii
将上式代入回路方程,得
31 )]0()0([)0(3 RiiRi L ??? ???
即
Ai
ii
2.0)0(
2)]
5
6
()0([1)0(3
?
?
?
????
?
??
第 8章 线性电路的过渡过程
(4) 画出 t=∞时的等效电路, 如图 8.28(d)所示,求 iL(∞),
i(∞)。
A
RR
R
ii
A
RR
RR
R
i
L
2.1
21
2
8.1)()(
8.1
21
21
1
33
)(
32
3
32
32
1
?
?
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
??
第 8章 线性电路的过渡过程
(5) 画出电感开路时求等效内阻的电路,如图 8.28(e)所示。
??
?
???
?
??
3
5
21
211
31
21
20 RR
RRRR
于是有
s
R
L
8.1
5
9
3
5
3
0
?????
第 8章 线性电路的过渡过程
(6) 代入三要素法表达式,得
Ae
eeiiiti
t
tt
8.1
6.18.1
)8.12.0(8.1)]()0([)()( 8.1
?
??
????????
??
?
?
Ae
e
eiiiti
t
t
t
LLLL
8.1
4.22.1
)2.12.1(2.1
)]()0([)()(
8.1
?
??
????
?????
?
?
?
?
第 8章 线性电路的过渡过程
画出 i(t),iL(t)的波形,如图 8.28(f)所示。
R
1
A
B
R
2
R
3
LS
a
3 V
b
3 V
i
L
i
2
i
( a )
R
1 A
R
2
R
3
i (0
－
)
i
L
(0
－
)
i
2
(0
－
)3 V
B
( b )
t =0
第 8章 线性电路的过渡过程
R
1
A
R
2
R
3
i (0
＋
)
i
L
(0
＋
)
i
2
(0
＋
)
3 V
B
( c )
R
1
A
R
2
R
3
i (∞ ) i
L
(∞ )
i
2
(∞ )
3V
B
( d )
第 8章 线性电路的过渡过程
A
B
R
1 R
2
R
3
R
o
( e )
0 t
i
L
( t )
－ 1.2
0.2
1.2
1.8
i ( t )
i, i
L
/ A
( f )
图 8.28 例 8.10 图
第 8章 线性电路的过渡过程
*8.6 RLC串联电路的零输入响应
对于含有两个独立储能元件的电路叫二阶电路。
( t = 0)
L
Sa b
U
s
＋
－
C u
C
＋
－
u
L
＋
－
R
i
图 8.32 RLC 串联电路的过渡过程
第 8章 线性电路的过渡过程
2
2
dt
id
L
dt
di
R
dt
du
dt
di
LRiu
C
C
??
??
又由于 i=-C(duC/dt),即
C
i
dt
du C ??
代入上式得
012
2
??? i
LCdt
di
L
R
dt
id
第 8章 线性电路的过渡过程
为简化表达式,令 2
0
1,
2 ?? ?? LCL
R,并且称 δ为衰减系数,
ω0为回路谐振角频率,于是有
ptpt Aep
dt
idAep
dt
id ???? 2
2
2
2
2
,
2
0
2
2,1
2
0
2 02
???
??
????
???
p
pp
又令
2
0
2 ?? ??a
,则有
??? ?????
?
??
?
??
2,1
2
,12 pLCLR
第 8章 线性电路的过渡过程
tpp eAei t 21 ??
L
U
dt
di
dt
diLU s
ts t ?? ?? 00 或
??
?
?
?
??
??
BpAp
L
U
BA
s
21
0
?
?
?
??
?
?
??
?
L
U
B
L
U
A
s
s
?
?
2
2
（ 8.33）
第 8章 线性电路的过渡过程
再将 A,B代入式 (8.33)得
)(
2
22
21
ttts
tpstps
eee
L
U
i
e
L
U
e
L
U
i
???
?
??
??
??
??
LCL
R 1
2
2
2
0
2 ??
?
??
?
???? ???
由于 α的取值不同,则会有三种情况,
000,,?????? ???
或
C
LR
C
LR
C
LR 2,2,2 ???
第 8章 线性电路的过渡过程
下面分三种情况进行讨论。
1) 非振荡放电过程 )(/2
0?? ?? 或CLR
tshe
L
U
i
tsh
ee
ee
e
L
U
i
ts
tt
tt
ts
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
2
2
第 8章 线性电路的过渡过程
tO
i
i
sh αt
U
s
αL
e
－ δ t
图 8.33 过阻尼放电情况曲线
第 8章 线性电路的过渡过程
2) (或 δ<ω0)
CLR /2?
?? jp ???2,1
因为 则若令,,
220202 ?????? ????
???? j????? )()1( 220
???
?
???
? ?
????
?
?
?
?
j
eee
L
Ueee
Lj
Ui tjtjtstjtjts
22
??
?
??
?
??
第 8章 线性电路的过渡过程
te
L
U
i
t
j
ee
ts
tjtj
?
?
?
?
??
s i n
s i n
2
??
?
?
?
?由于
所以
第 8章 线性电路的过渡过程
( b )
tO
tO
( c )
i
s i n ?? t
tO
( a )
U
s
αL
e
－ δ t
图 8.34 欠阻尼振荡放电曲线
2
0
20,/2,???? ????? 时即若 CLR
此时，
LCfLC ??? 2
11
0 ??? 或
第 8章 线性电路的过渡过程
3)
在这种情况下,p1=p2=-δ,得到重根,有
i=e-δt(C1t+C2)
由初始条件 t=0时 i=0,得 C2=0。
又由
)(/2 0?? ?? 或CLR
得LUdtdi st ?? 0
0121
])([
?
?? ????
t
tts eCCtCe
L
U ???
第 8章 线性电路的过渡过程
te
L
U
i
C
L
U
ts
s
??
?
? ?
1
即
所以回路方程为
tO
i
t
m a x
I
m a x
图 8.35 临界阻尼情况电流波形
第 8章 线性电路的过渡过程
? ? 0????
?
??
?
? ??? ttsts tee
L
Ute
L
U
dt
d ??? ?
解得
?
?
1
1
1
m a x
m a x
???
?
?
e
L
U
I
t
s
由于
故,368.0,2 1 ?? ?eLR?
R
UI s7 3 6.0
m a x ?
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.11 如图 8.32所示电路,已知 L=50mH,C=100F,
Us=1000V,
(1) 电容放电为非振荡放电时,R应为多大?
(2) R=0.4Ω时,电路的振荡频率和衰减系数 δ。
（ 3） 电路处于临界状态时的最大电流 Imax。
解 (1) 非振荡放电状态,就是过阻尼放电状态,此
时 。 由已知条件得CLR /2?
??
?
???
?
?
7.44
10100
105022
6
3
C
LR
可见,要使电容处于过阻尼放电状态,R必须大于 44.7Ω
第 8章 线性电路的过渡过程
(2) 当 R=0.4Ω时,,为振荡放
电状态,由于,
,7.44/2 ??? CLR
220 ??? ??
s
LC
/21.447
101001050
11
630
?
???
??
??
?
sLR /4110502 4.02 3 ????? ??
因 δ<<ω0,所以
ω≈ω0=447.2 1/s
第 8章 线性电路的过渡过程
(3) 电路处于临界放电状态,即临界阻尼状态,R=44.7Ω。
AIRUI s 5.167.441 0 0 07 3 6.07 3 6.0 m a xm a x ???? 得由
8.1 换路定律与初始条件
8.2 一阶电路的零输入响应
8.3 一阶电路的零状态响应
8.4 一阶电路的全响应
8.5 一阶电路的三要素法
*8.6 RLC 串联电路的零输入响应
第 8章 线性电路中的过渡过程
第 8章 线性电路的过渡过程
8.1 换路定律与初始条件
8.1.1
＋
－
S
U
s
CLR
L
1
L
2
L
3
图 8.1 过渡过程演示电路图
第 8章 线性电路的过渡过程
在电路理论中,通常把电路状态的改变 （ 如通电, 断电,
短路, 电信号突变, 电路参数的变化等 ）,统称为换路 。
换路是外因,电路中有储能元件 （ 也叫动态元件 ） 是内
因 。
第 8章 线性电路的过渡过程
8.1.2 换路定律
1,具有电感的电路
)0()0( ?? ? LL ii
2,具有电容的电路
)0()0( ?? ? CC uu
第 8章 线性电路的过渡过程
8.1.3
换路后的最初一瞬间（即 t=0+时刻）的电流、电压值,
统称为初始值。
第 8章 线性电路的过渡过程
S
U
s
＋
－
C u C
i
C
R
1
i
1
R
2
i
2
( a )
U
s
＋
－
C
u
C
(0
＋
)
i
C
(0
＋
)
R
1
i
1
(0
＋
)
R
2
i
2
(0
＋
)
( b )
例 8.1 图 8.2（ a） 所示电路中,已知 Us=12V,R1=4kΩ,
R2=8kΩ,C=1μF,开关 S原来处于断开状态,电容上电压
uC(0-)=0。 求开关 S闭合后,t=0+时,各电流及电容电压的
数值 。
图 8.2 例 8.1
(a) 电原理图； (b) t=0+时的等效电路
第 8章 线性电路的过渡过程
解 选定有关参考方向如图所示 。
(1) 由已知条件可知, uC(0-)=0。
(2) 由换路定律可知, uC(0+)=uC(0-)=0。
(3) 求其它各电流, 电压的初始值 。 画出 t=0+时刻的等效
电路,如图 8.1（ b） 所示 。 由于 uC(0+)=0,所以在等效电路中
电容相当于短路 。 故有
mA
R
U
i
RR
u
i
s
C
3
104
12
)0(
,0
0)0(
)0(
3
1
1
22
2
?
?
??
???
?
?
?
由 KCL有 iC(0+)=i1（ 0+） -i2（ 0+） =3-0=3mA。
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.2 如图 8.3（ a） 所示电路,已知 Us=10V,R1=6Ω,
R2=4Ω,L=2mH,开关 S原处于断开状态 。 求开关 S闭合后
t=0+时,各电流及电感电压 uL的数值 。
S
U
s
＋
－
i
3
R
1
i
1
R
2
i
2
( a )
U
s
＋
－
i
3
(0
＋
)
R
1
i
1
(0
＋
)
R
2
i
2
(0
＋
)
( b )
i
L
(0
＋
) = 1 A
u
L
(0
＋
)
L
u
L
图 8.3 例 8.2
(a) 电原理图； (b) t=0+时的等效电路
第 8章 线性电路的过渡过程
解 选定有关参考方向如图所示 。
(1) 求 t=0-时电感电流 iL(0-)。
由原电路已知条件得
0)0(
1
46
10
)0()0()0(
3
21
21
?
?
?
?
?
???
?
???
i
A
RR
U
iii sL
(2) 求 t=0+时 iL(0+)。
由换路定律知
Aii LL 1)0()0( ?? ??
第 8章 线性电路的过渡过程
(3) 求其它各电压, 电流的初始值 。 画出 t=0+时的等效
电路如图 8.3（ b） 所示 。 由于 S闭合,R2被短路,则 R2两端电
压为零,故 i2(0+)=0。
由 KCL有
Aiiii 1)0()0()0()0( 1213 ???? ????
由 KVL有
VRiUU
uRiU
sL
Ls
46110)0()0(
)0()0(
11
11
??????
??
??
??
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.3 如图 8.4（ a） 所示电路,已知 Us=12V,R1=4Ω,
R2=8Ω,R3=4Ω,uC（ 0-） =0,iL（ 0-） =0,当 t=0时开关 S闭合 。
求当开关 S闭合后,各支路电流的初始值和电感上电压的初
始值 。
S
U
s L u
L
i
L
R
1
i
R
2
u
C
C
i
C
R
3
U
s
u
L
(0
＋
)
R
1 R
2
u
C
(0
＋
)C
i
C
(0
＋
)
R
3
i (0
＋
) i
L
(0
＋
)
( a )
( b )
图 8.4 例 8.3电路图
(a) 电原理图； (b) t=0+时的等效电路
第 8章 线性电路的过渡过程
解 (1) 由已知条件可得
0)0(,0)0( ?? ?? LC iu
(2) 求 t=0+时,uC(0+)和 iL（ 0+） 的值 。
由换路定律知
0)0()0(,0)0()0( ???? ???? LLCC iiuu
（ 3） 求其它各电压电流的初始值。
VRiu
A
RR
U
ii
CL
s
C
881)0()0(
1
84
12
)0()0(
2
21
????
?
?
?
?
??
??
??
第 8章 线性电路的过渡过程
8.2 一阶电路的零输入响应
只含有一个储能元件的电路称为一阶电路。
8.2.1 RC串联电路的零输入响应
U
s
＋
－
u
C
(0 )
R
( a )
＋
－
1
2
C
R
C
u
R
S
( b )
u
C
V
S
U
O
i
i
图 8.7 一阶 RC
(a) 电路图； (b) 换路瞬间等效电路
第 8章 线性电路的过渡过程
根据 KVL,uR=uC=Ri,而 i=-C(duC/dt)(式中负号表明 iC与
uC的参考方向相反 )。 将 i=-C(duC/dt)代入 uC=Ri得
RC
t
pt
C
pt
ptpt
pt
C
C
AeAeu
RC
p
R C p
AeR C p
AeR C p A e
Aeu
uc
dt
du
RC
?
??
??
??
??
??
?
??
1
01
0)1(
0
0
第 8章 线性电路的过渡过程
由换路定律知,uC(0+)=uC(0-)=U0,即
将 A=U0代入式 （ 8.6）,得
.000 AAeAeU RC ??? ?
RC
t
C eUu
??
0
RCC e
R
U
R
ui 10 ???
τ的数值大小反映了电路过渡过程的快慢,故把 τ叫 RC
电路的时间常数。
第 8章 线性电路的过渡过程
0
U
0
u
C
t
( a )
0
i
t
( b )
U
0
R
图 8.8 一阶 RC电路的零输入响应波形
(a) uC波形； (b) i波形
第 8章 线性电路的过渡过程
表 8.1 电容电压及电流随时间变化的规律
t i
0 e0=1
τ
2τ
3τ
4τ
5τ
… … … …
∞ 0 0
?
te?
368.01 ??e
13 5.02 ??e
05 0.03 ??e
01 8.04 ??e
00 7.05 ??e
??e
Cu
0U
0368.0 U
0135.0 U
0050.0 U
0018.0 U
0007.0 U
R
U0
R
U0368.0
R
U0135.0
R
U0050.0
R
U0018.0
R
U0007.0
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.4 供电局向某一企业供电电压为１０ kV,在切断电源
瞬间,电网上遗留有 的电压 。 已知送电线路长
L=30km,电网对地绝缘电阻为 500MΩ,电网的分布每千米电容
为 C0=0.008 μF/km,
(1) 拉闸后 1分钟,电网对地的残余电压为多少？
(2) 拉闸后 10分钟,电网对地的残余电压为多少？
解 电网拉闸后,储存在电网电容上的电能逐渐通过对地
绝缘电阻放电,这是一个 RC串联电路的零输入响应问题 。
由题意知,长 30 km 的电网总电容量为
KV210
FFLCC 70 104.224.030008.0 ???????? ?
第 8章 线性电路的过渡过程
?
?
t
C
eUtu
kVU
sRC
MR
?
?
?
?
??????
?????
0
0
78
8
)(
210
1 2 0104.2105
1055 0 0
Vesu
kVVesu
C
C
3.9510210)6 0 0(
6.88 5 7 610210)60(
12 0
60 0
3
12 0
60
3
???
????
?
?
放电电阻为
时间常数为
电容上初始电压为
在电容放电过程中,电容电压 (即电网电压 )的变化规律为
故
第 8章 线性电路的过渡过程
8.2.2 ＲＬ 串联电路的零输入响应
S
u
R
U
s
＋
－
R
1
A
R
Lu
L
＋
－
＋
－
i
L
图 8.9 一阶 RL电路的零输入响应
第 8章 线性电路的过渡过程
由 KVL得
0?? LR uu
而 uR=iLR,uL=L(diL/dt)。故
?
?
?
t
L
L
t
LR
t
L
L
L
L
I
dt
di
Lu
IRiu
eIi
i
dt
di
R
L
dt
di
LRi
?
?
?
???
??
?
??
??
Re
Re
0
0
0
0
0
或
第 8章 线性电路的过渡过程
0
I
0
i
L
t
( a )
0
I
0
R
u
R
t
( b )
0
－ I
0
R
u
L
t
( c )
图 8.10 一阶 RL电路的零输入响应波形
(1) 一阶电路的零输入响应都是按指数规律随时间变
化而衰减到零的。
(2) 零输入响应取决于电路的初始状态和电路的时间
常数。
第 8章 线性电路的过渡过程
8.3 一阶电路的零状态响应
若在一阶电路中,换路前储能元件没有储能,即 uC（ 0-）,
iL（ 0-）都为零,此情况下由外加激励而引起的响应叫做零
状态响应。
8.3.1 RC串联电路的零状态响应
S
u
R
u
C
C
i
R
U
s
图 8.12 RC电路的零状态响应
第 8章 线性电路的过渡过程
由 KVL有
sCR Uuu ??
将各元件的伏安关系 uR=iR和
(8.11) 得 dt
duCi C?
sC
C Uu
dt
duRC ??
?
t
C
sC
CCC
Aeu
Uu
uuu
?
?
?
??
"
'
"'
（ 8.11）
(8.12)
(8.13)
(8.14)
(8.15)
上式中 τ=RC。
第 8章 线性电路的过渡过程
将式（ 8.14）、（ 8.15）代入式（ 8.13）,得
?
t
sCCC AeUuuu
????? "'
0)0()0( ?? ?? CC uu
s
sss
UA
AUAeUAeU
??
??????
? 0
0
0 ?
于是
?
t
ssC eUUu
???
式中,Us为电容充电电压的最大值,称为稳态分量或强迫分量。
第 8章 线性电路的过渡过程
是随时间按指数规律衰减的分量，称为暂态分量
或自由分量。
?
t
seU
?
)1( ?
t
sC eUu
???
??
tt
sRC
s
RC
t
ss
C
eIe
R
U
eU
RC
C
eUU
dt
d
C
dt
du
Ci
???
?
???
?
?
?
?
?
???
???
0
1
)(
1
)(
??
t
s
t
s
R eUReR
U
iRu
??
???
。
第 8章 线性电路的过渡过程
图 8.13 RC 电路的零状态响应曲线
0
u
R
t
U
s
u
R
i
U
s
R
0
u
C
t
U
s
( a )
( b )
i
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.5 如图 8.14(a） 所示电路,已知 Us=220V,R=200Ω,
C=1μF,电容事先未充电,在 t=0时合上开关 S。
(1） 时间常数 ;
（ 2） 最大充电电流 ;
（ 3） uC,uR和 i的表达式 ;
（ 4） 作 uC,uR和 i随时间的变化曲线 ;
（ 5） 开关合上后 1ms时的 uC,uR和 i的值 。
第 8章 线性电路的过渡过程
解 （ 1） 时间常数
ssRC ?? 200102101200 46 ??????? ??
（ 2） 最大充电电流
ARUi s 1.1200220m a x ???
（ 3） uC,uR,i的表达式为
Aeee
R
U
i
VeeUu
VeeeUu
t
tt
s
t
t
sR
t
tt
sC
3
3
34
105
105
105102
1.1
2 0 0
2 2 0
2 2 0
)1(2 0 0)1(2 0 0)1(
??
??
??
?
???
??
???
??
??????
?
??
?
?
第 8章 线性电路的过渡过程
（ 4） 画出 uC,uR,i的曲线如图 8.14(b)所示 。
S
u
R
u
CC
i
R
0
i / A
t
220 V
u
R
i
U
s
＋
－
( a )
( b )
u
C
1.1 A
u
C
u
R
/V
，
图 8.14 例 8.5 图
第 8章 线性电路的过渡过程
（ 5） 当 时smst 3101 ???
Aei
Veu
Veeu
R
C
0 0 7 7.00 0 7.01.11.1
5.10 0 7.02 2 02 2 0
5.2 1 8)0 0 7.01(2 2 0)1(2 2 0)1(2 2 0
33
33
33
10105
10105
510105
????
????
???????
?
?
?
???
???
????
第 8章 线性电路的过渡过程
8.3.2 RL串联电路的零状态响应
S
u
L
i
L
R
U
s
＋
－
L
A
u
R
.
图 8.15 一阶 RL电路零状态响应电路
第 8章 线性电路的过渡过程
由 KVL有, uR+uL=Us。
根据元件的伏安关系得
sL Udt
diLRi ??
即
R
Ui
dt
di
R
L s
L
L ??
?
t
s
L AeR
Ui ???
0)0( ????? ?? ARUAeRUi s
t
s
L
?
(8.22)
第 8章 线性电路的过渡过程
即
R
UA s??
将 A=-Us/R 代入式 (8.22),得
)1( ??
tt
ss
L eIeR
U
R
Ui ?? ????
式中,I=Us/R。
求得电感上电压为
???
?
?
t
s
t
s
t
t
L
eUe
R
U
L
R
LIeL
eI
dt
d
L
dt
di
Lu
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
1
)]1([
)1()1( ??
t
s
t
LR eUeRIRiu
?? ?????
第 8章 线性电路的过渡过程
0
i
L
t
( a )
0 t
u
R
( b )
u
L
U
s
U
s
R
u
L
u
R,
图 8.16 一阶 RL电路零状态响应波形
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.5 如图 8.14(a） 所示电路,已知 Us=220V,R=200Ω,
C=1μF,电容事先未充电,在 t=0时合上开关 S。
(1） 时间常数 ;
（ 2） 最大充电电流 ;
（ 3） uC,uR和 i的表达式 ;
（ 4） 作 uC,uR和 i随时间的变化曲线 ;
（ 5） 开关合上后 1 ms时的 uC,uR和 i的值 。
第 8章 线性电路的过渡过程
解 （ 1） 时间常数
ssRC ?? 200102101200 46 ??????? ??
（ 2） 最大充电电流
ARUi s 1.1200220m a x ???
（ 3） uC,uR,i的表达式为
Aeee
R
U
i
VeeUu
Ve
t
eeUu
t
t
s
t
sR
t
t
sC
t
t
3
3
3
105
105
105
4
1.1
2 0 0
2 2 0
2 2 0
)1(2 2 0)
102
1(2 2 0)1(
??
?
??
??
?
?
???
??
??
?
????
?
?
?
?
?
?
第 8章 线性电路的过渡过程
（ 4） 画出 uC,uR,i的曲线如图 8.14(b)所示。
S
u
R
u
CC
i
R
0
i / A
t
220 V
u
R
i
＋
－
( a )
u
C
1.1 A
u
C
u
R
/V
，
图 8.14 例 8.5 图
（ b）
第 8章 线性电路的过渡过程
（ 5） 当 t=1ms=10-3s 时
Aeee
R
U
i
Veu
Veeu
t
t
s
R
C
t
3
33
33
105
10105
510105
1.1
2 0 0
2 2 0
5.10 0 7.02 2 02 2 0
5.2 1 8)0 0 7.01(2 2 0)1(2 2 0)1(2 2 0
??
?
???
????
???
????
???????
?
?
?
?
?
第 8章 线性电路的过渡过程
8.3.2 RL串联电路的零状态响应
S
u
L
i
L
R
U
s
＋
－
L
A
u
R
.
图 8.15 一阶 RL电路零状态响应电路
第 8章 线性电路的过渡过程
由 KVL有, uR+uL=Us。
根据元件的伏安关系得
s
L
L Udt
diLRi ??
即
R
Ui
dt
di
R
L s
L
L ??
?
t
s
L AeR
Ui ???
0)0( ????? ?? ARUAeRUi s
t
s
L
?
(8.22)
第 8章 线性电路的过渡过程
即
R
UA s??
将 A=-Us/R 代入式 (8.22),得
)1(
t-
??
t
ss
L eIeR
U
R
Ui ?????
式中,I=Us/R。
求得电感上电压为
)1()1(
1
)]1([
??
???
?
?
tt
ttt
eUeRIRiu
eUe
R
U
L
R
LIeL
eI
dt
d
L
dt
di
Lu
sLR
s
s
t
L
L
??
???
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
第 8章 线性电路的过渡过程
0
i
L
t
( a )
0 t
u
R
( b )
u
L
U
s
U
s
R
u
L
u
R,
图 8.16 一阶 RL电路零状态响应波形
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.6 图 8.17所示电路为一直流发电机电路简图,已知
励磁电阻 R=20Ω,励磁电感 L=20H,外加电压为 Us=200V,试
（ 1） 当 S闭合后,励磁电流的变化规律和达到稳态值所
需的时间 ;
(2) 如果将电源电压提高到 250V,求励磁电流达到额定
值的时间 。
第 8章 线性电路的过渡过程
S
i
L
R
U
s
＋
－
L
G
图 8.17 例 8.6图
第 8章 线性电路的过渡过程
解 (1） 这是一个 RL零状态响应的问题,由 RL串联电路的
分析知,
)1( ?
t
s
L eR
Ui ???
式中 Us=200 V,R=20 Ω,τ=L/R=20/20=1s,所以
Aeei t
t
L )1(10)1(20
200 ?? ???? ?
一般认为当 t=（ 3～ 5） τ时过渡过程基本结束,取 t=5τ,则
合上开关 S后,电流达到稳态所需的时间为 5秒 。
第 8章 线性电路的过渡过程
（ 2） 由上述计算知使励磁电流达到稳态需要 5秒钟时间。
st
e
eeti
t
t
t
6.1
)1(5.1210
)1(5.12)1(
20
250
)(
?
??
????
?
?
?
?
第 8章 线性电路的过渡过程
0
i
L
/ A
t / s
10
1 2,5
1,6 5
图 8.18 强迫励磁法的励磁电流波形
第 8章 线性电路的过渡过程
8.4 一阶电路的全响应
当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时,电路中
所产生的响应叫做一阶电路的全响应 。
S
i
u
C
R
U
s
U
o
t = 0
＋
－
＋
－
图 8.19 一阶 RC电路的全响应
第 8章 线性电路的过渡过程
由 KVL有
sC
C
sCR Uudt
duRCUuu ???? 或
RC
t
sCCC AeUuuu
????? "'
由初始条件,uC(0+)=uC(0-)=U0,代入上式有 U0=Us+A,即
A=U0-Us。 所以,电容上电压的表达式为
?
t-
0 )( eUUUu ssC ???
由式 （ 8.26） 可见,Us为电路的稳态分量,
为电路的暂态分量,
全响应 =稳态分量 +暂态分量
?
t
s eUU
?? )(
0
(8.26)
第 8章 线性电路的过渡过程
有三种情况, (a) U0<Us,(b) U0=Us,(c) U0>Us
0
u
C
t
U
s
U
0
U
0
－ U
s
稳态分量
全响应
暂态分量
u
C
t
全响应= 稳态分
量
0
u
C
t
全响应
0
U
0
= U
s
稳态分量
U
0
－ U
s
U
0
U
s
暂态分量
图 8.20 一阶 RC电路全响应曲线
第 8章 线性电路的过渡过程
电路中的电流为
?
t
sC e
R
UU
dt
duCi ???? 0
??
tt
sC eUeUu
?? ???
0)1(
上式中 是电容初始值电压为零时的零状态响
应,是电容初始值电压为 U0时的零输入响应 。 故又
有
)1( ?
t
s eU
??
?
t
eU ?0
全响应 =零状态响应 +零输入响应
R
eU
e
R
U
i s
?
?
t
-
0
t
- ?
??
(8.27)
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.7 图 8.21所示电路中,开关 S断开前电路处于稳态 。
设已知 Us=20V,R1=R2=1kΩ,C=1μF。 求开关打开后,uC和 iC
的解析式,并画出其曲线 。
S
R
2
C
i
1
i
C
R
1
t = 0
U
s
＋
－
＋
u
C
－
i
2
图 8.21 例 8.7图
第 8章 线性电路的过渡过程
解 选定各电流电压的参考方向如图所示 。
因为换路前电容上电流 iC（ 0-） =0,故有
mAA
RR
U
ii
s
101010
1010
20
)0()0(
3
33
21
21
???
?
?
?
??
?
??
换路前电容上电压为
VRiu C 101011010)0()0( 3322 ?????? ???
即 U0=10V。
第 8章 线性电路的过渡过程
由于 Uo<Us,所以换路后电容将继续充电,其充电时间常
数为
mssCR 110101101 3631 ??????? ???
将上述数据代入式 (8.26),(8.27),得
mAeAeee
R
UU
i
VeeeUUUu
tts
C
t
tt
ssC
tt
1 0 0 01 0 0 00
1 0 0 010
0
1001.0
1000
1020
1020)2010(20)(
3
10
3
??
?
??
??
?
?
?
?
????????
?
??
?
?
?
第 8章 线性电路的过渡过程
uC,iC随时间的变化曲线如图 8.22所示。
0
u
C
/ V
20
( a )
10
1 2 43 0
i
C
/ m A
( b )
10
1 2 43
t / m s
t / m s
图 8.22 例 8.7 uC,iC随时间变化曲线
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.8 如图 8.23(a)所示电路,已知 Us=100V,R0=150Ω,
R=50Ω,L=2H,在开关 S闭合前电路已处于稳态,t=0时将开关 S
闭合,求开关闭合后电流 i和电压 UL的变化规律 。
＋
－
U
s
R
0
R
L
i (0
＋
) = I
o
u
L
S
( a )
L
u
L
R
i (0
＋
) = 0
L
u
L
R
( b )
( c )
＋
－
U
s
i
图 8.23 例 8.8
(a) 电路图； (b) 零输入； (c) 零状态
第 8章 线性电路的过渡过程
解法 1 全响应 =稳态分量 +
开关 S 闭合前电路已处于稳态,故有
0)0(
5.0
1 501 50
1 00)0(
0
0
?
?
?
?
?
??
?
?
L
s
u
A
RR
UIi
当开关 S 闭合后,R0被短路,其时间常数为
A
R
U
i
s
R
L
s
2
50
1 0 0
04.0
50
2
'
???
????
电流的稳态分量为
第 8章 线性电路的过渡过程
t
T
AeAei 25" ?? ?? ?电流的暂态分量为
全响应为
tAeiiti 25"' 2)( ?????
由初始条件和换路定律知
Aii 5.0)0()0( ?? ??
0
2525.0
?
???
t
tAe
Vee
dt
d
dt
di
Lu
Aeti
AA
tt
L
t
2525
25
75)5.12(2
5.12)(
5.1,25.0
??
?
????
??
????
故
即
所以
第 8章 线性电路的过渡过程
解法 2 全响应 =零输入响应 +
电流的零输入响应如图 8.23 (b)所示,i(0+)=I0=0.5A。 于
是
AeeIi t
t
25
0 5.0
?? ?? ?
电流的零状态响应如图 8.23 (c)所示,i(0+)=0。所以
AeeRUi t
t
s 25" 22)1( ?? ???? ?
全响应
Vee
dt
d
dt
di
Lu
Aeeeiii
tt
L
ttt
2525
252525"'
75)5.12(2
5.12225.0
??
???
????
???????
第 8章 线性电路的过渡过程
8.5
稳态值,初始值和时间常数,我们称这三个量为一阶电
路的三要素,由三要素可以直接写出一阶电路过渡过程的
解 。 此方法叫三要素法 。
设 f（ 0+） 表示电压或电流的初始值, f（ ∞） 表示电
压或电流的新稳态值,τ表示电路的时间常数,f（ t） 表示要
求解的电压或电流 。 这样,电路的全响应表达式为
?
t
effftf ?? ????? )]()0([)()( （ 8.30）
第 8章 线性电路的过渡过程
表 8.2
名 称 微分方程之解 三要素表示法
RC电路的零输入响
应
直流激励下 RC电路
的零状态响应
?
??
t
e
R
U
i
RCeUu
t
C
?
?
??
?
0
0 )(
?
?
t
e
R
U
i
eeUu
s
t
sC
?
?
??
?
)1(
?
t
eftf ??? )0()(
?
?
t
t
eftf
eftf
?
?
?
?
???
)0()(
)1)(()(
第 8章 线性电路的过渡过程
名 称 微分方程之解 三要素表示法
直流激励下 RL电路的零
状态响应
RL电路的零输入响应
一阶 RC电路的全响应
表 8.2
?
? ?
t
sL
t
eUu
R
L
eIi
?
?
?
??? ))(1(
?
?
t
L
t
eRIu
eIi
?
?
??
?
0
0
?
?
t
s
t
ssC
e
R
UU
i
eUUUu
?
?
?
?
???
0
0 )(
?
?
t
eftf
eftf
t
?
?
?
?
???
)0()(
)1)(()(
?
t
eftf ??? )0()(
?
?
t
t
eftf
effftf
?
?
?
?
?
?????
)0()(
)]()0([)()(
第 8章 线性电路的过渡过程
下面归纳出用三要素法解题的一般步骤,
(1) 画出换路前 （ t=0-） 的等效电路 。 求出电容电压 uC（ 0-）
或电感电流 iL(0-)。
(2) 根据换路定律 uC(0+)=uC(0-),iL(0+)=iL(0-),画出换路瞬间
（ t=0+） 时的等效电路,求出响应电流或电压的初始值 i(0+)或
u(0+),即 f(0+)。
(3) 画出 t=∞时的稳态等效电路 （ 稳态时电容相当于开路,
电感相当于短路 ）,求出稳态下响应电流或电压的稳态值 i(∞)
或 u(∞),即 f(∞)。
(4) 求出电路的时间常数 τ。 τ=RC或 L/R,其中 R值是换路后
断开储能元件 C或 L,由储能元件两端看进去,用戴维南或诺顿
等效电路求得的等效内阻 。
(5) 根据所求得的三要素,代入式 (8.30)即可得响应电流或
电压的动态过程表达式。
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.9 如图 8.26（ a） 所示电路,已知 R1=100Ω,R2=400Ω,
C=125μF,Us=200V,在换路前电容有电压 uC(0-)=50V。 求 S闭
合后电容电压和电流的变化规律 。
解 用三要素法求解,
(1) 画 t=0- 时的等效电路, 如图 8.26(b)所示 。 由题意已知
uC(0-)=50V。
(2) 画 t=0+时的等效电路,如图 8.26 (c)所示 。 由换路定律
可得 uC(0+)=uC(0-)=50V 。
(3) 画 t=∞时的等效电路,如图 8.26(d)所示。
VRRR Uu sC 1 6 04 0 04 0 01 0 0 2 0 0)( 2
21
???????
第 8章 线性电路的过渡过程
(4) 求电路时间常数 τ
sCR
RR
RR
R
01.01012580
80
400100
400100
6
0
21
21
0
?????
??
?
?
?
?
?
??
(5) 由公式 (8.30)得
Vee
euuutu
t
t
t
CCCC
10 001.0 1 1 01 6 0)1 6 050(1 6 0
)]()0([)()(
?
?
?
?
?????
????? ?
Aedt tduCti tCC 1 003 7 5.1)()( ???
第 8章 线性电路的过渡过程
＋
－
U
s
R
1
R
2
C
u
C
( a )
i
C
S
＋
－
U
s
R
1
R
2
( b )
i
C
(0
－
)
u
C
(0
－
) = 50 V
＋
－
U
s
R
1
R
2
( c )
i
C
(0
＋
)
u
C
(0
＋
) = 50 V
＋
－
U
s
R
1
R
2
( d )
i ( ∞)
u
C
( ∞)
图 8.26 例 8.9图
第 8章 线性电路的过渡过程
0
i
C
t
160 V
i
C
u
C
u
C
1.375 A
50 V
图 8 - 2 7例 8.9波形图
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.10 电路如图 8.28所示,已知 R1=1Ω,R2=1Ω,R3=2Ω,
L=3H,t=0时开关由 a拨向 b,试求 iL和 i的表达式,并绘出波
形图 。 (假定换路前电路已处于稳态 。 )
解 (1) 画出 t=0- 时的等效电路,如图 8.28(b)所示 。 因
换路前电路已处于稳态,故电感 L相当于短路,于是
2/)0( RUi ABL ??
V
RR
RR
R
RR
RR
U AB
5
6
21
21
1
21
21
)3()3(
32
32
1
32
32
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
???
??? 2)0( RUi ABL
A
R
U
i ABL
5
6
1
5
6
)0(
2
??
?
???
第 8章 线性电路的过渡过程
(2) 由换路定律 )0()0(
?? ? iiL
得 Ai
L 5
6)0( ??
?
(3) 画出 t=0+时的等效电路,如图 8.28(c)所示,求 i(0+)。 对 3V
电源 R1,R3回路有
321 )0()0(3 RiRi ?? ??
对节点 A有 )0()0()0(
2 ??? ?? Liii
将上式代入回路方程,得
31 )]0()0([)0(3 RiiRi L ??? ???
即
Ai
ii
2.0)0(
2)]
5
6
()0([1)0(3
?
?
?
????
?
??
第 8章 线性电路的过渡过程
(4) 画出 t=∞时的等效电路, 如图 8.28(d)所示,求 iL(∞),
i(∞)。
A
RR
R
ii
A
RR
RR
R
i
L
2.1
21
2
8.1)()(
8.1
21
21
1
33
)(
32
3
32
32
1
?
?
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
??
第 8章 线性电路的过渡过程
(5) 画出电感开路时求等效内阻的电路,如图 8.28(e)所示。
??
?
???
?
??
3
5
21
211
31
21
20 RR
RRRR
于是有
s
R
L
8.1
5
9
3
5
3
0
?????
第 8章 线性电路的过渡过程
(6) 代入三要素法表达式,得
Ae
eeiiiti
t
tt
8.1
6.18.1
)8.12.0(8.1)]()0([)()( 8.1
?
??
????????
??
?
?
Ae
e
eiiiti
t
t
t
LLLL
8.1
4.22.1
)2.12.1(2.1
)]()0([)()(
8.1
?
??
????
?????
?
?
?
?
第 8章 线性电路的过渡过程
画出 i(t),iL(t)的波形,如图 8.28(f)所示。
R
1
A
B
R
2
R
3
LS
a
3 V
b
3 V
i
L
i
2
i
( a )
R
1 A
R
2
R
3
i (0
－
)
i
L
(0
－
)
i
2
(0
－
)3 V
B
( b )
t =0
第 8章 线性电路的过渡过程
R
1
A
R
2
R
3
i (0
＋
)
i
L
(0
＋
)
i
2
(0
＋
)
3 V
B
( c )
R
1
A
R
2
R
3
i (∞ ) i
L
(∞ )
i
2
(∞ )
3V
B
( d )
第 8章 线性电路的过渡过程
A
B
R
1 R
2
R
3
R
o
( e )
0 t
i
L
( t )
－ 1.2
0.2
1.2
1.8
i ( t )
i, i
L
/ A
( f )
图 8.28 例 8.10 图
第 8章 线性电路的过渡过程
*8.6 RLC串联电路的零输入响应
对于含有两个独立储能元件的电路叫二阶电路。
( t = 0)
L
Sa b
U
s
＋
－
C u
C
＋
－
u
L
＋
－
R
i
图 8.32 RLC 串联电路的过渡过程
第 8章 线性电路的过渡过程
2
2
dt
id
L
dt
di
R
dt
du
dt
di
LRiu
C
C
??
??
又由于 i=-C(duC/dt),即
C
i
dt
du C ??
代入上式得
012
2
??? i
LCdt
di
L
R
dt
id
第 8章 线性电路的过渡过程
为简化表达式,令 2
0
1,
2 ?? ?? LCL
R,并且称 δ为衰减系数,
ω0为回路谐振角频率,于是有
ptpt Aep
dt
idAep
dt
id ???? 2
2
2
2
2
,
2
0
2
2,1
2
0
2 02
???
??
????
???
p
pp
又令
2
0
2 ?? ??a
,则有
??? ?????
?
??
?
??
2,1
2
,12 pLCLR
第 8章 线性电路的过渡过程
tpp eAei t 21 ??
L
U
dt
di
dt
diLU s
ts t ?? ?? 00 或
??
?
?
?
??
??
BpAp
L
U
BA
s
21
0
?
?
?
??
?
?
??
?
L
U
B
L
U
A
s
s
?
?
2
2
（ 8.33）
第 8章 线性电路的过渡过程
再将 A,B代入式 (8.33)得
)(
2
22
21
ttts
tpstps
eee
L
U
i
e
L
U
e
L
U
i
???
?
??
??
??
??
LCL
R 1
2
2
2
0
2 ??
?
??
?
???? ???
由于 α的取值不同,则会有三种情况,
000,,?????? ???
或
C
LR
C
LR
C
LR 2,2,2 ???
第 8章 线性电路的过渡过程
下面分三种情况进行讨论。
1) 非振荡放电过程 )(/2
0?? ?? 或CLR
tshe
L
U
i
tsh
ee
ee
e
L
U
i
ts
tt
tt
ts
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
2
2
第 8章 线性电路的过渡过程
tO
i
i
sh αt
U
s
αL
e
－ δ t
图 8.33 过阻尼放电情况曲线
第 8章 线性电路的过渡过程
2) (或 δ<ω0)
CLR /2?
?? jp ???2,1
因为 则若令,,
220202 ?????? ????
???? j????? )()1( 220
???
?
???
? ?
????
?
?
?
?
j
eee
L
Ueee
Lj
Ui tjtjtstjtjts
22
??
?
??
?
??
第 8章 线性电路的过渡过程
te
L
U
i
t
j
ee
ts
tjtj
?
?
?
?
??
s i n
s i n
2
??
?
?
?
?由于
所以
第 8章 线性电路的过渡过程
( b )
tO
tO
( c )
i
s i n ?? t
tO
( a )
U
s
αL
e
－ δ t
图 8.34 欠阻尼振荡放电曲线
2
0
20,/2,???? ????? 时即若 CLR
此时，
LCfLC ??? 2
11
0 ??? 或
第 8章 线性电路的过渡过程
3)
在这种情况下,p1=p2=-δ,得到重根,有
i=e-δt(C1t+C2)
由初始条件 t=0时 i=0,得 C2=0。
又由
)(/2 0?? ?? 或CLR
得LUdtdi st ?? 0
0121
])([
?
?? ????
t
tts eCCtCe
L
U ???
第 8章 线性电路的过渡过程
te
L
U
i
C
L
U
ts
s
??
?
? ?
1
即
所以回路方程为
tO
i
t
m a x
I
m a x
图 8.35 临界阻尼情况电流波形
第 8章 线性电路的过渡过程
? ? 0????
?
??
?
? ??? ttsts tee
L
Ute
L
U
dt
d ??? ?
解得
?
?
1
1
1
m a x
m a x
???
?
?
e
L
U
I
t
s
由于
故,368.0,2 1 ?? ?eLR?
R
UI s7 3 6.0
m a x ?
第 8章 线性电路的过渡过程
例 8.11 如图 8.32所示电路,已知 L=50mH,C=100F,
Us=1000V,
(1) 电容放电为非振荡放电时,R应为多大?
(2) R=0.4Ω时,电路的振荡频率和衰减系数 δ。
（ 3） 电路处于临界状态时的最大电流 Imax。
解 (1) 非振荡放电状态,就是过阻尼放电状态,此
时 。 由已知条件得CLR /2?
??
?
???
?
?
7.44
10100
105022
6
3
C
LR
可见,要使电容处于过阻尼放电状态,R必须大于 44.7Ω
第 8章 线性电路的过渡过程
(2) 当 R=0.4Ω时,,为振荡放
电状态,由于,
,7.44/2 ??? CLR
220 ??? ??
s
LC
/21.447
101001050
11
630
?
???
??
??
?
sLR /4110502 4.02 3 ????? ??
因 δ<<ω0,所以
ω≈ω0=447.2 1/s
第 8章 线性电路的过渡过程
(3) 电路处于临界放电状态,即临界阻尼状态,R=44.7Ω。
AIRUI s 5.167.441 0 0 07 3 6.07 3 6.0 m a xm a x ???? 得由
