第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.1 电阻的串联和并联
2.2 电阻的星形连接与三角形连接的等效变换
2.3 两种实际电源模型的等效变换
2.4 支路电流法
2.5
2.6 节点电压法
2.7 叠加定理
2.8 戴维南定理
*2.9 含受控源电路的分析
第 2章 直流电阻电路的分析计算
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.1.1 等效网络的定义
一个二端网络的端口
电压电流关系和另一个
二端网络的端口电压、
电流关系相同,这两个网
络叫做等效网络。
N
i
u
二端网络
2.1 电阻的串联和并联
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.1.2
在电路中,把几个电阻元件依次一个一个首尾连接起来,
中间没有分支,在电源的作用下流过各电阻的是同一电流。
这种连接方式叫做电阻的串联。
IRRRUUUU )( 321321 ??????
321 RRRR i ???
第 2章 直流电阻电路的分析计算
U
1
＋
－
＋
U
R
1
R
2
R
3
－
U
2＋ －
U
3＋ －
( a )
－
＋
U
R
1
＋ R
2
＋ R
3
( b )
I
b
a
b
a
I
图 2.2 电阻的串联
第 2章 直流电阻电路的分析计算
电阻串联时,各电阻上的电压为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
??
???
?
??
???
U
RRR
R
R
U
RIRU
U
RRR
R
R
U
RIRU
U
RRR
R
R
U
RIRU
i
i
i
321
3
333
321
2
222
321
1
111
（ 2.2）
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.1 如图 2.3所示,用一个满刻度偏转电流为 50μA,电阻
Rg为 2kΩ的表头制成 100V量程的直流电压表,应串联多大的附
加电阻 Rf
解 满刻度时表头电压为
附加电阻电压为 VIRU gg 1.0502 ????
VU f 9.991.01 0 0 ???
代入式（ 2.2）,得
100
2
9.99 ?
?
?
f
f
R
R
解得
?? kR f 1 9 9 8
第 2章 直流电阻电路的分析计算
＋
－
1 0 0 V
R
g
50 ? A
＋
－
U
g
＋
－
U
f
R
f
图 2.3
第 2章 直流电阻电路的分析计算
321 GGGG i ???
＋
－
U
I
G
1
G
2
G
3
I
3
I
1
( a )
＋
－
U
I
G
1
＋ G
2
＋ G
3
( b )
I
2
2.1.3 电阻的并联
(如图 2.4(b)所示 ),即
图 2.4 电阻的并联
第 2章 直流电阻电路的分析计算
并联电阻的电压相等,各电阻的电流与总电流的关系为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
???
I
GGG
G
I
I
GGG
G
I
I
GGG
G
G
GUGI
i
321
3
3
321
2
2
321
1
111
1
（ 2.4）
第 2章 直流电阻电路的分析计算
两个电阻 R1,R2并联
例 2.2 如图 2.5所示,用一个满刻度偏转电流为 50μA,电阻 Rg
为 2kΩ的表头制成量程为 50mA的直流电流表,应并联多大的分
流电阻 R2?
解 由题意已知,I1=50μA,R1=Rg=2000Ω,I=50mA,代入公式
(2.5)得
21
21
RR
RRR
i ??
3
2
2 1050
2000
50 ??
?
?
R
R
解得
?? 0 0 2.22R
第 2章 直流电阻电路的分析计算
50 m A I
2
50 ? A
R
2R
g
图2,5 例2,2图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.1.4 电阻的串、并联
电阻的串联和并联相结合的连接方式,称为电阻的串、并
联或混联。
例 2.3 进行电工实验时,常用滑线变阻器接成分压器电路来
调节负载电阻上电压的高低。图 2.6 中 R1和 R2是滑线变阻器,RL
是负载电阻。已知滑线变阻器额定值是 100Ω,3A,端钮 a,b上
输入电压 U1=220V,RL=50Ω。试问,
（ 1）当 R2=50Ω时,输出电压 U2
（ 2）当 R2=75Ω时,输出电压 U2是多少？滑线变阻器能否安
全工作？
第 2章 直流电阻电路的分析计算
＋
－
U
1
I
1
U
2
a
b
R
1
R
2
I
2
＋
－
R
L
图2,6 例2,3图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
解 （ 1） 当 R2=50Ω时,Rab为 R2和 RL并联后与 R1串联而成,故
端钮 a,b的等效电阻
??
?
???
?
?? 75
5050
505050
2
2
1
L
L
ab RR
RRRR
滑线变阻器 R1段流过的电流
A
R
UI
ab
93.2
75
2201
1 ???
负载电阻流过的电流可由电流分配公式（ 2.5）求得,即
VIRU
AI
RR
R
I
L
L
5.7347.150
47.193.2
5050
50
22
1
2
2
2
????
??
?
??
?
?
第 2章 直流电阻电路的分析计算
(2) 当 R2=75Ω时，计算方法同上,可得
VU
AI
AI
R
ab
1204.250
4.24
5075
75
4
55
220
55
5075
5075
25
2
2
1
???
??
?
?
??
??
?
?
??
因 I1=4A,大于滑线变阻器额定电流 3A,R1段电阻有被烧坏的危险。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.4 求图 2.7(a)所示电路中 a,b两点间的等效电阻 Rab
解（ 1） 先将无电阻导线 d,d′缩成一点用 d表示,则得图 2.7
（ b)
(2) 并联化简,将 2.7（ b）变为图 2.7（ c)
(3) 由图 2.7（ c）,求得 a,b两点间等效电阻为
????
??
???? 1064
7315
)73(154
abR
第 2章 直流电阻电路的分析计算
d
15 ?
a
b
c
6 ? 6 ?
20
?
5 ?
7 ?
d ′
( a )
15 ?
a
b
c
6 ?
6 ?
20
?
5 ?
7 ?
( b )
d
15 ?
a
b
c
3 ?
4 ?
7 ?
( c )
d
图2.7 例2.4图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.2
I
1
1
I
12
R
12
I
23
2
I
2
R
31
I
3
I
31
R
23
( a )
I
3
3
R
3
3 2
R
2
R
1
1
I
1
( b )
I
2
第 2章 直流电阻电路的分析计算
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
??
?
??
?
??
?
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2
13
13
2
133221
31
1
32
32
1
133221
23
3
21
21
3
133221
12
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
???
??
?
???
??
?
???
??
?
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.5 图 2.10(a)所示电路中,已知 Us=225V,R0=1Ω,R1=40Ω,
R2=36Ω,R3=50Ω,R4=55Ω,R5=10Ω,试求各电阻的电流。
R
1
I
1
R
5
I
5
I
2
R
2
a
c
d
R
4
R
3
I
3 I
4
b
R
0
U
s
－
＋
( a )
a
I
I
R
a o
R
0
U
s
－
＋
R
c
R
d
R
4
R
2
b
c
I
4
I
2
( b )
d
图2, 1 0 例2, 5 图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
解 将△形连接的 R1,R3,R5等效变换为 Y形连接的 Ra,Rc、
Rd,如图 2.10(b)所示,代入式 (2.8)求得
??
??
?
?
??
?
??
??
?
?
??
?
??
??
?
?
??
?
5
405010
5010
4
405010
1040
20
405010
4050
135
35
135
51
135
13
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
d
c
a
第 2章 直流电阻电路的分析计算
图 2.10(b)是电阻混联网络,串联的 Rc,R2的等效电阻
Rc2=40Ω,串联的 Rd,R4的等效电阻 Rd4=60Ω,二者并联的等效
电阻
??
?
?? 24
6040
6040
abR
Ra与 Rob串联,a,b间桥式电阻的等效电阻
???? 442420iR
桥式电阻的端口电流
A
RR
UI
i
s 5
441
225
0
?
?
?
?
?
第 2章 直流电阻电路的分析计算
R2,R4的电流各为
AI
RR
R
I
AI
RR
R
I
dc
c
dc
d
15
6040
40
35
6040
60
42
2
4
42
4
2
??
?
??
?
?
??
?
??
?
?
为了求得 R1,R3,R5的电流,从图 2.10(b)求得
VIRIRU caac 112345202 ???????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
回到图 2.10(a)电路,得
A
R
UI ac 8.2
40
112
1
1 ???
并由 KCL得
AIII
AIII
2.022.2
2.28.25
435
13
?????
?????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.3 两种实际电源模型的等效变换
－
U
s
＋
( a )
I
＋
－
U
U
s
U
s
/ R I
U
0
( b )
R
图 2.12 电压源和电阻串联组合
其外特性方程为
RIUU s ??
(2.12)
第 2章 直流电阻电路的分析计算
I
s
( a )
I
＋
－
U
I
s
I
s
/ G
I
U
0
( b )
GU
G
GUII s ??
其外特性为
图 2.13 电流源和电导并联组合
(2.13)
第 2章 直流电阻电路的分析计算
比较式（ 2.12）和式 (2.13),只要满足
ss GUIRG ??,
1
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.6 求图 2.14（ a）所示的电路中 R支路的电流。已知
Us1=10V,Us2=6V,R1=1Ω,R2=3Ω,R=6Ω。
图2,14 例2,6图
( a )
＋
－
U
s1
R
1
R
2
＋
－
U
s2
R
I
a
b
I
s1
( b )
R
1
R
2
I
s2
I
R
a
b
R
12
( c )
I
s
R
I
a
b
第 2章 直流电阻电路的分析计算
解 先把每个电压源电阻串联支路变换为电流源电阻并联
支路。 网络变换如图 2.14(b)所示,其中
A
R
U
I
A
R
U
I
s
s
s
s
2
3
6
10
1
10
2
2
2
1
1
1
???
???
图 2.14(b)中两个并联电流源可以用一个电流源代替,其
AIII sss 1221021 ?????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
并联 R1,R2的等效电阻
??
?
??
?
?
4
3
31
31
21
21
12 RR
RRR
网络简化如图 2.14(c)所示。
对图 2.14(c)电路,可按分流关系求得 R的电流 I为
AI
RR
R
I
s
3 3 3.1
3
4
12
6
4
3
4
3
12
12 ???
?
??
?
?
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.4 支 路 电 流 法
支路电流法以每个支路的电流为求解的未知量。
以 图 2.16 所示的电路为例来说明支路电流法的应用。
对节点 a列写 KCL方程
321 III ???对节点 b列写 KCL方程
0321 ??? III
节点数为 n的电路中,按 KCL列出的节点电流方程只有 (n-1)
个是独立的。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
＋
－
U
s1
R
1
R
2
＋
－
U
s2
I
2
a
b
R
3
I
1
I
3
图 2.16 支路电流法举例
第 2章 直流电阻电路的分析计算
按顺时针方向绕行,对左面的网孔列写 KVL方程,
按顺时针方向绕行对右面的网孔列写 KVL方程,
综上所述,支路电流法分析计算电路的一般步骤如下,
（ 1） 在电路图中选定各支路（ b个）电流的参考方向,设出
各支路电流。
（ 2） 对独立节点列出 (n-1)个 KCL方程。
（ 3） 通常取网孔列写 KVL方程,设定各网孔绕行方向,列出
b-(n-1)个 KVL方程。
（ 4） 联立求解上述 b个独立方程,便得出待求的各支路电流。
211211 ss UUIRIP ???
23322 sUIRIR ??
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.7 图 2.16所示电路中,Us1=130V,R1=1Ω为直流发电机
的模型,电阻负载 R3=24Ω,Us2=117V,R2=0.6Ω为蓄电池组的模
型。 试求各支路电流和各元件的功率。
解 以支路电流为变量,应用 KCL,KVL列出式（ 2.15）、
(2.17)和式 (2.18),并将已知数据代入,即得
?
?
?
?
?
??
???
????
117246.0
1171306.0
0
32
21
321
II
II
III
解得 I1=10A,I2=-5A,I3=5A
第 2章 直流电阻电路的分析计算I
2为负值,表明它的实际方向与所选参考方向相反,这个
电池组在充电时是负载。
Us1发出的功率为
Us1I1=130× 10=1300W
Us2发出的功率为
Us2I2=117× （ -5） =-585W
即 Us2接受功率 585W。各电阻接受的功率为
功率平衡,表明计算正确。
600151005851300
600245
156.0)5(
100110
2
3
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
????
???
????
???
WRI
WRI
WRI
第 2章 直流电阻电路的分析计算 2.5 网 孔 法
采用网孔电流为电路的变量来列写方程,这种方法称为网
孔法。
设想在每个网孔中,都有一个电流沿网孔边界环流,其参
考方向如图所示,这样一个在网孔内环行的假想电流,叫做网
孔电流。
各网孔电流与各支路电流之间的关系为
23
212
11
m
mm
m
II
III
II
??
???
?
第 2章 直流电阻电路的分析计算
R
1
＋
－
U
s3
I
1
R
3
R
2
I
2
＋
－
U
s2
＋
－
U
s1
I
3
I
m 1
I
m 2
图2.18网孔法举例
第 2章 直流电阻电路的分析计算
选取网孔的绕行方向与网孔电流的参考方向一致。
?
?
?
????
????
32231222
21221211
ssmmm
ssmmm
UUIRIRIR
UUIRIRIR
经过整理后,得
?
?
?
?????
????
3223212
2122121
)(
)(
ssmm
ssmm
UUIRRIR
UUIRIRR （ 2.19）
方程组（ 2.19）可以进一步写成
?
?
?
??
??
22222121
11212111
smm
smm
UIRIR
UIRIR （ 2.20）
上式就是当电路具有两个网孔时网孔方程的一般形式。
第 2章 直流电阻电路的分析计算其中,
R11=R1+R2,R22=R2+R3分别是网孔 1 与网孔 2 的电阻之和,
称为各网孔的自电阻。因为选取自电阻的电压与电流为关联参
考方向,所以自电阻都取正号。
网孔的自电阻。 因为选取自电阻的电压与电流为关联参考
方向,
R12=R21=-R2是网孔 1 与网孔 2 公共支路的电阻,称为相邻
网孔的互电阻。互电阻可以是正号,也可以是负号。当流过互电
阻的两个相邻网孔电流的参考方向一致时,互电阻取正号,反之
取负号。
Us11=Us1-Us2,Us2=Us2-Us3分别是各网孔中电压源电压的代
数和,称为网孔电源电压。凡参考方向与网孔绕行方向一致的电
源电压取负号,反之取正号。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
推广到具有 m个网孔的平面电路,其网孔方程的规范形式
为
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
???????
s m mmmmmmmmm
smmmmm
smmmmm
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
2211
222222121
111212111
（ 2.21）…
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.8 用网孔法求图 2.19所示电路的各支路电流。
解 （ 1） 选择各网孔电流的参考方向,如 图 2.19 所示。 计
算各网孔的自电阻和相关网孔的互电阻及每一网孔的电源电压。
VUVUVU
RRR
RRR
RRR
sss
5,5,10
1,321
0,321
2,321
332211
311333
322322
211211
????
????????
??????
????????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
－
＋
2 ?
＋
－
1 0 V
1 ?
5 V
2 ? 1 ?
I
1
I
3
I
2
I
4
I
5
I
m 1
I
m 2
I
6
I
m 3
图2, 1 9 例2, 8 图
第 2章 直流电阻电路的分析计算（ 2） 按式 (2.21)列网孔方程组
53
532
1023
31
21
321
???
????
???
mm
mm
mmm
II
II
III
(3) 求解网孔方程组
解之可得
AIAIAI mmm 75.3,5.2,25.6 321 ???
(4) 任选各支路电流的参考方向,如图所示。由网孔电流
求出各支路电流,
AIIAIII
AIIIAIII
AIIAII
mmm
mmmm
mm
75.3,25.1
5.2,75.3
5.2,25.6
36235
214213
2211
?????
??????
????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.9 用网孔法求图 2.20所示电路各支路电流及电流源
的电压。
解 （ 1） 选取各网孔电流的参考方向及电流源电压的参
考方向,如图 2.20所示。
（ 2） 列网孔方程,
UII
UIII
II
mm
mmm
mm
?????
???????
?????
10)156(6
306)6510(10
10301 0 010)1010(
32
321
21
补充方程
232 ?? mm II
第 2章 直流电阻电路的分析计算
（ 3） 解方程组,得
VUAI
AIAI
m
mm
8,2
4,5
3
21
???
??
（ 4） 选取各支路电流的参考方向如图所示,各支路电流
AIIAII
AIAIII
AIIIAII
mm
mm
mmm
2,4
2,3
1,5
3625
4133
12211
????
?????
??????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.6 节 点 电 压 法
节点电压法是以电路的节点电压为未知量来分析电路的
一种方法。
在电路的 n个节点中,任选一个为参考点,把其余 (n-1)个
各节点对参考点的电压叫做该节点的节点电压。 电路中所有
支路电压都可以用节点电压来表示。
对节点 1,2 KCL 列出节点电流方程,
?
?
?
?????
?????
0
0
32432
31431
ss
ss
IIIII
IIIII
第 2章 直流电阻电路的分析计算
设以节点 3为参考点,则节点 1,2的节点电压分别为 U1,U2。
将支路电流用节点电压表示为
24142141544
23132131233
222
111
)(
)(
UGUGUUGUGI
UGUGUUGUGI
UGI
UGI
?????
?????
?
?
代入两个节点电流方程中,经移项整理后得
?
?
?
???????
??????
322432143
312431431
)()(
)()(
ss
ss
IIUGGGUGG
IIUUGUGGG （ 2,22）
第 2章 直流电阻电路的分析计算
将式（ 2.22）写成
?
?
?
?
??
222121
11212111
UGUG
IUGUG s(2.23)
这就是当电路具有三个节点时电路的节点方程的一般形式。
式（ 2.23）中的左边 G11=(G1+G2+G3),G22=(G2+G3+G4) 分别是
节点 1、节点 2 相连接的各支路电导之和,称为各节点的自电导,
自电导总是正的。 G12=G21=-(G3+G4)是连接在节点 1与节点 2之
间的各公共支路的电导之和的负值,称为两相邻节点的互电导,
互电导总是负的。式（ 2.23）右边 Is11=(Is1+Is3),Is22=(Is2-Is3)分别
是流入节点 1和节点 2的各电流源电流的代数和,称为节点电源
电流,流入节点的取正号,流出的取负号。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
对具有 n个节点的电路,其节点方程的规范形式为
)1)(1(1)1)(1(22)1(11)1(
221)1(2222121
111)1(1212111
???????
??
??
???????
???????
???????
nnsnnnnn
snn
snn
IUUGUG
IUGUGUG
IUGUGUG
…
当电路中含有电压源支路时,这时可以采用以下措施,
（ 1） 尽可能取电压源支路的负极性端作为参考点。
（ 2） 把电压源中的电流作为变量列入节点方程,并将其电
压与两端节点电压的关系作为补充方程一并求解。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
对于只有一个独立节点的电路,
4321
332211
4321
3
3
2
2
1
1
10
1111 GGGG
UGUGUG
RRRR
R
U
R
U
R
U
U
sss
sss
???
??
?
???
??
?
写成一般形式
?
??
k
skk
G
UG
U
)(
10
式 (2.25)称为弥尔曼定理。
(2.25)
第 2章 直流电阻电路的分析计算
R
1
＋
－
U
s1
R
2
＋
－
U
s2
R
3
＋
－
U
s3
0
1
( a )
I
s1
G
1
I
s2
G
2
I
s3 G
3
0
1
( b )
R
4
G
4
图 2.22 弥尔曼定理举例
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.10 试用节点电压法求图 2.23所示电路中的各支路电
流。
1 ??
0
1
I
3
2
I
1
3 A
3 ??
2 ??
7 A
I
2
图2,23 例2,10 图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
7)
3
1
2
1
(
2
1
3
2
1
)
2
1
1
1
(
21
21
????
???
UU
UU
解之得
VUVU 12,6 21 ??
解 取节点 O为参考节点,节点 1,2的节点电压为 U1,U2,按
式（ 2.24）得
第 2章 直流电阻电路的分析计算
取各支路电流的参考方向,如图 2.23所示。 根
据支路电流与节点电压的关系,有
A
U
I
A
UU
I
A
U
I
4
3
12
3
3
2
126
2
6
1
6
1
2
3
21
2
1
1
???
??
?
?
?
?
???
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.11 应用弥尔曼定理求图 2.24所示电路中各支路电流。
解 本电路只有一个独立节点,设其电压为 U1,由式 (2.25)得
20 ??
0
10 V
I
1
10 ?? I
3
5 ??
20 V
＋
－
＋
－
1
I
2
图 2.23 例 2.10图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
设各支路电流 I1,I2,I3的参考方向如图中所示,求得各
支路电流为
VU 3.14
10
1
20
1
5
1
10
10
5
20
1
?
??
?
?
A
U
I
A
U
I
A
U
I
43.0
10
3.1410
10
10
72.0
20
3.14
20
14.1
5
3.1420
5
20
1
3
1
2
1
1
??
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.7 叠 加 定 理
叠加定理是线性电路的一个基本定理。 叠加定理可表述
如下, 在线性电路中,当有两个或两个以上的独立电源作用时,
则任意支路的电流或电压,都可以认为是电路中各个电源单独
作用而其他电源不作用时,在该支路中产生的各电流分量或电
压分量的代数和。
＋
－
U
s
R
1
R
2
I
1
0
I
s
( a )
＋
－
U
s
R
1
R
2
I ′
1
0
( b )
R
1
R
2
I ″
1
0
( c )
I
s＝ ＋
图 2.26 叠加定理举例
第 2章 直流电阻电路的分析计算
R2支路的电流
21
212
21
1
10 11
RR
IRRUR
RR
I
R
U
U ss
s
s
?
?
?
?
?
?
s
sss I
RR
R
RR
U
RR
IRU
R
U
I
21
1
2121
1
2
10
?
?
?
?
?
?
??
第 2章 直流电阻电路的分析计算
II
RR
R
RR
U
II
I
RR
R
I
s
s
s
?
?
?
?
??
?
?
21
1
21
"'
21
1"
21
'
RR
U
I s
?
?
第 2章 直流电阻电路的分析计算
使用叠加定理时,应注意以下几点,
（ 1） 只能用来计算线性电路的电流和电压,对非线性电
路,
（ 2） 叠加时要注意电流和电压的参考方向,求其代数
（ 3） 化为几个单独电源的电路来进行计算时,所谓电压
源不作用,就是在该电压源处用短路代替,电流源不作用,就
（ 4） 不能用叠加定理直接来计算功率。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.12 图 2.27（ a）所示桥形电路中 R1=2Ω,R2=1Ω,R3=3
Ω,R4=0.5Ω,Us=4.5V,Is=1A。试用叠加定理求电压源的电流 I
和电流源的端电压 U。
＋
－
R
1
( a )
R
3
R
4
R
2
U
s
－ ＋
U
I
I
2I
1
I
3
I
4
＋
－
U
s
－ ＋
U ′
I ′
I
1
′
R
1
R
3
R
4
R
2
－ ＋
U ″
I ″
I
2
I
3
I
4
″
″
″
I
1
″
I
s
( b ) ( c )
＝
I
3
′
I
4
′
I
2
′
＋
R
1
R
3
R
2
R
4
I
s
图 2.27 例 2.12图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
解 (1) 当电压源单独作用时,电流源开路,如图 2.27（ b）
所示,各支路电流分别为
AIII
A
RR
U
II
A
RR
U
II
s
s
9.3)39.0(
3
5.01
5.4
9.0
32
5.4
'
2
'
1
'
42
'
4
'
2
31
'
3
'
1
?????
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
电流源支路的端电压 U′为
VIRIRU 2.1)9.0335.0('33'44' ????????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
(2) 当电流源单独作用时,电压源短路,如图 2.27（ c） 所示,
则各支路电流为
AIII
AI
RR
R
I
AI
RR
R
I
s
s
2 6 7.0)3 3 3.06.0(
3 3 3.01
5.01
5.0
6.01
32
3
"
2
"
1
"
42
4"
2
31
3"
1
?????
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
电流源的端电压为
VIRIRU 5 3 3 3.13 3 3.016.02"22"11" ???????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
(3) 两个独立源共同作用时,电压源的电流为
AIII 1 6 7.42 6 7.09.3"' ?????
电流源的端电压为
VUUU 333.05333.12.1"' ??????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
－
＋
1 ?
I
1
I
3
1 ?
I
5
1 ?
1 ?
I
4
1 ?
I
2
1 ?10 V
a
b
d f
c e
图2, 2 8 例2, 1 3 图
例 2.13 求图 2.28 所示梯形电路中支路电流 I5。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
解 此电路是简单电路,可以用电阻串并联的方法化简。但
这样很繁琐。为此,可应用齐次定理采用“倒推法”来计算。
VUUU
AIIIVUUU
AIIIVU
AI
cdacab
efcecd
ef
13
,8,5
3,2
1
'''
'
3
'
2
'
1
'''
'
5
'
4
'
3
'
'
5
???
??????
????
?设
根据齐次定理可计算得
AI 769.0
13
101
5 ???
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.8 戴 维 南 定 理
戴维南定理指出, 含独立源的线性二端电阻网络,对其外
部而言,都可以用电压源和电阻串联组合等效代替 ; 该电压源
的电压等于网络的开路电压,该电阻等于网络内部所有独立源
作用为零情况下的网络的等效电阻。
IRUUUU
IIII
IRIRUII
UUI
ic
ii
c
????
???
?????
??
0
"'
""'
"""
0
''
,
,0
第 2章 直流电阻电路的分析计算
I
＋
－
U
R
i
＋
－
U
oc
a
b
( e )
I ″
＋
－
U ″
R
i
a
b
( d )
I
有
源
＋
－
U ′
a
b
I ′
( c )
有
源
＋
－
U
a
b
I
( b )
有
源
＋
－
U
a
b
I
( a )
＝ ＝
＝
＋
图 2.30 戴维南定理的证明
第 2章 直流电阻电路的分析计算
（ 1） 设网络内所有电源为零,用电阻串并联或三角形
与星形网络变换加以化简,计算端口 ab的等效电阻。
（ 2） 设网络内所有电源为零,在端口 a,b处施加一电
压 U,计算或测量输入端口的电流 I,则等效电阻 Ri=U/I。
（ 3） 用实验方法测量,或用计算方法求得该有源二端
网络开路电压 Uoc和短路电流 Isc,则等效电阻 Ri=Uoc/Isc。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.14 图 2.31（ a）所示为一不平衡电桥电路,试求检流
计的电流 I。
解 开路电压 Ｕ oc为
A
RR
U
I
R
VIIU
gi
c
i
c
126.0
1083.5
2
83.5
510
510
55
55
2
510
12
5
55
12
555
0
210
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
＋ －
12 V
I
a
5 ?
10
?
G R
g
＝ 10 ?
5 ?
5 ?
b
( a )
a
＋ －
12 V
I
1
5 ?
10
?
5 ?
5 ?
b
( b )
I
2
＋
－
U
oc
a
5 ?
10
?
5 ?
5 ?
b
( c )
R
i
＋
－
R
i
U
oc
b
a
G R
g
＝ 10 ?
I
( d )
图 2.31 例 2.14图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.15 求图 2.32（ a）所示电路的戴维南等效电路。
－
＋
U
oc
a
2.5 V
0.2
k ?
b
1.8
k ?
＋
－
0.4 k ?
( a )
I
1
I
2
5 m A
0.2
k ?
1.8
k ?
0.4 k ?
R
i
a
b
( b )
a
b
( c )
R
i
＋
－
U
oc
图 2.32 例 2.15图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
解 先求开路电压 Uoc(如图 2.32(a)所示 )
VIIU
mAI
mAI
oc
32.72.44.058.14.08.1
5
2.4
4.02.0
5.2
12
2
1
??????????
?
?
?
?
然后求等效电阻 Ri
R
???? kRVU ioc 93.1,32.7
??
?
??? kR
i 93.14.02.0
4.02.08.1
其中
第 2章 直流电阻电路的分析计算
*2.9 含受控源电路的分析
2.9.1 受控源
受电路另一部分中的电压或电流控制的电源,称为受控源。
受控源有两对端钮, 一对为输入端钮或控制端口 ; 一对为输
出端钮或受控端口。受控源有以下四种类型,
(1) VCVS
(2) CCVS
(3) VCCS
(4) CCCS
第 2章 直流电阻电路的分析计算
＋
－
u
1
＋
－
?? u
1
( a )
＋
－
?? i
1
( b )
i
1
＋
－
u
1
g u
1
( c )
?? i
1
( d )
i
1
图 2.33 四种受控源的模型
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.9.2 含受控源电路的分析
含受控源电路的特点。
（ 1） 受控电压源和电阻串联组合与受控电流源和电阻并联组合
之间,像独立源一样可以进行等效变换。 但在变换过程中,必须保留控
制变量的所在支路。
（ 2） 应用网络方程法分析计算含受控源的电路时,受控源按独立
源一样对待和处理,但在网络方程中,要将受控源的控制量用电路变量
来表示。 即在节点方程中,受控源的控制量用节点电压表示 ; 在网孔方
程中,受控源的控制量用网孔电流表示。
（ 3） 用叠加定理求每个独立源单独作用下的响应时,受控源要像
电阻那样全部保留。同样,用戴维南定理求网络除源后的等效电阻时,
受控源也要全部保留。
（ 4） 含受控源的二端电阻网络,其等效电阻可能为负值,这表明
该网络向外部电路发出能量。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.16 图 2.34（ a）电路中,已知 Us,Is,R1,R2、
R3,α,试求 I。
图 2,3 4 例 2,1 6 图
( a )
?? I
R
2
a
b
? I
R
1
R
3
I
s＋
－
U
s
( b )
?? R
2
I
a
b
R
3
I
s＋
－
U
s
I
＋－
R
2
( c )
R
1
I
s
＋
－
U
s
R
2
U
oc
＋
－
b
c
( d )
?? R
2
I
a
b
R
1
I
＋－
R
2
＋
－
U I
R
1
c
c c
a
第 2章 直流电阻电路的分析计算
解 (1) 直接应用节点电压法。选节点 c为参考点,控制量
I=G3Ub
把受控电流源 αI=αG3Ub当作独立源,列节点方程如下
(G1+G2)Ua-G2Ub=G1Us-αG3Ub
-G2Ua+(G2+G3)Ub=Is+αG3Ub
从上列方程可以解得 Ub,并得到 I。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
(2) 变并为串。控制量表示为 I=Ubc/R3,由弥尔曼定理可
得 Ubc。
321
21
3
2
11
RRR
I
RR
U
R
R
aU
U
s
bcs
bc
?
?
?
?
?
?
解得 Ubc,就可得 I。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
（ 3） 用戴维南定理。
IRaRIaRIRRU
UIRRU ssoc
])1([)(
)(
21221
21
??????
???
则
21 )1( RaRI
UR
i ????
最后得
321
21
3 )1(
)(
RRaR
UIRR
RR
UI ss
i
oc
???
???
?
?
2.1 电阻的串联和并联
2.2 电阻的星形连接与三角形连接的等效变换
2.3 两种实际电源模型的等效变换
2.4 支路电流法
2.5
2.6 节点电压法
2.7 叠加定理
2.8 戴维南定理
*2.9 含受控源电路的分析
第 2章 直流电阻电路的分析计算
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.1.1 等效网络的定义
一个二端网络的端口
电压电流关系和另一个
二端网络的端口电压、
电流关系相同,这两个网
络叫做等效网络。
N
i
u
二端网络
2.1 电阻的串联和并联
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.1.2
在电路中,把几个电阻元件依次一个一个首尾连接起来,
中间没有分支,在电源的作用下流过各电阻的是同一电流。
这种连接方式叫做电阻的串联。
IRRRUUUU )( 321321 ??????
321 RRRR i ???
第 2章 直流电阻电路的分析计算
U
1
＋
－
＋
U
R
1
R
2
R
3
－
U
2＋ －
U
3＋ －
( a )
－
＋
U
R
1
＋ R
2
＋ R
3
( b )
I
b
a
b
a
I
图 2.2 电阻的串联
第 2章 直流电阻电路的分析计算
电阻串联时,各电阻上的电压为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
??
???
?
??
???
U
RRR
R
R
U
RIRU
U
RRR
R
R
U
RIRU
U
RRR
R
R
U
RIRU
i
i
i
321
3
333
321
2
222
321
1
111
（ 2.2）
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.1 如图 2.3所示,用一个满刻度偏转电流为 50μA,电阻
Rg为 2kΩ的表头制成 100V量程的直流电压表,应串联多大的附
加电阻 Rf
解 满刻度时表头电压为
附加电阻电压为 VIRU gg 1.0502 ????
VU f 9.991.01 0 0 ???
代入式（ 2.2）,得
100
2
9.99 ?
?
?
f
f
R
R
解得
?? kR f 1 9 9 8
第 2章 直流电阻电路的分析计算
＋
－
1 0 0 V
R
g
50 ? A
＋
－
U
g
＋
－
U
f
R
f
图 2.3
第 2章 直流电阻电路的分析计算
321 GGGG i ???
＋
－
U
I
G
1
G
2
G
3
I
3
I
1
( a )
＋
－
U
I
G
1
＋ G
2
＋ G
3
( b )
I
2
2.1.3 电阻的并联
(如图 2.4(b)所示 ),即
图 2.4 电阻的并联
第 2章 直流电阻电路的分析计算
并联电阻的电压相等,各电阻的电流与总电流的关系为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
???
I
GGG
G
I
I
GGG
G
I
I
GGG
G
G
GUGI
i
321
3
3
321
2
2
321
1
111
1
（ 2.4）
第 2章 直流电阻电路的分析计算
两个电阻 R1,R2并联
例 2.2 如图 2.5所示,用一个满刻度偏转电流为 50μA,电阻 Rg
为 2kΩ的表头制成量程为 50mA的直流电流表,应并联多大的分
流电阻 R2?
解 由题意已知,I1=50μA,R1=Rg=2000Ω,I=50mA,代入公式
(2.5)得
21
21
RR
RRR
i ??
3
2
2 1050
2000
50 ??
?
?
R
R
解得
?? 0 0 2.22R
第 2章 直流电阻电路的分析计算
50 m A I
2
50 ? A
R
2R
g
图2,5 例2,2图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.1.4 电阻的串、并联
电阻的串联和并联相结合的连接方式,称为电阻的串、并
联或混联。
例 2.3 进行电工实验时,常用滑线变阻器接成分压器电路来
调节负载电阻上电压的高低。图 2.6 中 R1和 R2是滑线变阻器,RL
是负载电阻。已知滑线变阻器额定值是 100Ω,3A,端钮 a,b上
输入电压 U1=220V,RL=50Ω。试问,
（ 1）当 R2=50Ω时,输出电压 U2
（ 2）当 R2=75Ω时,输出电压 U2是多少？滑线变阻器能否安
全工作？
第 2章 直流电阻电路的分析计算
＋
－
U
1
I
1
U
2
a
b
R
1
R
2
I
2
＋
－
R
L
图2,6 例2,3图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
解 （ 1） 当 R2=50Ω时,Rab为 R2和 RL并联后与 R1串联而成,故
端钮 a,b的等效电阻
??
?
???
?
?? 75
5050
505050
2
2
1
L
L
ab RR
RRRR
滑线变阻器 R1段流过的电流
A
R
UI
ab
93.2
75
2201
1 ???
负载电阻流过的电流可由电流分配公式（ 2.5）求得,即
VIRU
AI
RR
R
I
L
L
5.7347.150
47.193.2
5050
50
22
1
2
2
2
????
??
?
??
?
?
第 2章 直流电阻电路的分析计算
(2) 当 R2=75Ω时，计算方法同上,可得
VU
AI
AI
R
ab
1204.250
4.24
5075
75
4
55
220
55
5075
5075
25
2
2
1
???
??
?
?
??
??
?
?
??
因 I1=4A,大于滑线变阻器额定电流 3A,R1段电阻有被烧坏的危险。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.4 求图 2.7(a)所示电路中 a,b两点间的等效电阻 Rab
解（ 1） 先将无电阻导线 d,d′缩成一点用 d表示,则得图 2.7
（ b)
(2) 并联化简,将 2.7（ b）变为图 2.7（ c)
(3) 由图 2.7（ c）,求得 a,b两点间等效电阻为
????
??
???? 1064
7315
)73(154
abR
第 2章 直流电阻电路的分析计算
d
15 ?
a
b
c
6 ? 6 ?
20
?
5 ?
7 ?
d ′
( a )
15 ?
a
b
c
6 ?
6 ?
20
?
5 ?
7 ?
( b )
d
15 ?
a
b
c
3 ?
4 ?
7 ?
( c )
d
图2.7 例2.4图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.2
I
1
1
I
12
R
12
I
23
2
I
2
R
31
I
3
I
31
R
23
( a )
I
3
3
R
3
3 2
R
2
R
1
1
I
1
( b )
I
2
第 2章 直流电阻电路的分析计算
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
??
?
??
?
??
?
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2
13
13
2
133221
31
1
32
32
1
133221
23
3
21
21
3
133221
12
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
???
??
?
???
??
?
???
??
?
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.5 图 2.10(a)所示电路中,已知 Us=225V,R0=1Ω,R1=40Ω,
R2=36Ω,R3=50Ω,R4=55Ω,R5=10Ω,试求各电阻的电流。
R
1
I
1
R
5
I
5
I
2
R
2
a
c
d
R
4
R
3
I
3 I
4
b
R
0
U
s
－
＋
( a )
a
I
I
R
a o
R
0
U
s
－
＋
R
c
R
d
R
4
R
2
b
c
I
4
I
2
( b )
d
图2, 1 0 例2, 5 图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
解 将△形连接的 R1,R3,R5等效变换为 Y形连接的 Ra,Rc、
Rd,如图 2.10(b)所示,代入式 (2.8)求得
??
??
?
?
??
?
??
??
?
?
??
?
??
??
?
?
??
?
5
405010
5010
4
405010
1040
20
405010
4050
135
35
135
51
135
13
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
d
c
a
第 2章 直流电阻电路的分析计算
图 2.10(b)是电阻混联网络,串联的 Rc,R2的等效电阻
Rc2=40Ω,串联的 Rd,R4的等效电阻 Rd4=60Ω,二者并联的等效
电阻
??
?
?? 24
6040
6040
abR
Ra与 Rob串联,a,b间桥式电阻的等效电阻
???? 442420iR
桥式电阻的端口电流
A
RR
UI
i
s 5
441
225
0
?
?
?
?
?
第 2章 直流电阻电路的分析计算
R2,R4的电流各为
AI
RR
R
I
AI
RR
R
I
dc
c
dc
d
15
6040
40
35
6040
60
42
2
4
42
4
2
??
?
??
?
?
??
?
??
?
?
为了求得 R1,R3,R5的电流,从图 2.10(b)求得
VIRIRU caac 112345202 ???????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
回到图 2.10(a)电路,得
A
R
UI ac 8.2
40
112
1
1 ???
并由 KCL得
AIII
AIII
2.022.2
2.28.25
435
13
?????
?????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.3 两种实际电源模型的等效变换
－
U
s
＋
( a )
I
＋
－
U
U
s
U
s
/ R I
U
0
( b )
R
图 2.12 电压源和电阻串联组合
其外特性方程为
RIUU s ??
(2.12)
第 2章 直流电阻电路的分析计算
I
s
( a )
I
＋
－
U
I
s
I
s
/ G
I
U
0
( b )
GU
G
GUII s ??
其外特性为
图 2.13 电流源和电导并联组合
(2.13)
第 2章 直流电阻电路的分析计算
比较式（ 2.12）和式 (2.13),只要满足
ss GUIRG ??,
1
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.6 求图 2.14（ a）所示的电路中 R支路的电流。已知
Us1=10V,Us2=6V,R1=1Ω,R2=3Ω,R=6Ω。
图2,14 例2,6图
( a )
＋
－
U
s1
R
1
R
2
＋
－
U
s2
R
I
a
b
I
s1
( b )
R
1
R
2
I
s2
I
R
a
b
R
12
( c )
I
s
R
I
a
b
第 2章 直流电阻电路的分析计算
解 先把每个电压源电阻串联支路变换为电流源电阻并联
支路。 网络变换如图 2.14(b)所示,其中
A
R
U
I
A
R
U
I
s
s
s
s
2
3
6
10
1
10
2
2
2
1
1
1
???
???
图 2.14(b)中两个并联电流源可以用一个电流源代替,其
AIII sss 1221021 ?????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
并联 R1,R2的等效电阻
??
?
??
?
?
4
3
31
31
21
21
12 RR
RRR
网络简化如图 2.14(c)所示。
对图 2.14(c)电路,可按分流关系求得 R的电流 I为
AI
RR
R
I
s
3 3 3.1
3
4
12
6
4
3
4
3
12
12 ???
?
??
?
?
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.4 支 路 电 流 法
支路电流法以每个支路的电流为求解的未知量。
以 图 2.16 所示的电路为例来说明支路电流法的应用。
对节点 a列写 KCL方程
321 III ???对节点 b列写 KCL方程
0321 ??? III
节点数为 n的电路中,按 KCL列出的节点电流方程只有 (n-1)
个是独立的。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
＋
－
U
s1
R
1
R
2
＋
－
U
s2
I
2
a
b
R
3
I
1
I
3
图 2.16 支路电流法举例
第 2章 直流电阻电路的分析计算
按顺时针方向绕行,对左面的网孔列写 KVL方程,
按顺时针方向绕行对右面的网孔列写 KVL方程,
综上所述,支路电流法分析计算电路的一般步骤如下,
（ 1） 在电路图中选定各支路（ b个）电流的参考方向,设出
各支路电流。
（ 2） 对独立节点列出 (n-1)个 KCL方程。
（ 3） 通常取网孔列写 KVL方程,设定各网孔绕行方向,列出
b-(n-1)个 KVL方程。
（ 4） 联立求解上述 b个独立方程,便得出待求的各支路电流。
211211 ss UUIRIP ???
23322 sUIRIR ??
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.7 图 2.16所示电路中,Us1=130V,R1=1Ω为直流发电机
的模型,电阻负载 R3=24Ω,Us2=117V,R2=0.6Ω为蓄电池组的模
型。 试求各支路电流和各元件的功率。
解 以支路电流为变量,应用 KCL,KVL列出式（ 2.15）、
(2.17)和式 (2.18),并将已知数据代入,即得
?
?
?
?
?
??
???
????
117246.0
1171306.0
0
32
21
321
II
II
III
解得 I1=10A,I2=-5A,I3=5A
第 2章 直流电阻电路的分析计算I
2为负值,表明它的实际方向与所选参考方向相反,这个
电池组在充电时是负载。
Us1发出的功率为
Us1I1=130× 10=1300W
Us2发出的功率为
Us2I2=117× （ -5） =-585W
即 Us2接受功率 585W。各电阻接受的功率为
功率平衡,表明计算正确。
600151005851300
600245
156.0)5(
100110
2
3
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
????
???
????
???
WRI
WRI
WRI
第 2章 直流电阻电路的分析计算 2.5 网 孔 法
采用网孔电流为电路的变量来列写方程,这种方法称为网
孔法。
设想在每个网孔中,都有一个电流沿网孔边界环流,其参
考方向如图所示,这样一个在网孔内环行的假想电流,叫做网
孔电流。
各网孔电流与各支路电流之间的关系为
23
212
11
m
mm
m
II
III
II
??
???
?
第 2章 直流电阻电路的分析计算
R
1
＋
－
U
s3
I
1
R
3
R
2
I
2
＋
－
U
s2
＋
－
U
s1
I
3
I
m 1
I
m 2
图2.18网孔法举例
第 2章 直流电阻电路的分析计算
选取网孔的绕行方向与网孔电流的参考方向一致。
?
?
?
????
????
32231222
21221211
ssmmm
ssmmm
UUIRIRIR
UUIRIRIR
经过整理后,得
?
?
?
?????
????
3223212
2122121
)(
)(
ssmm
ssmm
UUIRRIR
UUIRIRR （ 2.19）
方程组（ 2.19）可以进一步写成
?
?
?
??
??
22222121
11212111
smm
smm
UIRIR
UIRIR （ 2.20）
上式就是当电路具有两个网孔时网孔方程的一般形式。
第 2章 直流电阻电路的分析计算其中,
R11=R1+R2,R22=R2+R3分别是网孔 1 与网孔 2 的电阻之和,
称为各网孔的自电阻。因为选取自电阻的电压与电流为关联参
考方向,所以自电阻都取正号。
网孔的自电阻。 因为选取自电阻的电压与电流为关联参考
方向,
R12=R21=-R2是网孔 1 与网孔 2 公共支路的电阻,称为相邻
网孔的互电阻。互电阻可以是正号,也可以是负号。当流过互电
阻的两个相邻网孔电流的参考方向一致时,互电阻取正号,反之
取负号。
Us11=Us1-Us2,Us2=Us2-Us3分别是各网孔中电压源电压的代
数和,称为网孔电源电压。凡参考方向与网孔绕行方向一致的电
源电压取负号,反之取正号。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
推广到具有 m个网孔的平面电路,其网孔方程的规范形式
为
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
???????
s m mmmmmmmmm
smmmmm
smmmmm
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
2211
222222121
111212111
（ 2.21）…
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.8 用网孔法求图 2.19所示电路的各支路电流。
解 （ 1） 选择各网孔电流的参考方向,如 图 2.19 所示。 计
算各网孔的自电阻和相关网孔的互电阻及每一网孔的电源电压。
VUVUVU
RRR
RRR
RRR
sss
5,5,10
1,321
0,321
2,321
332211
311333
322322
211211
????
????????
??????
????????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
－
＋
2 ?
＋
－
1 0 V
1 ?
5 V
2 ? 1 ?
I
1
I
3
I
2
I
4
I
5
I
m 1
I
m 2
I
6
I
m 3
图2, 1 9 例2, 8 图
第 2章 直流电阻电路的分析计算（ 2） 按式 (2.21)列网孔方程组
53
532
1023
31
21
321
???
????
???
mm
mm
mmm
II
II
III
(3) 求解网孔方程组
解之可得
AIAIAI mmm 75.3,5.2,25.6 321 ???
(4) 任选各支路电流的参考方向,如图所示。由网孔电流
求出各支路电流,
AIIAIII
AIIIAIII
AIIAII
mmm
mmmm
mm
75.3,25.1
5.2,75.3
5.2,25.6
36235
214213
2211
?????
??????
????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.9 用网孔法求图 2.20所示电路各支路电流及电流源
的电压。
解 （ 1） 选取各网孔电流的参考方向及电流源电压的参
考方向,如图 2.20所示。
（ 2） 列网孔方程,
UII
UIII
II
mm
mmm
mm
?????
???????
?????
10)156(6
306)6510(10
10301 0 010)1010(
32
321
21
补充方程
232 ?? mm II
第 2章 直流电阻电路的分析计算
（ 3） 解方程组,得
VUAI
AIAI
m
mm
8,2
4,5
3
21
???
??
（ 4） 选取各支路电流的参考方向如图所示,各支路电流
AIIAII
AIAIII
AIIIAII
mm
mm
mmm
2,4
2,3
1,5
3625
4133
12211
????
?????
??????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.6 节 点 电 压 法
节点电压法是以电路的节点电压为未知量来分析电路的
一种方法。
在电路的 n个节点中,任选一个为参考点,把其余 (n-1)个
各节点对参考点的电压叫做该节点的节点电压。 电路中所有
支路电压都可以用节点电压来表示。
对节点 1,2 KCL 列出节点电流方程,
?
?
?
?????
?????
0
0
32432
31431
ss
ss
IIIII
IIIII
第 2章 直流电阻电路的分析计算
设以节点 3为参考点,则节点 1,2的节点电压分别为 U1,U2。
将支路电流用节点电压表示为
24142141544
23132131233
222
111
)(
)(
UGUGUUGUGI
UGUGUUGUGI
UGI
UGI
?????
?????
?
?
代入两个节点电流方程中,经移项整理后得
?
?
?
???????
??????
322432143
312431431
)()(
)()(
ss
ss
IIUGGGUGG
IIUUGUGGG （ 2,22）
第 2章 直流电阻电路的分析计算
将式（ 2.22）写成
?
?
?
?
??
222121
11212111
UGUG
IUGUG s(2.23)
这就是当电路具有三个节点时电路的节点方程的一般形式。
式（ 2.23）中的左边 G11=(G1+G2+G3),G22=(G2+G3+G4) 分别是
节点 1、节点 2 相连接的各支路电导之和,称为各节点的自电导,
自电导总是正的。 G12=G21=-(G3+G4)是连接在节点 1与节点 2之
间的各公共支路的电导之和的负值,称为两相邻节点的互电导,
互电导总是负的。式（ 2.23）右边 Is11=(Is1+Is3),Is22=(Is2-Is3)分别
是流入节点 1和节点 2的各电流源电流的代数和,称为节点电源
电流,流入节点的取正号,流出的取负号。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
对具有 n个节点的电路,其节点方程的规范形式为
)1)(1(1)1)(1(22)1(11)1(
221)1(2222121
111)1(1212111
???????
??
??
???????
???????
???????
nnsnnnnn
snn
snn
IUUGUG
IUGUGUG
IUGUGUG
…
当电路中含有电压源支路时,这时可以采用以下措施,
（ 1） 尽可能取电压源支路的负极性端作为参考点。
（ 2） 把电压源中的电流作为变量列入节点方程,并将其电
压与两端节点电压的关系作为补充方程一并求解。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
对于只有一个独立节点的电路,
4321
332211
4321
3
3
2
2
1
1
10
1111 GGGG
UGUGUG
RRRR
R
U
R
U
R
U
U
sss
sss
???
??
?
???
??
?
写成一般形式
?
??
k
skk
G
UG
U
)(
10
式 (2.25)称为弥尔曼定理。
(2.25)
第 2章 直流电阻电路的分析计算
R
1
＋
－
U
s1
R
2
＋
－
U
s2
R
3
＋
－
U
s3
0
1
( a )
I
s1
G
1
I
s2
G
2
I
s3 G
3
0
1
( b )
R
4
G
4
图 2.22 弥尔曼定理举例
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.10 试用节点电压法求图 2.23所示电路中的各支路电
流。
1 ??
0
1
I
3
2
I
1
3 A
3 ??
2 ??
7 A
I
2
图2,23 例2,10 图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
7)
3
1
2
1
(
2
1
3
2
1
)
2
1
1
1
(
21
21
????
???
UU
UU
解之得
VUVU 12,6 21 ??
解 取节点 O为参考节点,节点 1,2的节点电压为 U1,U2,按
式（ 2.24）得
第 2章 直流电阻电路的分析计算
取各支路电流的参考方向,如图 2.23所示。 根
据支路电流与节点电压的关系,有
A
U
I
A
UU
I
A
U
I
4
3
12
3
3
2
126
2
6
1
6
1
2
3
21
2
1
1
???
??
?
?
?
?
???
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.11 应用弥尔曼定理求图 2.24所示电路中各支路电流。
解 本电路只有一个独立节点,设其电压为 U1,由式 (2.25)得
20 ??
0
10 V
I
1
10 ?? I
3
5 ??
20 V
＋
－
＋
－
1
I
2
图 2.23 例 2.10图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
设各支路电流 I1,I2,I3的参考方向如图中所示,求得各
支路电流为
VU 3.14
10
1
20
1
5
1
10
10
5
20
1
?
??
?
?
A
U
I
A
U
I
A
U
I
43.0
10
3.1410
10
10
72.0
20
3.14
20
14.1
5
3.1420
5
20
1
3
1
2
1
1
??
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.7 叠 加 定 理
叠加定理是线性电路的一个基本定理。 叠加定理可表述
如下, 在线性电路中,当有两个或两个以上的独立电源作用时,
则任意支路的电流或电压,都可以认为是电路中各个电源单独
作用而其他电源不作用时,在该支路中产生的各电流分量或电
压分量的代数和。
＋
－
U
s
R
1
R
2
I
1
0
I
s
( a )
＋
－
U
s
R
1
R
2
I ′
1
0
( b )
R
1
R
2
I ″
1
0
( c )
I
s＝ ＋
图 2.26 叠加定理举例
第 2章 直流电阻电路的分析计算
R2支路的电流
21
212
21
1
10 11
RR
IRRUR
RR
I
R
U
U ss
s
s
?
?
?
?
?
?
s
sss I
RR
R
RR
U
RR
IRU
R
U
I
21
1
2121
1
2
10
?
?
?
?
?
?
??
第 2章 直流电阻电路的分析计算
II
RR
R
RR
U
II
I
RR
R
I
s
s
s
?
?
?
?
??
?
?
21
1
21
"'
21
1"
21
'
RR
U
I s
?
?
第 2章 直流电阻电路的分析计算
使用叠加定理时,应注意以下几点,
（ 1） 只能用来计算线性电路的电流和电压,对非线性电
路,
（ 2） 叠加时要注意电流和电压的参考方向,求其代数
（ 3） 化为几个单独电源的电路来进行计算时,所谓电压
源不作用,就是在该电压源处用短路代替,电流源不作用,就
（ 4） 不能用叠加定理直接来计算功率。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.12 图 2.27（ a）所示桥形电路中 R1=2Ω,R2=1Ω,R3=3
Ω,R4=0.5Ω,Us=4.5V,Is=1A。试用叠加定理求电压源的电流 I
和电流源的端电压 U。
＋
－
R
1
( a )
R
3
R
4
R
2
U
s
－ ＋
U
I
I
2I
1
I
3
I
4
＋
－
U
s
－ ＋
U ′
I ′
I
1
′
R
1
R
3
R
4
R
2
－ ＋
U ″
I ″
I
2
I
3
I
4
″
″
″
I
1
″
I
s
( b ) ( c )
＝
I
3
′
I
4
′
I
2
′
＋
R
1
R
3
R
2
R
4
I
s
图 2.27 例 2.12图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
解 (1) 当电压源单独作用时,电流源开路,如图 2.27（ b）
所示,各支路电流分别为
AIII
A
RR
U
II
A
RR
U
II
s
s
9.3)39.0(
3
5.01
5.4
9.0
32
5.4
'
2
'
1
'
42
'
4
'
2
31
'
3
'
1
?????
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
电流源支路的端电压 U′为
VIRIRU 2.1)9.0335.0('33'44' ????????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
(2) 当电流源单独作用时,电压源短路,如图 2.27（ c） 所示,
则各支路电流为
AIII
AI
RR
R
I
AI
RR
R
I
s
s
2 6 7.0)3 3 3.06.0(
3 3 3.01
5.01
5.0
6.01
32
3
"
2
"
1
"
42
4"
2
31
3"
1
?????
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
电流源的端电压为
VIRIRU 5 3 3 3.13 3 3.016.02"22"11" ???????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
(3) 两个独立源共同作用时,电压源的电流为
AIII 1 6 7.42 6 7.09.3"' ?????
电流源的端电压为
VUUU 333.05333.12.1"' ??????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
－
＋
1 ?
I
1
I
3
1 ?
I
5
1 ?
1 ?
I
4
1 ?
I
2
1 ?10 V
a
b
d f
c e
图2, 2 8 例2, 1 3 图
例 2.13 求图 2.28 所示梯形电路中支路电流 I5。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
解 此电路是简单电路,可以用电阻串并联的方法化简。但
这样很繁琐。为此,可应用齐次定理采用“倒推法”来计算。
VUUU
AIIIVUUU
AIIIVU
AI
cdacab
efcecd
ef
13
,8,5
3,2
1
'''
'
3
'
2
'
1
'''
'
5
'
4
'
3
'
'
5
???
??????
????
?设
根据齐次定理可计算得
AI 769.0
13
101
5 ???
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.8 戴 维 南 定 理
戴维南定理指出, 含独立源的线性二端电阻网络,对其外
部而言,都可以用电压源和电阻串联组合等效代替 ; 该电压源
的电压等于网络的开路电压,该电阻等于网络内部所有独立源
作用为零情况下的网络的等效电阻。
IRUUUU
IIII
IRIRUII
UUI
ic
ii
c
????
???
?????
??
0
"'
""'
"""
0
''
,
,0
第 2章 直流电阻电路的分析计算
I
＋
－
U
R
i
＋
－
U
oc
a
b
( e )
I ″
＋
－
U ″
R
i
a
b
( d )
I
有
源
＋
－
U ′
a
b
I ′
( c )
有
源
＋
－
U
a
b
I
( b )
有
源
＋
－
U
a
b
I
( a )
＝ ＝
＝
＋
图 2.30 戴维南定理的证明
第 2章 直流电阻电路的分析计算
（ 1） 设网络内所有电源为零,用电阻串并联或三角形
与星形网络变换加以化简,计算端口 ab的等效电阻。
（ 2） 设网络内所有电源为零,在端口 a,b处施加一电
压 U,计算或测量输入端口的电流 I,则等效电阻 Ri=U/I。
（ 3） 用实验方法测量,或用计算方法求得该有源二端
网络开路电压 Uoc和短路电流 Isc,则等效电阻 Ri=Uoc/Isc。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.14 图 2.31（ a）所示为一不平衡电桥电路,试求检流
计的电流 I。
解 开路电压 Ｕ oc为
A
RR
U
I
R
VIIU
gi
c
i
c
126.0
1083.5
2
83.5
510
510
55
55
2
510
12
5
55
12
555
0
210
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
第 2章 直流电阻电路的分析计算
＋ －
12 V
I
a
5 ?
10
?
G R
g
＝ 10 ?
5 ?
5 ?
b
( a )
a
＋ －
12 V
I
1
5 ?
10
?
5 ?
5 ?
b
( b )
I
2
＋
－
U
oc
a
5 ?
10
?
5 ?
5 ?
b
( c )
R
i
＋
－
R
i
U
oc
b
a
G R
g
＝ 10 ?
I
( d )
图 2.31 例 2.14图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.15 求图 2.32（ a）所示电路的戴维南等效电路。
－
＋
U
oc
a
2.5 V
0.2
k ?
b
1.8
k ?
＋
－
0.4 k ?
( a )
I
1
I
2
5 m A
0.2
k ?
1.8
k ?
0.4 k ?
R
i
a
b
( b )
a
b
( c )
R
i
＋
－
U
oc
图 2.32 例 2.15图
第 2章 直流电阻电路的分析计算
解 先求开路电压 Uoc(如图 2.32(a)所示 )
VIIU
mAI
mAI
oc
32.72.44.058.14.08.1
5
2.4
4.02.0
5.2
12
2
1
??????????
?
?
?
?
然后求等效电阻 Ri
R
???? kRVU ioc 93.1,32.7
??
?
??? kR
i 93.14.02.0
4.02.08.1
其中
第 2章 直流电阻电路的分析计算
*2.9 含受控源电路的分析
2.9.1 受控源
受电路另一部分中的电压或电流控制的电源,称为受控源。
受控源有两对端钮, 一对为输入端钮或控制端口 ; 一对为输
出端钮或受控端口。受控源有以下四种类型,
(1) VCVS
(2) CCVS
(3) VCCS
(4) CCCS
第 2章 直流电阻电路的分析计算
＋
－
u
1
＋
－
?? u
1
( a )
＋
－
?? i
1
( b )
i
1
＋
－
u
1
g u
1
( c )
?? i
1
( d )
i
1
图 2.33 四种受控源的模型
第 2章 直流电阻电路的分析计算
2.9.2 含受控源电路的分析
含受控源电路的特点。
（ 1） 受控电压源和电阻串联组合与受控电流源和电阻并联组合
之间,像独立源一样可以进行等效变换。 但在变换过程中,必须保留控
制变量的所在支路。
（ 2） 应用网络方程法分析计算含受控源的电路时,受控源按独立
源一样对待和处理,但在网络方程中,要将受控源的控制量用电路变量
来表示。 即在节点方程中,受控源的控制量用节点电压表示 ; 在网孔方
程中,受控源的控制量用网孔电流表示。
（ 3） 用叠加定理求每个独立源单独作用下的响应时,受控源要像
电阻那样全部保留。同样,用戴维南定理求网络除源后的等效电阻时,
受控源也要全部保留。
（ 4） 含受控源的二端电阻网络,其等效电阻可能为负值,这表明
该网络向外部电路发出能量。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.16 图 2.34（ a）电路中,已知 Us,Is,R1,R2、
R3,α,试求 I。
图 2,3 4 例 2,1 6 图
( a )
?? I
R
2
a
b
? I
R
1
R
3
I
s＋
－
U
s
( b )
?? R
2
I
a
b
R
3
I
s＋
－
U
s
I
＋－
R
2
( c )
R
1
I
s
＋
－
U
s
R
2
U
oc
＋
－
b
c
( d )
?? R
2
I
a
b
R
1
I
＋－
R
2
＋
－
U I
R
1
c
c c
a
第 2章 直流电阻电路的分析计算
解 (1) 直接应用节点电压法。选节点 c为参考点,控制量
I=G3Ub
把受控电流源 αI=αG3Ub当作独立源,列节点方程如下
(G1+G2)Ua-G2Ub=G1Us-αG3Ub
-G2Ua+(G2+G3)Ub=Is+αG3Ub
从上列方程可以解得 Ub,并得到 I。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
(2) 变并为串。控制量表示为 I=Ubc/R3,由弥尔曼定理可
得 Ubc。
321
21
3
2
11
RRR
I
RR
U
R
R
aU
U
s
bcs
bc
?
?
?
?
?
?
解得 Ubc,就可得 I。
第 2章 直流电阻电路的分析计算
（ 3） 用戴维南定理。
IRaRIaRIRRU
UIRRU ssoc
])1([)(
)(
21221
21
??????
???
则
21 )1( RaRI
UR
i ????
最后得
321
21
3 )1(
)(
RRaR
UIRR
RR
UI ss
i
oc
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???
?
?
