第 4章 正弦交流电路
4.1 正弦量的基本概念
4.2 正弦量的有效值
4.3 正弦量的相量表示法
4.4 正弦电路中的电阻元件
4.5 正弦电路中的电感元件
4.6 正弦电路中的电容元件
4.7 基尔霍夫定律的相量形式
4.8 复阻抗,复导纳及其等效变换
4.9 RLC 串联电路
4.10 RLC 并联电路
4.11 正弦交流电路的相量分析法
4.12 正弦交流电路的功率
4.13 功率因数的提高
4.14 谐振
第 4章 正弦交流电路
第 4章 正弦交流电路
第 4章 正弦交流电路
4.1 正弦量的基本概念
4.1.1 正弦交流电的三要素
1,
正弦量瞬时值中的最大值,叫振幅值,也叫峰值。 用
大写字母带下标,m”表示,如 Um,Im等。
2,角频率 ω
角频率 ω表示正弦量在单位时间内变化的弧度数,即
t
a??
(4.1)
第 4章 正弦交流电路
u
0
?
U
m
??
? ?? tT
2
( ) ?? T ?
图 4.1 交流电的波形
f
T
?
?
? 2
2
??
(4.2)
第 4章 正弦交流电路
3,初相
)s i n ( ?? ?? tEe m
上式中的 (ωt+θ)是反映正弦量变化进程的电角度,可根
据 (ωt+θ)确定任一时刻交流电的瞬时值,把这个电角度称为
正弦量的“相位”或“相位角”,把 t=0时刻正弦量的相位
叫做“初相”,用字母,θ”表示。规定 |θ|不超过 π弧度。
第 4章 正弦交流电路
X
S
N
A
?
?? t
?? t ＋ ?
?
E
m
?
??
( a ) ( b )
?? t0
e
图 4.2 初相不为零的正弦波形
第 4章 正弦交流电路
0 ?? t
i
i
1
＝ I
m
s i n ?? t
( a )
?? t
i
i
2
＝ I
m
s i n( ?? t ＋ )
( b )
?
2
?
2
?? t
i
i
3
＝ I
m
s i n( ?? t ＋ )
( c )
?
6
?
6
?? t
i
i
4
＝ I
m
s i n( ?? t － )
( d )
?
6
?
6
0 0 0
图 4.3 几种不同计时起点的正弦电流波形
)s i n (
)s i n (
)s i n (
im
um
em
tIi
tUu
tEe
??
??
??
??
??
??
(4.5)
(4.6)
(4.7)
第 4章 正弦交流电路
例 4.2 在选定的参考方向下,已知两正弦量的解析式为
u=200sin (1000t+200° ) V,i=-5sin (314t+30° ) A,试求两个
正弦量的三要素。
解 (1) u=200sin(1000t+200° )=200sin(1000t-160° )V
所以电压的振幅值 Um=200V,角频率 ω=1000rad/s,初相 θu=-
160° 。
(2) i=-5sin(314t+30° )=5sin(314t+30° +180° )=5sin(314t-
150° )A
所以电流的振幅值 Im=5A,角频率 ω=314rad/s,初相 θi=-150° 。
第 4章 正弦交流电路
例 4.3 已知选定参考方向下正弦量的波形图如图 4.4所
示,试写出正弦量的解析式。
Vtu
Vtu
)
6
s i n (2 5 0
)
3
s i n (2 0 0
2
1
?
?
?
?
??
??解
?0
?
3
?
6
200
250
u / V
?? t
u
1
u
2
2 ?
图 4.4 例 4.3 图
第 4章 正弦交流电路
4.1.2 相位差
两个同频率正弦量的相位之差,称为相位差,用字母,φ”
表示。
212112
222
111
)()(
)s i n (
)s i n (
???????
??
??
??????
??
??
tt
tUu
tUu
m
m
（ 4.8）
相位差
第 4章 正弦交流电路下面分别加以讨论：
(1) φ12=θ1-θ2>0且 |φ12|≤π弧度
(2) φ12=θ1-θ2<0且 |φ12|≤π弧度
(3) φ12=θ1-θ2=0,称这两个正弦量同相
(4) φ12=θ1-θ2=π,称这两个正弦量反相
(5) φ12=θ1-θ2=,称这两个正弦量正交
2
?
0
?? t
u
( a )
0 ?? t
u
( b )
0 ?? t
( c )
0 ?? t
u
( d )
? ?
?
?
u
1
u
2
u
1
u
2
u
u
1
u
2 u
2
u
1
图 4.5 同频率正弦量的几种相位关系
第 4章 正弦交流电路
例 4.4 已知
求 u和 i的初相及两者间的相位关系。
Ati
Vtu
)45s i n (210
,)235s i n (2220
???
???
?
?
Vt
Vtu
)1 2 5s i n (22 2 0
)2 3 5s i n (22 2 0
???
???
?
?
解
所以电压 u的初相角为 -125°,电流 i的初相角为 45° 。
01 7 0451 2 5 ??????????? iuui ???
表明电压 u滞后于电流 i 170°
第 4章 正弦交流电路
例 4.5 分别写出图 4.6中各电流 i1,i2的相位差,并说明 i1
与 i2
0
i
?
?
2
3 ?
2
2 ?
( a )
? t
i
1
i
2
0
i
??
2
3 ?
2
2 ?
( b )
?? t
i
1
i
2
?
?
＝ ?
?
i
? ?
2
3 ?
2
2 ? ? t
i
1
i
2
( c )
i
? ?
2
3 ?
2
i
1
i
2
( d )
? 2 ? ? t
3 ?
4
?
图 4.6 例 4.5 图
第 4章 正弦交流电路
解 (a) 由图知 θ1=0,θ2=90°,φ12=θ1-θ2=-90°,表明 i1滞后
于 i2 90° 。
(b) 由图知 θ1=θ2,φ12=θ1-θ2=0,表明二者同相。
(c) 由图知 θ1-θ2=π,表明二者反相。
(d) 由图知 θ1=0,,表明 i1越
前于
4
3,
4
3
21122
?????? ?????
4
3
2
?i
第 4章 正弦交流电路
例 4.6已知
试分析二者的相位关系。
解 u1的初相为 θ1=120°,u2的初相为 θ2=-90°,u1和 u2的
相位差为
φ12=θ1-θ2=120° -(-90° )=210°
考虑到正弦量的一个周期为 360°,故可以将 φ12=210° 表示
为 φ12=-150° <0,表明 u1滞后于 u2 150° 。
,)90s i n (2220
,)120s i n (2220
2
1
Vtu
Vtu
?
?
??
??
?
?
第 4章 正弦交流电路
4.2
4.2.1 有效值的定义
交流电的有效值。 交流电的有效值是根据它的热效应
确定的。交流电流 i通过电阻 R在一个周期内所产生的热量
和直流电流 I通过同一电阻 R在相同时间内所产生的热量相
等,则这个直流电流 I的数值叫做交流电流 i的有效值,用大写
字母表示,如 I,U等。
第 4章 正弦交流电路
?
?
?
?
?
?
?
?
?
T
T
T
T
dtu
T
U
dti
T
I
dtRiRTI
dtRiQ
RTIQ
0
2
0
2
0
22
0
2
2
1
1
第 4章 正弦交流电路
4.2.2 正弦量的有效值
)0(
2
)2c o s(
2
2
2c o s1
s i n
1
2
0 0
2
0
2
0
22
????
?
??
? ?
??
T
T
I
t d tdt
T
I
dt
t
T
I
t d tI
T
I
m
T T
m
T
m
T
m
?
?
?
VU
U
U
U
I
I
I
m
m
m
m
m
3 1 122 2 0
7 0 7.0
2
7 0 7.0
2
??
??
??
第 4章 正弦交流电路
例 4.7 电容器的耐压值为 250V,问能否用在 220V的单
解 因为 220V的单相交流电源为正弦电压,其振幅值
为 311 V,大于其耐压值 250V,电容可能被击穿,所以不能接
在 220 V的单相电源上。各种电器件和电气设备的绝缘水
平（耐压值）,要按最大值考虑。
例 4.8 一正弦电压的初相为 60°,有效值为 100V,试求
它的解析式。
因为 U=100V,所以其最大值为 则电压
的解析式为
V2100
Vtu )60s i n (2100 ??? ?
第 4章 正弦交流电路 4.3 正弦量的相量表示法
4.3.1 复数及四则运算
1.复数
在数学中常用 A=a+bi表示复数。其中 a为实部,b为虚部,
称为虚单位。在电工技术中,为区别于电流的符号,
虚单位常用 j表示。
1??i
3
4O
＋ j
＋ 1
A
图 4.7 复数在复平面上的表示
第 4章 正弦交流电路
b
aO
＋ j
＋ 1
P
?
r
图 4.8 复数的矢量表示
)2(a r c t a n
22
??? ??
???
a
b
baAr
?
?
?
?
?
?
?
s in
c o s
rb
ra
第 4章 正弦交流电路
2,
(1) 复数的代数形式
jbaA ??
(2) 复数的三角形式
?? s i nc o s jrrA ??
(3) 复数的指数形式
?jreA ?
(4) 复数的极坐标形式
?rA ?
第 4章 正弦交流电路
例 4.9 写出复数 A1=4-j3,A2=-3+j4的极坐标形式。
解 A1的模
辐角
则 A1的极坐标形式为 A1=5 -36.9°
5)3(4 221 ????r
????? 9.364 3a r c t a n1?
（在第四象限）
54)3( 222 ????r
辐角
???? 9.1 2 63 4a r c t a n2?
(在第二象限 )
则 A2的极坐标形式为 ?? 9.1 2 6/5
2A
A2的模
第 4章 正弦交流电路
例 4.10 写出复数 A=100/30° 的三角形式和代数形式。
解 三角形式 A=100（ cos30° +jsin30°
代数形式 A=100(cos30° +jsin30° )=86.6+j50
3,复数的四则运算
(1) 复数的加减法
)()(
212121
22222
11111
bbjaaAA
rjbaA
rjbaA
?????
???
???
?
?
则
（ 4.16）
第 4章 正弦交流电路
O
＋ j
＋ 1
A
2
A
1
A
1
＋ A
2
A
1
－ A
2
图 4.9 复数相加减矢量图
(2) 复数的乘除法
21
2
1
22
11
21212211
??
?
?
????
???
??????
r
r
r
r
B
A
rrrrBA
第 4章 正弦交流电路
例 4.11 求复数 A=8+j6,B=6-j8之和 A+B及积 A·B
解 A+B=（ 8+j6)+(6-j8)=14-j2
A·B=(8+j6)(6-j8)=10/36.9° ·10/-53.1° =100/-16.2°
第 4章 正弦交流电路4.3.2 正弦量的相量表示法
O ′
＋ j
＋ 1
?? t
＋ j
B
O
? A
??
t 1
?
?
b
?? t
1
a
U
m
图 4.10 正弦量的复数表示
?
????
????
UU
tjUtU
eUeeU
mm
tj
m
tjj
m
?
????
??
?
?
)s i n ()c o s (
)(
第 4章 正弦交流电路
例 4.12 已知同频率的正弦量的解析式分别为
i=10sin(ωt+30° ),,写出电流和
电压的相量,并绘出相量图。
解 由解析式可得
)45s i n (22 2 0 ??? tu ?
?? UI、
VU
AI
???
????
?
?
45
2
2220
302530
2
10
相量图如图 4.11所示。
第 4章 正弦交流电路
30 °
O
＋ j
＋ 1
45°
·
U
·
I
图 4.11 例 4.12 图
第 4章 正弦交流电路
例 4.13 已知工频条件下,两正弦量的相量分别为
试求两正弦电压的解析式。
VUVU ????? ?? 30220,60210 21
解 由于
VttUu
VttUu
VU
VU
sr a df
)30100s i n (40)s i n (2
)60100s i n (10)s i n (2
30,220
60,10
/1005022
222
111
22
11
?????
?????
????
???
????
???
???
?
?
????
所以
第 4章 正弦交流电路
4.4 正弦电路中的电阻元件
4.4.1 电阻元件上电压与电流的关系
i
R
u
R
R
图 4.13 纯电阻电路
第 4章 正弦交流电路
1) 电阻元件上电流和电压之间的瞬时关系
2)
若
R
ui R
R ?
RIU
R
U
I
tIt
R
U
R
u
i
tUu
RmRm
Rm
Rm
Rm
RmR
R
RmR
???
?????
??
或
)s i n ()s i n (
)s i n (
????
??
其中
则
R
UI R
R ?
第 4章 正弦交流电路
3)
0 ?? t
u
R
( a )
u
R
i
R
? ??
·
I
R
U
R
·
( b )
i
R
图 4.14 电阻元件上电流与电压之间的关系
第 4章 正弦交流电路
4.4.2 电阻元件上电压与电流的相量关系
RIU
RIUU
tUu
II
tIi
RR
RR
R
RmR
R
R
RmR
??
?
?
?
???
??
?
??
??
??
?
??
)s i n (
)s i n (
第 4章 正弦交流电路
4.4.3 电阻元件的功率
交流电路中,任一瞬间,元件上电压的瞬时值与电流的
瞬时值的乘积叫做该元件的瞬时功率,用小写字母 p表示,即
)2c o s1(
)2c o s1(
2
s i n
s i ns i n
2
tIU
t
IU
tIU
tItUiup
uip
RR
RmRm
RmRm
RmRmRRR
?
??
??
??
???
???
?
第 4章 正弦交流电路
工程上都是计算瞬时功率的平均值,即平均功率,用大
写字母 P表示。 周期性交流电路中的平均功率就是其瞬时
功率在一个周期内的平均值,即
WkW
R
U
RIIUP
IUT
T
IU
dttdt
T
IU
dttIU
T
p d t
T
P
R
RRR
RR
RR
T T
RR
R
T T
R
1 0 01
)0(
)2c o s1(
)2c o s1(
11
2
2
0 0
0 0
?
???
???
??
???
? ?
? ?
?
?
功率的单位为瓦 (W）,工程上也常用千瓦（ kW）,即
第 4章 正弦交流电路
例 4.14 一电阻 R=100Ω,R两端的电压,
(1) 通过电阻 R的电流 IR和 iR
(2) 电阻 R接受的功率 PR
(3) 作 的相量图。
解 (1) 因为
RR IU
??,
AI
At
t
R
u
i
R
R
R
1
2
2
)30s i n (2
1 0 0
)30s i n (21 0 0
??
???
??
??
?
?
所以
? ? WRPWIUP RRRR 1 0 01 0 011 0 011 0 02 22 ??????? 或或
(3) 相量图如图 4.16所示。
第 4章 正弦交流电路例 4.15 一只额定电压为 220V,功率为 100W的电烙铁,误
接在 380V的交流电源上,问此时它接受的功率为多少？是否
安全？若接到 110V的交流电源上,
解 由电烙铁的额定值可得
WW
R
U
P
WW
P
U
P
P
U
R
R
R
R
10025
484
110
100298
484
380
484
100
220
22
2
22
1
22
????
????
????
当电源电压为 380V时,电烙铁的功率为
此时不安全,电烙铁将被烧坏。
当接到 110 V的交流电源上,此时电烙铁的功率为
此时电烙铁达不到正常的使用温度。
第 4章 正弦交流电路
4.5 正弦电路中的电感元件
4.5.1 电感元件上电压和电流的关系
1,瞬时关系
i
L
u
L L
dt
diLu
L ?
第 4章 正弦交流电路2,大小关系
设
)
2
s i n (
)c o s (
))s i n ((
)s i n (
iLm
iLm
iLm
L
iLmL
tLI
tLI
dt
tId
Lu
tIi
?
?
??
???
??
??
???
??
?
?
??
)s i n ()2s i n ( uLmiLmL tUtUu ????? ?????
LIU LmLm ??
fLLX
X
U
L
U
IXILIU
L
L
lL
LLLLL
??
?
?
2??
???? 或
XL称为感抗,当 ω的单位为 1/s,L的单位为 H,XL的单位为 Ω。
第 4章 正弦交流电路
3,相位关系
2
??? ??
iu
O
i
?? t
u
i
u
图 4.19 电感元件上电流和电压的波形图
第 4章 正弦交流电路
4.5.2 电感元件上电压和电流的相量关系
?
i
O
＋ j
＋ 1
.
U
L
.
I
L
图 4.20 电感元件电流和电压的相量图
第 4章 正弦交流电路
L
L
LL
iLiL
L
iLmL
iL
L
iLmL
IjXILjU
LIjLIU
tLIu
II
tIi
???
?
?
??
???
???
?
??
?
??
?
??
?
?
??
?
??
2
)
2
s i n (
)s i n (
第 4章 正弦交流电路
4.5.3 电感元件的功率
1,瞬时功率
tUI
tUI
tItUiup
tUu
tIi
LL
LmLm
LmLmLL
LmL
LmL
?
?
?
?
?
?
?
?
2s i n
2s i n
2
1
s i n)
2
s i n (
)
2
s i n (
s i n
?
?
?????
??
?
则
第 4章 正弦交流电路
0
u
L
, i
L
, p
L
u
L
p
＋ ＋
－
－
i
L
t
4
T
4
T
4
T
4
T
图 4.21 电感元件的功率曲线
第 4章 正弦交流电路
2,平均功率
?? ??? T LLT dttiuTdtpTP 00 02s i n11 ?
3,无功功率
我们把电感元件上电压的有效值和电流的有效值的乘积
叫做电感元件的无功功率,用Ｑ L表示。
L
L
LLLLL X
UXIIUQ 22 ???
QL>0,表明电感元件是接受无功功率的。
无功功率的单位为“乏”（ var）,工程中也常用“千乏”
（ kvar）。
1 kvar=1000 var
第 4章 正弦交流电路
例 4.16 已知一个电感 L=2H,接在 Vtu
L )603 1 4s i n (22 2 0 ???
的电源上,
(1) XL
(2) 通过电感的电流 iL
(3) 电感上的无功功率 QL。
v a r7735.0220
)150314s i n (235.0
15035.0
628
60220
6282314
????
???
???
??
??
?????
?
?
UIQ
Ati
A
jjX
U
I
LX
L
L
L
L
L
L
?
（ 1）
（ 2）
（ 3）
解
第 4章 正弦交流电路
例 4.17 已知流过电感元件中的电流为
,测得其无功功率 QL=500var,求
(1) XL和 L
(2) 电感元件中储存的最大磁场能量 WLm。
Ati L )30314s i n (210 ???
JLIW
mH
X
L
I
Q
X
Lm
Lm
L
L
L
59.1)210(109.15
2
1
2
1
9.15
3 1 4
5
5
10
5 0 0
232
22
??????
???
????
?
?
解 (1)
(2)
第 4章 正弦交流电路
4.6 正弦电路中的电容元件
4.6.1 电容元件上电压和电流的关系
1,
dt
duCi C
C ?
i
C
u
C
C
图 4.22 纯电容电路
第 4章 正弦交流电路
2,
设
fCC
X
X
U
C
U
CUI
CUI
tItIi
tItIi
tCUtCU
dt
du
Ci
tUu
C
C
CC
CC
CmCm
iCmuCmC
uCmuCmC
uCmuCm
C
C
uCmC
??
?
?
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??????
??
2
11
1
)s i n ()
2
s i n (
)
2
s i n ()
2
s i n (
)
2
s i n ()c o s (
)s i n (
??
???
?
?????
??????
??????
??
其中 XC称为容抗,当 ω的单位为 1/s，
C的单位为 F时,XC的单位为 Ω。
第 4章 正弦交流电路
3,相位关系
2
??? ??
ui
0
i
? 2 ?
?? t
u
C
i
C
u
图 4.23 电容元件上电流和电压的波形图
第 4章 正弦交流电路
4.6.2 电容元件上电压与电流的相量关系
C
CC
C
C
uCu
C
C
uC
C
uCmC
uC
C
uCmC
jX
U
IIjXU
CU
X
U
II
tIi
UU
tUu
?
???
??????
???
?
??
?
???
?
?
或
222
/
)
2
s i n (
)s i n (
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
第 4章 正弦交流电路4.6.3
1,
tIUtItUiup CCCmCmCC ???? 2s i n)2s i n (s i n ?????
u
C
, i
C
u
C
p
p
i
C
t
＋
＋
－
－
4
T
4
T
4
T
4
T
0
图 4.25 电容元件功率曲线
第 4章 正弦交流电路
2,平均功率
02s i n111
0 00
???? ? ?? dttiuTp d tTp d tTP T T CCT ?
3,
我们把电容元件上电压的有效值与电流的有效值乘积
的负值,称为电容元件的无功功率,用 QC表示。即
C
C
CCCCC X
UXIIUQ 22 ??????
QC<0表示电容元件是发出无功功率的,QC和 QL一样,单位也
是乏（ var）或千乏 (kvar)。
第 4章 正弦交流电路
例 4.18 已知一电容 C=50μF,接到 220V,50Hz的正弦交
流电源上,
(1) XC
(2) 电路中的电流 IC和无功功率 Ｑ Ｃ
(3) 电源频率变为 1000 Hz时的容抗。
??
????
??
?
???????
???
??
????
???
?
?
18.3
10501 0 0 014.32
1
2
1
1 0 0 0
v ar7 5 945.32 2 0
45.3
7.63
2 2 0
7.63
50105014.32
1
2
11
6
6
fC
X
Hzf
IUQ
A
X
U
I
fCC
X
C
CCC
C
C
C
C
?
??
时当
解 (1）
(2)
(3)
第 4章 正弦交流电路
例 4.19 一电容 C=100μF,接于
的电源上。
(1) 流过电容的电流 IC
(2) 电容元件的有功功率 PC和无功功率 QC
(3) 电容中储存的最大电场能量 WCm
(4) 绘电流和电压的相量图。
Vtu )451 0 0 0s i n (22 2 0 ???
第 4章 正弦交流电路
Ati
A
jX
U
I
VU
C
X
C
C
C
C
C
C
)451000s i n (222
4522
9010
45220
45220
10
101001000
11
6
???
?
??
??
?
?
?
???
??
??
??
?
?
?
?
所以
?
（ 1）
第 4章 正弦交流电路
J
CuW
IUQ
P
CmCm
CCC
C
84.4
)2220(10100
2
1
2
1
v a r484022220
0
26
2
?
????
?
???????
?
?
（ 2）
（ 3）
第 4章 正弦交流电路
(4) 相量图如图 4.26所示。
＋ j
＋ 1
I
C
.
U
C
.
45°
45°O
图 4.26 例 4.19 图
第 4章 正弦交流电路
表 4.1 各元件上电压与电流的比较
电路 电压和电流的大小关系 相位关系 阻抗 功率 相量关系
电阻 R
感抗
容抗
U,
I
.
i
u
LR
U
.
I
.
i
u
C
U
.
I
.
i
u
R
UI
IRU
?
?
L
L
X
U
L
UI
IXLIU
??
??
?
?
C
C
X
UCUI
IX
C
IU
??
??
?
?
1
LX L ??
CX C ?
1?
R
U
RI
UIP
2
2
?
?
?
L
LL
X
U
XIQ
P
2
2
0
?
?
?
C
CC
X
U
XIQ
P
2
2
0
?
??
?
RIU ?? ?
?? ? IXjU
L
?? ?? IjXU
C
第 4章 正弦交流电路
4.7 基尔霍夫定律的相量形式
4.7.1 相量形式的基尔霍夫电流定律
0
0
?
?
?
?
?
I
i
第 4章 正弦交流电路
4.7.2 相量形式的基尔霍夫电压定律
0
0
?
?
?
?
?
U
u
第 4章 正弦交流电路
例 4.20 如图 4.27（ a）,(b)所示电路中,已知电流表
A1,A2,A3都是 10 A,求电路中电流表 A的读数。
A
2
A
1
A
L
i
2
i
1 R
i
＋
－
u
A
2
A
1
A
L
i
2
i
1 R
i
＋
－
u
A
3
i
3
C
( a ) ( b )
图 4.27 例 4.20图
第 4章 正弦交流电路
解 设端电压
VUU ??? 0
(1) 选定电流的参考方向如图 (a)所示,则
AIII
AI
AI
??????????
???
??
???
?
?
452109010010
9010
010
21
2
1
(与电压同相 )
（滞后于电压 90° ）
电流表 A的读数为 注意, 这与直流电路是不同的,
总电流并不是 20A 。
A210
第 4章 正弦交流电路
(2) 选定电流的参考方向如图 (b)所示,则
AIIII
AI
AI
AI
1090109010010
9010
9010
010
321
3
2
1
???????????
??
???
??
????
?
?
?
(超前于电压 90° )
由 KCL
电流表 A的读数为 10A 。
第 4章 正弦交流电路
例 4.21 如图 4.28（ a）,(b)所示电路中,电压表 V1,V2、
V3的读数都是 50V,试分别求各电路中 V表的读数。
V
1
R
u
1
V
2
u
2
V
L
u＋ －
i
V
1
R
u
1
V
2
u
2
V
L
u＋ －
i
V
3
u
3
( a ) ( b )
C
解 设电流为参考相量,即
a） 选定 i,u1,u2,u的参考方向如图 (a)所示,则
VU
VU
II
??
??
??
?
?
?
9050
050
0
2
1
(与电流同相 )
（超前于电流 90° ）
第 4章 正弦交流电路
由 KVL
VjUUU ?????????? ??? 452505050905005021
所以电压表 V的读数为 V250
（ b） 选定 i,u1,u2, u3的参考方向如图 (b)所示,则
VU
VU
VU
???
??
??
?
?
?
9050
9050
050
3
2
1
(滞后于电流 90° )
由 KCL
VjjUUUU 5050505090509050050321 ?????????????? ????
电流表 A的读数为 50V。
第 4章 正弦交流电路
4.8 复阻抗,复导纳及其等效变
4.8.1
1,
Z
I
U
C
j
I
U
Lj
I
U
R
I
U
C
C
L
L
R
R
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
把式中 Z称为元件的阻抗。
第 4章 正弦交流电路
u
＋
－
i＋
－
u
s
＋
－
u
s
i
＋
－
u
( a ) ( b )
Z
图 4.29 正弦交流电路的复阻抗
第 4章 正弦交流电路
iu
I
UZ
??? ??
?
Z是一个复数,所以又称为复阻抗,|Z|是阻抗的模,φ为
阻抗角。复阻抗的图形符号与电阻的图形符号相似。复阻
抗的单位为 Ω。
i
u
I
U
ZZ
I
U
?
?
? ????
?
Z称为该电路的阻抗
第 4章 正弦交流电路
jXRZ ??
,Z的实部为 R,称为“电阻”,Z的虚
部为 X,称为“电抗”,它们之间符合阻抗三角形。
R
X
XRZ
ar c t an
22
?
??
?
?
R
X
| Z |
图 4.30 阻抗三角形
第 4章 正弦交流电路
2,
复阻抗的倒数叫复导纳,用大写字母 Y表示,即
Z
Y 1?
在国际单位制中,Y的单位是西门子,用,S”表示,简称
“西”。 由于 Z=R+jX,所以
jBG
Z
Xj
Z
R
XR
jXR
jXRZY ??
???
?
??
??? 2222
11
复导纳 Y的实部称为电导,用 G表示 ; 复导纳的虚部称为
电纳,用 B表示,由上式可知
第 4章 正弦交流电路
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
Z
X
B
Z
R
G
复导纳的极坐标形式为
'?YjBGY ???
|Y|为复导纳的模,φ′为复导纳的导纳角,所以有
G
B
BGY
ar c t an'
22
?
??
?
（ 4.53）
第 4章 正弦交流电路
3,复阻抗与复导纳的关系
YUI
Z
Y
YY
ZZZ
Y
??
?
??
?
?
????
??
?
?
?
'
'
1
111
第 4章 正弦交流电路
4.8.2 复阻抗与复导纳的等效变换
1.
式 (4.53)就是由复阻抗等效为复导纳的参数条件。
2,将复导纳等效为复阻抗
jXRBG jBBG GBG jBGjBGYZ ???????????? 22222211
第 4章 正弦交流电路 R
i
u
j X
G
i
u j B
( a ) ( b )
图 4.31 复阻抗与复导纳的等效变换
22
22
BG
B
X
BG
G
R
?
?
?
?
?
第 4章 正弦交流电路
例 4.22 已知加在电路上的端电压为 u=311sin(ωt+60° )V,
通过电路中的电流为 |Z|、阻抗角 φ和导纳角
φ′。
解 电压的相量为
AI ???? 3010
?????
?????????
????
???????
?
90
90)30(60
22
10
2 2 0
90)30(60
2
3 1 1
??
???
iu
I
U
Z
U
所以
第 4章 正弦交流电路
例 4.23 如图 4.31(a)所示,已知电阻 R=6Ω,X=8Ω,试求其
等效复导纳。
解 由已知条件
SSjjBGY
S
XR
X
Z
X
B
S
XR
R
Z
R
G
jjXRZ
08.006.0
08.0
100
8
06.0
100
6
86
222
222
????
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?????
由式 (4.53)可知
第 4章 正弦交流电路
4.9 RLC串联电路
4.9.1 电压与电流的关系
ZIjXRIU
XXjRIjXIjXIRIUUUU
jXIU
jXIU
RIU
II
CLCL
CLR
C
C
L
L
R
???
????????
??
??
??
?
???
?????????
??
?
?
??
)(
)]([
0
第 4章 正弦交流电路
4.9.2
1,电感性电路, XL>XC
此时 X>0,UL>UC。阻抗角 。
2,电容性电路, XL<XC
此时 X<0,UL<UC。 阻抗角 φ <0。
3,电阻性电路, XL=XC
此时 X=0,UL=UC。阻抗角 φ=0。
0a r c t a n ?? RX?
第 4章 正弦交流电路
( a )
U
L
?
.
U
C
.
U
.
U
R
.
I
.
U
C
?
.
U
L
.
U
.
U
R
.
I
.
( b ) ( c )
U
L
.
U
C
.
I
.U
R
＝ U
.,
U
X
＝ U
L
＋ U
C
.,,
U
X
＝ U
L
＋ U
C
.,,
图 4.33 RLC串联电路的相量图
第 4章 正弦交流电路
4.9.3 阻抗串联电路
Z
1
U
2
U
U
n
Z
2
Z
n
…
.
U
1
.
.
.
I
.
图 4.34 多阻抗串联
第 4章 正弦交流电路
n
n
n
n
ZZZZ
ZI
ZZZI
ZIZIZI
UUUU
???????
?
??????
??????
???????
?
?
???
????
21
21
21
21
(
第 4章 正弦交流电路
例 4.24 有一 RLC串联电路,其中 R=30Ω,L=382mH,
C=39.8μF,外加电压,试求
(1) 复阻抗 Z,并确定电路的性质 ;
(2); ;
(3) 绘出相量图。
Vtu )603 1 4s i n (22 2 0 ???
CLR UUUI
????,、、
????????
?
????
??????
1.53504030)80120(30
)
8.39314
10
382.0314(30
)
1
()(
6
jj
j
C
LjRXXjRZ
CL
?
?
,01.53 ????
所以此电路为电感性电路。
(1)
第 4章 正弦交流电路
V
I j XU
V
jXIU
VRIU
A
Z
U
I
CC
LL
R
???
???????
??
?????
??????
??
?
?
??
??
??
??
?
?
1.833 5 2
90809.64.4
9.965 2 8
901 2 09.64.4
9.61 3 2309.64.4
9.64.4
1.5350
602 2 0
(2)
第 4章 正弦交流电路
(3) 相量图如图 4.35所示。
.
U
R
.
.
U
U
X
＝ U
L
＋ U
C
I
.,,
＋ 1
＋ j
60°
6.9°
O
U
C
.
U
L
.
图 4.36 例 4.25 图
第 4章 正弦交流电路
例 4.25 用电感降压来调速的电风扇的等效电路如图 4.36(a)
所示,已知 R=190Ω,XL1=260Ω,电源电压 U=220V,f=50Hz,要使
U2=180V,问串联的电感 LX应为多少？
( b )
U
.
.
.
U
L
.
X
U
R
I
U
L
.
X
U
L
.
＋
R
u
1
u
L
1
L
X
i
u
2
( a )
?
U
L
.
1
1
图 4.36 例 4.25 图
第 4章 正弦交流电路解 以 为参考相量,作相量图如图 4.36(b)所示。
?I
H
U
X
I
U
X
VU
U
UUUU
VIXU
VIRU
A
Z
U
I
jjXRZ
X
X
X
X
X
X
X
L
L
L
L
L
L
L
LR
LL
R
L
2 6 7.0
3 1 4
9.83
9.83
56.0
96.64
96.64
)6.1 4 5(4.1 0 62 2 0
)(
6.1 4 52 6 056.0
4.1 0 61 9 056.0
56.0
3 2 2
1 8 0
8.533 2 22 6 01 9 0
222
22
1
2
1
1
11
1
???
????
?
???
???
????
????
???
????????
?
第 4章 正弦交流电路
例 4.26 图 4.37(a)所示 RC 串联电路中,已知
要使输出电压滞后于输入电压 30°,求电阻 R。
解 以 为参考相量,作电流,电压相量图,如图 4.37(b)
所示。
滞后于输入电压 （注意不为阻抗
角）,由相量图可知, 总电压 滞后于电流,即阻抗角
φ=-60° 。所以
?? 310CX
?I
0
?U ?? 30
iU
iU
? ?
? 60I
??
?
??
??
??? 10
3
310
)60t a n(t a n
CC XXR
?
第 4章 正弦交流电路
( b )
U
i
.
.
.
U
R
I
U
o
.
U
C ＝
U
o
.,
X
C
u
o
i
u
i
＋
－
＋
－
R
( a )
?
30 °
图 4.37 例 4.26 图
第 4章 正弦交流电路 4.10 RLC并联电路
4.10.1 阻抗法分析并联电路
21
21
21
22
1
11
1
ZZ
ZZ
Z
Z
U
III
jXR
U
Z
U
I
jXR
U
Z
U
I
C
L
?
?
???
?
??
?
??
?
???
??
?
??
?
C
i
R
1
R
2
u
i
1
L
＋
－
i
2
图 4.41 并联电路
第 4章 正弦交流电路
?
?
1
?
2
I
2
.
I
.
I
1
.
U
.
图 4.42 并联电路的相量图
第 4章 正弦交流电路例 4.27 两条支路并联的电路如图 4.43所示。已知
VtuXXR CL )60s i n (22 2 010,6,8 ????????? ?端电压
求各支路电流 及总电流,并画出相量图。
21
?? II, ?I
解 选 的参考方向如图所示。
iiiu,、,21
A
Z
U
A
Z
U
VU
jjXZ
jjXRZ
I
I
C
L
??
??
?
??
??
?
?
??
??
????????
???????
?
?
?
?
?
15022
9010
60220
1.2322
9.3610
60220
60220
901010
9.361068
2
2
1
1
2
1
第 4章 正弦交流电路
C
i
R
u
i
1
L
＋
－
i
2
I
2
.
I
.
I
1
.
U
.
＋ j
＋ 1
60°
2 3,1 °
O
图 4.43 例 4.27图
图 4.44 例 4.27相量图
Aj
jjIII
????
??????????
???
8.867.196.191.1
111.196.82.20150221.232221
第 4章 正弦交流电路
4.10.2 导纳法分析并联电路
C
i
R
u
i
R
L
i
L
i
C
图 4.45 RLC并联电路
第 4章 正弦交流电路
)()(
1
1
1
3
2
1
3
2
1
jBGUjBjBGUIIII
UBjUYI
UjBUYI
GUUYI
jB
X
j
jX
Y
jB
X
j
jX
Y
G
R
Y
CL
CLR
C
C
L
L
R
C
CC
L
LL
????????
??
???
??
??
?
?
??
?
??
??
??????
???
???
???
第 4章 正弦交流电路
其中 为电阻支路的“电导” ; 为电感支路的
“感纳” ; 为电容支路的“容纳”。
B=BC-BL称为“电纳”,利用电纳也可判断电路的性质,
(1) B>0,即 BC>BL。这时 IL<IC,总电流越前于端电压,电路
呈电容性,如图 4.46（ a
(2) B<0,即 BC<BL。这时 IL>IC,总电流滞后于端电压,电路
呈电感性,如图 4.46（ b
(3) B=0,即 BC=BL。这时 IL=IC,总电流与端电压同相,电路
呈电阻性,如图 4.46（ c）
RG
1?
LBL ?
1?
CB C ??
第 4章 正弦交流电路
( a ) ( b ) ( c )
U
.I
R
＝ I
.,
I
C
? ′
.
U
.
I
B
.
I
L
.
I
.
I
R
.
I
C
? ′
.
U
.
I
B
.
I
L
.
I
R
.
I
C
.
I
L
.
I
.
图 4.46 RLC并联电路相量图
第 4章 正弦交流电路例 4.28 图 4.45所示为 RLC并联电路,已知端电压为
(1) 并联电路的复导纳 Y;
(2) 各支路的电流 和总电流 ;
(3) 绘出相量图。
解 选 u,i,iR,iL,iC的参考方向如图所示。
FCmHLRVtu ?159,127,10,)30314s i n (2220 ???????
试求
CLR III
???,,?
I
SjjCj
jX
Y
Sj
j
jX
Y
S
R
Y
C
L
05.0101 5 93 1 4
1
0 2 5.0
101 2 73 1 4
1
1.0
10
11
6
3
32
1
?????
?
?
??
??
?
??
???
?
?
?
第 4章 正弦交流电路
AYUI
AjYUI
AjYUI
AYUI
VU
SjjYYYY
C
L
R
???????
??????
????????
??????
??
??????????
??
??
??
??
447.22141 0 3.0302 2 0
1 2 01105.0302 2 0
605.5)0 2 5.0(302 2 0
30221.0302 2 0
,302 2 0)2(
140 1 3.00 2 5.01.0)0 2 5.005.0(1.0)1(
3
2
1
321
则由已知
第 4章 正弦交流电路
(3) 相量图如图 4.47
I
C
.
I
R
.
U
.
＋ j
＋ 1
60°
30°
0
I
L
.
I
.
图 4.47 例 4.28相量图
第 4章 正弦交流电路4.10.3 多阻抗并联
Y
1U
.
I
.
I
1
.
Y
2 I
2
.
Y
n I
n
.
…
…
图 4.48 多阻抗并联
第 4章 正弦交流电路
n
n
nn
nnn
n
n
n
n
n
BBBB
GGGG
jBGBBBjGGG
jBGjBGjBGYYYY
YYYY
YUYYYUIIII
YUI
YUI
YUI
???????
??????
????????????????
?????????????????
???????
?????????
?
?
?
??????
??
??
??
21
21
2121
221121
21
21
211
2
2
1
1
)()(
).,,(.,,
第 4章 正弦交流电路
例 4.29 图 4.49 所示并联电路中,已知端电压
(1) 总导纳 Y;
(2) 各支路电流, 和总电流 。
解 选 u,i,i1,i2的参考方向如图所示。
?????? 8,)303 1 4s i n (22 2 0 CL XXVtu
1
?I
2
?I ?I
R
1
R
2
U
j X
L
.
I
.
－ j X
C
I
2
.
I
1
.
图 4.49 例 4.29 图
第 4章 正弦交流电路
由已知
? ?
AYUI
AYUI
AYUI
SjjYYY
Sj
j
jjXR
Y
Sj
j
jjXR
Y
VU
C
L
????????
????????
??????????
???????
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
??
??
??
?
304.2612.0302 2 0
1.23221.531.0302 2 0
1.83221.531.0302 2 0)2(
12.008.006.008.006.0
08.006.0
1 0 0
86
86
11
08.006.0
1 0 0
86
86
11
1
,302 2 0
2
2
1
1
21
2
2
1
1
有
第 4章 正弦交流电路
4.11 正弦交流电路的相量分析法
4.11.1 网孔电流法
＋
－
j X
L
－ j X
C
U
s 1
.
R
＋
－
U
s 2
.
I
1
.
I
2
.
a
b
I
3
.
I
m 1
.
I
m 2
.
图 4.52 网孔电流法
第 4章 正弦交流电路
213,2211
222111
22
211211
222221
21
112121
11
,
,
,
mmmm
SSSS
L
C
smm
smm
IIIIIII
UUUU
jXRZ
RZZjXRZ
UIZIZ
UIZIZ
???????
????
???
???
????
???
??
?????
?
?
?
?
?
??
??
第 4章 正弦交流电路
例 4.30 图 4.52 所示电路中,已知
????????? 8,8,6,901002 CLs XXRVU
,01 0 01 VU s ???
求各支路电流。
解 选定各支路电流,, 和网孔电流,
参考方向如图所示,选定绕行方向和网孔电流的参考方向一
致。 列出网孔方程为
1
?I
2
?I
3
?I 1mI? 2mI?
jIjI
IIj
mm
mm
1 0 0)86(6
01 0 06)86(
21
21
?????
????
??
??
第 4章 正弦交流电路
AIII
AII
AII
AjI
AjI
j
Ijj
I
Ij
I
mm
m
m
m
m
m
m
m
m
?????????
????
???
??????
????
??
???
??
??
?
???
??
??
?
?
?
?
?
?
456.171 0 88.91989.9
1 0 88.9
1989.9
1 0 88.925.93
1989.913.338.9
1 0 0
6
]1 0 0)86)[(86(
6
6
1 0 0)86(
213
22
11
2
1
1
1
1
2
第 4章 正弦交流电路
4.11.2 节点法
321
2211
YYY
YUYU
U ssab
??
?
?
??
?
其中
RYjXYjXY LC
1,1,1
321 ?????
第 4章 正弦交流电路
例 4.31 图 4.52 所示电路中已知数据同例 4.30,试用节
点法求各支路电流。
解 以 b点为参考节点,各支路电流,, 参考方向
如图所示
311
??? III
Vj
jj
j
j
j
U
S
R
Y
S
jjX
Y
S
jjX
Y
ab
L
C
????
??
?
?
?
?
???
???
??
?
?
?
451.1 0 6)1(
8
6 0 0
6
1
8
1
8
1
8
1 0 0
8
1 0 0
6
11
8
11
8
11
3
2
1
第 4章 正弦交流电路
A
R
U
I
A
j
j
jX
UU
I
A
jjX
UU
I
ab
L
sab
C
abs
??
?
??
??
?
??
?
??
?
?
?
??
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
457.17
6
451 0 6
1 0 889.9
908
185.6 3 2
8
1 0 0451.1 0 6
1989.9
9064
715.6 3 2
8
451.1 0 61 0 0
3
2
2
1
1
第 4章 正弦交流电路
4.12 正弦交流电路的功率
4.12.1 瞬时功率 p
Z
U
.
I
.
图 4.53 功率
第 4章 正弦交流电路
)]2c o s ([ c o s
)]c o s ()[ c o s (
2
1
2
s i n)s i n (2`
s i n2)s i n (2
)s i n (2
s i n2
???
??????
???
???
??
?
???
???????
???
????
??
?
tUI
ttttUI
ttUI
tItUuip
tUu
tIi
第 4章 正弦交流电路
4.12.2 有功功率 P
我们把一个周期内瞬时功率的平均值称为“平均功
率”,或称为“有功功率”,用字母,P”表示,即
+ +
－－ －
?
p,u,i
p ＝ ui
i
u
? 2 ? ?? t
P ＝ U I c os ?
0
图 4.54 瞬时功率波形图
第 4章 正弦交流电路
RIIUP
IUPUIP
UIUIP
UIdttUI
T
dtUI
T
dttUI
T
pdt
T
P
R
RR
TT
TT
2
00
00
c o s
c o s
0c o s)]2c o s ([
1
)c o s(
1
)]2c o s ([ c o s
11
??
???
??
?????
????
??
??
?
??
????
???
第 4章 正弦交流电路
4.12.3 无功功率 Q
无功功率的定义式为
CL QQQ
UIQ
??
? ?s in
第 4章 正弦交流电路
4.12.4 视在功率 S
视在功率的定义式为
VAk V A
UIS
1 0 0 01 ?
?
第 4章 正弦交流电路
4.12.5 功率三角形
S
Q
P
?
图 4.55 功率三角形S
P
P
Q
QPS
QPS
??
?
??
??
??
?
c o s
t a n
22
222
第 4章 正弦交流电路
例 4.32 已知一阻抗 Z上的电压,电流分别为
(电压和电流的参考方向一
致 ),求 Z,cosφ,P,Q,S。
VAQPS
UIQ
WUIP
I
U
Z
1 1 0 0
v ar35 5 0
2
3
52 2 0s i n
5 5 0
2
1
52 2 0c o s
2
1
60c o sc o s
6044
305
302 2 0
22
???
?????
?????
???
???
??
?
??
?
?
?
?
AIVU ????? ?? 305,30220
第 4章 正弦交流电路
例 4.33 已知 40W的日光灯电路如图 4.56所示,在 =220V
的电压之下,电流值为 I=0.36A,求该日光灯的功率因数 cosφ
及所需的无功功率 Q。
解 因为
?c o sUIP ?
所以
5.036.0220 40c o s ???? UIP?
由于是电感性电路,所以 φ=60° 。
电路中的无功功率为
v a r6960s i n36.0220s i n ?????? ?UIQ
I
U
.
.
R
j X
L
图 4.56 例 4.33 图
第 4章 正弦交流电路
例 4.34 用三表法测量一个线圈的参数,如图 4.57所示,
得下列数据, 电压表的读数为 50V,电流表的读数为 1A,功率
表的读数为 30W,试求该线圈的参数 R和 L 。（电源的频率为
50Hz
A
R
W
V
j X
L
U
.
I
.
图 4.57 例 4.34图
第 4章 正弦交流电路
解 选 u,i为关联参考方向,如图 4.57所示。根据
RIP 2?
求得
???? 3030 22 IIPR
线圈的阻抗
???? 50150IUZ
22
LXRZ ??
由于
1 2 7.0
3 1 4
40
402
2
???
????
?
L
L
X
L
RZX
所以
则
第 4章 正弦交流电路
4.13 功率因数的提高
4.13.1 提高功率因数的意义
功率因数低会引起下述的不良后果。
(1) 电源设备的容量不能得到充分的利用。
(2)
第 4章 正弦交流电路
4.13.2 提高功率因数的方法
I
R
U
j ?? L
＋
－
.
.
I
C
.
－ j
?? C
1
( a )
I
C
.
?
?
?
?
I
1
.
I
C
.
I
.
U
.
( b )
I
1
.
图 4.59 功率因数的提高
第 4章 正弦交流电路
)t an( t a n
)t an( t a n
c o s
s i n
c o s
s i n
s i ns i n
c o s
,c o s
c o s
,c o s
21
21
2
2
1
1
211
21
1
211
???
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
??
????
??
??
U
P
CU
CU
X
U
I
U
P
U
P
U
P
III
U
P
IUIP
U
P
IUIP
C
C
C
并联电容后有
并联电容前有
由图 4.59（ b）可以看出
又知
代入上式可得
第 4章 正弦交流电路
)t an( t an
)t an( t an
21
2
2
2
2
212
??
?
?
??
?
??
?
???
??
PQ
U
Q
C
CU
X
U
XIQ
U
P
C
C
C
C
CC即
因为
所以
代入式 4.73可得
(4.73)
(4.74)
第 4章 正弦交流电路
例 4.35 如图 4.60 所示为一日光灯装置等效电路,已知
P=40W,U=220V,I=0.4A,f=50Hz,
(1) 此日光灯的功率因数 ;
(2) 若要把功率因数提高到 0.9,需补偿的无功功率 QC及电
容量 C
i
u
R
L
C
图 4.60 例 4.35 图
第 4章 正弦交流电路
解 (1) 因为
?c o sUIP ?
所以
455.04.0220 40c o s ???? UIP?
(2) 由 cosφ1=0.455 得 φ1=63°,tanφ1=1.96。由 cosφ2=0.9
得 φ2=26°,tanφ2=0.487。利用式 (4.74)可得
v a r9.58)4 8 7.096.1(40 ???CQ
所以
FFUQC C ?? 88.31088.322014.32 9.58 622 ??????? ?
第 4章 正弦交流电路
4.14 谐 振
4.14.1 串联谐振
1,谐振现象
i
u
R
L
C
＋
－
图 4.61 R,L,C串联电路
?ZjXRXXjRZ CL ?????? )(
当 X=XL-XC=0时,电路相当于“纯电阻”电路,其总电压 U
和总电流 I同相。 电路出现的这种现象称为“谐振”。
第 4章 正弦交流电路
2,产生谐振的条件
CLCL XXXX ??? 或0
CL ??
1?
(1) 当 L,C固定时,可以改变电源频率达到谐振
LCT
LC
f
LC
?
?
?
2
2
1
1
0
0
0
?
?
?
第 4章 正弦交流电路
(2) 当电源的频率 ω 一定时,可改变电容 C和电感 L使
电路谐振。
C
L
L
C
2
2
1
1
?
?
?
?
(4.80)
第 4章 正弦交流电路
例 4.36 图 4.62为一 R,L,C串联电路,已知 R=10Ω,
L=500μH,C为可变电容,变化范围为 12～ 290pF。若外施信
号源频率为 800kHz,则电容应为何值才能使电路发生谐振。
解 由于
pF
LfL
C
2.79
105 0 0)108 0 02(
1
)2(
11
623
22
?
?????
?
??
?
?
??
i
u
R
L
C
图 4.62 例 4.36图
第 4章 正弦交流电路
例 4.37 某收音机的输入回路（调谐回路）,可简化为
一 R,L,C组成的串联电路,已知电感 L=250μH,R=20Ω,今
欲收到频率范围为 525～ 1610kHz的中波段信号,试求电容 C
的变化范围。
解 由式 (4.80)可知
LfLC 22 )2(
11
?? ??
第 4章 正弦交流电路
当 f=525kHz时,电路谐振,则
pFC 368
10250)105252(
1
6231 ?????? ?
pFC 1.39
10250)1016102(
1
6231 ?????? ?
当 f=1610 kHz 时,电路谐振,则
所以电容 C的变化范围为 39.1～ 368 pF。
第 4章 正弦交流电路
3,串联谐振的基本特征
(1) 谐振时,阻抗最小,且为纯阻性。
因为谐振时,X=0,所以 Z=R,|Z|=R
(2) 谐振时,电路中的电流最大,且与外加电源电压同相。
R
UI s?
I
.U
R
＝ U
.,
U
L
.
U
C
.
图 4.63 串联谐振相量图
第 4章 正弦交流电路
(3) 谐振时,电路的电抗为零。感抗 XL和容抗 XC相等,其
值称为电路的特性阻抗 ρ。
由于谐振时
LC
1
0 ??
C
L
C
L
C
L
C
LC
C
X
C
L
L
LC
LX
C
L
???
????
????
0
0
0
0
00
1
1
11
1
?
??
?
?
??
第 4章 正弦交流电路
(4) 谐振时,电感和电容上的电压大小相等,相位相反,且
其大小为电源电压 Us的 Q倍。 Q
sC
s
L
QUUU
RR
L
RI
LI
U
U
Q
??
??
?
?
??
010
000 ???
第 4章 正弦交流电路
例 4.38 已知 R,L,C串联电路中,R=20Ω,L=300μH,信号
源频率调到 800kHz时,回路中的电流达到最大,最大值为
0.15mA,试求信号源电压 Us、电容 C、回路的特性阻抗 ρ,品
质因数 Q及电感上的电压 UL0。
解 根据谐振电路的基本特征,当回路的电流达到最大时,
电路处于谐振状态。由于谐振时
pF
LfL
C
132
10300)108002(
1
)2(
11
623
22
?
????
?
??
?
?
??
第 4章 正弦交流电路
mVQUU
R
Q
C
L
mVRIUU
sL
Rs
2 2 5375
75
20
1 5 0 8
1 5 0 8
101 3 2
103 0 0
32015.0
0
12
6
0
????
???
??
?
?
??
?????
?
?
?
?
谐振时
则电感上的电压为
第 4章 正弦交流电路
4.14.2 并联谐振
i
u
R
L
C
i
1
i
2
图 4.64 并联谐振
第 4章 正弦交流电路
1,并联谐振的条件
Cj
jX
Y
LR
Lj
LR
R
LR
LjR
LjR
Y
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
)()(
)(
1
2
2222
221
])([)( 222221 LR LCjLR RYYY ???? ???????
22 )( LR
LC
?
??
?
?
第 4章 正弦交流电路
L
CR
LC
f
L
CR
LCCL
CRL
2
0
2
2
2
0
1
2
1
1
1
??
??
?
?
?
?
L
CR
LC
f
L
CR
LCCL
CRL
2
0
2
2
2
0
1
2
1
1
1
??
??
?
?
?
?
第 4章 正弦交流电路
22
22
0
1111111
QLC
R
LCL
CR
LC ?????? ??
LC
f
LC
?
?
2
1
1
0
0
?
?
第 4章 正弦交流电路
2,并联谐振的特征
(1) 谐振时,导纳为最小值,阻抗为最大值,且为纯阻性。
R
QLQ
R
L
R
LR
Z
LR
R
Y
2
0
2
0
2
0
2
22
)()(
)(
?
??
??
?
????
?
?
?
?
第 4章 正弦交流电路
(2) 谐振时总电流最小,且与端电压同相。
(3) 谐振时,电感支路与电容支路的电流大小近似相等,
为总电流的 Q倍。
QIII
IjQUCj
Lj
U
I
IjQ
Lj
U
LjR
U
I
C
QILQIZIU
CL
C
L
??
??
?
?
???
?
?
???
??
?
?
?
??
?
????
00
0
0
0
00
0
0
00
1
?
?
??
?
?
4.1 正弦量的基本概念
4.2 正弦量的有效值
4.3 正弦量的相量表示法
4.4 正弦电路中的电阻元件
4.5 正弦电路中的电感元件
4.6 正弦电路中的电容元件
4.7 基尔霍夫定律的相量形式
4.8 复阻抗,复导纳及其等效变换
4.9 RLC 串联电路
4.10 RLC 并联电路
4.11 正弦交流电路的相量分析法
4.12 正弦交流电路的功率
4.13 功率因数的提高
4.14 谐振
第 4章 正弦交流电路
第 4章 正弦交流电路
第 4章 正弦交流电路
4.1 正弦量的基本概念
4.1.1 正弦交流电的三要素
1,
正弦量瞬时值中的最大值,叫振幅值,也叫峰值。 用
大写字母带下标,m”表示,如 Um,Im等。
2,角频率 ω
角频率 ω表示正弦量在单位时间内变化的弧度数,即
t
a??
(4.1)
第 4章 正弦交流电路
u
0
?
U
m
??
? ?? tT
2
( ) ?? T ?
图 4.1 交流电的波形
f
T
?
?
? 2
2
??
(4.2)
第 4章 正弦交流电路
3,初相
)s i n ( ?? ?? tEe m
上式中的 (ωt+θ)是反映正弦量变化进程的电角度,可根
据 (ωt+θ)确定任一时刻交流电的瞬时值,把这个电角度称为
正弦量的“相位”或“相位角”,把 t=0时刻正弦量的相位
叫做“初相”,用字母,θ”表示。规定 |θ|不超过 π弧度。
第 4章 正弦交流电路
X
S
N
A
?
?? t
?? t ＋ ?
?
E
m
?
??
( a ) ( b )
?? t0
e
图 4.2 初相不为零的正弦波形
第 4章 正弦交流电路
0 ?? t
i
i
1
＝ I
m
s i n ?? t
( a )
?? t
i
i
2
＝ I
m
s i n( ?? t ＋ )
( b )
?
2
?
2
?? t
i
i
3
＝ I
m
s i n( ?? t ＋ )
( c )
?
6
?
6
?? t
i
i
4
＝ I
m
s i n( ?? t － )
( d )
?
6
?
6
0 0 0
图 4.3 几种不同计时起点的正弦电流波形
)s i n (
)s i n (
)s i n (
im
um
em
tIi
tUu
tEe
??
??
??
??
??
??
(4.5)
(4.6)
(4.7)
第 4章 正弦交流电路
例 4.2 在选定的参考方向下,已知两正弦量的解析式为
u=200sin (1000t+200° ) V,i=-5sin (314t+30° ) A,试求两个
正弦量的三要素。
解 (1) u=200sin(1000t+200° )=200sin(1000t-160° )V
所以电压的振幅值 Um=200V,角频率 ω=1000rad/s,初相 θu=-
160° 。
(2) i=-5sin(314t+30° )=5sin(314t+30° +180° )=5sin(314t-
150° )A
所以电流的振幅值 Im=5A,角频率 ω=314rad/s,初相 θi=-150° 。
第 4章 正弦交流电路
例 4.3 已知选定参考方向下正弦量的波形图如图 4.4所
示,试写出正弦量的解析式。
Vtu
Vtu
)
6
s i n (2 5 0
)
3
s i n (2 0 0
2
1
?
?
?
?
??
??解
?0
?
3
?
6
200
250
u / V
?? t
u
1
u
2
2 ?
图 4.4 例 4.3 图
第 4章 正弦交流电路
4.1.2 相位差
两个同频率正弦量的相位之差,称为相位差,用字母,φ”
表示。
212112
222
111
)()(
)s i n (
)s i n (
???????
??
??
??????
??
??
tt
tUu
tUu
m
m
（ 4.8）
相位差
第 4章 正弦交流电路下面分别加以讨论：
(1) φ12=θ1-θ2>0且 |φ12|≤π弧度
(2) φ12=θ1-θ2<0且 |φ12|≤π弧度
(3) φ12=θ1-θ2=0,称这两个正弦量同相
(4) φ12=θ1-θ2=π,称这两个正弦量反相
(5) φ12=θ1-θ2=,称这两个正弦量正交
2
?
0
?? t
u
( a )
0 ?? t
u
( b )
0 ?? t
( c )
0 ?? t
u
( d )
? ?
?
?
u
1
u
2
u
1
u
2
u
u
1
u
2 u
2
u
1
图 4.5 同频率正弦量的几种相位关系
第 4章 正弦交流电路
例 4.4 已知
求 u和 i的初相及两者间的相位关系。
Ati
Vtu
)45s i n (210
,)235s i n (2220
???
???
?
?
Vt
Vtu
)1 2 5s i n (22 2 0
)2 3 5s i n (22 2 0
???
???
?
?
解
所以电压 u的初相角为 -125°,电流 i的初相角为 45° 。
01 7 0451 2 5 ??????????? iuui ???
表明电压 u滞后于电流 i 170°
第 4章 正弦交流电路
例 4.5 分别写出图 4.6中各电流 i1,i2的相位差,并说明 i1
与 i2
0
i
?
?
2
3 ?
2
2 ?
( a )
? t
i
1
i
2
0
i
??
2
3 ?
2
2 ?
( b )
?? t
i
1
i
2
?
?
＝ ?
?
i
? ?
2
3 ?
2
2 ? ? t
i
1
i
2
( c )
i
? ?
2
3 ?
2
i
1
i
2
( d )
? 2 ? ? t
3 ?
4
?
图 4.6 例 4.5 图
第 4章 正弦交流电路
解 (a) 由图知 θ1=0,θ2=90°,φ12=θ1-θ2=-90°,表明 i1滞后
于 i2 90° 。
(b) 由图知 θ1=θ2,φ12=θ1-θ2=0,表明二者同相。
(c) 由图知 θ1-θ2=π,表明二者反相。
(d) 由图知 θ1=0,,表明 i1越
前于
4
3,
4
3
21122
?????? ?????
4
3
2
?i
第 4章 正弦交流电路
例 4.6已知
试分析二者的相位关系。
解 u1的初相为 θ1=120°,u2的初相为 θ2=-90°,u1和 u2的
相位差为
φ12=θ1-θ2=120° -(-90° )=210°
考虑到正弦量的一个周期为 360°,故可以将 φ12=210° 表示
为 φ12=-150° <0,表明 u1滞后于 u2 150° 。
,)90s i n (2220
,)120s i n (2220
2
1
Vtu
Vtu
?
?
??
??
?
?
第 4章 正弦交流电路
4.2
4.2.1 有效值的定义
交流电的有效值。 交流电的有效值是根据它的热效应
确定的。交流电流 i通过电阻 R在一个周期内所产生的热量
和直流电流 I通过同一电阻 R在相同时间内所产生的热量相
等,则这个直流电流 I的数值叫做交流电流 i的有效值,用大写
字母表示,如 I,U等。
第 4章 正弦交流电路
?
?
?
?
?
?
?
?
?
T
T
T
T
dtu
T
U
dti
T
I
dtRiRTI
dtRiQ
RTIQ
0
2
0
2
0
22
0
2
2
1
1
第 4章 正弦交流电路
4.2.2 正弦量的有效值
)0(
2
)2c o s(
2
2
2c o s1
s i n
1
2
0 0
2
0
2
0
22
????
?
??
? ?
??
T
T
I
t d tdt
T
I
dt
t
T
I
t d tI
T
I
m
T T
m
T
m
T
m
?
?
?
VU
U
U
U
I
I
I
m
m
m
m
m
3 1 122 2 0
7 0 7.0
2
7 0 7.0
2
??
??
??
第 4章 正弦交流电路
例 4.7 电容器的耐压值为 250V,问能否用在 220V的单
解 因为 220V的单相交流电源为正弦电压,其振幅值
为 311 V,大于其耐压值 250V,电容可能被击穿,所以不能接
在 220 V的单相电源上。各种电器件和电气设备的绝缘水
平（耐压值）,要按最大值考虑。
例 4.8 一正弦电压的初相为 60°,有效值为 100V,试求
它的解析式。
因为 U=100V,所以其最大值为 则电压
的解析式为
V2100
Vtu )60s i n (2100 ??? ?
第 4章 正弦交流电路 4.3 正弦量的相量表示法
4.3.1 复数及四则运算
1.复数
在数学中常用 A=a+bi表示复数。其中 a为实部,b为虚部,
称为虚单位。在电工技术中,为区别于电流的符号,
虚单位常用 j表示。
1??i
3
4O
＋ j
＋ 1
A
图 4.7 复数在复平面上的表示
第 4章 正弦交流电路
b
aO
＋ j
＋ 1
P
?
r
图 4.8 复数的矢量表示
)2(a r c t a n
22
??? ??
???
a
b
baAr
?
?
?
?
?
?
?
s in
c o s
rb
ra
第 4章 正弦交流电路
2,
(1) 复数的代数形式
jbaA ??
(2) 复数的三角形式
?? s i nc o s jrrA ??
(3) 复数的指数形式
?jreA ?
(4) 复数的极坐标形式
?rA ?
第 4章 正弦交流电路
例 4.9 写出复数 A1=4-j3,A2=-3+j4的极坐标形式。
解 A1的模
辐角
则 A1的极坐标形式为 A1=5 -36.9°
5)3(4 221 ????r
????? 9.364 3a r c t a n1?
（在第四象限）
54)3( 222 ????r
辐角
???? 9.1 2 63 4a r c t a n2?
(在第二象限 )
则 A2的极坐标形式为 ?? 9.1 2 6/5
2A
A2的模
第 4章 正弦交流电路
例 4.10 写出复数 A=100/30° 的三角形式和代数形式。
解 三角形式 A=100（ cos30° +jsin30°
代数形式 A=100(cos30° +jsin30° )=86.6+j50
3,复数的四则运算
(1) 复数的加减法
)()(
212121
22222
11111
bbjaaAA
rjbaA
rjbaA
?????
???
???
?
?
则
（ 4.16）
第 4章 正弦交流电路
O
＋ j
＋ 1
A
2
A
1
A
1
＋ A
2
A
1
－ A
2
图 4.9 复数相加减矢量图
(2) 复数的乘除法
21
2
1
22
11
21212211
??
?
?
????
???
??????
r
r
r
r
B
A
rrrrBA
第 4章 正弦交流电路
例 4.11 求复数 A=8+j6,B=6-j8之和 A+B及积 A·B
解 A+B=（ 8+j6)+(6-j8)=14-j2
A·B=(8+j6)(6-j8)=10/36.9° ·10/-53.1° =100/-16.2°
第 4章 正弦交流电路4.3.2 正弦量的相量表示法
O ′
＋ j
＋ 1
?? t
＋ j
B
O
? A
??
t 1
?
?
b
?? t
1
a
U
m
图 4.10 正弦量的复数表示
?
????
????
UU
tjUtU
eUeeU
mm
tj
m
tjj
m
?
????
??
?
?
)s i n ()c o s (
)(
第 4章 正弦交流电路
例 4.12 已知同频率的正弦量的解析式分别为
i=10sin(ωt+30° ),,写出电流和
电压的相量,并绘出相量图。
解 由解析式可得
)45s i n (22 2 0 ??? tu ?
?? UI、
VU
AI
???
????
?
?
45
2
2220
302530
2
10
相量图如图 4.11所示。
第 4章 正弦交流电路
30 °
O
＋ j
＋ 1
45°
·
U
·
I
图 4.11 例 4.12 图
第 4章 正弦交流电路
例 4.13 已知工频条件下,两正弦量的相量分别为
试求两正弦电压的解析式。
VUVU ????? ?? 30220,60210 21
解 由于
VttUu
VttUu
VU
VU
sr a df
)30100s i n (40)s i n (2
)60100s i n (10)s i n (2
30,220
60,10
/1005022
222
111
22
11
?????
?????
????
???
????
???
???
?
?
????
所以
第 4章 正弦交流电路
4.4 正弦电路中的电阻元件
4.4.1 电阻元件上电压与电流的关系
i
R
u
R
R
图 4.13 纯电阻电路
第 4章 正弦交流电路
1) 电阻元件上电流和电压之间的瞬时关系
2)
若
R
ui R
R ?
RIU
R
U
I
tIt
R
U
R
u
i
tUu
RmRm
Rm
Rm
Rm
RmR
R
RmR
???
?????
??
或
)s i n ()s i n (
)s i n (
????
??
其中
则
R
UI R
R ?
第 4章 正弦交流电路
3)
0 ?? t
u
R
( a )
u
R
i
R
? ??
·
I
R
U
R
·
( b )
i
R
图 4.14 电阻元件上电流与电压之间的关系
第 4章 正弦交流电路
4.4.2 电阻元件上电压与电流的相量关系
RIU
RIUU
tUu
II
tIi
RR
RR
R
RmR
R
R
RmR
??
?
?
?
???
??
?
??
??
??
?
??
)s i n (
)s i n (
第 4章 正弦交流电路
4.4.3 电阻元件的功率
交流电路中,任一瞬间,元件上电压的瞬时值与电流的
瞬时值的乘积叫做该元件的瞬时功率,用小写字母 p表示,即
)2c o s1(
)2c o s1(
2
s i n
s i ns i n
2
tIU
t
IU
tIU
tItUiup
uip
RR
RmRm
RmRm
RmRmRRR
?
??
??
??
???
???
?
第 4章 正弦交流电路
工程上都是计算瞬时功率的平均值,即平均功率,用大
写字母 P表示。 周期性交流电路中的平均功率就是其瞬时
功率在一个周期内的平均值,即
WkW
R
U
RIIUP
IUT
T
IU
dttdt
T
IU
dttIU
T
p d t
T
P
R
RRR
RR
RR
T T
RR
R
T T
R
1 0 01
)0(
)2c o s1(
)2c o s1(
11
2
2
0 0
0 0
?
???
???
??
???
? ?
? ?
?
?
功率的单位为瓦 (W）,工程上也常用千瓦（ kW）,即
第 4章 正弦交流电路
例 4.14 一电阻 R=100Ω,R两端的电压,
(1) 通过电阻 R的电流 IR和 iR
(2) 电阻 R接受的功率 PR
(3) 作 的相量图。
解 (1) 因为
RR IU
??,
AI
At
t
R
u
i
R
R
R
1
2
2
)30s i n (2
1 0 0
)30s i n (21 0 0
??
???
??
??
?
?
所以
? ? WRPWIUP RRRR 1 0 01 0 011 0 011 0 02 22 ??????? 或或
(3) 相量图如图 4.16所示。
第 4章 正弦交流电路例 4.15 一只额定电压为 220V,功率为 100W的电烙铁,误
接在 380V的交流电源上,问此时它接受的功率为多少？是否
安全？若接到 110V的交流电源上,
解 由电烙铁的额定值可得
WW
R
U
P
WW
P
U
P
P
U
R
R
R
R
10025
484
110
100298
484
380
484
100
220
22
2
22
1
22
????
????
????
当电源电压为 380V时,电烙铁的功率为
此时不安全,电烙铁将被烧坏。
当接到 110 V的交流电源上,此时电烙铁的功率为
此时电烙铁达不到正常的使用温度。
第 4章 正弦交流电路
4.5 正弦电路中的电感元件
4.5.1 电感元件上电压和电流的关系
1,瞬时关系
i
L
u
L L
dt
diLu
L ?
第 4章 正弦交流电路2,大小关系
设
)
2
s i n (
)c o s (
))s i n ((
)s i n (
iLm
iLm
iLm
L
iLmL
tLI
tLI
dt
tId
Lu
tIi
?
?
??
???
??
??
???
??
?
?
??
)s i n ()2s i n ( uLmiLmL tUtUu ????? ?????
LIU LmLm ??
fLLX
X
U
L
U
IXILIU
L
L
lL
LLLLL
??
?
?
2??
???? 或
XL称为感抗,当 ω的单位为 1/s,L的单位为 H,XL的单位为 Ω。
第 4章 正弦交流电路
3,相位关系
2
??? ??
iu
O
i
?? t
u
i
u
图 4.19 电感元件上电流和电压的波形图
第 4章 正弦交流电路
4.5.2 电感元件上电压和电流的相量关系
?
i
O
＋ j
＋ 1
.
U
L
.
I
L
图 4.20 电感元件电流和电压的相量图
第 4章 正弦交流电路
L
L
LL
iLiL
L
iLmL
iL
L
iLmL
IjXILjU
LIjLIU
tLIu
II
tIi
???
?
?
??
???
???
?
??
?
??
?
??
?
?
??
?
??
2
)
2
s i n (
)s i n (
第 4章 正弦交流电路
4.5.3 电感元件的功率
1,瞬时功率
tUI
tUI
tItUiup
tUu
tIi
LL
LmLm
LmLmLL
LmL
LmL
?
?
?
?
?
?
?
?
2s i n
2s i n
2
1
s i n)
2
s i n (
)
2
s i n (
s i n
?
?
?????
??
?
则
第 4章 正弦交流电路
0
u
L
, i
L
, p
L
u
L
p
＋ ＋
－
－
i
L
t
4
T
4
T
4
T
4
T
图 4.21 电感元件的功率曲线
第 4章 正弦交流电路
2,平均功率
?? ??? T LLT dttiuTdtpTP 00 02s i n11 ?
3,无功功率
我们把电感元件上电压的有效值和电流的有效值的乘积
叫做电感元件的无功功率,用Ｑ L表示。
L
L
LLLLL X
UXIIUQ 22 ???
QL>0,表明电感元件是接受无功功率的。
无功功率的单位为“乏”（ var）,工程中也常用“千乏”
（ kvar）。
1 kvar=1000 var
第 4章 正弦交流电路
例 4.16 已知一个电感 L=2H,接在 Vtu
L )603 1 4s i n (22 2 0 ???
的电源上,
(1) XL
(2) 通过电感的电流 iL
(3) 电感上的无功功率 QL。
v a r7735.0220
)150314s i n (235.0
15035.0
628
60220
6282314
????
???
???
??
??
?????
?
?
UIQ
Ati
A
jjX
U
I
LX
L
L
L
L
L
L
?
（ 1）
（ 2）
（ 3）
解
第 4章 正弦交流电路
例 4.17 已知流过电感元件中的电流为
,测得其无功功率 QL=500var,求
(1) XL和 L
(2) 电感元件中储存的最大磁场能量 WLm。
Ati L )30314s i n (210 ???
JLIW
mH
X
L
I
Q
X
Lm
Lm
L
L
L
59.1)210(109.15
2
1
2
1
9.15
3 1 4
5
5
10
5 0 0
232
22
??????
???
????
?
?
解 (1)
(2)
第 4章 正弦交流电路
4.6 正弦电路中的电容元件
4.6.1 电容元件上电压和电流的关系
1,
dt
duCi C
C ?
i
C
u
C
C
图 4.22 纯电容电路
第 4章 正弦交流电路
2,
设
fCC
X
X
U
C
U
CUI
CUI
tItIi
tItIi
tCUtCU
dt
du
Ci
tUu
C
C
CC
CC
CmCm
iCmuCmC
uCmuCmC
uCmuCm
C
C
uCmC
??
?
?
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??????
??
2
11
1
)s i n ()
2
s i n (
)
2
s i n ()
2
s i n (
)
2
s i n ()c o s (
)s i n (
??
???
?
?????
??????
??????
??
其中 XC称为容抗,当 ω的单位为 1/s，
C的单位为 F时,XC的单位为 Ω。
第 4章 正弦交流电路
3,相位关系
2
??? ??
ui
0
i
? 2 ?
?? t
u
C
i
C
u
图 4.23 电容元件上电流和电压的波形图
第 4章 正弦交流电路
4.6.2 电容元件上电压与电流的相量关系
C
CC
C
C
uCu
C
C
uC
C
uCmC
uC
C
uCmC
jX
U
IIjXU
CU
X
U
II
tIi
UU
tUu
?
???
??????
???
?
??
?
???
?
?
或
222
/
)
2
s i n (
)s i n (
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
第 4章 正弦交流电路4.6.3
1,
tIUtItUiup CCCmCmCC ???? 2s i n)2s i n (s i n ?????
u
C
, i
C
u
C
p
p
i
C
t
＋
＋
－
－
4
T
4
T
4
T
4
T
0
图 4.25 电容元件功率曲线
第 4章 正弦交流电路
2,平均功率
02s i n111
0 00
???? ? ?? dttiuTp d tTp d tTP T T CCT ?
3,
我们把电容元件上电压的有效值与电流的有效值乘积
的负值,称为电容元件的无功功率,用 QC表示。即
C
C
CCCCC X
UXIIUQ 22 ??????
QC<0表示电容元件是发出无功功率的,QC和 QL一样,单位也
是乏（ var）或千乏 (kvar)。
第 4章 正弦交流电路
例 4.18 已知一电容 C=50μF,接到 220V,50Hz的正弦交
流电源上,
(1) XC
(2) 电路中的电流 IC和无功功率 Ｑ Ｃ
(3) 电源频率变为 1000 Hz时的容抗。
??
????
??
?
???????
???
??
????
???
?
?
18.3
10501 0 0 014.32
1
2
1
1 0 0 0
v ar7 5 945.32 2 0
45.3
7.63
2 2 0
7.63
50105014.32
1
2
11
6
6
fC
X
Hzf
IUQ
A
X
U
I
fCC
X
C
CCC
C
C
C
C
?
??
时当
解 (1）
(2)
(3)
第 4章 正弦交流电路
例 4.19 一电容 C=100μF,接于
的电源上。
(1) 流过电容的电流 IC
(2) 电容元件的有功功率 PC和无功功率 QC
(3) 电容中储存的最大电场能量 WCm
(4) 绘电流和电压的相量图。
Vtu )451 0 0 0s i n (22 2 0 ???
第 4章 正弦交流电路
Ati
A
jX
U
I
VU
C
X
C
C
C
C
C
C
)451000s i n (222
4522
9010
45220
45220
10
101001000
11
6
???
?
??
??
?
?
?
???
??
??
??
?
?
?
?
所以
?
（ 1）
第 4章 正弦交流电路
J
CuW
IUQ
P
CmCm
CCC
C
84.4
)2220(10100
2
1
2
1
v a r484022220
0
26
2
?
????
?
???????
?
?
（ 2）
（ 3）
第 4章 正弦交流电路
(4) 相量图如图 4.26所示。
＋ j
＋ 1
I
C
.
U
C
.
45°
45°O
图 4.26 例 4.19 图
第 4章 正弦交流电路
表 4.1 各元件上电压与电流的比较
电路 电压和电流的大小关系 相位关系 阻抗 功率 相量关系
电阻 R
感抗
容抗
U,
I
.
i
u
LR
U
.
I
.
i
u
C
U
.
I
.
i
u
R
UI
IRU
?
?
L
L
X
U
L
UI
IXLIU
??
??
?
?
C
C
X
UCUI
IX
C
IU
??
??
?
?
1
LX L ??
CX C ?
1?
R
U
RI
UIP
2
2
?
?
?
L
LL
X
U
XIQ
P
2
2
0
?
?
?
C
CC
X
U
XIQ
P
2
2
0
?
??
?
RIU ?? ?
?? ? IXjU
L
?? ?? IjXU
C
第 4章 正弦交流电路
4.7 基尔霍夫定律的相量形式
4.7.1 相量形式的基尔霍夫电流定律
0
0
?
?
?
?
?
I
i
第 4章 正弦交流电路
4.7.2 相量形式的基尔霍夫电压定律
0
0
?
?
?
?
?
U
u
第 4章 正弦交流电路
例 4.20 如图 4.27（ a）,(b)所示电路中,已知电流表
A1,A2,A3都是 10 A,求电路中电流表 A的读数。
A
2
A
1
A
L
i
2
i
1 R
i
＋
－
u
A
2
A
1
A
L
i
2
i
1 R
i
＋
－
u
A
3
i
3
C
( a ) ( b )
图 4.27 例 4.20图
第 4章 正弦交流电路
解 设端电压
VUU ??? 0
(1) 选定电流的参考方向如图 (a)所示,则
AIII
AI
AI
??????????
???
??
???
?
?
452109010010
9010
010
21
2
1
(与电压同相 )
（滞后于电压 90° ）
电流表 A的读数为 注意, 这与直流电路是不同的,
总电流并不是 20A 。
A210
第 4章 正弦交流电路
(2) 选定电流的参考方向如图 (b)所示,则
AIIII
AI
AI
AI
1090109010010
9010
9010
010
321
3
2
1
???????????
??
???
??
????
?
?
?
(超前于电压 90° )
由 KCL
电流表 A的读数为 10A 。
第 4章 正弦交流电路
例 4.21 如图 4.28（ a）,(b)所示电路中,电压表 V1,V2、
V3的读数都是 50V,试分别求各电路中 V表的读数。
V
1
R
u
1
V
2
u
2
V
L
u＋ －
i
V
1
R
u
1
V
2
u
2
V
L
u＋ －
i
V
3
u
3
( a ) ( b )
C
解 设电流为参考相量,即
a） 选定 i,u1,u2,u的参考方向如图 (a)所示,则
VU
VU
II
??
??
??
?
?
?
9050
050
0
2
1
(与电流同相 )
（超前于电流 90° ）
第 4章 正弦交流电路
由 KVL
VjUUU ?????????? ??? 452505050905005021
所以电压表 V的读数为 V250
（ b） 选定 i,u1,u2, u3的参考方向如图 (b)所示,则
VU
VU
VU
???
??
??
?
?
?
9050
9050
050
3
2
1
(滞后于电流 90° )
由 KCL
VjjUUUU 5050505090509050050321 ?????????????? ????
电流表 A的读数为 50V。
第 4章 正弦交流电路
4.8 复阻抗,复导纳及其等效变
4.8.1
1,
Z
I
U
C
j
I
U
Lj
I
U
R
I
U
C
C
L
L
R
R
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
把式中 Z称为元件的阻抗。
第 4章 正弦交流电路
u
＋
－
i＋
－
u
s
＋
－
u
s
i
＋
－
u
( a ) ( b )
Z
图 4.29 正弦交流电路的复阻抗
第 4章 正弦交流电路
iu
I
UZ
??? ??
?
Z是一个复数,所以又称为复阻抗,|Z|是阻抗的模,φ为
阻抗角。复阻抗的图形符号与电阻的图形符号相似。复阻
抗的单位为 Ω。
i
u
I
U
ZZ
I
U
?
?
? ????
?
Z称为该电路的阻抗
第 4章 正弦交流电路
jXRZ ??
,Z的实部为 R,称为“电阻”,Z的虚
部为 X,称为“电抗”,它们之间符合阻抗三角形。
R
X
XRZ
ar c t an
22
?
??
?
?
R
X
| Z |
图 4.30 阻抗三角形
第 4章 正弦交流电路
2,
复阻抗的倒数叫复导纳,用大写字母 Y表示,即
Z
Y 1?
在国际单位制中,Y的单位是西门子,用,S”表示,简称
“西”。 由于 Z=R+jX,所以
jBG
Z
Xj
Z
R
XR
jXR
jXRZY ??
???
?
??
??? 2222
11
复导纳 Y的实部称为电导,用 G表示 ; 复导纳的虚部称为
电纳,用 B表示,由上式可知
第 4章 正弦交流电路
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
Z
X
B
Z
R
G
复导纳的极坐标形式为
'?YjBGY ???
|Y|为复导纳的模,φ′为复导纳的导纳角,所以有
G
B
BGY
ar c t an'
22
?
??
?
（ 4.53）
第 4章 正弦交流电路
3,复阻抗与复导纳的关系
YUI
Z
Y
YY
ZZZ
Y
??
?
??
?
?
????
??
?
?
?
'
'
1
111
第 4章 正弦交流电路
4.8.2 复阻抗与复导纳的等效变换
1.
式 (4.53)就是由复阻抗等效为复导纳的参数条件。
2,将复导纳等效为复阻抗
jXRBG jBBG GBG jBGjBGYZ ???????????? 22222211
第 4章 正弦交流电路 R
i
u
j X
G
i
u j B
( a ) ( b )
图 4.31 复阻抗与复导纳的等效变换
22
22
BG
B
X
BG
G
R
?
?
?
?
?
第 4章 正弦交流电路
例 4.22 已知加在电路上的端电压为 u=311sin(ωt+60° )V,
通过电路中的电流为 |Z|、阻抗角 φ和导纳角
φ′。
解 电压的相量为
AI ???? 3010
?????
?????????
????
???????
?
90
90)30(60
22
10
2 2 0
90)30(60
2
3 1 1
??
???
iu
I
U
Z
U
所以
第 4章 正弦交流电路
例 4.23 如图 4.31(a)所示,已知电阻 R=6Ω,X=8Ω,试求其
等效复导纳。
解 由已知条件
SSjjBGY
S
XR
X
Z
X
B
S
XR
R
Z
R
G
jjXRZ
08.006.0
08.0
100
8
06.0
100
6
86
222
222
????
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?????
由式 (4.53)可知
第 4章 正弦交流电路
4.9 RLC串联电路
4.9.1 电压与电流的关系
ZIjXRIU
XXjRIjXIjXIRIUUUU
jXIU
jXIU
RIU
II
CLCL
CLR
C
C
L
L
R
???
????????
??
??
??
?
???
?????????
??
?
?
??
)(
)]([
0
第 4章 正弦交流电路
4.9.2
1,电感性电路, XL>XC
此时 X>0,UL>UC。阻抗角 。
2,电容性电路, XL<XC
此时 X<0,UL<UC。 阻抗角 φ <0。
3,电阻性电路, XL=XC
此时 X=0,UL=UC。阻抗角 φ=0。
0a r c t a n ?? RX?
第 4章 正弦交流电路
( a )
U
L
?
.
U
C
.
U
.
U
R
.
I
.
U
C
?
.
U
L
.
U
.
U
R
.
I
.
( b ) ( c )
U
L
.
U
C
.
I
.U
R
＝ U
.,
U
X
＝ U
L
＋ U
C
.,,
U
X
＝ U
L
＋ U
C
.,,
图 4.33 RLC串联电路的相量图
第 4章 正弦交流电路
4.9.3 阻抗串联电路
Z
1
U
2
U
U
n
Z
2
Z
n
…
.
U
1
.
.
.
I
.
图 4.34 多阻抗串联
第 4章 正弦交流电路
n
n
n
n
ZZZZ
ZI
ZZZI
ZIZIZI
UUUU
???????
?
??????
??????
???????
?
?
???
????
21
21
21
21
(
第 4章 正弦交流电路
例 4.24 有一 RLC串联电路,其中 R=30Ω,L=382mH,
C=39.8μF,外加电压,试求
(1) 复阻抗 Z,并确定电路的性质 ;
(2); ;
(3) 绘出相量图。
Vtu )603 1 4s i n (22 2 0 ???
CLR UUUI
????,、、
????????
?
????
??????
1.53504030)80120(30
)
8.39314
10
382.0314(30
)
1
()(
6
jj
j
C
LjRXXjRZ
CL
?
?
,01.53 ????
所以此电路为电感性电路。
(1)
第 4章 正弦交流电路
V
I j XU
V
jXIU
VRIU
A
Z
U
I
CC
LL
R
???
???????
??
?????
??????
??
?
?
??
??
??
??
?
?
1.833 5 2
90809.64.4
9.965 2 8
901 2 09.64.4
9.61 3 2309.64.4
9.64.4
1.5350
602 2 0
(2)
第 4章 正弦交流电路
(3) 相量图如图 4.35所示。
.
U
R
.
.
U
U
X
＝ U
L
＋ U
C
I
.,,
＋ 1
＋ j
60°
6.9°
O
U
C
.
U
L
.
图 4.36 例 4.25 图
第 4章 正弦交流电路
例 4.25 用电感降压来调速的电风扇的等效电路如图 4.36(a)
所示,已知 R=190Ω,XL1=260Ω,电源电压 U=220V,f=50Hz,要使
U2=180V,问串联的电感 LX应为多少？
( b )
U
.
.
.
U
L
.
X
U
R
I
U
L
.
X
U
L
.
＋
R
u
1
u
L
1
L
X
i
u
2
( a )
?
U
L
.
1
1
图 4.36 例 4.25 图
第 4章 正弦交流电路解 以 为参考相量,作相量图如图 4.36(b)所示。
?I
H
U
X
I
U
X
VU
U
UUUU
VIXU
VIRU
A
Z
U
I
jjXRZ
X
X
X
X
X
X
X
L
L
L
L
L
L
L
LR
LL
R
L
2 6 7.0
3 1 4
9.83
9.83
56.0
96.64
96.64
)6.1 4 5(4.1 0 62 2 0
)(
6.1 4 52 6 056.0
4.1 0 61 9 056.0
56.0
3 2 2
1 8 0
8.533 2 22 6 01 9 0
222
22
1
2
1
1
11
1
???
????
?
???
???
????
????
???
????????
?
第 4章 正弦交流电路
例 4.26 图 4.37(a)所示 RC 串联电路中,已知
要使输出电压滞后于输入电压 30°,求电阻 R。
解 以 为参考相量,作电流,电压相量图,如图 4.37(b)
所示。
滞后于输入电压 （注意不为阻抗
角）,由相量图可知, 总电压 滞后于电流,即阻抗角
φ=-60° 。所以
?? 310CX
?I
0
?U ?? 30
iU
iU
? ?
? 60I
??
?
??
??
??? 10
3
310
)60t a n(t a n
CC XXR
?
第 4章 正弦交流电路
( b )
U
i
.
.
.
U
R
I
U
o
.
U
C ＝
U
o
.,
X
C
u
o
i
u
i
＋
－
＋
－
R
( a )
?
30 °
图 4.37 例 4.26 图
第 4章 正弦交流电路 4.10 RLC并联电路
4.10.1 阻抗法分析并联电路
21
21
21
22
1
11
1
ZZ
ZZ
Z
Z
U
III
jXR
U
Z
U
I
jXR
U
Z
U
I
C
L
?
?
???
?
??
?
??
?
???
??
?
??
?
C
i
R
1
R
2
u
i
1
L
＋
－
i
2
图 4.41 并联电路
第 4章 正弦交流电路
?
?
1
?
2
I
2
.
I
.
I
1
.
U
.
图 4.42 并联电路的相量图
第 4章 正弦交流电路例 4.27 两条支路并联的电路如图 4.43所示。已知
VtuXXR CL )60s i n (22 2 010,6,8 ????????? ?端电压
求各支路电流 及总电流,并画出相量图。
21
?? II, ?I
解 选 的参考方向如图所示。
iiiu,、,21
A
Z
U
A
Z
U
VU
jjXZ
jjXRZ
I
I
C
L
??
??
?
??
??
?
?
??
??
????????
???????
?
?
?
?
?
15022
9010
60220
1.2322
9.3610
60220
60220
901010
9.361068
2
2
1
1
2
1
第 4章 正弦交流电路
C
i
R
u
i
1
L
＋
－
i
2
I
2
.
I
.
I
1
.
U
.
＋ j
＋ 1
60°
2 3,1 °
O
图 4.43 例 4.27图
图 4.44 例 4.27相量图
Aj
jjIII
????
??????????
???
8.867.196.191.1
111.196.82.20150221.232221
第 4章 正弦交流电路
4.10.2 导纳法分析并联电路
C
i
R
u
i
R
L
i
L
i
C
图 4.45 RLC并联电路
第 4章 正弦交流电路
)()(
1
1
1
3
2
1
3
2
1
jBGUjBjBGUIIII
UBjUYI
UjBUYI
GUUYI
jB
X
j
jX
Y
jB
X
j
jX
Y
G
R
Y
CL
CLR
C
C
L
L
R
C
CC
L
LL
????????
??
???
??
??
?
?
??
?
??
??
??????
???
???
???
第 4章 正弦交流电路
其中 为电阻支路的“电导” ; 为电感支路的
“感纳” ; 为电容支路的“容纳”。
B=BC-BL称为“电纳”,利用电纳也可判断电路的性质,
(1) B>0,即 BC>BL。这时 IL<IC,总电流越前于端电压,电路
呈电容性,如图 4.46（ a
(2) B<0,即 BC<BL。这时 IL>IC,总电流滞后于端电压,电路
呈电感性,如图 4.46（ b
(3) B=0,即 BC=BL。这时 IL=IC,总电流与端电压同相,电路
呈电阻性,如图 4.46（ c）
RG
1?
LBL ?
1?
CB C ??
第 4章 正弦交流电路
( a ) ( b ) ( c )
U
.I
R
＝ I
.,
I
C
? ′
.
U
.
I
B
.
I
L
.
I
.
I
R
.
I
C
? ′
.
U
.
I
B
.
I
L
.
I
R
.
I
C
.
I
L
.
I
.
图 4.46 RLC并联电路相量图
第 4章 正弦交流电路例 4.28 图 4.45所示为 RLC并联电路,已知端电压为
(1) 并联电路的复导纳 Y;
(2) 各支路的电流 和总电流 ;
(3) 绘出相量图。
解 选 u,i,iR,iL,iC的参考方向如图所示。
FCmHLRVtu ?159,127,10,)30314s i n (2220 ???????
试求
CLR III
???,,?
I
SjjCj
jX
Y
Sj
j
jX
Y
S
R
Y
C
L
05.0101 5 93 1 4
1
0 2 5.0
101 2 73 1 4
1
1.0
10
11
6
3
32
1
?????
?
?
??
??
?
??
???
?
?
?
第 4章 正弦交流电路
AYUI
AjYUI
AjYUI
AYUI
VU
SjjYYYY
C
L
R
???????
??????
????????
??????
??
??????????
??
??
??
??
447.22141 0 3.0302 2 0
1 2 01105.0302 2 0
605.5)0 2 5.0(302 2 0
30221.0302 2 0
,302 2 0)2(
140 1 3.00 2 5.01.0)0 2 5.005.0(1.0)1(
3
2
1
321
则由已知
第 4章 正弦交流电路
(3) 相量图如图 4.47
I
C
.
I
R
.
U
.
＋ j
＋ 1
60°
30°
0
I
L
.
I
.
图 4.47 例 4.28相量图
第 4章 正弦交流电路4.10.3 多阻抗并联
Y
1U
.
I
.
I
1
.
Y
2 I
2
.
Y
n I
n
.
…
…
图 4.48 多阻抗并联
第 4章 正弦交流电路
n
n
nn
nnn
n
n
n
n
n
BBBB
GGGG
jBGBBBjGGG
jBGjBGjBGYYYY
YYYY
YUYYYUIIII
YUI
YUI
YUI
???????
??????
????????????????
?????????????????
???????
?????????
?
?
?
??????
??
??
??
21
21
2121
221121
21
21
211
2
2
1
1
)()(
).,,(.,,
第 4章 正弦交流电路
例 4.29 图 4.49 所示并联电路中,已知端电压
(1) 总导纳 Y;
(2) 各支路电流, 和总电流 。
解 选 u,i,i1,i2的参考方向如图所示。
?????? 8,)303 1 4s i n (22 2 0 CL XXVtu
1
?I
2
?I ?I
R
1
R
2
U
j X
L
.
I
.
－ j X
C
I
2
.
I
1
.
图 4.49 例 4.29 图
第 4章 正弦交流电路
由已知
? ?
AYUI
AYUI
AYUI
SjjYYY
Sj
j
jjXR
Y
Sj
j
jjXR
Y
VU
C
L
????????
????????
??????????
???????
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
??
??
??
?
304.2612.0302 2 0
1.23221.531.0302 2 0
1.83221.531.0302 2 0)2(
12.008.006.008.006.0
08.006.0
1 0 0
86
86
11
08.006.0
1 0 0
86
86
11
1
,302 2 0
2
2
1
1
21
2
2
1
1
有
第 4章 正弦交流电路
4.11 正弦交流电路的相量分析法
4.11.1 网孔电流法
＋
－
j X
L
－ j X
C
U
s 1
.
R
＋
－
U
s 2
.
I
1
.
I
2
.
a
b
I
3
.
I
m 1
.
I
m 2
.
图 4.52 网孔电流法
第 4章 正弦交流电路
213,2211
222111
22
211211
222221
21
112121
11
,
,
,
mmmm
SSSS
L
C
smm
smm
IIIIIII
UUUU
jXRZ
RZZjXRZ
UIZIZ
UIZIZ
???????
????
???
???
????
???
??
?????
?
?
?
?
?
??
??
第 4章 正弦交流电路
例 4.30 图 4.52 所示电路中,已知
????????? 8,8,6,901002 CLs XXRVU
,01 0 01 VU s ???
求各支路电流。
解 选定各支路电流,, 和网孔电流,
参考方向如图所示,选定绕行方向和网孔电流的参考方向一
致。 列出网孔方程为
1
?I
2
?I
3
?I 1mI? 2mI?
jIjI
IIj
mm
mm
1 0 0)86(6
01 0 06)86(
21
21
?????
????
??
??
第 4章 正弦交流电路
AIII
AII
AII
AjI
AjI
j
Ijj
I
Ij
I
mm
m
m
m
m
m
m
m
m
?????????
????
???
??????
????
??
???
??
??
?
???
??
??
?
?
?
?
?
?
456.171 0 88.91989.9
1 0 88.9
1989.9
1 0 88.925.93
1989.913.338.9
1 0 0
6
]1 0 0)86)[(86(
6
6
1 0 0)86(
213
22
11
2
1
1
1
1
2
第 4章 正弦交流电路
4.11.2 节点法
321
2211
YYY
YUYU
U ssab
??
?
?
??
?
其中
RYjXYjXY LC
1,1,1
321 ?????
第 4章 正弦交流电路
例 4.31 图 4.52 所示电路中已知数据同例 4.30,试用节
点法求各支路电流。
解 以 b点为参考节点,各支路电流,, 参考方向
如图所示
311
??? III
Vj
jj
j
j
j
U
S
R
Y
S
jjX
Y
S
jjX
Y
ab
L
C
????
??
?
?
?
?
???
???
??
?
?
?
451.1 0 6)1(
8
6 0 0
6
1
8
1
8
1
8
1 0 0
8
1 0 0
6
11
8
11
8
11
3
2
1
第 4章 正弦交流电路
A
R
U
I
A
j
j
jX
UU
I
A
jjX
UU
I
ab
L
sab
C
abs
??
?
??
??
?
??
?
??
?
?
?
??
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
457.17
6
451 0 6
1 0 889.9
908
185.6 3 2
8
1 0 0451.1 0 6
1989.9
9064
715.6 3 2
8
451.1 0 61 0 0
3
2
2
1
1
第 4章 正弦交流电路
4.12 正弦交流电路的功率
4.12.1 瞬时功率 p
Z
U
.
I
.
图 4.53 功率
第 4章 正弦交流电路
)]2c o s ([ c o s
)]c o s ()[ c o s (
2
1
2
s i n)s i n (2`
s i n2)s i n (2
)s i n (2
s i n2
???
??????
???
???
??
?
???
???????
???
????
??
?
tUI
ttttUI
ttUI
tItUuip
tUu
tIi
第 4章 正弦交流电路
4.12.2 有功功率 P
我们把一个周期内瞬时功率的平均值称为“平均功
率”,或称为“有功功率”,用字母,P”表示,即
+ +
－－ －
?
p,u,i
p ＝ ui
i
u
? 2 ? ?? t
P ＝ U I c os ?
0
图 4.54 瞬时功率波形图
第 4章 正弦交流电路
RIIUP
IUPUIP
UIUIP
UIdttUI
T
dtUI
T
dttUI
T
pdt
T
P
R
RR
TT
TT
2
00
00
c o s
c o s
0c o s)]2c o s ([
1
)c o s(
1
)]2c o s ([ c o s
11
??
???
??
?????
????
??
??
?
??
????
???
第 4章 正弦交流电路
4.12.3 无功功率 Q
无功功率的定义式为
CL QQQ
UIQ
??
? ?s in
第 4章 正弦交流电路
4.12.4 视在功率 S
视在功率的定义式为
VAk V A
UIS
1 0 0 01 ?
?
第 4章 正弦交流电路
4.12.5 功率三角形
S
Q
P
?
图 4.55 功率三角形S
P
P
Q
QPS
QPS
??
?
??
??
??
?
c o s
t a n
22
222
第 4章 正弦交流电路
例 4.32 已知一阻抗 Z上的电压,电流分别为
(电压和电流的参考方向一
致 ),求 Z,cosφ,P,Q,S。
VAQPS
UIQ
WUIP
I
U
Z
1 1 0 0
v ar35 5 0
2
3
52 2 0s i n
5 5 0
2
1
52 2 0c o s
2
1
60c o sc o s
6044
305
302 2 0
22
???
?????
?????
???
???
??
?
??
?
?
?
?
AIVU ????? ?? 305,30220
第 4章 正弦交流电路
例 4.33 已知 40W的日光灯电路如图 4.56所示,在 =220V
的电压之下,电流值为 I=0.36A,求该日光灯的功率因数 cosφ
及所需的无功功率 Q。
解 因为
?c o sUIP ?
所以
5.036.0220 40c o s ???? UIP?
由于是电感性电路,所以 φ=60° 。
电路中的无功功率为
v a r6960s i n36.0220s i n ?????? ?UIQ
I
U
.
.
R
j X
L
图 4.56 例 4.33 图
第 4章 正弦交流电路
例 4.34 用三表法测量一个线圈的参数,如图 4.57所示,
得下列数据, 电压表的读数为 50V,电流表的读数为 1A,功率
表的读数为 30W,试求该线圈的参数 R和 L 。（电源的频率为
50Hz
A
R
W
V
j X
L
U
.
I
.
图 4.57 例 4.34图
第 4章 正弦交流电路
解 选 u,i为关联参考方向,如图 4.57所示。根据
RIP 2?
求得
???? 3030 22 IIPR
线圈的阻抗
???? 50150IUZ
22
LXRZ ??
由于
1 2 7.0
3 1 4
40
402
2
???
????
?
L
L
X
L
RZX
所以
则
第 4章 正弦交流电路
4.13 功率因数的提高
4.13.1 提高功率因数的意义
功率因数低会引起下述的不良后果。
(1) 电源设备的容量不能得到充分的利用。
(2)
第 4章 正弦交流电路
4.13.2 提高功率因数的方法
I
R
U
j ?? L
＋
－
.
.
I
C
.
－ j
?? C
1
( a )
I
C
.
?
?
?
?
I
1
.
I
C
.
I
.
U
.
( b )
I
1
.
图 4.59 功率因数的提高
第 4章 正弦交流电路
)t an( t a n
)t an( t a n
c o s
s i n
c o s
s i n
s i ns i n
c o s
,c o s
c o s
,c o s
21
21
2
2
1
1
211
21
1
211
???
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
??
????
??
??
U
P
CU
CU
X
U
I
U
P
U
P
U
P
III
U
P
IUIP
U
P
IUIP
C
C
C
并联电容后有
并联电容前有
由图 4.59（ b）可以看出
又知
代入上式可得
第 4章 正弦交流电路
)t an( t an
)t an( t an
21
2
2
2
2
212
??
?
?
??
?
??
?
???
??
PQ
U
Q
C
CU
X
U
XIQ
U
P
C
C
C
C
CC即
因为
所以
代入式 4.73可得
(4.73)
(4.74)
第 4章 正弦交流电路
例 4.35 如图 4.60 所示为一日光灯装置等效电路,已知
P=40W,U=220V,I=0.4A,f=50Hz,
(1) 此日光灯的功率因数 ;
(2) 若要把功率因数提高到 0.9,需补偿的无功功率 QC及电
容量 C
i
u
R
L
C
图 4.60 例 4.35 图
第 4章 正弦交流电路
解 (1) 因为
?c o sUIP ?
所以
455.04.0220 40c o s ???? UIP?
(2) 由 cosφ1=0.455 得 φ1=63°,tanφ1=1.96。由 cosφ2=0.9
得 φ2=26°,tanφ2=0.487。利用式 (4.74)可得
v a r9.58)4 8 7.096.1(40 ???CQ
所以
FFUQC C ?? 88.31088.322014.32 9.58 622 ??????? ?
第 4章 正弦交流电路
4.14 谐 振
4.14.1 串联谐振
1,谐振现象
i
u
R
L
C
＋
－
图 4.61 R,L,C串联电路
?ZjXRXXjRZ CL ?????? )(
当 X=XL-XC=0时,电路相当于“纯电阻”电路,其总电压 U
和总电流 I同相。 电路出现的这种现象称为“谐振”。
第 4章 正弦交流电路
2,产生谐振的条件
CLCL XXXX ??? 或0
CL ??
1?
(1) 当 L,C固定时,可以改变电源频率达到谐振
LCT
LC
f
LC
?
?
?
2
2
1
1
0
0
0
?
?
?
第 4章 正弦交流电路
(2) 当电源的频率 ω 一定时,可改变电容 C和电感 L使
电路谐振。
C
L
L
C
2
2
1
1
?
?
?
?
(4.80)
第 4章 正弦交流电路
例 4.36 图 4.62为一 R,L,C串联电路,已知 R=10Ω,
L=500μH,C为可变电容,变化范围为 12～ 290pF。若外施信
号源频率为 800kHz,则电容应为何值才能使电路发生谐振。
解 由于
pF
LfL
C
2.79
105 0 0)108 0 02(
1
)2(
11
623
22
?
?????
?
??
?
?
??
i
u
R
L
C
图 4.62 例 4.36图
第 4章 正弦交流电路
例 4.37 某收音机的输入回路（调谐回路）,可简化为
一 R,L,C组成的串联电路,已知电感 L=250μH,R=20Ω,今
欲收到频率范围为 525～ 1610kHz的中波段信号,试求电容 C
的变化范围。
解 由式 (4.80)可知
LfLC 22 )2(
11
?? ??
第 4章 正弦交流电路
当 f=525kHz时,电路谐振,则
pFC 368
10250)105252(
1
6231 ?????? ?
pFC 1.39
10250)1016102(
1
6231 ?????? ?
当 f=1610 kHz 时,电路谐振,则
所以电容 C的变化范围为 39.1～ 368 pF。
第 4章 正弦交流电路
3,串联谐振的基本特征
(1) 谐振时,阻抗最小,且为纯阻性。
因为谐振时,X=0,所以 Z=R,|Z|=R
(2) 谐振时,电路中的电流最大,且与外加电源电压同相。
R
UI s?
I
.U
R
＝ U
.,
U
L
.
U
C
.
图 4.63 串联谐振相量图
第 4章 正弦交流电路
(3) 谐振时,电路的电抗为零。感抗 XL和容抗 XC相等,其
值称为电路的特性阻抗 ρ。
由于谐振时
LC
1
0 ??
C
L
C
L
C
L
C
LC
C
X
C
L
L
LC
LX
C
L
???
????
????
0
0
0
0
00
1
1
11
1
?
??
?
?
??
第 4章 正弦交流电路
(4) 谐振时,电感和电容上的电压大小相等,相位相反,且
其大小为电源电压 Us的 Q倍。 Q
sC
s
L
QUUU
RR
L
RI
LI
U
U
Q
??
??
?
?
??
010
000 ???
第 4章 正弦交流电路
例 4.38 已知 R,L,C串联电路中,R=20Ω,L=300μH,信号
源频率调到 800kHz时,回路中的电流达到最大,最大值为
0.15mA,试求信号源电压 Us、电容 C、回路的特性阻抗 ρ,品
质因数 Q及电感上的电压 UL0。
解 根据谐振电路的基本特征,当回路的电流达到最大时,
电路处于谐振状态。由于谐振时
pF
LfL
C
132
10300)108002(
1
)2(
11
623
22
?
????
?
??
?
?
??
第 4章 正弦交流电路
mVQUU
R
Q
C
L
mVRIUU
sL
Rs
2 2 5375
75
20
1 5 0 8
1 5 0 8
101 3 2
103 0 0
32015.0
0
12
6
0
????
???
??
?
?
??
?????
?
?
?
?
谐振时
则电感上的电压为
第 4章 正弦交流电路
4.14.2 并联谐振
i
u
R
L
C
i
1
i
2
图 4.64 并联谐振
第 4章 正弦交流电路
1,并联谐振的条件
Cj
jX
Y
LR
Lj
LR
R
LR
LjR
LjR
Y
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
)()(
)(
1
2
2222
221
])([)( 222221 LR LCjLR RYYY ???? ???????
22 )( LR
LC
?
??
?
?
第 4章 正弦交流电路
L
CR
LC
f
L
CR
LCCL
CRL
2
0
2
2
2
0
1
2
1
1
1
??
??
?
?
?
?
L
CR
LC
f
L
CR
LCCL
CRL
2
0
2
2
2
0
1
2
1
1
1
??
??
?
?
?
?
第 4章 正弦交流电路
22
22
0
1111111
QLC
R
LCL
CR
LC ?????? ??
LC
f
LC
?
?
2
1
1
0
0
?
?
第 4章 正弦交流电路
2,并联谐振的特征
(1) 谐振时,导纳为最小值,阻抗为最大值,且为纯阻性。
R
QLQ
R
L
R
LR
Z
LR
R
Y
2
0
2
0
2
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2
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第 4章 正弦交流电路
(2) 谐振时总电流最小,且与端电压同相。
(3) 谐振时,电感支路与电容支路的电流大小近似相等,
为总电流的 Q倍。
QIII
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U
I
IjQ
Lj
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U
I
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QILQIZIU
CL
C
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