1111
第 14讲 第 13章 数字电路的基础知识
13.1 数字电路的基础知识
13.2 基本逻辑关系
13.3 逻辑代数及运算规则
13.4 逻辑函数的表示法
13.5 逻辑函数的化简
2222
13.1 数字电路的基础知识
数字信号和模拟信号
电
子
电
路
中
的
信
号
模拟信号
数字信号
幅度随时间连续变化
的信号
例：正弦波信号、锯齿波信号等。
幅度不随时间连续变
化,而是跳跃变化
计算机中,时间和幅度都不连续,称为离
散变量
3333
模拟信号
t
V(t)
t
V(t)数字信号
高电平
低电平 上跳沿
引言
下跳沿
4444
模拟电路与数字电路的区别
1、工作任务不同：
模拟电路研究的是输出与输入信号之间的大小、
相位、失真等方面的关系； 数字电路主要研究的
是输出与输入间的逻辑关系 （因果关系）。
模拟电路中的三极管工作在线性放大区,是
一个放大元件； 数字电路中的三极管工作在饱
和或截止状态,起开关作用 。
因此，基本单元电路、分析方法及研究的范
围均不同。
2、三极管的工作状态不同：
5555
模拟电路研究的问题 引言
基本电路元件,
基本模拟电路,
晶体三极管
场效应管
集成运算放大器
信号放大及运算 (信号放大、功率放大）
信号处理（采样保持、电压比较、有源滤波）
信号发生（正弦波发生器、三角波发生器,… ）
6666
数字电路研究的问题
基本电路元件
引言
基本数字电路
逻辑门电路
触发器
组合逻辑电路
时序电路（寄存器、计数器、脉冲发生器、
脉冲整形电路）
A/D转换器,D/A转换器
7777
基本逻辑关系
与 ( and )
或 (or )
非 ( not )
13.2 基本逻辑关系
8888
1.与逻辑关系
U
A B
Y
真值表
A B Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
规定,
开关合为逻辑,1”
开关断为逻辑,0”
灯亮为逻辑,1”
灯灭为逻辑,0”
真值表特点,
任 0 则 0,全 1则 1
一,,与, 逻辑关系和与
门 与逻辑,决定事件发生的各条件中，
所有条件都具备，事件才会发生
（成立）。
9999
2.二极管组成的与门电路
+5V
VA
VB
VO
输入输出电平对应表
(忽略二极管压降 )
VA VB VO
0.3 0.3 0.3
0.3 3 0.3
3 0.3 0.3
3 3 3
0.3V=逻辑 0,3V=逻辑 1
此电路实现“与”逻辑关
系
与门符号,
&A
B
Y
10101010
与逻辑运算规则 — 逻辑乘
3.与逻辑关系表示式
Y= A?B = AB
与门符号,
&A
B Y
基本逻辑关系
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A B Y
与逻辑真值表
0 ? 0=0 0 ? 1=0
1 ? 0=0 1 ? 1=1
11111111
二,,或, 逻辑关系和或
门
或逻辑,决定事件发生的各条件中，有一个或一个
以上的条件具备，事件就会发生（成立）。
1,,或, 逻辑关系
U
A
B
Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B Y
开关合为逻辑, 1”，
开关断为逻辑, 0”；
灯亮为逻辑, 1”，
灯灭为逻辑, 0” 。
设：
特点,任 1 则 1,全 0则 0
真值表
基本逻辑关系
12121212
2,二极管组成的, 或, 门电路
0.3V =逻辑 0,3V =逻辑 1
此电路实现, 或, 逻辑关
系。
VA VB VO
0.3 0.3 0.3
0.3 3 3
3 0.3 3
3 3 3
输入输出电平对应表
(忽略二极管压降 )
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
VA
VB
VO
R
-5V
基本逻辑关系
或门符号,
A
B
Y≥1
13131313
或逻辑运算规则 — 逻辑加
3.或逻辑关系表示式
Y=A＋ B
或门符号,
A
B
Y≥1
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B Y
或逻辑真值表
基本逻辑关系
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=1
14141414
三,,非, 逻辑关系与非
门
,非, 逻辑,决定事件发生的条件只有一个，条件不
具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。
特点, 1则 0,0则 1
真值表
0 1
1 0
A Y
Y
R
AU
1,,非, 逻辑关系
基本逻辑关系
15151515
2、非门电路 --三极管反相器
三极管反相器电路实现
,非, 逻辑关系。
非门表示符号,
1 YA
输入输出电平对应表
VA VO
0 1 (三极管截止 )
1 0 (三极管饱和 )
+Ec
VA VO
Rc
R1
基本逻辑关系
16161616
非逻辑 — 逻辑反
非逻辑真值表
A Y
0 1
1 0
运算规则：
0＝ 1
1＝ 0
3.非逻辑关系表示式
非逻辑关系表
示式,
Y＝ A
17171717
四、基本逻辑关系的扩展
将基本逻辑门加以组合，可构成, 与非,,, 或
非,,
,异或, 等门电路。
1,与非门
表示式, Y = AB
真值表
A B AB Y
0 0 0 1
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0Y=AB C多个逻辑变量时,
&AB Y符号：
18181818
2、或非门
表示式, Y= A+B
真值表
A B AB Y
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 0
多个逻辑变量时, Y= A+B+C
A
B Y≥1符号：
19191919
真值表特点, 相同则 0,
不同则 1
真值表
A B AB AB Y
0 0 0 0 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 1
1 1 0 0 0
3,异或 门
Y=A ? B =AB + AB表示式,
=1A
B
Y符号：
20202020
用基本逻辑门组成异或门
1
1
&
&
≥1
A
B
Y=A ? B =AB + AB表示式,
A
B
AB
AB
Y=AB + AB
异或门
21212121
门电路是实现一定逻辑关系的电路。
类型,与门、或门、非门、与非门、或非门、
异或门 …… 。
1、用二极管、三极管实现
2、数字集成电路 (大量使用 )
1) TTL集成门电路
2) MOS集成门电路
实现方法,
门电路小结
22222222
门电路
小结
门电路 符号 表示式
与门 &AB Y
A
B Y≥1或门
非门 1 YA
Y=AB
Y=A+B
Y= A
与非门 &AB Y Y= AB
或非门 AB Y≥1 Y= A+B
异或门 =1A
B
Y Y= A?B
23232323
13.3 逻辑代数及运算规则
数字电路要研究的是电路的输入输出之间的
逻辑关系，所以数字电路又称 逻辑电路,相应的
研究工具是 逻辑代数（布尔代数） 。
在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个
值（ 二值变量 ），即 0和 1。
24242424
乘运算规则,
加运算规则,
1、逻辑代数基本运算规则
非运算规则,
0+0=0, 0+1=1, 1+0=1,1+1=1
0?0=0 0?1=0 1?0=0 1?1=1
A ＝ A
A?0 =0 A?1 =A A?A =A A?A =0
0=1 1=0
A+0 =A,A+1 =1,A+A =A,A+A =1
25252525
2.逻辑代数运算规律
交换律, A+B = B+A
AB=BA
结合律, A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)
ABC=(AB)C=A(BC)
逻辑代数的基本运算规则
26262626
逻辑代数的基本运算规则分配律, A(B+C)=AB+AC
A+BC=(A+B)(A+C)
求证, （分配律第 2条） A+BC=(A+B)(A+C)
证明, 右边 =(A+B)(A+C)
=AA+AB+AC+BC ; 分配律
=A +A(B+C)+BC ; 结合律,AA=A
=A(1+B+C)+BC ; 结合律
=A ? 1+BC ; 1+B+C=1
=A+BC ; A ? 1=1
=左边
27272727
吸收规则
原变量吸收规则,
反变量吸收规则, A+AB=A+B
A+AB=A+B
注, 红色变
量被吸收掉！
A+AB =A+AB+AB
=A+(A+A)B
=A+ 1?B ; A+A=1
=A+B
A+AB =A
证明,
逻辑代数的基本运算规则
28282828
混合变量吸收规则,
AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC
=AB+AC+ABC+ABC
=AB(1+C) +AC(1+B)
=AB +AC
AB+AB =A
AB+AC+BC =AB+AC
证明,
逻辑代数的基本运算规则
29292929
反演定理（德摩根定理）
A?B =A+B A+B = A?B
用真值表证明
A B A?B A+B
1
1
1
0
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
证明,
逻辑代数的基本运算规则
30303030
一、逻辑函数的表示方法
四
种
表
示
方
法
Y=AB + AB
逻辑代数式 (逻辑表示式,逻辑函数式 )
1
1
&
&
≥1
A
B
Y逻辑电路图,
卡诺图
将逻辑函数输入变量取值的不同组合与
所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出
的表格。
n2N个输入变量 种组合 。
真值表：
13.4 逻辑函数的表示法
31313131
真值表 逻辑函数的表示方法
A B Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
0 1
1 0
A Y 一输入变
量，二种
组合
二输入变
量，四种
组合
三输入变
量，八种
组合
32323232
真值表 （四输入变量）
逻辑函数的表示方法
A B C D Y
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
A B C D Y
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
四输入变
量,16种
组合
33333333
将真值表或逻辑函数式用一个特定的方格图
表示，称为卡诺图。
最小相, 输入变量的每一种组合。
卡诺图的画法：
（二输入变量）
逻辑函数的表示方法
A B Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B
0
1
0 1
0
1
1
1
输出变量 Y的值
输入变量
卡诺图
34343434
卡诺图的画法 （三输入变量）
逻辑函数的表示方法
逻辑相邻：相邻单
元输入变量的取值
只能有一位不同。
0
1
00 01 11 10A BC
0 0 0 0
0 1 1 1
输入变量
输出变量 Y的值
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
35353535
AB
CD00 01 11 10
00
01
1 1 0 1
1 0 φ 1
0 φ 0 1
1 1 0 1
11
10
四变量卡诺图
函数取 0,1
均可，称为
无所谓状态 。
只有一
项不同
四输入变量卡诺图
36363636
有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单
元格的编号。单元格的值用函数式表示。
F( A,B,C )=?( 1,2,4,7 )
A
BC00 01 11 10
0
1
0 1 3 2
4 5 7 6
A B C 十进制数
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 2
0 1 1 3
1 0 0 4
1 0 1 5
1 1 0 6
1 1 1 7
A
BC00 01 11 10
0
1
0 1 0 1
1 0 1 0
37373737
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
四变量卡诺图单
元格的编号
A B C D
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
A B C D
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 1 1 0 0
13 1 1 0 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
F(A,B,C,D)=?(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)
38383838
二、逻辑函数四种表示方式的相互转换
1、逻辑电路图 ?逻辑代数式
B
AB
Y=A B+AB
A BA
1
&A
B
&
1
≥1
40404040
3、真值表、卡诺图 ?逻辑代数式
方法,将真值表或卡诺图中为 1
的项相加,写成, 与或式, 。
Y=AB+AB+AB
真值表
A B Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B
0 1
0
1 01
11
AB
四种表示方式的相互转换
此逻辑代数式并非是最简单的形式，实际上此真
值表是与非门的真值表，其逻辑代数式为 Y=AB
因此，有一个化简问题。
AB
AB
41414141
13.5 逻辑函数的化简
13.5.1 利用逻辑代数的基本公式化简
例 1：
ABAC
)BC(A
)BCB(A
ABCBA
)CC(ABCBA
A B CCABCBAF
??
??
??
??
???
???
反变量吸收
提出 AB
=1
提出 A
42424242
Y=A ?B= AB + AB =A ?A ? B ? B ? A ? B
右边 =A?A ? B + B?A ? B ; AB=A+B
= A?A ? B + B?A ? B ; A=A
=A ?(A+B) +B ?(A+B) ; A B=A+B
=A?A+A?B+ B?A +B?B ; 展开
=0 + A?B+A?B + 0
= A?B +A?B
= 左边
结论, 异或门可以用
4个与非门实现
例 2,证明
43434343
异或门可以用 4个与非门实现
Y=A ? B= AB + AB =A ?A ? B ? B ? A ? B
&
&
&
&AB Y
1
1
&
&
≥1
A
B
44444444
例 3 Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC将
化简为最简逻辑代数式。
=AB(C+C)+ABC+AB(C+C)
=AB+ABC+AB
=(A+A)B+ABC
=B+BAC ; A+AB=A+B
=B+AC； C+C=1
Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC
45454545
例 4 将 Y化简为最简逻辑代数式。
Y =AB+(A+B)CD
解,Y =AB+(A+B)CD
= AB+(A+B)CD
= AB+AB CD
=AB+CD;利用反演定理;将 AB当成一个变量,
利用公式 A+AB=A+B； A=A
46464646
适用输入变量为 3,4个的逻辑代数式的化简；化简
过程比公式法简单直观。
3） 每一项可重复使用，但每一次新的组合，至少包
含一个未使用过的项，直到所有 为 1的项都被 使用后
化简工作方算完成。
n21） 上、下、左、右相邻 （ n=0,1,2,3)个项，可
组成一组。
2） 先用面积最大的组合进行化简，利用吸收规则，
可吸收掉 n个变量。
用卡诺图化简的规则,对于输出为 1的项
12 吸收掉 1个变量； 22 吸收掉 2个变量,..
13.5.2 利用卡诺图化简
47474747
4） 每一个组合中的公因子构成一个, 与, 项，
然后将所有, 与, 项相加，得最简, 与或, 表
示式。
5） 无所谓项当, 1”处理。
用卡诺图化简规则（续）
例 1
Y=A+B 或门
A B
1
0
0 1
0
1 1
1A B
吸收规则,
Y=AB+AB+AB
=AB+AB+AB+AB
=A(B+B)+(A+A)B
=A+B
48484848
例 2
用卡诺图化简
00 01 11 10
00
01
11
10
1
0 1 1
1
1
1 0
1
0 1 1
0
1
1 0
AB
CD
D
AC
BC
Y=D+AC+BC
49494949
F=(A,B,C,D)= (0,2,3,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15)?
00 01 11 10
00
01
11
10
CD
AB
1
1 0
11
1
1 1
1
1
1
0 1
0
1
1
A
CD
BD
BD
F=A+CD+BD+BD
0 1 23
4 5 67
12 1
3
14
8 9 11 10
15
用卡诺图化简例 3
50505050
例 4：
首先, 逻辑代数式 ?卡诺图
C
AB
0
1
00 01 11 10
1
1
1
0 00
0
Y=AB+BC
用卡诺图化简逻辑代数式 Y=AB+ABC+ABC
AB BC
1
51515151
例 5,已知真值表如图，用卡诺图化简。
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 1
1 1 1 1
101状态未给出，即是无所谓状态。
52525252
A
BC
00 01 11 10
0
1
0 0 0 0
1 φ 1 1
化简时可以将无所谓状态当作 1或 0，目的
是得到最简结果。
认为是 1
A
F=A
第 14讲 第 13章 数字电路的基础知识
13.1 数字电路的基础知识
13.2 基本逻辑关系
13.3 逻辑代数及运算规则
13.4 逻辑函数的表示法
13.5 逻辑函数的化简
2222
13.1 数字电路的基础知识
数字信号和模拟信号
电
子
电
路
中
的
信
号
模拟信号
数字信号
幅度随时间连续变化
的信号
例：正弦波信号、锯齿波信号等。
幅度不随时间连续变
化,而是跳跃变化
计算机中,时间和幅度都不连续,称为离
散变量
3333
模拟信号
t
V(t)
t
V(t)数字信号
高电平
低电平 上跳沿
引言
下跳沿
4444
模拟电路与数字电路的区别
1、工作任务不同：
模拟电路研究的是输出与输入信号之间的大小、
相位、失真等方面的关系； 数字电路主要研究的
是输出与输入间的逻辑关系 （因果关系）。
模拟电路中的三极管工作在线性放大区,是
一个放大元件； 数字电路中的三极管工作在饱
和或截止状态,起开关作用 。
因此，基本单元电路、分析方法及研究的范
围均不同。
2、三极管的工作状态不同：
5555
模拟电路研究的问题 引言
基本电路元件,
基本模拟电路,
晶体三极管
场效应管
集成运算放大器
信号放大及运算 (信号放大、功率放大）
信号处理（采样保持、电压比较、有源滤波）
信号发生（正弦波发生器、三角波发生器,… ）
6666
数字电路研究的问题
基本电路元件
引言
基本数字电路
逻辑门电路
触发器
组合逻辑电路
时序电路（寄存器、计数器、脉冲发生器、
脉冲整形电路）
A/D转换器,D/A转换器
7777
基本逻辑关系
与 ( and )
或 (or )
非 ( not )
13.2 基本逻辑关系
8888
1.与逻辑关系
U
A B
Y
真值表
A B Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
规定,
开关合为逻辑,1”
开关断为逻辑,0”
灯亮为逻辑,1”
灯灭为逻辑,0”
真值表特点,
任 0 则 0,全 1则 1
一,,与, 逻辑关系和与
门 与逻辑,决定事件发生的各条件中，
所有条件都具备，事件才会发生
（成立）。
9999
2.二极管组成的与门电路
+5V
VA
VB
VO
输入输出电平对应表
(忽略二极管压降 )
VA VB VO
0.3 0.3 0.3
0.3 3 0.3
3 0.3 0.3
3 3 3
0.3V=逻辑 0,3V=逻辑 1
此电路实现“与”逻辑关
系
与门符号,
&A
B
Y
10101010
与逻辑运算规则 — 逻辑乘
3.与逻辑关系表示式
Y= A?B = AB
与门符号,
&A
B Y
基本逻辑关系
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A B Y
与逻辑真值表
0 ? 0=0 0 ? 1=0
1 ? 0=0 1 ? 1=1
11111111
二,,或, 逻辑关系和或
门
或逻辑,决定事件发生的各条件中，有一个或一个
以上的条件具备，事件就会发生（成立）。
1,,或, 逻辑关系
U
A
B
Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B Y
开关合为逻辑, 1”，
开关断为逻辑, 0”；
灯亮为逻辑, 1”，
灯灭为逻辑, 0” 。
设：
特点,任 1 则 1,全 0则 0
真值表
基本逻辑关系
12121212
2,二极管组成的, 或, 门电路
0.3V =逻辑 0,3V =逻辑 1
此电路实现, 或, 逻辑关
系。
VA VB VO
0.3 0.3 0.3
0.3 3 3
3 0.3 3
3 3 3
输入输出电平对应表
(忽略二极管压降 )
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
VA
VB
VO
R
-5V
基本逻辑关系
或门符号,
A
B
Y≥1
13131313
或逻辑运算规则 — 逻辑加
3.或逻辑关系表示式
Y=A＋ B
或门符号,
A
B
Y≥1
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B Y
或逻辑真值表
基本逻辑关系
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=1
14141414
三,,非, 逻辑关系与非
门
,非, 逻辑,决定事件发生的条件只有一个，条件不
具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。
特点, 1则 0,0则 1
真值表
0 1
1 0
A Y
Y
R
AU
1,,非, 逻辑关系
基本逻辑关系
15151515
2、非门电路 --三极管反相器
三极管反相器电路实现
,非, 逻辑关系。
非门表示符号,
1 YA
输入输出电平对应表
VA VO
0 1 (三极管截止 )
1 0 (三极管饱和 )
+Ec
VA VO
Rc
R1
基本逻辑关系
16161616
非逻辑 — 逻辑反
非逻辑真值表
A Y
0 1
1 0
运算规则：
0＝ 1
1＝ 0
3.非逻辑关系表示式
非逻辑关系表
示式,
Y＝ A
17171717
四、基本逻辑关系的扩展
将基本逻辑门加以组合，可构成, 与非,,, 或
非,,
,异或, 等门电路。
1,与非门
表示式, Y = AB
真值表
A B AB Y
0 0 0 1
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0Y=AB C多个逻辑变量时,
&AB Y符号：
18181818
2、或非门
表示式, Y= A+B
真值表
A B AB Y
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 0
多个逻辑变量时, Y= A+B+C
A
B Y≥1符号：
19191919
真值表特点, 相同则 0,
不同则 1
真值表
A B AB AB Y
0 0 0 0 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 1
1 1 0 0 0
3,异或 门
Y=A ? B =AB + AB表示式,
=1A
B
Y符号：
20202020
用基本逻辑门组成异或门
1
1
&
&
≥1
A
B
Y=A ? B =AB + AB表示式,
A
B
AB
AB
Y=AB + AB
异或门
21212121
门电路是实现一定逻辑关系的电路。
类型,与门、或门、非门、与非门、或非门、
异或门 …… 。
1、用二极管、三极管实现
2、数字集成电路 (大量使用 )
1) TTL集成门电路
2) MOS集成门电路
实现方法,
门电路小结
22222222
门电路
小结
门电路 符号 表示式
与门 &AB Y
A
B Y≥1或门
非门 1 YA
Y=AB
Y=A+B
Y= A
与非门 &AB Y Y= AB
或非门 AB Y≥1 Y= A+B
异或门 =1A
B
Y Y= A?B
23232323
13.3 逻辑代数及运算规则
数字电路要研究的是电路的输入输出之间的
逻辑关系，所以数字电路又称 逻辑电路,相应的
研究工具是 逻辑代数（布尔代数） 。
在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个
值（ 二值变量 ），即 0和 1。
24242424
乘运算规则,
加运算规则,
1、逻辑代数基本运算规则
非运算规则,
0+0=0, 0+1=1, 1+0=1,1+1=1
0?0=0 0?1=0 1?0=0 1?1=1
A ＝ A
A?0 =0 A?1 =A A?A =A A?A =0
0=1 1=0
A+0 =A,A+1 =1,A+A =A,A+A =1
25252525
2.逻辑代数运算规律
交换律, A+B = B+A
AB=BA
结合律, A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)
ABC=(AB)C=A(BC)
逻辑代数的基本运算规则
26262626
逻辑代数的基本运算规则分配律, A(B+C)=AB+AC
A+BC=(A+B)(A+C)
求证, （分配律第 2条） A+BC=(A+B)(A+C)
证明, 右边 =(A+B)(A+C)
=AA+AB+AC+BC ; 分配律
=A +A(B+C)+BC ; 结合律,AA=A
=A(1+B+C)+BC ; 结合律
=A ? 1+BC ; 1+B+C=1
=A+BC ; A ? 1=1
=左边
27272727
吸收规则
原变量吸收规则,
反变量吸收规则, A+AB=A+B
A+AB=A+B
注, 红色变
量被吸收掉！
A+AB =A+AB+AB
=A+(A+A)B
=A+ 1?B ; A+A=1
=A+B
A+AB =A
证明,
逻辑代数的基本运算规则
28282828
混合变量吸收规则,
AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC
=AB+AC+ABC+ABC
=AB(1+C) +AC(1+B)
=AB +AC
AB+AB =A
AB+AC+BC =AB+AC
证明,
逻辑代数的基本运算规则
29292929
反演定理（德摩根定理）
A?B =A+B A+B = A?B
用真值表证明
A B A?B A+B
1
1
1
0
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
证明,
逻辑代数的基本运算规则
30303030
一、逻辑函数的表示方法
四
种
表
示
方
法
Y=AB + AB
逻辑代数式 (逻辑表示式,逻辑函数式 )
1
1
&
&
≥1
A
B
Y逻辑电路图,
卡诺图
将逻辑函数输入变量取值的不同组合与
所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出
的表格。
n2N个输入变量 种组合 。
真值表：
13.4 逻辑函数的表示法
31313131
真值表 逻辑函数的表示方法
A B Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
0 1
1 0
A Y 一输入变
量，二种
组合
二输入变
量，四种
组合
三输入变
量，八种
组合
32323232
真值表 （四输入变量）
逻辑函数的表示方法
A B C D Y
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
A B C D Y
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
四输入变
量,16种
组合
33333333
将真值表或逻辑函数式用一个特定的方格图
表示，称为卡诺图。
最小相, 输入变量的每一种组合。
卡诺图的画法：
（二输入变量）
逻辑函数的表示方法
A B Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B
0
1
0 1
0
1
1
1
输出变量 Y的值
输入变量
卡诺图
34343434
卡诺图的画法 （三输入变量）
逻辑函数的表示方法
逻辑相邻：相邻单
元输入变量的取值
只能有一位不同。
0
1
00 01 11 10A BC
0 0 0 0
0 1 1 1
输入变量
输出变量 Y的值
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
35353535
AB
CD00 01 11 10
00
01
1 1 0 1
1 0 φ 1
0 φ 0 1
1 1 0 1
11
10
四变量卡诺图
函数取 0,1
均可，称为
无所谓状态 。
只有一
项不同
四输入变量卡诺图
36363636
有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单
元格的编号。单元格的值用函数式表示。
F( A,B,C )=?( 1,2,4,7 )
A
BC00 01 11 10
0
1
0 1 3 2
4 5 7 6
A B C 十进制数
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 2
0 1 1 3
1 0 0 4
1 0 1 5
1 1 0 6
1 1 1 7
A
BC00 01 11 10
0
1
0 1 0 1
1 0 1 0
37373737
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
四变量卡诺图单
元格的编号
A B C D
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
A B C D
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 1 1 0 0
13 1 1 0 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
F(A,B,C,D)=?(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)
38383838
二、逻辑函数四种表示方式的相互转换
1、逻辑电路图 ?逻辑代数式
B
AB
Y=A B+AB
A BA
1
&A
B
&
1
≥1
40404040
3、真值表、卡诺图 ?逻辑代数式
方法,将真值表或卡诺图中为 1
的项相加,写成, 与或式, 。
Y=AB+AB+AB
真值表
A B Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B
0 1
0
1 01
11
AB
四种表示方式的相互转换
此逻辑代数式并非是最简单的形式，实际上此真
值表是与非门的真值表，其逻辑代数式为 Y=AB
因此，有一个化简问题。
AB
AB
41414141
13.5 逻辑函数的化简
13.5.1 利用逻辑代数的基本公式化简
例 1：
ABAC
)BC(A
)BCB(A
ABCBA
)CC(ABCBA
A B CCABCBAF
??
??
??
??
???
???
反变量吸收
提出 AB
=1
提出 A
42424242
Y=A ?B= AB + AB =A ?A ? B ? B ? A ? B
右边 =A?A ? B + B?A ? B ; AB=A+B
= A?A ? B + B?A ? B ; A=A
=A ?(A+B) +B ?(A+B) ; A B=A+B
=A?A+A?B+ B?A +B?B ; 展开
=0 + A?B+A?B + 0
= A?B +A?B
= 左边
结论, 异或门可以用
4个与非门实现
例 2,证明
43434343
异或门可以用 4个与非门实现
Y=A ? B= AB + AB =A ?A ? B ? B ? A ? B
&
&
&
&AB Y
1
1
&
&
≥1
A
B
44444444
例 3 Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC将
化简为最简逻辑代数式。
=AB(C+C)+ABC+AB(C+C)
=AB+ABC+AB
=(A+A)B+ABC
=B+BAC ; A+AB=A+B
=B+AC； C+C=1
Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC
45454545
例 4 将 Y化简为最简逻辑代数式。
Y =AB+(A+B)CD
解,Y =AB+(A+B)CD
= AB+(A+B)CD
= AB+AB CD
=AB+CD;利用反演定理;将 AB当成一个变量,
利用公式 A+AB=A+B； A=A
46464646
适用输入变量为 3,4个的逻辑代数式的化简；化简
过程比公式法简单直观。
3） 每一项可重复使用，但每一次新的组合，至少包
含一个未使用过的项，直到所有 为 1的项都被 使用后
化简工作方算完成。
n21） 上、下、左、右相邻 （ n=0,1,2,3)个项，可
组成一组。
2） 先用面积最大的组合进行化简，利用吸收规则，
可吸收掉 n个变量。
用卡诺图化简的规则,对于输出为 1的项
12 吸收掉 1个变量； 22 吸收掉 2个变量,..
13.5.2 利用卡诺图化简
47474747
4） 每一个组合中的公因子构成一个, 与, 项，
然后将所有, 与, 项相加，得最简, 与或, 表
示式。
5） 无所谓项当, 1”处理。
用卡诺图化简规则（续）
例 1
Y=A+B 或门
A B
1
0
0 1
0
1 1
1A B
吸收规则,
Y=AB+AB+AB
=AB+AB+AB+AB
=A(B+B)+(A+A)B
=A+B
48484848
例 2
用卡诺图化简
00 01 11 10
00
01
11
10
1
0 1 1
1
1
1 0
1
0 1 1
0
1
1 0
AB
CD
D
AC
BC
Y=D+AC+BC
49494949
F=(A,B,C,D)= (0,2,3,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15)?
00 01 11 10
00
01
11
10
CD
AB
1
1 0
11
1
1 1
1
1
1
0 1
0
1
1
A
CD
BD
BD
F=A+CD+BD+BD
0 1 23
4 5 67
12 1
3
14
8 9 11 10
15
用卡诺图化简例 3
50505050
例 4：
首先, 逻辑代数式 ?卡诺图
C
AB
0
1
00 01 11 10
1
1
1
0 00
0
Y=AB+BC
用卡诺图化简逻辑代数式 Y=AB+ABC+ABC
AB BC
1
51515151
例 5,已知真值表如图，用卡诺图化简。
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 1
1 1 1 1
101状态未给出，即是无所谓状态。
52525252
A
BC
00 01 11 10
0
1
0 0 0 0
1 φ 1 1
化简时可以将无所谓状态当作 1或 0，目的
是得到最简结果。
认为是 1
A
F=A
