第二章初等模型 2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛 2.8 启帆远航 2.9 量纲分析与无量纲化 2.1公平的席位分配 三个系学生共 200名（甲系 100，乙系 60，丙系 40），代表 会议共 20席，按比例分配，三个系分别为 10， 6， 4席。 问 题 现因学生转系， 三系人数为 103, 63, 34, 问 20席如何分配。 若增加为 21席，又如何分配。 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （ %）比 例 结 果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815 6.615 3.570 21.000 21 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 甲 10 乙 6 丙 4 10.815 11 7 3 对 丙 系 公 平 吗 比 例 加 惯 例 “公平”分配方法 衡量公平分配的数量指标 人数 席位 A方 p 1 n 1 B方 p 2 n 2 当 p 1 /n 1 = p 2 /n 2 时，分配公平 若 p 1 /n 1 > p 2 /n 2 ，对 不公平 A p 1 /n 1 – p 2 /n 2 ~ 对 A的绝对不公平度 p 1 =150, n 1 =10, p 1 /n 1 =15 p 2 =100, n 2 =10, p 2 /n 2 =10 p 1 =1050, n 1 =10, p 1 /n 1 =105 p 2 =1000, n 2 =10, p 2 /n 2 =100 p 1 /n 1 – p 2 /n 2 =5p 1 /n 1 – p 2 /n 2 =5 但后者对A的不公平 程度已大大降低! 虽二者的绝对 不公平度相同 “公平”分配方法 将绝对度量改为相对度量 若 p 1 /n 1 > p 2 /n 2 ，定义 ),( / // 21 22 2211 nnr np npnp A = ? ~ 对 A的相对不公平度 公平分配方案应 使r A , r B 尽量小 类似地定义 r B (n 1 ,n 2 ) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配 , 即 设 A, B已分别有 n 1 , n 2 席，若增加 1席，问应分给 A, 还是 B 不妨设分配开始时 p 1 /n 1 > p 2 /n 2 ，即对 A不公平 初始 p 1 /n 1 > p 2 /n 2 应讨论以下几种情况 1）若 p 1 /(n 1 +1)> p 2 /n 2 ， 则这席应给 A 2）若 p 1 /(n 1 +1)< p 2 /n 2 ， 应计算 r B (n 1 +1, n 2 ) 3）若 p 1 /n 1 > p 2 /(n 2 +1)， 应计算 r A (n 1 , n 2 +1) p 1 /n 1 <p 2 /(n 2 +1) 是否会出现？ 否 !问： 若 r B (n 1 +1, n 2 ) < r A (n 1 , n 2 +1), 则这席应给 A 若 r B (n 1 +1, n 2 ) >r A (n 1 , n 2 +1), 则这席应给 B 当 r B (n 1 +1, n 2 ) < r A (n 1 , n 2 +1), 该席给 A r A , r B 的定义 )1()1( 11 2 1 22 2 2 + < + nn p nn p 否则 , 该席给 B ,2,1, )1( 2 = + = i nn p Q ii i i 定义 该席给 Q值较大的一方 mi nn p Q ii i i ,2,1, )1( 2 L= + = 计算 该席给 A 推广到 m方 分配席位 Q值方法 该席给Q值最大的一方 三系用 Q值方法重新分配 21个席位 按人数比例的整数部分已将 19席分配完毕 甲系： p 1 =103, n 1 =10 乙系： p 2 = 63, n 2 = 6 丙系： p 3 = 34, n 3 = 3 用 Q值方法分配 第 20席和第 21席 第 20席 3.96 43 34 ,5.94 76 63 ,4.96 1110 103 2 3 2 2 2 1 = × == × == × = QQQ 32 2 1 ,,4.80 1211 103 QQQ = × = 同上 Q值方法 分配结果 Q 1 最大，第 20席给甲系 Q 3 最大，第 21席给丙系 第 21席 甲系11席，乙系6席，丙系4席公平吗？ 进一步的讨论 Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 席位分配的理想化准则 已知 : m方人数分别为 p 1 , p 2 ,… p m , 记总人数为 P= p 1 +p 2 +…+p m , 待分配的总席位为 N。 设理想情况下 m方分配的席位分别为 n 1 ,n 2 ,…n m (自然应有 n 1 +n 2 +…+n m =N)， n i 应是 N和 p 1 , … p m 的函数，即 n i = n i (N, p 1 , ,… p m ) 若 q i 均为整数，显然应 n i =q i 记 q i =Np i /P, i=1,2, …m, q i =Np i /P不全为整数时，n i 应满足的准则： 记 [q i ] – =floor(q i ) ~ 向 ≤ q i 方向取整； [q i ] + =ceil(q i ) ~ 向 ≥ q i 方向取整 . 1) [q i ] – ≤ n i ≤ [q i ] + (i=1,2, …m), 即 n i 必取 [q i ] – , [q i ] + 之一 2) n i (N, p 1 , ,… p m ) ≤ n i (N+1, p 1 , ,… p m ) (i=1,2, …m) 即当总席位增加时， n i 不应减少 “比例加惯例”方法满足1），但不满足2） Q值方法满足2）,但不满足1）。令人遗憾！ 2.2 录像机计数器的用途 经试验，一盘标明 180分钟的录像带 从头走到尾，时间用了 184分，计数 器读数从 0000变到 6061。 问 题 在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下 1小时的节目？ 计数器读数是均匀增长的吗？ 思考 不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。 要求 计数器读数增长越来越慢！ 观察 问题分析 录像机计数器的工作原理 主动轮 压轮 0000 左轮盘 右轮盘 磁头 计数器 录像带 录像带运动方向 右轮盘半径增大 右轮转速不是常数录像带运动速度是常数 计数器读数增长变慢录像带运动 模型假设 ?录象带的运动速度是常数v ； ?计数器读数n与右轮转数m成正比，记m=kn； ?录象带厚度（加两圈间空隙）为常数w； ?空右轮盘半径记作r ； ?时间t=0 时读数n=0 . 建立时间t与读数n之间的关系建模目的 （设 v,k,w ,r为已知参数） 模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为 r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间 t内移动的长度 vt, 所以 ∑ = =+ m i vtwir 1 )(2π knm = n v rk n v wk t ππ 2 2 2 += 模型建立 2. 考察右轮盘面积的 变化，等于录象带厚度 乘以转过的长度，即 3. 考察 t到 t+dt录象带在 右轮盘缠绕的长度，有 vdtkdnwknr =+ π2)( wvtrwknr =?+ ])[( 22 π n v rk n v wk t ππ 2 2 2 += ?? 思考 3种建模方法得到同一结果 ∑ = =+ m i vtwir 1 )(2π n v rk n v wk t ππ 2 2 2 +=wvtrwknr =?+ ])[( 22 π vdtkdnwknr =+ π2)( 但仔细推算会发现稍有差别，请解释。 模型中有待定参数 ,,,, kvwr 思考 一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。 参数估计 另一种确定参数的方法——测试分析 将模型改记作 , 2 bnant += 只需估计 a,b 理论上，已知t=184, n=6061,再有一组(t, n)数据即可 实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合 现有一批测试数据： 用最小二乘法可得 t 0 20 40 60 80 n 0000 1141 2019 2760 3413 t 100 120 140 160 184 n 4004 4545 5051 5525 6061 .1045.1 ,1061.2 2 6 ? ? ×= ×= b a 模型检验 应该另外测试一批数据检验模型： bnant += 2 )1045.1,1061.2( 26 ?? ×=×= ba 模型应用 回答提出的问题：由模型算得 n = 4450 时 t = 116.4分， 剩下的录象带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目。 揭示了 “ t 与 n 之间呈二次函数关系” 这一普遍规律， 当录象带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。 d d 墙 l 室 内 T 1 室 外 T 2 Q 1 2.3双层玻璃窗的功效 双层玻璃窗与同样多材料的单层 玻璃窗相比，减少多少热量损失 问 题 热量传播只有传导，没有对流 假 设 T 1 ,T 2 不变，热传导过程处于稳态 2d 墙 室 内 T 1 室 外 T 2 Q 2 材料均匀，热传导系数为常数 建 模 Q ~单位时间单位面积传导的热量 ?T~温差 , d~材料厚度 , k~热传导系数 d T kQ ? = 热传导定律 记双层玻璃窗传导的热量 Q 1 建模 d d 墙 l 室 内 T 1 室 外 T 2 Q 1 T a T b T a ~内层玻璃的外侧温度 T b ~外层玻璃的内侧温度 k 1 ~玻璃的热传导系数 k 2 ~空气的热传导系数 d TT k l TT k d TT kQ bbaa 2 12 1 11 ? = ? = ? = d l h k k hs sd TT kQ == + ? = ,, )2( 2 121 11 2d 墙 室 内 T 1 室 外 T 2 Q 2 记单层玻璃窗传导的热量 Q 2 建模 )2( 21 11 + ? = sd TT kQ d TT kQ 2 21 12 ? = 双层与单层窗传导的热量之比 d l h k k hs sQ Q == + = ,, 2 2 2 1 2 1 21 QQ < k 1 =4×10 -3 ~8 ×10 -3 , k 2 =2.5×10 -4 , k 1 /k 2 =16 ~32 对 Q 1 比 Q 2 的减少量 作最保守的估计， d l h hQ Q = + = , 18 1 2 1 取 k 1 /k 2 =16 h Q 1 /Q 2 4 2 0 0.06 0.03 0.02 6 Q 1 /Q 2 所以如此小，是由于层间空气极低的热传 导系数k 2 , 而这要求空气非常干燥、不流通。 d l h hQ Q = + = , 18 1 2 1 模型应用 取 h=l/d=4, 则 Q 1 /Q 2 =0.03 即双层玻璃窗与同样多材 料的单层玻璃窗相比，可 减少 97%的热量损失。 结果分析 房间通过天花板、墙壁、 …损失的热量更多。 双层窗的功效不会如此之大 2.4 汽车刹车距离 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则： 背 景 与 问 题 ? 正常驾驶条件下 , 车速每增 10英里 /小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。 ? 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则 ” ： ? 后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何 判断 “2秒准则 ” 与 “车身 ”规则是否一样； 建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。 常识：刹车距离与车速有关 问 题 分 析 10英里 /小时 (≈16公里 /小时 )车速下 2秒钟行驶 29英尺 (≈ 9米 ) >>车身的平均长度 15英尺 (=4.6米 ) “2秒准则 ”与 “10英里 /小时加一车身 ”规则不同 反 应 距 离 制 动 距 离 司机 状况 制动系统 灵活性 反应时间 常数 车速 刹 车 距 离 制动器作用力、车重、车速、道路、气候 … 常数 最大制动力与车质量成正 比，使汽车作匀减速运动。 假设与建模 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d 1 与制动距离 d 2 之和 21 ddd += vtd 11 = 2. 反应距离 d 1 与车速 v成正比 t 1 为反应时间 3. 刹车时使用最大制动力 F， F作功等于汽车动能的改变 ; F d 2 = m v 2 /2 F ∝ m 2 2 kvd = 且 F与车的质量 m成正比 2 1 kvvtd += 2 1 kvvtd +=模型 ? 反应时间 t 1 的经验估计值为 0.75秒 参数估计 ? 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k 4.3444.8464（ 506）117.380 3.6347.1343（ 372）102.770 3.0261.4248（ 268）88.060 2.5187.8173（ 186）73.350 2.1126.2116（ 124）58.740 1.876.673.5（ 78）44.030 1.539.042（ 44）29.320 刹车时间 （秒） 计算刹车距离 （英尺） 实际刹车距离 （英尺） 车速 (英里 /小时 ) (英尺 /秒 ) 计算刹车距离、刹车时间 最小二乘法 ? k=0.06 22 1 06.075.0 vvkvvtd +=+=模型 4.380 3.670 3.060 2.550 2.140 1.830 1.520 刹车时间 （秒） 车速 (英里 /小时 ) “2秒准则 ”应修正为 “t 秒准则 ” 4321t（秒） 60~8040~6010~400~10车速（英里 /小时） 赛艇 2000米成绩 t (分 ) 种类 1 2 3 4 平均 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 艇长 l 艇宽 b (米 ) (米 ) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.4 11.75 0.574 21.0 18.28 0.610 30.0 空艇重 w 0 (kg) 浆手数 n 16.3 13.6 18.1 14.7 对四种赛艇（单人、双人、四人、八人） 4次国际大赛冠 军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立 数学模型揭示这种关系。 问 题 2.5划艇比赛的成绩 准 备 l /b, w 0 /n 基本不变 调查赛艇的尺寸和重量 问题分析 分析赛艇速度与浆手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定 ? 前进动力 ~ 浆手的划浆功率 ? 前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力 赛艇 速度 前进 动力 划浆 功率 浆手 数量 艇 重 浸没 面积 前进 阻力 赛艇 速度 ?对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 ?运用合适的物理定律建立模型 模型假设 符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w 0 , 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W 1）艇形状相同 (l/b为常数 ), w 0 与 n成正比 艇的静态特性 2） v是常数，阻力 f与 sv 2 成正比 艇的动态特性 3） w相同， p不变， p与 w成正比 浆手的特征 pw ∝ v (n/s) 1/3 ∝ np fv ∝ f sv 2 ∝ 模型 建立 s 1/2 A 1/3 ∝ AW(=w 0 +nw) n ∝ ∝ sn 2/3 ∝ vn 1/9 ∝ 比赛成绩 tn –1/9 ∝ 利用 4次国际大赛冠军的平均 成绩对模型 tn –1/ 9 进行检验 ∝ t n 1 24 8 7.21 6.88 6.32 5.84 ? ? ? ? 模型检验 n t 1 7.21 2 6.88 4 6.32 8 5.84 b ant = nbat loglog + ′ = 11.0 21.7 ? = nt 最小二乘法 与模型巧合！ 2.6实物交换 甲有物品 X, 乙有物品 Y, 双方为满足更高的需要， 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 y x p . 用 x,y分别表示甲 (乙 )占有 X,Y的数量。设交换前甲占 有 X的数量为 x 0 , 乙占有 Y的 数量为 y 0 , 作图： 若不考虑双方对 X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y) x y y o 0 x o ? ? 问 题 都是一种交换方案：甲占有 (x,y) ，乙占有 (x 0 -x, y 0 -y) 分析与建模 甲的无差别曲线 x y y o y 1 y 2 0 x 1 x 2 x o p 1 p 2 . . 如果甲占有 (x 1 ,y 1 )与占有 (x 2 ,y 2 ) 具有同样的满意程度，即 p 1 , p 2 对甲是无差别的， M N 将所有与 p 1 , p 2 无差别的点连接 起来，得到一条 无差别曲线 MN, N 1 M 1 P 3 (x 3 ,y 3 ) . 线上各点的满意度相同 , 线的形状反映对 X,Y的偏爱程度， 比 MN各点满意度更高的点如 p 3 ，在另一条无差别曲线 M 1 N 1 上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。 y? x? p 1 . y? x? p 2 . c 1 ↑ y 0 x f(x,y)=c 1 甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c 1 c 1 ~满意度 （ f ~等满意度曲线） 无差别曲线族的性质： ? 单调减 (x增加 , y减小 ) ? 下凸 (凸向原点 ) ? 互不相交 在 p 2 点占有 y少、 x多， 就要以较多的 ? x换取 较少的 ? y。 在 p 1 点占有 x少、 y多， 宁愿以较多的 ? y换取 较少的 ? x; x y O g(x,y)=c 2 c 2 ↑ x y y o O x o f=c 1 O ‘ x ’ y ’ g=c 2 A B p ? P’ ? 两族曲线切点连线记作AB 乙的无差别曲线族 g(x,y)=c 2 具有相同 性质（形状可以不同） 双方的交换路径 甲的无差别曲线族 f=c 1 乙的无差别曲线族 g=c 2 (坐标 系 x ’ O ’ y ’ , 且反向） 双方满意的交换方案必 在AB（交换路径）上 因为在 AB外的任一点 p ’ , (双方 )满意度低于 AB上的点 p 交换方案的进一步确定 交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x,y) A B p 0≤x≤x 0 , 0≤y≤y 0 矩 形内任一点 交换路 径 AB 双方的无差别曲线族 等价交 换原则 C D 设 X单价 a, Y单价 b, 则等价交换下 ax+by=s (s=ax 0 =by 0 ) y y o 0 x o . . x AB与 CD的 交点 p X,Y用货币衡量其价值，设交换 前 x 0 ,y 0 价值相同，则等价交换原 则下交换路径为 (x 0 ,0), (0,y 0 ) 两点的连线 CD 2.7核军备竞赛 ? 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威 慑战略”，核军备竞赛不断升级。 ? 随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列 背 景 的核裁军协议。 ? 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存 在暂时的平衡状态。 ? 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个 数量受哪些因素影响。 ? 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导 弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。 以双方 (战略 )核导弹数量描述核军备的大小。 假定双方采取如下同样的 核威慑战略： ? 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部 核导弹攻击己方的核导弹基地； 模 型 假 设 ? 己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导 弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。 在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能 攻击对方的一个核导弹基地。 摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精 度和另一方的防御能力决定。 y=f(x)~甲方有 x枚导弹，乙方所需的最少导弹数 图 的 模 型 x=g(y)~乙方有 y枚导弹，甲方所需的最少导弹数 当 x=0时 y=y 0 ， y 0 ~乙方的 威慑值 y 0 ~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭 甲方工业、交通中心等目标所需导弹数 xyy += 0 x y y 0 0 xyxfyy +<=< 00 )( x 1 x 0 y 1 P(x m ,y m ) x=g(y) x y 0 y 0 y=f(x)y=f(x) 乙安全区 甲 安 全 区 双方 安全区 乙安全线 P~平衡点 (双方最少导弹数 ) 乙方 残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一个 基地，基地未被摧毁的概率。 精细 模型 甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个 , x<y sx个基地未摧毁， y–x个基地未攻击。 y 0 =sx+y–x y= y 0 +(1-s)x x=y y 0 =sy y=y 0 /s 乙的 x–y个被攻击 2次， s 2 (x–y)个未摧毁； y –(x–y)=2y– x个被攻击 1次， s(2y– x )个未摧毁 y<x<2y x s s ss y y ? ? + ? = 2 1 )2( 0 y 0 = s 2 (x–y)+ s(2y– x ) x=2y y=y 0 /s 2 y 0 =s 2 y y<x<2y, x s s ss y y ? ? + ? = 2 1 )2( 0 x<y, y= y 0 +(1-s)x 精细 模型 x=y, y=y 0 /s x=2y, y=y 0 /s 2 yxa s y s y y / 00 == s~残存率 y 0 ~威慑值 x=a y, a~交换比 (甲乙导弹数量比 ) y=f(x) x y 0 y 0 x=y x=2y y是一条上凸的曲线 y 0 变大，曲线上移、变陡 s变大， y减小，曲线变平 a变大， y增加，曲线变陡 模型解释 ? 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标 乙方威慑值 y 0 变大 x y 0 y 0 x 0 P(x m ,y m ) x=g(y) y=f(x) ),( mm yxP ′′′ （其它因素不变） 乙安全线 y=f(x)上移 平衡点 P→P′ mmmm yyxx > ′ > ′ , 甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。 模型解释 ? 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架 乙安全线 y=f(x)不变 x y 0 y 0 x 0 P(x m ,y m ) x=g(y) y=f(x) ),( mm yxP ′′′ 甲方残存率变大 威慑值 x 0 和交换比不变 x减小，甲安全线 x=g(y)向 y轴靠近 mmmm yyxx < ′ < ′ , P→P′ 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少 模型解释 ? 双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标 (x , y仍为双方核导弹的数量 ) 双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加 x y 0 y 0 x 0 P(x m ,y m ) x=g(y) y=f(x) P ′ P ′′ 乙安全线 y=f(x) y 0 减小 → y下移且变平 a 变大 → y增加且变陡 ?PP ′ → ?PP ′′ → 双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析 2.8 启帆远航 帆船在海面上乘风远航，确定 最佳的航行方向及帆的朝向 AB ? ? θ 风向 北 航向 帆船 海面上东风劲吹，设帆船 要从 A点驶向正东方的 B 点，确定起航时的航向 θ， 帆 α 以及帆的朝向 α 简化问题 模型分析 ? 风 (通过帆 )对船的推力 w ? 风对船体部分的阻力 p 推力 w的分解 ? θ α w p 阻力 p的分解 w=w 1 +w 2 w 1 w 2 w 1 =f 1 +f 2 f 1 f 2 p 2 p 1 p=p 1 +p 2 模型 假设 ? w与帆迎风面积 s 1 成正比， p与船迎风面积 s 2 成正比，比例系数相同且 s 1 远大于 s 2 ， f 1 ~航行方向的推力 p 1 ~航行方向的阻力 模型 假设 ? w 2 与帆面平行，可忽略 ? f 2 , p 2 垂直于船身，可由舵抵消 w 1 =wsin(θ-α) f 1 =w 1 sinα=wsinα sin(θ-α) p 1 =pcosθ ? θ α w p w 1 w 2 f 1 f 2 p 2 p 1 w=ks 1 , p=ks 2 ? 航向速度 v与力 f=f 1 -p 1 成正比 v=k 1 (f 1 -p 1 ) v 1 v 模型 建立 船在正东方向速度分量 v 1 =vcosθ = k 1 (f 1 -p 1 )cosθ v 1 =vcosθ模型建立 2) 令 α =θ /2, v 1 =k 1 [w(1-cosθ)/2 -pcosθ]cos θ 求 θ使 v 1 最大 （ w=ks 1 , p=ks 2 ） 1) 当 θ固定时求 α使 f 1 最大 f 1 =w[cos(θ-2α)-cosθ]/2 α =θ /2 时 f 1 =w(1-cosθ)/2最大 求 θ,α ,使 v 1 最大 ? θ α w p w 1 w 2 f 1 f 2 p 2 p 1 v 1 v 模型求解 f 1 =w 1 sinα=wsinα sin(θ-α) p 1 =pcosθ v 1 =k 1 [w(1-cosθ)/2 -pcosθ]cos θ 模型求解 =( k 1 w/2)[1-(1+2p/w)cosθ]cos θ 60 o < θ < 75 o 1< t < 2 θθ cos)cos1( 21 tkv ?= ]) 2 1 (cos 4 1 [ 2 2 2 tt tk ??= θ v 1 最大 2 ), 2 1( 2 1 cos 1 2 θ αθ =+== s s t t 记 t=1+2s 2 /s 1 , k 2 =k 1 w/2 1/4<cos θ<1/2 s 1 >> s 2 w=ks 1 , p=ks 2 备注 ? 只讨论起航时的航向，是静态模型 ? 航行过程中终点 B将不在正东方 2.9量纲分析与无量纲化 2.9.1 量纲齐次原则 长度 l 的量纲记 L=[l] 动力学中 基本量纲 L, M, T 物 理 量 的 量 纲 质量 m的量纲记 M=[m] 时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT -1 加速度 a 的量纲 [a]=LT -2 导出量纲 力 f 的量纲 [f]=LMT -2 引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l] 2 [m] -2 =L 3 M -1 T -2 2 21 r mm kf = 对无量纲量 α， [α]=1(=L 0 M 0 T 0 ) 量纲齐次原则 等式两端的量纲一致 量纲分析 ~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 l mg m 求摆动周期 t 的表达式 例：单摆运动 设物理量 t, m, l, g 之间有关系式 )1( 321 ααα λ glmt = α 1 , α 2 , α 3 为待定系数， λ为无量纲量 321 ][][][][ ααα glmt = 3321 2αααα ?+ = TLMT (1)的量纲表达式 g l t π2= 对比 ? ? ? ? ? ?= = = 2/1 2/1 0 3 2 1 α α α ? ? ? ? ? =? =+ = 12 0 0 3 32 1 α αα α g l t λ= 321 ααα λ glmt = 为什么假设这种形式 对 x,y,z的两组量测值 x 1 ,y 1 ,z 1 和 x 2 ,y 2 ,z 2 ， p 1 = f( x 1 ,y 1 ,z 1 ), p 2 = f( x 2 , y 2 ,z 2 ) 设 p= f(x,y,z) x,y,z的量纲单 位缩小 a,b,c倍 ),,(),,,( 22221111 czbyaxfpczbyaxfp = ′ = ′ 2 1 2 1 p p p p ′ ′ = ),,( ),,( ),,( ),,( 222 111 222 111 czbyaxf czbyaxf zyxf zyxf = γβα λ zyxzyxf =),,( p= f(x,y,z)的形式为 0),,,( =glmtf 单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 000201 001010100 4 321 )( )()()( TMLTML TMLTMLTML y yyy = ? 0002 41243 TMLTML yyyyy = ?+ ? ? ? ? ? ? ? = = = = ?201 001 010 100 ][ ][ ][ ][ TMLg TMLl TMLm TMLt π= 4321 yyyy glmt y 1 ~y 4 为待定常数 , π为无量纲量 T T yyyy y )1,1,0,2( ),,,( 4321 ?= = 基本解 ? ? ? ? ? =? = =+ 02 0 0 41 2 43 yy y yy π= ? glt 12 0)( =πF )/( glt λ= Pi定理(Buckingham) 设 f(q 1 , q 2 , … , q m ) = 0 是与量纲单位无关的物理定律， X 1 ,X 2 , … X n 是基本量 纲 , n≤m, q 1 , q 2 , … q m 的量纲可表为 mjXq n i a ij ij ,,2,1,][ 1 L== ∏ = ,}{ mnij aA × =量纲矩阵记作 rArank =若 线性齐次方程组 0=Ay 有 m-r 个基本解，记作 y s = (y s1 , y s2 , …,y sm ) T , s = 1,2,…, m-r F(π 1 , π 2 ,…, π m-r ) = 0 与 f (q 1 , q 2 , … , q m ) =0 等价 , F未定 ∏ = = m j y js sj q 1 π 为 m-r 个相互独立的无量纲量 , 且 则 量纲分析示例：波浪对航船的阻力 航船速度 v, 船体尺寸 l, 浸没面积 s, 海水密度 ρ, 重力加速度 g。 航船阻力 f 0),,,,,( =fsvlg ρ?0),,,( 21 = m qqqf L mj Xq n i a ij ij ,,2,1 ,][ 1 L= = ∏ = [g] = LT -2 , [l] = L, [ρ] = L -3 M, [v] = LT -1 , , [s] = L 2 , [f] = LMT -2 )()()()()()( )(201002 )(100100 )(121311 fsvlg T M L A ρ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? = mnij aA × = }{ m=6, n=3 0),,,,,( =fsvlg ρ?0),,,( 21 = m qqqf L rank A = r rank A = 3 Ay=0 有 m-r=3个基本解 Ay=0 有 m-r个基本解 ? ? ? ? ? = = = T T T y y y )1,0,0( )0,1,0( )0,0,1( 3 2 1 ? ? ? ? ? ? ? = = = ??? ? ?? flg sl vlg 131 3 2 2 2 1 2 1 1 ρπ π π ,1,3,1 ,0,2,0 ,0,2/1,2/1 ??? ? ?? y s = (y s1 , y s2 , …,y sm ) T s = 1,2,…, m-r ∏ = = m j y js sj q 1 π m-r 个无量纲量 F(π 1 , π 2 ,π 3 ) = 0与 ?(g,l,ρ,v,s,f) = 0 等价 ? ? ? ? ? ? ? = = = ??? ? ?? flg sl vlg 131 3 2 2 2 1 2 1 1 ρπ π π ∏ = = m j y js sj q 1 π F(π 1 , π 2 ,…, π m-r ) = 0 与 f (q 1 , q 2 , … , q m ) =0 等价 ),( 213 ππψπ = 为得到阻力 f 的显式表达式 F=0 2 2121 3 ,),,( l s gl v glf === ππππρψ ψ 未定 量纲分析法的评注 ?物理量的选取 ? (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 ?基本量纲的选取 基本量纲个数 n; 选哪些基本量纲 ?基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 ?方法的普适性不需要特定的专业知识 函数 F和无量纲量未定 ?结果的局限性 2.9.2 量纲分析在物理模拟中的应用 例 : 航船阻力的物理模拟 通过航船模型确定原型船所受阻力 2 1 1 2 11 1 1 2111 3 11 , ),( l s lg v glf = ′ = ′ ′′ = ππ ππψρ 2 21 21 3 , ),( l s gl v glf == = ππ ππρψ 可得原 型船所 受阻力 已知模 型船所 受阻力 111111 ,,,,, gvlsf ρ ~原型船的参数 (f 1 未知，其他已知 ) gvlsf ,,,,, ρ ~模型船的参数 (均已知 ) 注意：二者的 ψ相同 2211 , ππππ ′ = ′ = 1 gg = l l v v 1 2 1 )( = 2 11 )( l l s s = ρ ρ 3 1 3 11 l l f f = 3 11 )( l l f f = )( 1 ρρ = 2 21 21 3 , ),( l s gl v glf == = ππ ππρψ 2 1 1 2 11 1 1 2111 3 11 , ),( l s lg v glf = ′ = ′ ′′ = ππ ππψρ 按一定尺寸比例造模型船， 量测 f，可算出 f 1 ~ 物理模拟 2.9.3 无量纲化 m 1 m 2 x r v 0 g 例：火箭发射 星球表面竖直发射。初速 v, 星球半 径 r, 表面重力加速度 g 研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律 t=0 时 x=0, 火箭质量 m 1 , 星球质量 m 2 2 21 1 )( rx mm kxm + ?=&& 牛顿第二定律，万有引力定律 )0( =?= xgx&& grkm 2 2 = vxx rx gr x == + ?= )0(,0)0( )( 2 2 & && ),,;( gvrtxx = ——3个独立参数 用无量纲化方法减少独立参数个数 [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT -1 , [g]=LT -2 变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲 用参数 r,v,g的组合 ,分别 构造与 x,t具有相同量纲 的x c , t c （特征尺度） cc t t t x x x == ,令 vrtrx cc /, == 如 —无量纲变量 tx , ),,;( gvrtxx =利用新变量 ,, tx 将被简化 x c , t c 的不同构造 vrtrx cc /, == 1）令 cc t t t x x x == , 的不同简化结果 ),,;( gvrtxx = x r v td xd r v x xv td xd vx && && & & 2 2 22 == == rvttrxx /,/ == vxx rx gr x == + ?= )0(,0)0( )( 2 2 & && ? ? ? ? ? == = + ?= 1)0(,0)0( , )1( 1 2 2 xx rg v x x & && εε ),,;( gvrtxx = );( εtxx = ε为无量纲量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? == = + ?= rg v x x x x 2 2 ,)0( 0)0( )1( 1 εε & && grtrx cc /, == 2）令 );( εtxx = ε为无量纲量 ),,;( gvrtxx = ? ? ? ? ? == = + ?= 1)0(,0)0( , )1( 1 2 2 xx rg v x x & && ε ε gvtgvx cc /,/ 2 == 3）令 ),,;( gvrtxx = );( εtxx = ε为无量纲量 )/(80008.9106370 3 smrg =××= & 只含 1个参数 ——无量纲量 ε );( εtxx = 解 rg v 2 =ε考察无量纲量 v>> 1<<ε 1） 2） 3） 的共同点 重要差别 在 1） 2） 3）中能否忽略以 ε为因子的项？ ? ? ? ? ? == = + ?= 1)0(,0)0( , )1( 1 2 2 xx rg v x x & && εε 1) 忽略 ε项 无解 x 不能忽略 ε项 1)0(,0)0( ,0 )1( 1 2 == = + xx x & 0)0(,0)0( , )1( 1 2 == + ?= xx x x & && ? ? ? ? ? ? ? ? ? == = + ?= rg v x x x x 2 2 ,)0( 0)0( )1( 1 εε & && 2) 忽略 ε项 0)( <→ tx 0)( <tx 不能忽略 ε项 ? ? ? ? ? == = + ?= 1)0(,0)0( , )1( 1 2 2 xx rg v x x & && ε ε 3) 1)0(,0)0( ,1 == ?= xx x & && 忽略 ε项 t t tx +?= 2 )( 2 gvtgvx cc /,/ 2 == cc t t t x x x == , vtgttx +?= 2 2 1 )( t t tx +?= 2 )( 2 火箭发射过程 中引力 m 1 g不变 即 x+r ≈ r ? ? ? ? ? = = ?= vx x gx )0( 0)0( & && vxx rx gr x == + ?= )0(,0)0( )( 2 2 & &&原 问 题 vtgttx +?= 2 2 1 )( 是原问题 的近似解 可以忽略 ε项 为什么 3)能忽略 ε项，得到原问题近似解，而 1) 2)不能 ? gvtgvx cc /,/ 2 == 3）令 火箭到达最高点时间为 v/g, 高度为 v 2 /2g, cc tttxxx /,/ == 大体上具有单位尺度 )1(<<ε 项可以忽略 1, <<tx c xx <<vrtrx cc /, == 1）令 grtrx cc /, == 2）令 )1(<<ε 项不能忽略 林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学