第五章微分方程模型 5.1传染病模型 5.2经济增长模型 5.3正规战与游击战 5.4药物在体内的分布与排除 5.5香烟过滤嘴的作用 5.6 人口预测和控制 5.7烟雾的扩散与消失 5.8 万有引力定律的发现 动态 模型 ? 描述对象特征随时间 (空间 )的演变过程 ? 分析对象特征的变化规律 ? 预报对象特征的未来性态 ? 研究控制对象特征的手段 ? 根据函数及其变化率之间的关 系，确定函数本身 微分 方程 建模 ? 根据建模目的和问题分析作出简化假设 ? 按照内在规律或用类比法建立微分方程 5.1 传染病模型 ? 描述传染病的传播过程 问题 ? 分析受感染人数的变化规律 ? 预报传染病高潮到来的时刻 ? 预防传染病蔓延的手段 ? 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型 已感染人数（病 )(ti 人） ? 每个病人每天有效接触 (足以使人致病 )人数为 λ 假设 模型1 ttititti ?=??+ )()()( λ 建模 0 )0( ii i dt di = = λ t eiti λ 0 )( = ∞→?∞→ it ? 必须区分已感染者 (病 人 )和未感染者 (健康人 ) 若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加 区分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 )模型2 1）总人数 N不变，病人和健康 人的 比例分别为 )(),( tsti 假设 SI 模型 2）每个病人每天有效接触人数 为 λ, 且使接触的健康人致病 λ ~ 日 接触率 ttNitstittiN ?=??+ )()]([)]()([ λ 建模 si dt di λ= ? ? ? ? ? = ?= 0 )0( )1( ii ii dt di λ 1)()( =+ tits t e i ti λ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ = 1 1 1 1 )( 0 ? ? ? ? ? = ?= 0 )0( )1( ii ii dt di λ 1/2 t m i i 0 1 0 t ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? 1 1 ln 0 1 i t m λ Logistic 模型 模型2 t=t m , di/dt 最大 ? 1→?∞→ it t m ~传染病高潮到来时刻 λ (日接触率 )↓→t m ↑ 病人可以治愈！ 传染病无免疫性 ——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 模型3 SIS 模型 μ ~日治愈率 3）病人每天治愈的比例为 μ 增加假设 ttNittitNstittiN ???=??+ )()()()]()([ μλ 建模 ? ? ? ? ? = ??= 0 )0( )1( ii iii dt di μλ λ ~ 日接触率 1/μ ~感染期 μλσ /= σ ~ 一个感染期内每个病人的有效接触 人数，称为接触数。 ? ? ? ? ? ≤ >? =∞ 1,0 1, 1 1 )( σ σ σ i )] 1 1([ σ λ ???= ii dt di i 0 i 0 接触数 σ =1 ~ 阈值 μλσ /= 1≤σ ↓? )(ti 形曲线增长按 Sti )(? 感染期内有效接触感染的 健康者人数不超过病人数小 0 1 i >σ 1-1/σ i 0 iii dt di μλ ??= )1( i di/dt 0 1 σ >1 0 t i σ >1 1-1/σ i 0 t σ≤1 di/dt < 0 模型3 模型 2(SI模型 )如何看作模型 3(SIS模型 )的特例 传染病有免疫性 ——病人治愈 后即移出感染系统，称 移出者 模型4 SIR模型 1）总人数 N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 )(),(),( trtsti 假设 2）病人的日接触率 λ , 日治愈率 μ, 接触数 σ = λ / μ 1)()()( =++ trtits 建模 需建立 的两个方程 )(),(),( trtsti 模型4 SIR模型 ttNittitNstittiN ???=??+ )()()()]()([ μλ 很小）通常 000 )0((1 rrsi =≈+ 无法求出 的解析解 )(),( tsti 在相平面 上 研究解的性质 is ~ ttitNststtsN ??=??+ )()()]()([ λ ? ? ? ? ? ? ? ? ? == ?= ?= 00 )0(,)0( ssii si dt ds isi dt di λ μλ SIR模型 ? ? ? ? ? = ?= = 0 0 1 1 ii sds di ss σ 0 00 ln 1 )()( s s sissi σ +?+= ? ? ? ? ? ? ? ? ? == ?= ?= 00 )0(,)0( ssii si dt ds isi dt di λ μλ μλσ /= 消去 dt }1,0,0),{( ≤+≥≥= isisisD 相轨线 的定义域 )(si 相轨线 1 1 s i 0 D 在 D内作相轨线 的图形，进行分析 )(si 模型4 s i 1 01 D 相轨线 及其分析 )(si ? ? ? ? ? ? ? ? ? == ?= ?= 00 )0(,)0( ssii si dt ds isi dt di λ μλ ? ? ? ? ? = ?= = 0 0 1 1 ii sds di ss σ 0 00 ln 1 )()( s s sissi σ +?+= 0ln 1 0 00 =+?+ ∞ ∞∞ s s siss σ 满足 m iis == ,/1 σ s(t)单调减 →相轨线的方向 0, →∞→ it P 1 ? s 0 σ/1 i m ∞ s P 3 P 4 P 2 S 0 模型4 SIR模型 P 1 : s 0 >1/?→ i(t)先升后降至 0 传染病蔓延 1/?~ 阈值 P 2 : s 0 <1/?→ i(t)单调降至 0 传染病不蔓延 模型4 预防传染病蔓延的手段 SIR模型 传染病不蔓延的条件 ——s 0 <1/σ 降低 σ(=λ/μ)? 提高阈值 1/σ λ ↓, μ↑ λ (日接触率 )↓?卫生水平 ↑ μ(日治愈率 )↑?医疗水平 ↑ ? 降低 s 0 提高 r 0 1 000 =++ ris 群体免疫 σ 的估计 ∞ ∞ ? ? = ss ss 0 0 lnln σ 0ln 1 0 00 =+?+ ∞ ∞ s s sis σ 0 i忽略 模型4 被传染人数的估计 SIR模型 记被传染人数比例 ∞ ?= ssx 0 0)1ln( 1 0 ??+ s x x σ i 0 ∞ s σ/1 P 1 0 s s K i 0 ?0, s 0 ?1 0ln 1 0 00 =+?+ ∞ ∞ s s sis σ 0) 2 1 1( 2 00 ??? σσ s x s x x<<s 0 ) 1 (2 00 σ σ ?≈ ssx δ2?x s 0 - 1/σ = δ 提高阈值 1/?→降低被 传染人数比例 x δ 小 , s 0 σ?1 5.2经济增长模型 增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术 ? 建立产值与资金、劳动力之间的关系 ? 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大 ? 调节资金与劳动力的增长率，使经济 (生产率 )增长 1. 道格拉斯 (Douglas)生产函数 资金 K(t) 劳动力 L(t) 产值 Q(t) 技术 f(t) = f 0 ))(),(()( 0 tLtKFftQ = F为待定函数 1. 道格拉斯 (Douglas)生产函数 静态模型 ),(),( 0 LKFfLKQ = 每个劳动 力的产值 L Q z = 每个劳动 力的投资 L K y = z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减 模型假设 10,)( <<= α α yyg)(/ 0 ygfLQz == α )/( 0 LKLfQ = y g(y) 0 Douglas生产函数 αα ? = 1 0 ),( LKfLKQ 0, > ? ? ? ? L Q K Q 0, 2 2 2 2 < ? ? ? ? L Q K Q 含 义？ αα ? = 1 0 ),( LKfLKQ 1. Douglas生产函数 αα ?== 1, Q LQ Q KQ LK Q K ~ 单位资金创造的产值 Q L ~ 单位劳动力创造的产值 QLQKQ LK =+ α ~ 资金在产值中的份额 1-α ~劳动力在产值中的份额 更一般的道格拉斯 (Douglas)生产函数 0,1,0,),( 00 ><<= fLKfLKQ βα βα 2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型） 资金来自贷款，利率 r 劳动力付工资 w wLrKQS ??= 资金和劳动力创造的效益 求资金与劳动力的分配比例 K/L(每个 劳动力占有的资金 ) ，使效益 S最大 w r Q Q L K = 0,0 = ? ? = ? ? L S K S r w L K α α ? = 1 αα ?== 1, Q LQ Q KQ LK α α ? = 1K L Q Q L K w ↑, r ↓, α↑ ? K/L ↑ 3) 经济 (生产率 )增长的条件 (动态模型 ) 要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长 , K(t), L(t)应满足的条件 0, >= λλQ dt dK 模型 假设 ? 投资增长率与产值成正比 (用一定比例扩大再生产 ) L dt dL μ= t eLtL μ 0 )( = ? 劳动力相对增长率为常数 α λ Lyf dt dK 0 = )( 0 yLgfQ = α yyg =)( Ly dt dy L dt dK μ+=LyK L K y == , α λ Lyf dt dK 0 = Ly dt dy L dt dK μ+= α λμ yfy dt dy 0 =+ α μαα μ λ μ λ ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+= 1 1 )1( 0 1 0 0 )()( t e f y f ty 00 1 0000000 ,,/ QKLKfQLKy λ αα === ? & 0 0 0 1 0 K K fy & λ α = ? Bernoulli方程 α μα μ μ λ ? ?? ? ? ? ? ? ? ??= 1 1 )1( 0 00 ])1(1[)( t e K Kf ty & dQ/dt > 0 产值 Q(t)增长3) 经济增长的条件 dt dL ygf dt dy ygLf dt dQ )()( 00 + ′ = α yyg yLgfQ = = )( )( 0 ])1([ 1 0 12 0 αα αμαλ ?? ?+= yfLyf )( 1 1 / 10 )1( 00 Ae KKdt dQ t α μ μα ? < ? ? ? ? ? ? ? ? ??> ?? & 成立A?> 0μ 成立当 A KK t ), / 1)(1ln( )1( 1 0 00 & μ α μα μ ?? ? <?< 3) 经济增长的条件 dZ/dt>0 每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长 dt dy yf dt dZ 1 0 ? = α α αα α )()( 0 0 0 L K fyf L Lyf tZ === )(0 / 100 )1( 00 Be KKdt dy dt dZ t > ? ? ? ? ? ? ? ? ??>?> ?? μα μ & 成立时当 B KK ,1 / 0 00 <?> & μ μ成立B?< 0μ 劳动力增长率小于初始投资增长率 第一次世界大战 Lanchester提出预测战役结局的模型 5.3 正规战与游击战 战争分类：正规战争，游击战争，混合战争 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加 战斗力与射击次数及命中率有关 建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例 x(t) ~甲方兵力， y(t) ~乙方兵力一般模型 ? 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 ? 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 模型 假设 ? 甲乙双方的增援率为 u(t), v(t) ? ? ? >+?= >+?= 0),(),()( 0),(),()( ββ αα tvyyxgty tuxyxftx & & 模型 f, g 取决于战争类型 正规战争模型 双方均以正规部队作战 ? 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力 f(x, y)=?ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率 a=r y p y , r y ~射击率， p y ~命中率 ? ? ? +??= +??= )( )( tvybxy tuxayx β α & & xx prbbxg =?= , ? ? ? ? ? == ?= ?= 00 )0(,)0( yyxx bxy ayx & & ? 忽略非战斗减员 ? 假设没有增援 )(ty )(tx 0 ak 0>k 0=k bk? 0<k ? ? ? ? ? == ?= ?= 00 )0(,)0( yyxx bxy ayx & & ay bx dx dy = 2 0 2 0 bxayk ?= kbxay =? 22 000 >=?> yxk 时 甲方胜?< 0k 平局?=0k yy xx pr pr a b x y => ? ? ? ? ? ? ? ? 2 0 0 乙方胜 为判断战争的结局，不求 x(t), y(t) 而在相平面上讨论 x 与 y 的关系 正规战争模型 平方律 模型 游击战争模型 双方都用游击部队作战 ? 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 f(x, y)=?cxy, c~ 乙方每个士兵的杀伤率 c = r y p y r y ~射击率 p y ~命中率 p y =s ry /s x s x ~ 甲方活动面积 s ry ~ 乙方射击有效面积 yrxxxx ssrprddxyyxg /,),( ==?= ? ? ? ? ? == ?= ?= 00 )0(,)0( yyxx dxyy cxyx & & ? 忽略非战斗减员 ? 假设没有增援 游击战争模型 )(ty cm 0 dm? )(tx 0>m 0=m 0<m ? ? ? ? ? == ?= ?= 00 )0(,)0( yyxx dxyy cxyx & & 00 dxcym mdxcy ?= =? 乙方胜 时 ? >=?> 000 yxm yryy xrxx ssr ssr c d x y => 0 0 甲方胜?< 0m 平局?= 0m c d dx dy = 线性律 模型 混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队 )(ty )(tx 0 乙方胜,0>n 平局,0=n 甲方胜,0<n ? ? ? ? ? == ?= ?= 00 )0(,)0( yyxx bxy cxyx & & 0 2 0 2 2 2 bxcyn nbxcy ?= =? 0 2 0 0 2 cx b x y > ? ? ? ? ? ? ? ? 乙方 胜 0>n 100)/( 2 00 >xy 0 2 0 0 2 xsr spr x y ryy xxx > ? ? ? ? ? ? ? ? 乙方必须 10倍于甲方的兵力 设 x 0 =100, r x /r y =1/2, p x =0.1, s x =1(km 2 ), s ry =1(m 2 ) 5.4药物在体内的分布与排除 ? 药物进入机体后形成血药浓度 (单位体积血液中的药物含量 ) ? 血药浓度需保持在一定范围内 ——给药方案设计 ? 研究药物在体内吸收、分布和排除的过程 —— 药物动力学 ? 建立房室模型 ——药物动力学的基本步骤 ? 房室 ——机体的一部分，药物在一个房室内均匀 分布 (血药浓度 )为常数，在房室间按一定规律转移 ? 本节讨论二室模型 ——中心室 (心、肺、肾等 )和 周边室 (四肢、肌肉等 ) ? 中心室 (1)和周边室 (2),容积不变 模型假设 ? 药物从体外进入中心室，在二室间 相互转移 ,从中心室排出体外 ? 药物在房室间转移速率及向体外排除速 率，与该室血药浓度成正比 中心室 周边室 给药 排除 )( 0 tf 1 11 )(),( V txtc 2 22 )(),( V txtc 12 k 21 k 13 k )()( 02211131121 tfxkxkxktx ++??= & 模型建立 2,1 ~ ~)( ~)( =i V tc tx i i i 容积 浓度 药 量 2211122 )( xkxktx ?= & 给药速率~ 0 f ? ? ? ? ? ? ? ?= +++?= 221112 2 1 2 1 0 221 1 2 113121 )( )( )()( ckck V V tc V tf ck V V ckktc & & 2,1),()( == itcVtx iii 线性常系数 非齐次方程 模型建立 ? ? ? += += ?? ?? tt tt eBeAtc eBeAtc βα βα 222 111 )( )( 对应齐次 方程通解 ? ? ? = ++=+ 1321 132112 kk kkk αβ βα 给药速率 f 0 (t) 和初始条件 几种常见的给药方式 )( )( )( ])()[( )( )( 2 120 2 2121 1 0 1 tt tt ee V kD tc ekek V D tc βα βα αβ βα αβ ?? ?? ? ? = ?+? ? = 0)0(,)0(,0)( 2 1 0 10 === c V D ctf ? ? ? ? ? ? ? ?= +++?= 221112 2 1 2 1 0 221 1 2 113121 )( )( )()( ckck V V tc V tf ck V V ckktc & & ? ? ? = ++=+ 1321 132112 kk kkk αβ βα 1.快速静脉注射 t=0 瞬时注射剂量 D 0 的药物进入中心室 ,血 药浓度立即为 D 0 /V 1 进入中心室药物以速率 0 0 kTt ≤≤ 2.恒速静脉滴注 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ = ?+ = ≤≤++= ≤≤++= ?? ?? 1 221 13121 21 221 13121 2 21321 012 222 113 0 111 )( , )( 0,)( 0,)( B Vk kkV BA Vk kkV A Tt Vkk kk eBeAtc Tt Vk k eBeAtc tt tt βα βα βα 0)0(,0)0(,)( 2100 === ccktf ? ? ? ? ? ? ? ?= +++?= 221112 2 1 2 1 0 221 1 2 113121 )( )( )()( ckck V V tc V tf ck V V ckktc & & t >T, c 1 (t)和 c 2 (t)按指数规律趋于零 3.口服或肌肉注射 相当于药物 ( 剂量 D 0 )先进入吸收室，吸收后进入中心室 0010 xkf = )( 0 tx 吸收室 中心室 吸收室药量 x 0 (t) ? ? ? ? ? ? ? ?= +++?= 221112 2 1 2 1 0 221 1 2 113121 )( )( )()( ckck V V tc V tf ck V V ckktc & & ? ? ? = ?= 00 0010 )0( )( Dx xktx& tk ekDtxktf 01 0100010 )()( ? == tk eDtx 01 00 )( ? = tktt EeBeAetc 01 )( 1 ??? ++= βα EBAcc ,,0)0(,0)0( 21 ?== 各种给药方式下的c 1 (t), c 2 (t) 取决于参数k 12 , k 21 , k 13 , V 1 ,V 2 参数估计 t=0快速静脉注射 D 0 ,在 t i (i=1,2,… n)测得 c 1 (t i ) ])()[( )( )( 2121 1 0 1 tt ekek V D tc βα βα αβ ?? ?+? ? = 充分大设 t,βα< tt Aee V kD tc αα αβ α ?? = ? ? = )( )( )( 1 210 1 由较大的 用最小二乘法定 A,α)(, 1 ii tct tt BeAetctc βα ?? =?= )()( ~ 11 由较小的 用最小二乘法定 B,β )( ~ , 1 ii tct 参数估计 0,, 21 →∞→ cct 进入中心室的药物全部排除 ? ? ? ? ? ? ? ? += βα BA VkD 1130 ∫ ∞ = 0 11130 )( dttcVkD BA V D c +== 1 0 1 )0( AB BA k βα αβ + + = )( 13 ? ? ? = ++=+ 1321 132112 kk kkk αβ βα 13 21 k k αβ = 211312 kkk ??+= βα 5.5香烟过滤嘴的作用 ?过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系 问题 ?人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中 哪些因素影响大，哪些因素影响小。 模型 分析 ?分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸 烟过程的数学模型。 ?设想一个“机器人”在典型环境下吸 烟，吸烟方式和外部环境认为是不变的。 1） l 1 ~烟草长， l 2 ~过滤嘴长， l = l 1 + l 2 ， 毒物量 M均匀分布，密度 w 0 =M/l 1 模型 假设 2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟 穿行的数量比是 a′ :a, a′ +a=1 3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的 毒物的 (单位时间 )吸收率分别是 b和 β 4）烟雾沿香烟穿行速度是常数 v，香烟燃 烧速度是常数 u， v >>u Q ~ 吸一支烟毒物进入人体总量 定性分析 ?↑↓?↑ Qu↓?↓↓↓↑↑ QvaMl ,,,, 2 β ?, 1 ↓?↑↑ Qlb ulTdttlqQ T /,),( 0 1∫ == xx ?+ )(xq )( xxq ?+ x v 0 x 1 l l t=0, x=0，点燃香烟 模 型 建 立 q(x,t) ~ 毒物流量 w(x,t) ~ 毒物密度 0 )0,( wxw = 1) 求 q(x,0)=q(x) v x lxlxq lxxbq xxqxq ? =? ? ? ? ≤≤? ≤≤? =?+? τ τβ τ ,,)( ,0,)( )()( 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ≤≤? ≤≤? = lxlxq v lxxq v b dx dq 1 1 ),( 0),( β 00 0 )0( uwH aHq = = 1) 求 q(x,0)=q(x) ? ? ? ? ? ≤≤ ≤≤ = ? ?? ? lxleeaH lxeaH xq v lx v bl v bx 1 )( 0 10 , 0, )( 11 β 2) 求 q(l,t) ),()( tutuwtH = t时刻，香烟燃至 x=ut ? ? ? ? ? ≤≤ ≤≤ = ? ? ? ? ? ? lxleetaH lxutetaH txq v lx v utlb v utxb 1 )()( 1 )( ,)( ,)( ),( 11 β v l v utlb eetutauwtlq 21 )( ),(),( β ? ? ? = 3) 求 w(ut,t) t v txq btxwttxw ?=??+ ),( ),(),( ? ? ? ? ? = = ? ? ? ? 0 )( )0,( ),( wxw etutauw v b t w v utxb aaae a w tutw v buta ?= ′ ? ? ? ? ? ? ? ′ = ? 1,1),( ' 0 ? ? ? ? ? ? ? ′ = ? v buta ae a w tutw ' 0 1),( 4) 计算 Q v l v utlb eetutauwtlq 21 )( ),(),( β ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ = ???? v abut v but v l v bl aeeee a auw tlq 21 0 ),( β ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ == ?? ∫ v bla v l ul ee ba vaw dttlqQ 12 1 ' / 0 0 1),( β r e r v bla r r? ? = ′ = 1 )(, 1 ? ),( 2 raMeQ v l ? β ? = ),( 2 raMeQ v l ? β ? = r e r v bla r r? ? == 1 )(, ' 1 ? 结果 分析 1） Q与 a,M成正比， aM是毒物集中在 x=l 处的吸入量 2) ~过滤嘴因素， β, l 2 ~ 负指数 作用 v l e 2 β ? v l aMe 2 β ? 是毒物集中在 x=l 1 处的吸入量 烟草为什么有作用 ?3） ?(r)~ 烟草的吸收作用 1 1 << ′ = v bla r 2/1)( rr ?= & ? ? ? ? ? ? ? ′ ?= ? v bla aMeQ v l 2 1 1 2 β & b, l 1 ~ 线性 作用 4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较， w 0 , b, a, v, l 均相同，吸至 x=l 1 扔掉 结果 分析 ? ? ? ? ? ? ? ′ = ?? v bla v l ee ba vaw Q 12 ' 0 1 1 β 带过滤嘴 ? ? ? ? ? ? ?= ?? v bla v bl ee ba vaw Q 12 ' 0 2 1 ' 不带过滤嘴 v lb e Q Q 2 )( 2 1 ? ? = β 21 QQb <?>β 提高 β-b 与加长 l 2 ，效果相同 5.6 人口预测和控制 ? 年龄分布对于人口预测的重要性 ? 只考虑自然出生与死亡，不计迁移 的人口）年龄人口分布函数 rtrF <(~),( 人口 发展 方程 人口总数~)(tN 人口密度函数~),( trp 最高年龄~)( ∞→ m r )(),(,0),0( tNtrFtF m == r F trp ? ? =),( 死亡率~),( trμ 人口发展方程 drtrp ),( 人数 年龄 ] ,[, dr rrt + 死亡人数 内),( dttt + 人数 年龄 ] ,[, 1 1 drdrr drrdtt ++ ++ 1 drdt = drdttrptr ),(),(μ=drdttdrrp ),( 1 ++? 1 1 ,),(),( )],(),([)],(),([ drdtdttrptr trpdttrpdttrpdttdrrp =?= ?+++?++ μ ),(),( trptr t p r p μ?= ? ? + ? ? 一阶偏微分方程 ? ? ? ? ? ? ? ≥= ≥= ?= ? ? + ? ? 0),(),0( 0),()0,( ),(),( 0 ttftp rrprp trptr t p r p μ ~已知函数（人口调查） ~生育率（控制人口手段） 0 t r )( 0 rp rt = )(tf rt < rt > )(),( rtr μμ = ? ? ? ? ? >? ≤≤? = ∫ ∫ ? ? ? rtertf rtetrp trp r r tr dss dss ,)( 0,)( ),( 0 )( )( 0 μ μ ∫ = r dstsptrF 0 ),(),( ∫ = m r dstsptN 0 ),()( 人口发展方程 性别比函数女性 )(~),( trk 生育数女性 )(~),( trb 育龄区间~],[ 21 rr 生育率的分解 ∫ = 2 1 ),(),(),()( r r drtrptrktrbtf )(),( rhtrh = 0 1 r 2 r r ),()(),( trhttrb β= ∫ = 2 1 1),( r r drtrh 生育模式 ∫ = 2 1 ),()( r r drtrbtβ 总和生育率 ∫ = 2 1 ),(),(),()()( r r drtrptrktrhttf β 人口发展方程和生育率 ∫ = 2 1 ),(),(),()()( r r drtrptrktrhttf β )(tβ ~总和生育率——控制生育的多少 ),( trh ~生育模式——控制生育的早晚和疏密 ? ? ? ? ? >? ≤≤? = ∫ ∫ ? ? ? rtertf rtetrp trp r r tr dss dss ,)( 0,)( ),( 0 )( )( 0 μ μ ),(),( trptr t p r p μ?= ? ? + ? ? )(tf )( 0 rp ),( trp )(tβ ? 正反馈系统 ? 滞后作用很大 人口指数 ∫ = m r drtrptN 0 ),()( 1）人口总数 ∫ = m r drtrrp tN tR 0 ),( )( 1 )( ∫ ∞ ? ∫ ? = t drtr detS t τ τ μ 0 ),( )( 2）平均年龄 3）平均寿命 t时刻出生的人，死亡率按 μ(r,t) 计算的平均存活时间 )(/)()( tStRt =ω 4）老龄化指数 控制 N(t)不过大 控制生育率 控制 ω(t)不过高 5.7烟雾的扩散与消失 炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形 不透光区域。 现象 和 问题 不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明 亮，区域缩小，最后烟雾消失。 建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失 时间与各因素的关系。 无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏 微分方程描述烟雾浓度的变化。 问题 分析 观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪 器对明暗的灵敏程度有关。 1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风 的影响；扩散服从热传导定律。 模型 假设 2）光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓 度成正比；无烟雾的大气不影响光强。 3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之 分，明暗界限由仪器灵敏度决定。 模型 建立 1）烟雾浓度 的变化规律 ),,,( tzyxC gradCkq ??= r 热传导定律：单位时间通过单位法 向面积的流量与浓度梯度成正比 ∫∫∫ ?+ ?= tt t s dtdnqQ σ rr 1 ? V S n r 1 Q q r 流量通过 ??+ ],[ ttt 1）烟雾浓度 的变化规律 ),,,( tzyxC 21 QQ = ∫∫∫ ?+?= V dVttzyxCtzyxCQ )],,,(),,,([ 2 内烟雾改变量? ∫∫ ∫∫∫ =? sV dVqdivdnq rrr σ 曲面积分的奥氏公式 gradCkq ??= r ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? + ? ? == ? ? 2 2 2 2 2 2 )]([ z C y C x C kgradCdivk t C 1）烟雾浓度 的变化规律 ),,,( tzyxC 0,,,, 2 2 2 2 2 2 >∞<<∞? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? + ? ? = ? ? tzyx z C y C x C k t C ),,()0,,,( zyxQzyxC δ= 初始条件 Q~炮弹释放的烟雾总量 δ ~单位强度的点源函数 kt zyx e kt Q tzyxC 4 2 3 222 )4( ),,,( ++ ? = π ? 对任意 t, C的等值面是球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 ; R↑→C↓ ? 仅当 t→∞, 对任意点 (x,y,z), C→0 2）穿过烟雾光强的变化规律 方向的烟雾浓 度沿 方向的光强沿 llC llI ~)( ~)( 光强的减少与烟 雾浓度成正比 )()( lIlC dl dI α?= 00 )( IlI = 00 )( Ill 的光强为未进入烟雾 ≤ ∫ ? = l l dssC eIlI 0 )( 0 )( α 3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限 ∫ ? = l l dssC eIlI 0 )( 0 )( α 烟雾浓度连续变化 烟雾中光强连续变化 不透光区域有扩大、 缩小、消失的过程 穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之 分，明暗界限由仪器灵敏度决定。 μ α ?= ∫ ∞ ∞? ? 1 ),,,( dztzyxC e 观测结果为暗仪器灵敏度，当 ,1/~ 0 μμ ?<II 仪器 z -∞ ∞ 设光源在 z=-∞, 仪器在 z=∞,则观测到的明暗界限为 ~不透光区域边界 4）不透光区域边界的变化规律 kt zyx e kt Q tzyxC 4 2 3 222 )4( ),,,( ++ ? = π μ α ?= ∫ ∞ ∞? ? 1 ),,,( dztzyxC e tk Q kttr μπ α 4 ln4)( = α μ π = + ? kt yx e kt Q 4 22 4 ∫ ∞ ∞? ? = adxe a x π 2 很小）μ α μ (≈ μα ? = ∫ ∞ ∞? 1 1 ln 1 ),,,( dztzyxC kt yx e kt Q dztzyxC 4 22 4 ),,,( + ? ∞ ∞? ∫ = π 222 ryx =+ 对任意 t, 不透光区域边界是圆周 不透光区域 边界半径 )( 4 1 最大值， e Q rr ek Q tt m πμ α μπ α ==== 0, 4 2 === r k Q tt μπ α r(t) r m 0 t 1 t 2 t tk Q kttr μπ α 4 ln4)( = 112 7.2 tett =?= & 结果分析 观测到不透光区域边界达到最大的 时刻 t 1 ，可以预报烟雾消失的时刻 t 2 ↑↑↓?↑↑ m rtQ ,,, 1 μα ↑↓? 1 tk 5.8 万有引力定律的发现 “地心说 ”动摇 航海业发展 天文观测精确 背景 哥白尼： “日心说 ” 伽里略：落体运动 开普勒：行星运动三定律 变速运动的计算方法 牛顿：一切运动有力学原因 牛顿运动三定律 牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法） 开普勒三定律 万有引力定律 牛顿运动第二定律 《自然科学之数学原理》 (1687) 模型假设 太阳 (0,0)极坐标系 (r,θ) 行星位置：向径 ))(),(()( ttrtr θ r O (太阳 ) θ P (行星 ) r r r 1. 行星轨道 a~长半轴 , b~短 半轴 , e~离心率 )1(,, cos1 222 2 eab a b p e p r ?== + = θ 2. 单位时间 扫过面积为常数 A r r Ar =2/ 2 θ & 32 aT λ= 3. 行星运行周期 T λ ~ 绝对常数 rmf && r r = 4. 行星运行受力 f r m ~ 行星质量 O (太阳 ) θ P (行星 ) r r r 向径 的基向量 r r jiu jiu r rr r rr r θθ θθ θ cossin sincos +?= += r u r θ u r r urr rr = r r uu uu r && r r && r θ θ θ θ ?= = θ θ θθθ θ urrurrr ururr r r r & & && r & && && r r & r & & r )2()( 2 ++?= += 模型建立 Ar =2/ 2 θ & 32 4 , 2 r rA r A & &&& ? == θθ 02 =+ θθ & & && rr r urrr r & && && r )( 2 θ?= θcos1 e p r + = 3 2 )(4 , sin2 pr rpA r p Ae r ? == &&& θ r u pr A r r && r 2 2 4 ?= rmf && r r = r r rr pr mA f r rr r =?= 00 2 2 , 4 r urr rr = 模型建立 r r rr pr mA f r rr r =?= 00 2 2 , 4 万有引力定律 0 2 r r kMm f r r ?= 需证明 4A 2 /p =kM （与哪一颗行星无关） A~单位时间 扫过面积r r abTA π= 32 aT λ= )1(,, cos1 222 2 eab a b p e p r ?== + = θ λπ // 22 =pA O (太阳 ) θ P (行星 ) r r r kM=λπ /4 2 (习题 10)