第九章概率模型 9.1 传送系统的效率 9.2 报童的诀窍 9.3 随机存贮策略 9.4 轧钢中的浪费 9.5 随机人口模型 随机模型 确定性因素和随机性因素 随机因素可以忽略 确定性模型 随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现 随机性模型随机因素影响必须考虑 概率模型统计回归模型马氏链模型 9.1 传送系统的效率 传送带 挂钩 产品 工作台 背 景 工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工 作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。 在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径 问题分析 ? 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假 定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品 后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产 品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这 件产品并立即投入下件产品的生产。 ? 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品 总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。 ? 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机 的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。 模型假设 1） n个工作台均匀排列， n个工人生产相互独立， 生产周期是常数； 2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在 一个周期内是等可能的； 3）一周期内 m个均匀排列的挂钩通过每一工作台 的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的； 4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。 模型建立 ? 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作 s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n 为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？ ? 若求出一周期内每只挂钩非空的概率 p，则 s=mp 设每只挂钩为空的概率为 q，则 p=1-q 如 何 求 概 率 设每只挂钩不被一工人触到的概率为 r，则 q=r n 设每只挂钩被一工人触到的概率为 u，则 r=1-u 一周期内有 m个挂钩通过每一工作台的上方 u=1/mp D=m[1-(1-1/m) n ]/n=1-(1-1/m) n 模型解释 传送带效率 (一周期内运走 产品数与生产总数之比） ]) 1 1(1[ n mn m D ??= 若 (一周期运行的 )挂钩数 m远大于工作台数 n, 则 )] 2 )1( 1(1[ 2 m nn m n n m D ? +??≈ m n 2 1 1 ? ?= 定义 E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比） 当 n远大于 1时 , E ≈ n/2m ~ E与 n成正比，与 m成反比 提高效率 的途径： ? 增加 m ? 习题 1 若 n=10, m=40, D≈87.5% (89.4%) 9.2 报童的诀窍 报童售报： a (零售价 )> b(购进价 )> c(退回价 ) 问 题 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？ 购进太多 →卖不完退回 →赔钱 存在一个合 适的购进量 分 析 购进太少 →不够销售 →赚钱少 应根据需求确定购进量 每天收入是随机的每天需求量是随机的 优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望 调查需求量的随机规律 ——每天 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2… 准 备 ? 设每天购进 n 份，日平均收入为G(n) 建 模 ? 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c ))(( )( rncbrn rbarnr ????? ???≤ 赔退回 赚售出 nbannr )( ???> 赚售出 ∑∑ = ∞ += ?+????= n rnr rnfbarfrncbrbanG 01 )()()()])(()[()( 求 n 使 G(n) 最大 概率密度）()()( rprf ? 将 r视为连续变量 求解 ∫∫ ∞ ?+????= n n drrnpbadrrprncbrbanG 0 )()()()])(()[()( = dn dG ∫ ∞ ?+?? n drrpbannpba )()()()( ∫ ??? n drrpcbnnpba 0 )()()()( ∫∫ ∞ ?+??= n n drrpbadrrpcb 0 )()()()( cb ba drrp drrp n n ? ? = ∫ ∫ ∞ )( )( 0 0= dn dG cb ba drrp drrp n n ? ? = ∫ ∫ ∞ )( )( 0 结果解释 ∫∫ ∞ == n n PdrrpPdrrp 2 0 1 )(,)( n P 1 P 2 cb ba P P ? ? = 2 1 取 n使 0 r p a-b ~售出一份赚的钱 b-c ~退回一份赔的钱 ↓↑??↑↑?? ncbnba )(,)( 9.3 随机存贮策略 以周为时间单位；一周的商品销售量为随机； 周末根据库存决定是否订货，供下周销售。 问 题 （ s, S) 存贮策略 制订下界 s, 上界 S，当周末库存小于 s 时订货， 使下周初的库存达到 S; 否则，不订货。 考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订 （ s, S) 存贮策略,使 (平均意义下 )总费用最小 模型假设 ? 每次订货费 c 0 , 每件商品购进价 c 1 ,每件商品 一周贮存费 c 2 ,每件商品缺货损失费 c 3 (c 1 <c 3 ) ? 每周销售量 r 随机、连续，概率密度 p(r) ? 周末库存量 x, 订货量 u, 周初库存量 x+u ? 每周贮存量按 x+u-r 计 （ s, S) 存贮策略建模与求解 Suxusx =+>?< ,0 0=?≥ usx 确定 (s, S), 使目标函数 ——每周总费用的平均值最小 s ~ 订货点， S ~ 订货值 订货费 c 0 , 购进价 c 1 , 贮存费 c 2 , 缺货费 c 3 , 销售量 r ? ? ? = >+++ = 0)( 0),( )( 10 uxL uuxLucc uJ 平均 费用 ∫∫ ∞ ?+?= x x drrpxrcdrrprxcxL 0 32 )()()()()( ? ? ? = >+++ = 0)( 0),( )( 10 uxL uuxLucc uJ 建模与求解 建模与求解 1）设 x<s, 求 u 使 J(u) 最小，确定 S ∫∫ ∞ ?+?= x x drrpxrcdrrprxcxL 0 32 )()()()()( 12 130 )( )( cc cc drrp drrp S S + ? = ∫ ∫ ∞ ∫∫ +∞ + ?+= ux ux drrpcdrrpcc du dJ 0 321 )()( ∞ ??+= S S drrpccdrrpcc 0 1321 )()()()( Sux =+ ∫ ∞ = 0 1)( drrp 0= du dJ ↓↑?↑↑? ScSc 23 , S P 1 P 2 0 r p 2 1 P P = ? ? ? = >+++ = 0)( 0),( )( 10 uxL uuxLucc uJ 建模与求解 2）对库存 x， 确定订货点 s ∫∫ ∞ ?+?= x x drrpxrcdrrprxcxL 0 32 )()()()()( )()( 101 SLxSccJ +?+= 若订货 u, u+x=S, 总费用为 )( 2 xLJ = 若不订货 , u=0, 总费用为 12 JJ ≤ )()()( 10 SLxSccxL +?+≤ 不订货 )()( 101 SLSccxLxc ++≤+ )()( 0 SIcxI +≤ )()( 1 xIxLxc =+记 )()( 0 SIcxI += 订货点 s 是 的最小正根 )()( 0 SIcxI += 最小正根的图解法 建模与求解 ? ? ? = >+++ = 0)( 0),( )( 10 uxL uuxLucc uJ )()( 1 xLxcxI += ∫∫ ∞ ?+?= x x drrpxrcdrrprxcxL 0 32 )()()()()( J(u)在 u+x=S处达到最小 x I(x) 0 S I(S) s I(S)+c 0 I(x)在 x=S处达到最小值 I(S) J(u)与 I(x)相似 I(S) )()( 0 SIcxI += 的最小正根 s I(x)图形 9.4 轧钢中的浪费 轧制钢材 两道工序 ? 粗轧 (热轧 ) ~ 形成钢材的雏形 ? 精轧 (冷轧 ) ~ 得到钢材规定的长度 背 景 粗轧 随机因 素影响 粗轧钢材长 度大于规定 切掉多余 部分 精轧 钢材长度正态分布 粗轧钢材长 度小于规定 均值可以调整 整根报废 方差由设备精度确定 问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小 设已知精轧后钢材的规定长度为 l， 粗轧后钢材长度的均方差为 σ 分析 记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的 钢材长度为正态随机变量，记作 x~N(m, σ 2 ) 切掉多余部 分的概率 )( lxPP ≥= 整根报废 的概率 )( lxPP <= ′ P′ l P 0 p(概率密度 ) mxm P P′ ↓ ′ ↑↑? PPm , ↑ ′ ↓↓? PPm , 存在最佳的 m使总的浪费最小 选择合适的目标函数 建模 切掉多余部分 的浪费 整根报废 的浪费 总浪费= + ∫∫ ∞ ∞? +?= l l dxxxpdxxplxW )()()( ∫∫ ∞ ∞? ∞ ?= l dxxlpdxxxp )()( lPm?= 粗轧一根钢材平均浪费长度 成品材 PN根粗轧 N根 N lPNmN ? lPm?= 总长度 mN 成品材长度 l PN 共浪费长度 mN-lPN 建模 选择合适的目标函数 l P m PN lPNmN ?= ? 粗轧一根钢材平均浪费长度 lPm N lPNmN ?= ? 粗轧 N根得成品材 PN根 得到一根成品材平均浪费长度 )( )( mP m mJ =记 更合适的目标函数 2 2 2 )( 2 1 )(,)()( σ σπ mx l expdxxpmP ? ? ∞ ∫ == 优化模型：求 m 使 J(m) 最小（已知 l ,σ ） , σ mx y ? = σ λ σ μ lm == , )( )( μλ σμ μ ?Φ =J 2 2 2 1 )( )()( y z ey dyyz ? ∞ = =Φ ∫ π ? ? )( )( mP m mJ = 2 2 2 )( 2 1 )( )()( σ σπ mx l exp dxxpmP ? ? ∞ = = ∫ μλ?=z )( )( )( z z zJ Φ ? = λσ )( )( μλ σμ μ ?Φ =J 求解 求 z 使 J(z) 最小（已知 λ ） 0)()()( =Φ ′ ??Φ? zzz λ 0= dz dJ 求解 )( )( )( z z zJ Φ ? = λσ )()( zz ??=Φ ′ )(/)( zzz ?λ Φ=? 2 2 2 1 )( )()( y z ey dyyz ? ∞ = =Φ ∫ π ? ? )(/)()( )( zzzF zzF ? λ Φ= ?= zzF ?=λ)( 简表)()()( zzzF ?Φ= 求解 1.253 0.876 0.656 0.516 0.420 0.355 0 227.0 -3.0 0.5 56.79 -2.5 1.0 18.10 -2.0 1.5 7.206 -1.5 2.0 2.5 3.477 1.680 -1.0 -0.5 z z F(z) F(z) z?λ * z 设 l=2(米 ), σ=20(厘米 )， 求 m 使浪费最小。 λ=l/σ=10 z * =-1.78 μ * = λ-z * =11.78 m * = μ * σ=2.36(米 ) 1.0 2.00-1.0-2.0 10 5 F(z) z 例 9.5 随机人口模型 背景 ? 一个人的出生和死亡是随机事件 平均生育率 平均死亡率 一个国家或地区 确定性模型 出生概率 死亡概率 一个家族或村落 随机性模型 X(t) ~ 时刻 t 的人口 , 随机变量 . 对象 P n (t) ~概率 P(X(t)=n), n=0,1,2,… 研究 P n (t)的变化规律；得到 X(t)的期望和方差 模型假设 若 X(t)=n, 对 t到 t+?t的出生和死亡概率作以下假设 1)出生一人的概率与 ?t成正比，记 b n ?t ; 出生二人及二人以上的概率为 o(?t). 2)死亡一人的概率与 ?t成正比，记 d n ?t ; 死亡二人及二人以上的概率为 o(?t). 3)出生和死亡是相互独立的随机事件。 进一步假设 b n 与 n成正比，记 b n =λn , λ~出生概率； d n 与 n成正比，记 d n =μn， μ~死亡概率。 为得到 P n (t) P(X(t)=n),的变化规 律，考察 P n (t+?t) =P(X(t +?t)=n). 建模 事件 X(t +?t)=n的分解 概率 P n (t+?t) P n-1 (t), b n-1 ?t X(t)=n-1, ?t内出生一人 P n+1 (t), d n+1 ?t X(t)=n+1, ?t内死亡一人 P n (t), 1-b n ?t -d n ?t X(t)=n, ?t内没有出生和死亡 其它 (出生或死亡二人， 出生且死亡一人， …) o(?t) )()1)(( )()()( 1111 totdtbtP tdtPtbtPttP nnn nnnnn ?+????+ ?+?=?+ ++?? 建模 微分方程 )()()()( 1111 tPdbtPdtPb dt dP nnnnnnn n +?+= ++?? b n =λn， d n =μn )()()()1()()1( 11 tnPtPntPn dt dP nnn n μλμλ +?++?= +? ? ? ? ≠ = = 0 0 ,0 ,1 )0( nn nn P n (t=0时已知人口为 n 0 ) ~对 n的一组递推方程 转而考察 X(t)的期望和方差 )()()()1()()1( 11 tnPtPntPn dt dP nnn n μλμλ +?++?= +? 基本方程 )()( )()1( )()1( 1 2 1 1 1 1 tPn tPnn tPnn dt dE n n n n n n ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = + ∞ = ? +? ++ ?= μλ μ λ ∑ ∞ = = 1 )()( n n tnPtE X(t)的期望 ∑ ∞ = += 1 )()1( k k tPkkλ n-1=k ∑ ∞ = = 1n n dt dP n dt dE n+1=k )()1( 1 tPkk k k∑ ∞ = ?= μ 求解 ∑ ∞ = ?=?= 1 )()()()( n n tEtnP dt dE μλμλ 0 )0( )()( nE tE dt dE = ?= μλ 求解 μλ?== rentE rt ,)( 0 r ~ 增长概率 rt extx 0 )( = 比较：确定性指数增长模型 )()()( 2 1 2 tEtPntD n n ?= ∑ ∞ = X(t)的方差 E(t)-σ(t) E(t)+σ(t) E t0 n 0 ]1[)( )()( 0 ? ? + = ?? tt eentD μλμλ μλ μλ X(t)大致在 E(t)±2σ(t) 范围内（ σ(t) ~均方差） r ~ 平均增长率 λ-μ = r ↑→ D(t)↑ λ, μ↑→ D(t)↑