第七章差分方程模型 7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划——节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长 7.1 市场经济中的蛛网模型 价格下降减少产量供大于求 现 象 问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 增加产量价格上涨供不应求 数量与价格在振荡 描述商品数量与价格的变化规律 蛛网模型 x k ~第k时段商品数量；y k ~第k时段商品价格 )( kk xfy = 需求函数 消费者的需求关系减函数 g x 0 y 0 P 0 f x y 0 供应函数)( 1 kk yhx = + )( 1+ = kk xgy 生产者的供应关系增函数 f与g的交点P 0 (x 0 ,y 0 ) ~ 平衡点 一旦x k =x 0 ，则y k =y 0 , x k+1 ,x k+2 ,…=x 0 , y k+1 ,y k+2 , …=y 0 )( 1+ = kk xgy )( 1 kk yhx = + )( kk xfy = 蛛网模型 L→→→→→ 32211 xyxyx 0321 PPPP →→→→ L 00 , yyxx kk →→ 00 , yyxx kk →→ × × 0321 PPPP →→→→ L × 设x 1 偏离x 0 P 0 是稳定平衡点P 0 是不稳定平衡点 x y 0 f g y 0 x 0 P 0 x 1 x 2 P 2 y 1 P 1 y 2 P 3 P 4 x 3 y 3 gf KK < 曲线斜率 P 1 P 2 P 3 P 4 gf KK > x y 0 y 0 x 0 P 0 f g 方程模型 在P 0 点附近用直线近似曲线 )( kk xfy = )0()( 00 >??=? αα xxyy kk )( 1 kk yhx = + )0()( 001 >?=? + ββ yyxx kk )( 001 xxxx kk ??=? + αβ )()( 0101 xxxx k k ??=? + αβ 0 xx k → gf KK < 1<αβ βα /1< P 0 稳定 ∞→ k x gf KK > 1>αβ βα /1> P 0 不稳定 f K=α g K=β/1 方程模型与蛛网模型的一致 )( 00 xxyy kk ??=? α α ~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 )( 001 yyxx kk ?=? + β β ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 考察α , β的含义 结果解释结果解释 x k ~第k时段商品数量；y k ~第k时段商品价格 α ~ 消费者对需求的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β小, 有利于经济稳定 β ~ 生产者对价格的敏感程度 1<αβ 经济稳定 结果解释 经济不稳定时政府的干预办法 x y 0 y 0 g f 1. 使α尽量小，如α=0 需求曲线变为水平 以行政手段控制价格不变 x y 0 x 0 g f 2. 使β尽量小，如β =0 供应曲线变为竖直 靠经济实力控制数量不变 模型的推广 )( 1 kk yhx = + ? ? ? ? ? ? + = ? + 2 1 1 kk k yy hx 生产者管理水平提高 ?生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。 ]2/)[( 0101 yyyxx kkk ?+=? ?+ β 设供应函数为 )( 00 xxyy kk ??=? α 需求函数不变 L,2,1,)1(22 012 =+=++ ++ kxxxx kkk αβαβαβ 二阶线性常系数差分方程 x 0 为平衡点研究平衡点稳定，即k→∞, x k →x 0 的条件 012 )1(22 xxxx kkk αβαβαβ +=++ ++ 模型的推广 方程通解 kk k ccx 2211 λλ += (c 1 , c 2 由初始条件确定) λ 1, 2 ~特征根，即方程的根 02 2 =++ αβαβλλ 1 2,1 <λ 平衡点稳定，即k→∞, x k →x 0 的条件: 4 8)( 2 2,1 αβαβαβ λ ?±? = 2 2,1 αβ λ = 2<αβ 平衡点稳定条件 比原来的条件放宽了 1<αβ 7.2 减肥计划——节食与运动 背 景 ?多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 ?体重指数BMI=w(kg)/l 2 (m 2 ). 18.5<BMI<25 ~ 正常；BMI>25 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖. ?通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标 分 析 ?体重变化由体内能量守恒破坏引起 ?饮食（吸收热量）引起体重增加 ?代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 模型假设 1）体重增加正比于吸收的热量— —每8000千卡增加体重1公斤； 2）代谢引起的体重减少正比于体重—— 每周每公斤体重消耗200千卡~ 320千卡(因人而异), 相当于70公斤的人每天消耗2000千卡~ 3200千卡； 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 公斤，每周吸收热量不要小于10000千卡。 减肥计划 某甲体重100公斤，目前每周吸收20000千卡热量， 体重维持不变。现欲减肥至75公斤。 1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 第一阶段：每周减肥1公斤，每周吸收热量逐渐减 少，直至达到下限（10000千卡）； 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。 3）给出达到目标后维持体重的方案。 基本模型 w(k) ~ 第k周(末)体重 c(k) ~第k周吸收热量 )()1()()1( kwkckwkw βα ?++=+ ~ 代谢消耗系数(因人而异) β 千卡）公斤/(80001=α 1）不运动情况的两阶段减肥计划 ?确定某甲的代谢消耗系数 每周吸收20000千卡w=100公斤不变 025.0 1008000 20000 = × == w cα β wcww βα ?+= 即每周每公斤体重消耗20000/100=200千卡 1）不运动情况的两阶段减肥计划 ?第一阶段: w(k)每周减1公斤, c(k)减至下限10000千卡 )()1()()1( kwkckwkw βα ?++=+1)1()( =+? kwkw ]1)([ 1 )1( ?=+ kwkc β α kwkw ?= )0()( 80001=α 025.0=β )1( 1 )0()1( kwkc β αα β +?=+ 10≤k k20012000 ?= 10000=≥ m C 第一阶段10周, 每周减1公斤，第10周末体重90公斤 9,1,0,20012000)1( L=?=+ kkkc 吸收热量为 1）不运动情况的两阶段减肥计划 ?第二阶段：每周c(k)保持C m , w(k)减至75公斤 )()1()()1( kwkckwkw βα ?++=+ 基本模型 m Ckwkw αβ +?=+ )()1()1( ])1()1(1[)()1()( 1? ?++?++?=+ n m n Ckwnkw ββαβ L β α β α β mm n CC kw +??= ])([)1( 代入得以10000, 8000 1 ,025.0 === m Cαβ 50]50)([975.0)( +?=+ kwnkw n ?第二阶段：每周c(k)保持C m , w(k)减至75公斤 50]50)([975.0)( +?=+ kwnkw n nnkwkw求，要求已知75)(,90)( =+= 50)5090(975.075 +?= n 19 975.0lg )40/25lg( ==n 第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按 减少至75公斤。 )19,2,1(50975.040)( L=+×= nnw n 根据资料每小时每公斤体重消耗的热量γ (千卡): 跑步跳舞乒乓自行车(中速) 游泳(50米/分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 )()( )1()()1( kwt kckwkw αγβ α +? ++=+ 基本 模型 2）第二阶段增加运动的减肥计划 t~每周运动 时间(小时) )028.0()025.0( =+= ′ →= tαγβββ24,003.0 == tt γαγ即取 β α β α β ′ + ′ ? ′ ?=+ mm n CC kwnkw ])([)1()( 14=n6.44)6.4490(972.075 +?= n 运动γt=24 (每周跳舞8小时或自行车10小时), 14周即 可。 3）达到目标体重75公斤后维持不变的方案 每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变 )()()1()()1( kwtkckwkw αγβα +?++=+ α αγβ wt C )( + = wtCww )( αγβα +?+= )(1500075025.08000千卡=××=C?不运动 )(1680075028.08000千卡=××=C?运动(内容同前) 7.3 差分形式的阻滞增长模型 连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型) )1()( N x rxtx ?=& x(t) ~某种群t 时刻的数量(人口) t→∞, x→N, x=N是稳定平衡点(与r大小无关) y k ~某种群第k代的数量(人口) 离散 形式 L,2,1),1( 1 =?=? + k N y ryyy k kkk y * =N 是平衡点若y k =N, 则y k+1 ,y k+2 ,…=N 讨论平衡点的稳定性，即k→∞, y k →N ？ 离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性 ? ? ? ? ? ? + ?+= + kkk y Nr r yry )1( 1)1( 1 )1()1( 1 N y ryyy k kkk ?=? + kk y Nr r x )1( + = )2()1( 1 kkk xbxx ?= + 变量 代换 1+=rb记 一阶(非线性)差分方程 (2)的平衡点 br r x 1 1 1 * ?= + = (1)的平衡点y * =N 讨论x * 的稳定性 补充知识 一阶非线性差分方程 )1()( 1 kk xfx = +的平衡点及稳定性 (1)的平衡点x * ——代数方程x=f(x)的根 )2())(()( *** 1 xxxfxfx kk ? ′ += + (1)的近似线性方程 x*也是(2)的平衡点稳定性判断 1)( * < ′ xf x*是(2)和(1)的稳定平衡点 1)( * > ′ xf x*是(2)和(1)的不稳定平衡点 )1( 1 kkk xbxx ?= + 的平衡点及其稳定性 1+=rb b x 1 1 * ?= )21()( ** xbxf ?= ′ 1)( * < ′ xf 0 y x xy = )(xfy = 4/b * x 2/1 1 31 <<b 2/1/11 * <?= bx * xx k →（单调增） 0 x 1 x 1 x 2 x x * 稳定 21)1( << b )1)((3 * > ′ > xfb x * 不稳定 1)0( >= ′ bf 不稳定 b?= 2 另一平衡 点为x=0 )1()( xbxxfx ?== 平衡点 稳定性 )1( 1 kkk xbxx ?= + 的平衡点及其稳定性 32)2( << b 3)3( >b 2/1/11 * >?= bx 01/21 y 4/b xy = )(xfy = 0 x 1 x * x 2 x y 0 x xy = )(xfy = 0 x 1 x 2 x * x2/1 1 4/b * xx k →（不） * xx k →（振荡地） )1( 1 kkk xbxx ?= + 初值x 0 =0.2 0.4118100 0.411899 0.411898 0.411897 0.411896 0.411895 0.411894 0.411893 0.411892 0.411891 …… 0.37963 0.33662 0.27201 0.20000 b=1.7k 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 … 0.6049 0.6317 0.4160 0.2000 b=2.6 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 … 0.4820 0.8224 0.5280 0.2000 b=3.3 0.8469 0.4327 0.8530 0.4474 0.8469 0.4327 0.8530 0.4474 0.8469 0.4327 … 0.4322 0.8532 0.5520 0.2000 b=3.45 0.8127 0.3548 0.8874 0.5060 0.8278 0.3703 0.8817 0.5405 0.8127 0.3548 … 0.3987 0.8711 0.5680 0.2000 b=3.55 数值计算结果 b x 1 1 * ?=b <3, x→ b=3.3, x→两个 极限点 b=3.45, x→4个 极限点 b=3.55, x→8个 极限点 倍周期收敛——x * 不稳定情况的进一步讨论 3>b * 212 * 12 , xxxx kk →→ + 子序列 * xx k →（不） 2倍周期收敛 单周期不收敛 )( 1 kk xfx = + )())(()( )2( 12 kkkk xfxffxfx === ++ )1()( xbxxf ?= ))(( xffx= )]1(1)[1( xbxxbxb ????= b x 1 1 * ?= b bbb x 2 321 2 * 2,1 ??+ = m (*)的平衡点 10 * 2 ** 1 <<<< xxx)(),( * 1 * 2 * 2 * 1 xfxxfx == x * 不稳定，研究x 1 * , x 2 * 的稳定性 )()())(())(( * 2 * 1 )2()2( * 2 * 1 xfxfxfxf xxxx ′′ = ′ = ′ == b bbb x 2 321 2 * 2,1 ??+ = m 的稳定性 2)2( )]([])([ xfxf ′ = ′ 倍周期收敛 )21)(21())(( * 2 * 1 2 , )2( * 2 * 1 xxbxf xxx ??= ′ = )21()( xbxf ?= ′ x 1 * x 2 * x * b=3. 4 y=f (2) (x) y= x x 0 1))(( * 2,1 )2( < ′ xf 449.361 =+< & b * 212 * 12 , xxxx kk →→ + 倍周期收敛的进一步讨论 1))'((449.3 * 2,1 )2( >?> xfb x 1 * , x 2 * (及x * )不稳定 出现4个收敛子序列x 4k , x 4k+1 , x 4k+2 , x 4k+3 )( )4( 4 kk xfx = + 平衡点及其稳定性需研究 4倍周期收敛544.3449.3 <<b 时有4个稳定平衡点 2 n 倍周期收敛, n=1,2,… b n ~ 2 n 倍周期收敛的上界 b 0 =3, b 1 =3.449, b 2 =3.544, … n→∞, b n →3.57 混沌现象 b>3.57, 不存在任何收敛子序列 )1( 1 kkk xbxx ?= + 的收敛、分叉及混沌现象 b 7.4按年龄分组的种群增长 ?不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 ?以雌性个体数量为对象 ?建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律 假设与建模 ?种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,…n ?时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… ?第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为b i ?第i 年龄组在1时段内的死亡率为d i , 存活率为s i =1-d i x i (k)~时段k第i 年龄组的种群数量假设 与 建模 )()1( 1 1 kxbkx i n i i ∑ = =+ (设至少1个b i >0) 1,,2,1),()1( 1 ?==+ + nikxskx iii L ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? 00 0 000 1 2 1 121 n nn s s s bbbb L O M O L ~Leslie矩阵(L矩阵) T n kxkxkxkx )](),(),([)( 21 L= ~按年龄组的分布向量 )()1( kLxkx =+ )0()( xLkx k = 预测任意时段种群 按年龄组的分布 稳定状态分析的数学知识 nk k L,3,2, 1 =≤ λλ? L矩阵存在正单特征根λ 1 ， T n n ssssss x ? ? ? ? ? ? = ? ? 1 1 121 2 1 21 1 1 * ,,,,1 λλλ L L特征向量 ?若L矩阵存在b i , b i+1 >0, 则nk k ,,3,2, 1 L=< λλ )0()( xLkx k = 1 1 )],([ ? = PdiagPL n λλ L * 1 )( lim cx kx k k = ∞→ λ , c是由b i , s i , x(0)决定的常数 且 解 释 L对角化 1 1 )],([ ? = PdiagPL k n kk λλ L P的第1列是x * )0()0,0,1( )( lim 1 1 xPPdiag kx k k ? ∞→ = L λ * cx= 稳态分析——k充分大 种群按年龄组的分布 * 1 )( lim cx kx k k = ∞→ λ * )()1 xckx k λ≈ ~ 种群按年龄组的分布趋向稳定， x * 称稳定分布, 与初始分布无关。 )()1()2 kxkx λ≈+ ~ 各年龄组种群数量按同一 倍数增减，λ称固有增长率 )()1( kxkx ii λ≈+ )()1( kLxkx =+ 与基本模型比较 [] T n ssssssx 121211 * ,,,1 ? = LL 3）λ=1时 * )()1( cxkxkx ≈≈+ ~ 各年龄组种 群数量不变 [ ] T n ssssssx 121211 * ,,,1 ? = LL 稳态分析 3）λ=1时 ** xLx = 1 121121 =+++ ?nn sssbsbb LL ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? 00 0 000 1 2 1 121 n nn s s s bbbb L O M O L ~ 1个个体在整个存活 期内的繁殖数量为1 T n ssssx ],,,,1[ 1211 * ? = L,)()4 * xckx k λ≈ 1,2,1),()( 1 ?=≈ + nikxskx iii L ~存活率s i 是同一时段的x i+1 与x i 之比 （与s i 的定义比较） )()1( 1 kxskx iii =+ +