第三章简单的优化模型 3.1存贮模型 3.2生猪的出售时机 3.3森林救火 3.4最优价格 3.5 血管分支 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输 静态优化模型 ? 现实世界中普遍存在着优化问题 ? 静态优化问题指最优解是数 (不是函数 ) ? 建立静态优化模型的关键之一是根据 建模目的确定恰当的目标函数 ? 求解静态优化模型一般用微分法 3.1存贮模型 问题 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备 要付生产准备费，产量大于需求时因积压资金要付贮存费。 该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 今已知某产品的日需求量为 100件，生产准备费 5000元， 贮存费每日每件 1元。试安排该产品的生产计划，即多少 天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 要求 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、 准备费、贮存费之间的关系。 问题分析与思考 日需求 100件，生产准备费 5000元，贮存费每日每件 1元。 ? 每天生产一次，每次 100件，无贮存费，准备费 5000元，故 每天费用为 5000元。 ? 10天生产一次，每次 1000件，贮存费 900+800+…+100 =4500 元，准备费 5000元，总计 9500元。 平均每天费用为 950元 ? 50天生产一次，每次 5000件，贮存费 4900+4800+…+100 =122500元，准备费 5000元，总计 127500元。 平均每天费用为 2550元 10天生产一次平均每天费用最小吗? 问题分析与思考 贮存费少，准备费多 ? 周期短，产量小 ? 周期长，产量大 准备费少，贮存费多 存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小 ? 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。 显然不能用一个周期的总费用作为目标函数 目标函数——每天总费用的平均值 模型假设 1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c 1 , 每天每件产品贮存费为 c 2 ； 3. T天生产一次（周期） , 每次生产 Q件，当贮存量 为零时， Q件产品立即到来（生产时间不计）； 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。 建模目的 设 r,c 1 ,c 2 已知，求 T,Q 使每天总费用的平均值最小。 0 t q T Q r T Q ccC 2 ~ 21 += 离散问题连续化 A=QT/2 2 2 21 rT cc += 模型建立 贮存量表示为时间的函数 q(t) t=0生产 Q件， q(0)=Q, q(t)以 需求速率 r递减， q(T)=0. rTQ = Acdttqc T 2 0 2 )( = ∫ 一周期贮存费为 一周期 总费用 2 ~ )( 21 rTc T c T C TC +== 每天总费用平均 值（目标函数） Min rTc T c TC →+= 2 )( 21 求 T 使 模型求解 0= dT dC 2 1 2 c rc rTQ == 2 1 2 rc c T = 模型分析 ↑↓?↑ QTr , ↓?↑ QTc , 2 ↑?↑ QTc , 1 模型应用 c 1 =5000(元 ), c 2 =1(元 /天 ?件 ), r=100(件 /天） ? 回答问题 T=10(天 ), Q=1000(件 ), C=1000(元 ) ?经济批量订货公式（EOQ公式） 用于订货、供应、存贮情形 每天需求量 r，每次订货费 c 1 ,每天每件贮存费 c 2 ， T天订货一次 (周期 ), 每次订货 Q件，当贮存量降到 零时， Q件立即到货。 2 1 2 rc c T = 2 1 2 c rc rTQ == 不允许缺货的存贮模型 ?问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？ A B 0 q Q r T 1 tT 1 rTQ= 允许缺货的存贮模型 当贮存量降到零时仍有需求 r, 出现缺货，造成损失 原模型假设：贮存量降到零时 Q件 立即生产出来 (或立即到货 ) 现假设：允许缺货 , 每天每件缺货损失费 c 3 , 缺货需补足 周期 T, t=T 1 贮存量降到零 Acdttqc T 2 0 2 1 )( = ∫ 一周期 贮存费 2 )( 2 2 1 3 1 21 TTr c QT ccC ? ++= 一周期总费用 Bcdttqc T T 33 1 )( = ∫ 一周期 缺货费 2 13121 )( 2 1 2 1 TTrcQTccC ?++= 一周期总费用 每天总费用 平均值 （目标函数） rT QrTc rT Qc T c T C QTC 2 )( 2 ),( 2 3 2 21 ? ++== MinQTC →),(求 T ,Q 使 0,0 = ? ? = ? ? Q C T C 为与不允许缺货的存贮模型 相比，T记作T ’ , Q记作Q ’ 3 32 2 1 2 c cc rc c T + = ′ 32 3 2 1 2 cc c c rc Q + = ′ 不允 许缺 货模 型 2 1 2 rc c T = 2 1 2 c rc rTQ == 3 32 2 1 2 ' c cc rc c T + = 32 3 2 1 2 ' cc c c rc Q + = 允许 缺货 模型 3 32 c cc + =μ 记 μ μ Q QTT = ′ = ′ , 1>μ ↓?↑ μ 3 c QQTT <> ',' 不 允 许 缺 货 1 3 →?∞→ μc QQTT → ′ → ′ , 3 32 2 1 2 c cc rc c T + = ′ 32 3 2 1 2 cc c c rc Q + = ′ 0 q Q′ r T 1 tT R 允许 缺货 模型 注意：缺货需补足 Q′~每周期初的存贮量 3 32 2 1 2 c cc c rc TrR + = ′ = 每周期的生产量 R （或订货量） QQR >= μ Q~不允许缺货时的产量 (或订货量 ) 3.2 生猪的出售时机 饲养场每天投入 4元资金，用于饲料、人力、设 备， 估计 可使 80公斤重的生猪体重增加 2公斤。 问 题 市场价格目前为每公斤 8元，但是 预测 每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。 如果 估计 和 预测 有误差，对结果有何影响。 分 析 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大 建模及求解 估计 r=2， g=0.1 若当前出售，利润为 80× 8=640（元） 生猪体重 w=80+rt 销售收入 R=pw t 天 出售 出售价格 p=8-gt 资金投入 C=4t trtgttQ 4)80)(8()( ?+?= 利润 Q=R-C=pw -C rg gr t 2404 ?? = 求 t 使 Q(t)最大 =10 Q(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利润 20元 rg gr t 2404 ?? = 敏感性分析 研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计 r=2， g=0.1 5.1, 6040 ≥ ? = r r r t rr tt rtS /? /? ),( = t r dr dt ≈ 3 6040 60 ),( = ? ≈ r rtS 1.5 2 2.5 3 0 5 10 15 20 r t ? 设 g=0.1不变 t 对 r 的（相对）敏感度 生猪每天体重 r 增加 1%，出售时间推迟 3%。 估计 r=2， g=0.1 rg gr t 2404 ?? = 研究 r, g变化时对模型结果的影响 15.00, 203 ≤≤ ? = g g g t 敏感性分析 ? 设 r=2不变 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0 10 20 30 g t t 对 g的（相对）敏感度 t g dg dt gg tt gtS ≈= /? /? ),( 3 203 3 ),( ?= ? ?= g gtS 生猪价格每天的降低 g增加 1%，出售时间提前 3%。 强健性分析 研究 r, g不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt →w = w(t) ttwtptQ 4)()()( ?= p=8-gt → p =p(t) 4)()()()( = ′ + ′ twtptwtp 每天利润的增值 每天投入的资金 0)( = ′ tQ 保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售 若 (10%), 则（30%） 2.28.1 ≤ ′ ≤ w 137 ≤≤ t 由 S(t,r)=3 建议过一周后 (t=7)重新估计 , 再作计算。 wwpp ′′ ,,, 3.3森林救火 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 记队员人数 x, 失火时刻 t=0, 开始救火时刻 t 1 , 灭火时刻 t 2 , 时刻 t森林烧毁面积 B(t). ? 损失费 f 1 (x)是 x的减函数 , 由烧毁面积 B(t 2 )决定 . ? 救援费 f 2 (x)是 x的增函数 , 由队员人数和救火时间决定 . 问题 问题 分析 存在恰当的 x，使 f 1 (x), f 2 (x)之和最小 ? 关键是对 B(t)作出合理的简化假设 . 问题 分析 失火时刻 t=0, 开始救火时刻 t 1 , 灭火时刻 t 2 , 画出时刻 t森林烧毁面积 B(t)的大致图形 t 1 t 2 0 t B B(t 2 ) 分析 B(t)比较困难 , 转而讨论森林烧毁 速度 dB/dt. 模型假设 1） 0≤t≤t 1 , dB/dt 与 t成正比，系数 β (火势蔓延速度） 2） t 1 ≤t≤t 2 , β 降为 β-λx (λ为队员的平均灭火速度） 3） f 1 (x)与 B(t 2 )成正比，系数 c 1 (烧毁单位面积损失 费） 4）每个队员的单位时间灭火费用 c 2 , 一次性费用 c 3 火势以失火点为中心， 均匀向四周呈圆形蔓 延，半径 r与 t 成正比 ? r B 假设1） 的解释 面积 B与 t 2 成正比， dB/dt与 t成正比 . 模型建立 dt dB b 0 t 1 t β t 2 βλ ?x 假设 1） 假设 2） βλ ? =? x b tt 12 , 1 tb β= βλ β ? += x t tt 1 12 )(222 )()( 2 1 22 1 0 2 2 2 βλ ββ ? +=== ∫ x ttbt dttBtB t & xcttxcxftBcxf 31222211 )()(),()( +?== 假设 3） 4） )()()( 21 xfxfxC += 目标函数——总费用 目标函数——总费用模型建立 xc x xtc x tctc xC 3 12 2 1 2 1 2 11 )(22 )( + ? + ? += βλ β βλ ββ 其中 c 1 ,c 2 ,c 3 , t 1 , β ,λ为已知参数 求 x使 C(x)最小 模型求解 dt dB b 0 t 1 t 2 t β βλ ?x 2 3 12 2 11 2 2 λ λ β λ β c tctc x + += 0= dx dC 结果解释? β /λ 是火势不继续蔓延的最少队员数 2 3 12 2 11 2 2 λ λ β λ β c tctc x + += 结果 解释 c 1 ~烧毁单位面积损失费 , c 2 ~每个队员单位时间灭火费 , c 3 ~每个队员一次性费用 , t 1 ~开始救火时刻 , β~火势蔓延速度 , λ~每个队员平均灭火速度 . c 1 , t 1 ,β↑→x↑ c 3 ,λ↑→x ↓ c 2 ↑→ x↑ 为什么? c 1 ,c 2 ,c 3 已知 , t 1 可估计 , β ,λ可设置一系列数值模型 应用 由模型决定队员数量 x 3.4最优价格 根据产品成本和市场需求，在产销平 衡条件下确定商品价格，使利润最大 问题 1）产量等于销量，记作 x 假设 2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格 3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本 4）销量 x 依于价格 p, x(p)是减函数 进一步设 0,,)( >?= babpapx pxpI =)( 收入 qxpC =)( 支出 建模 与求解 )()()( pCpIpU ?= 利润 求 p使 U(p)最大 建模 与求解 使利润 U(p)最大的最优价格 p * 满足 0 * = = pp dp dU ** pppp dp dC dp dI == = 边际收入 边际支出 最大利润在边际收入等于边际支出时达到 pxpI =)( qxpC =)( bpapx ?=)( ))(( bpaqp ??= )()()( pCpIpU ?= b aq p 22 * += b aq p 22 * += 结果 解释 0,,)( >?= babpapx ? q / 2 ~ 成本的一半 ? b ~ 价格上升 1单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度） b ↑→p * ↓ a↑→p * ↑ ? a ~ 绝对需求 ( p很小时的需求 ) 思考：如何得到参数 a, b? 3.5 血管分支 背 景 机体提供能量维持血液在血管中的流动 给血管壁以营养 克服血液流动的阻力 消耗能量与取决于血管的几何形状 在长期进化中动物血管的几何形状 已经达到能量最小原则 问 题 研究在能量最小原则下，血管分支处 粗细血管半径比例和分岔角度 模型假设 一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面 血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动 qq 1 q 1 A B B′ C H L l l 1 r r 1 θ θ 血液给血管壁的能量随管 壁的内表面积和体积的增 加而增加，管壁厚度近似 与血管半径成正比 考察血管 AC与 CB, CB′ q=2q 1 r/r 1 , θ ? 模型假设 粘性流体在刚 性管道中运动 l pr q μ π 8 4 ? = ? p~A,C压力 差， μ ~粘性系 数 4 2 1 8 d lq pqE π μ =?= 21, 2 ≤≤= α α lbrE qq 1 q 1 A B B′ C H L l l 1 r r 1 θ θ 克服阻力消耗能量 提供营养消耗能量 管壁内表面积 2πrl 管壁体积 π(d 2 +2rd)l, 管壁厚度 d与 r成正比 模型建立 qq 1 q 1 A B B′ C H L l l 1 r r 1 θ θ 4 2 1 8 d lq pqE π μ =?= 克服阻力消耗能量 21, 2 ≤≤= α α lbrE 提供营养消耗能量 θθ sin/,/ 1 HLltgHLl ?=?= 机体为血流提供能量 11 4 1 2 1 42 21 2)/()/( lbrrkqlbrrkqEEE αα +++=+= θ θθ α α sin/2)/( )/)(/(),,( 1 4 1 2 1 42 1 Hbrrkq tgHLbrrkqrrE + +?+= qq 1 q 1 A B B′ C H L l l 1 r r 1 θ θ 0,0 1 = ? ? = ? ? r E r E 0/4 0/4 5 1 2 1 1 521 =? =? ? ? rkqrb rkqrb α α α α 4 1 1 4 + = α r r 0= ? ? θ E 4 1 2cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? = r r θ 4 4 2cos + ? = α α θ θ θθ α α sin/2)/( )/)(/(),,( 1 4 1 2 1 42 1 Hbrrkq tgHLbrrkqrrE + +?+= 模型求解 00 1 4937,32.1/26.1 ≤≤≤≤ θrr 21 ≤≤α 00 1 4937 32.1/26.1 ≤≤ ≤≤ θ rr 4 1 1 4 + = α r r 模型 解释 生物学家：结果与观察大致吻合 大动脉到毛细血管有 n次分岔 n=？ 推论 大动脉半径 r max , 毛细血管半径 r min 4 min max 4 + = α n r r 5 minmax 41000/ ≈≈rr观察：狗的血管 30~25≈n21 ≤≤α )4(5 +≈ αn 973025 10~1032~22 ×≈≈ n 血管总条数 3.6消费者均衡 q 2 U(q 1 ,q 2 ) = c q 10 1 l 2 l 3 l 消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别 曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱， 购买这两种商品，以达到最大的满意度。 设 甲乙数量为 q 1 ,q 2 , 消 费者的无差别曲线族 (单调减、下凸、不相 交），记作 U(q 1 ,q 2 )=c U(q 1 ,q 2 ) ~ 效用函数 已知甲乙价格 p 1 ,p 2 , 有钱 s，试分配 s, 购买甲乙数量 q 1 ,q 2 ,使 U(q 1 ,q 2 )最大 . 问题 s/p 2 s/p 1 q 2 U(q 1 ,q 2 ) = c q 10 1 l 2 l 3 l ),( 2211 qpqpUL ++= λ )2,1(0 == ? ? i q L i 2 1 2 1 p p q U q U = ? ? ? ? == 1 2 2 dq dq K l sqpqp =+ 2211 直线 MN: 21 / ppK MN ?= 斜率 · M Q N · · 21 / q U q U ? ? ? ? ? 已知价格 p 1 ,p 2 ,钱 s, 求 q 1 ,q 2 ,或 p 1 q 1 / p 2 q 2 , 使 U(q 1 ,q 2 )最大 模型 及 求解 sqpqpts qqUZ =+ = 2211 21 .. ),(max 几 何 解 释 最优解 Q: MN与 l 2 切点 21 , q U q U ? ? ? ? ——边际效用 2 1 2 1 p p q U q U = ? ? ? ? 结果 解释 消费者均衡状态在两种商品 的边际效用之比恰等于它们 价格之比时达到。 效用函数U(q 1 ,q 2 ) 应满足的条件 A. U(q 1 ,q 2 ) =c 所确定的函数 q 2 =q 2 (q 1 )单调减、下凸 0,0,0,0,0. 21 2 2 2 2 2 1 2 21 > ?? ? < ? ? < ? ? > ? ? > ? ? qq U q U q U q U q U B AB? ? 解释 B的实际意义 2 1 2 1 p p q U q U = ? ? ? ? 0,,)(.1 1 21 >+= ? βα βα qq U 效用函数U(q 1 ,q 2 ) 几种常用的形式 2 1 22 11 p p qp qp β α = ? 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比 与二者价格之比的平方根成正比。 ? U(q 1 ,q 2 )中参数 α, β 分别表示消费者对甲乙 两种商品的偏爱程度。 2 1 2 1 p p q U q U = ? ? ? ? 效用函数U(q 1 ,q 2 ) 几种常用的形式 1,0,.2 21 <<= μλ μλ qqU μ λ = 22 11 qp qp ? 购买两种商品费用之比与二者价格无关。 ? U(q 1 ,q 2 )中参数 λ,μ 分别表示对甲乙的偏爱程度。 0,,)(.3 2 21 >+= baqbqaU 思考：如何推广到 m ( > 2) 种商品的情况 3.7 冰山运输 背景 ? 波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的 成本为每立方米 0.1英镑。 ? 专家建议从 9600千米远的南极用拖船 运送冰山，取代淡化海水 ? 从经济角度研究冰山运输的可行性。 1. 日租金和最大运量建模准备 船型 小中 大 日租金（英镑） 最大运量（米 3 ） 4.0 6.2 8.0 5×10 5 10 6 10 7 2. 燃料消耗（英镑 /千米）建模准备 冰山体积 (米 3 ) 船速 (千米 /小时 ) 10 5 10 6 10 7 1 3 5 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8 3. 融化速率（米 /天） 与南极距离 (千米 ) 船速 (千米 /小时 ) 0 1000 >4000 1 3 5 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6 选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立 米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较 建模 目的 模型 假设 ? 航行过程中船速不变，总距离 9600千米 ? 冰山呈球形，球面各点融化速率相同 ?到达目的地后，每立米冰可融化 0.85立米水 燃料消耗 租金 船型 , 船速 建模 分析 总费用 船型 运输过程 融化规律 初始冰 山体积 船型 , 船速 船型 目的地 冰体积 目的地 水体积 1. 冰山融化规律 0 1000 >4000 1 3 5 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6 u r d 模 型 建 立 船速 u (千米 /小时 ) 与南极距离 d(千米 ) 融化速率 r(米 /天） ? ? ? >+ ≤≤+ = 4000),1( 40000),1( 2 1 dbua dbuda r 4.0,2.0,105.6 2 5 1 ==×= ? baa utd 24= 航行 t 天 ? ? ? ? ? ? ? >+ ≤≤+× = ? u tu u ttuu r t 6 1000 ),4.01(2.0 6 1000 0,)4.01(1056.1 3 第 t天融 化速率 r是 u 的线性函数； d<4000时 u与 d成正比 d>4000时 u与 d无关 . 1. 冰山融化规律 ∑ = ?= t k kt rRR 1 0冰山初始半径 R 0 ，航行 t天时半径 冰山初始体积 3 00 3 4 RV π = 3 3 4 tt RV π = t天时体积 3 1 3 0 0 4 3 3 4 ),,( ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ∑ = t k k r V tVuV π π uu T 400 24 9600 == 选定 u,V 0 , 航行 t天时冰山体积 总航行天数 3 1 3 0 0 4 3 3 4 ),( ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ∑ = T t t r V VuV π π 到达目的地 时冰山体积 1,6,3.0 321 ?=== ccc ),)(log( 310211 cVcucq ++= 10 5 10 6 10 7 1 3 5 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8 V u q 1 2. 燃料消耗 燃料消耗 q 1 (英镑 /千米 ) q 1 对 u线性 , 对 log 10 V线性 选定 u,V 0 , 航行第 t天燃料消耗 q (英镑 /天 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+= ++?= ∑ = 1 4 3 3 4 log)6(2.7 ]),,()[log(24),,( 3 1 3 0 10 3010210 t k k r V uu ctVuVcucutVuq π π ∑ = = T t tVuqVuQ 1 00 ),,(),( 燃料消耗总费用 V 0 5 ×10 5 10 6 10 7 f(V 0 ) 4.0 6.2 8.0 u T 400 =航行天数 拖船租金费用 u VfVuR 400 )(),( 00 ?= 冰山初始体积 V 0 的日 租金 f(V 0 )（英镑） 3. 运送每立米水费用 总燃料消耗费用 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+= ∑∑ == 1 4 3 3 4 log)6(2.7),( 3 1 3 0 10 1 0 t k k T t r V uuVuQ π π ),(),(),( 000 VuQVuRVuS += 冰山运输总费用 3. 运送每立米水费用 3 1 3 0 0 4 3 3 4 ),( ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ∑ = T t t r V VuV π π 到达目的地 时冰山体积 冰山到达目的地 后得到的水体积 ),(85.0),( 00 VuVVuW = ),(),(),( 000 VuQVuRVuS += 冰山运输总费用 ),( ),( ),( 0 0 0 VuW VuS VuY = 运送每立 米水费用 模型求解 求 u,V 0 使 Y(u,V 0 )最小 选择船型和船速，使冰山到达 目的地后每立米水的费用最低 V 0 只能取离散值 取几组（ V 0 ， u）用枚举法计算 经验公式很粗糙 3 3.5 4 4.5 5 10 7 0.0723 0.0683 0.0649 0.0663 0.0658 0.2251 0.2013 0.1834 0.1842 0.1790 10 6 78.9032 9.8220 6.2138 5.4647 4.5102 V 0 u 5×10 6 u=4~5(千米 /小时 ), V 0 = 10 7 (米 3 )， Y(u,V 0 )最小 结果分析 大型拖船 V 0 = 10 7 (米 3 )，船速 u=4~5(千米 /小时 ), 冰山 到达目的地后每立米水的费用 Y(u,V 0 )约 0.065(英镑 ) 虽然 0.065英镑略低于淡化海水的成本 0.1英 镑，但是模型假设和构造非常简化与粗造。 由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山 到达目的地后实际体积会显著小于 V(u,V 0 )。 有关部门认为，只有当计算出的 Y(u,V 0 )显著 低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性。