Eξξ
0
pi
2
xx2 p1 x( )?
�
�? d 18 pi2? 12 pi? 2?+→:=
covξη 12 pi? 1? 116 pi2→ 0.046?=covξη Eξη Eξ Eη:=
Eξη 12 pi? 1?→Eξη 0.571=Eξη
0
pi
2
y
0
pi
2
x12 x? y? sin x y+( )?
�
�
d
�
�
d:=
Eη Eξ:=Eξ 14 pi?→Eξ 0.785=Eξ
0
pi
2
xx p1 x( )?
�
�? d:=
pη y( ) p2 y( ) 0 y≤ pi2≤if
0 otherwise
:=pξ x( ) p1 x( ) 0 x≤ pi2≤if
0 otherwise
:=
类 似 地 随 机 变 量 η的 概 率 密 度 函 数 为, 于 是 随 机 变 量 ξ,的 概 率 密 度 函 数 为
p2 y( ) 12 sin y( )? 12 cos y( )?+→p1 x( ) 12 sin x( )? 12 cos x( )?+→
p2 y( )
0
pi
2
x12 sin x y+( )
�
�
d:=p1 x( )
0
pi
2
y12 sin x y+( )
�
�
d:=
0
pi
2
y
0
pi
2
xp x y,( )
�
�? d
�
�? d 1=
0
pi
2
y
0
pi
2
x12 sin x y+( )?
�
�
d
�
�
d 1=
p 0.5 0.5,( ) 0.421=
p x y,( ) 12 sin x y+( ) 0 x≤ pi2≤
0 y≤ pi2≤
if
0 otherwise
:=
的 概 率 密 度 函 数 为,1 问 题, 设 随 机 向 量 (ξ,η)
计 算 概 率 举 例36 实 验
1
Eξ6
∞?
∞
xx
6
2pi
exp x
2?
2

�
�
�?
d 15→:=Eξ4
∞?
∞
xx
4
2pi
exp x
2?
2

�
�
�?
d 3→:=
Eξ2
∞?
∞
xx
2
2pi
exp x
2?
2

�
�
�?
d 1→:=Eξ
∞?
∞
xx
2pi
exp x
2?
2

�
�
�?
d 0→:=
,N(0,1),0由 于 分 布 的 密 度 为 偶 函 数 所 以 它 的 奇 数 阶 矩 为 。
k,N(0,1)设 为 自 然 数 求 分 布 的 各 阶 矩3 N(0,1), 问 题, 求 分 布 的 各 阶 矩
Dη 1=Dη Eηη Eη Eη:=
Eηη 5=Eηη
1
∞
yy2 exp y? 1+( )?
�
d 5 exp 1( )? exp 1?( )?→:=
Eη 2=Eη
1
∞
yy exp y? 1+( )�? d 2 exp 1( )? exp 1?( )?→:=
Eξξ
1
∞
xx2 2
x3
�
�
�?
d ∞→:=Eξ
1
∞
xx 2
x3
�
�
�?
d 2→:= 所 以 ξ, 的 方 差 不 存 在
gg1 y( ) exp y? 1+( ) y 1≥if
0 otherwise
:=g1 y( )
1
∞
x2 exp y? 1+( )?
x3
�
�
�?
d exp y? 1+( )→:=
ff1 x( ) 2
x3
x 1≥if
0 otherwise
:=f1 x( )
1
∞
y2 exp y? 1+( )?
x3
�
�
�?
d 2
x3
exp 1( )? exp 1?( )?→:=
1
∞
y
1
∞
x2 exp y? 1+( )?
x3
�
�
�?
d
�
�
�?
d exp 1( ) exp 1?( )?→ 1=f x y,( )
2 exp y? 1+( )?
x3
x 1≥
y 1≥
if
0 otherwise
:=
的 概 率 密 度 函 数 为,2 问 题, 设 随 机 向 量 (x,h)
ρ
1
2 pi? 1?
1
16 pi
2

.80449687693107 116 pi2
→ 0.245?=ρ
covξη
Dξ Dη?
:=
Dξ 0.188=Dη Dξ:=Dξ,80449687693107 116 pi2→Dξ Eξξ Eξ Eξ:=
2
EΞ n( )
1
3
15
105
945
10395
=
n 1 12..:=EΞ n( )
1
n
k
2 k? 1?( )∏
=
:=
Eξ 12( ) 10395→Eξ 11( ) 0→Eξ 10( ) 945→Eξ 9( ) 0→
Eξ 8( ) 105→Eξ 7( ) 0→Eξ 6( ) 15→Eξ 5( ) 0→
Eξ 4( ) 3→Eξ 3( ) 0→Eξ 2( ) 1→Eξ 1( ) 0→
Eξ k( )
∞?
∞
xx
k
2pi
exp x
2?
2

�
�
�?
d:=
Eξn
1
3
15
105
945
10395
135135
2027025
=
Eξn 2n( )!
2n n!?
:=
n 1 2,8..:=
Eξ10
∞?
∞
xx
10
2pi
exp x
2?
2

�
�
�?
d 945→:=Eξ8
∞?
∞
xx
8
2pi
exp x
2?
2

�
�
�?
d 105→:=
3
1.351?0 5
2.027?0 6
3.446?0 7
6.547?0 8
1.375?0 10
3.162?0 11
4