习题解答（一）
1-1 设英文字母 E出现的概率为 0.105,x出现的概率为 0.002。 试
求 E及 x的信息量 。
)(97.8002.0l ogl og
)(25.3105.0l ogl og
22
22
bi tPI
bi tPI
xx
EE
?????
?????解：
1-4 一个由字母 A,B,C,D组成的字 。 对于传输的每一个
字母用二进制脉冲编码, 00代替 A,01代替 B,10代替 C,11代
替 D,每个脉冲宽度为 5ms。
（ 1） 不同的字母是等可能出现时, 试计算传输的平均信息
速率；
（ 2） 若每个字母出现的可能性分别为
PA=1/5,PB=1/4,PC=1/4,PD=3/10
试计算传输的平均信息速率 。
)/(5.1 9 8
1010
9 8 5.1
)/(9 8 5.1
10
3
l o g
10
3
4
1
l o g
4
1
4
1
l o g
4
1
5
1
l o g
5
1
)]() [ l o g()(2
)/(2 0 0
1010
2
/10/52
)/(24l o gl o g
)(
1
l o g)1(
3
2222
1
2
3
222
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t
I
R
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xPxPxH
sbit
t
I
R
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bitM
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则：
符号
）（
则：
符号）（符号）（间为：传输每个符号占用的时
符号解：
1-5 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母, 划用持
续 3单位的电流脉冲表示, 点用持续 1单位的电流脉冲表示；且
划出现的概率是点出现概率的 1/3：
（ 1） 计算点和划的信息量；
（ 2） 计算点和划的平均信息量 。
符号））（
故
。划出现的概率为
，，所以点出现的概率为出现概率的因为划出现的概率是点解：
/(81.02
4
1
4 1 5.0
4
3
2
)(2
4
1
l o gl o g
)(4 1 5.0
4
3
l o gl o g
4/1
4/33/1)1(
2211
2222
2121
2
1
b i tIPIPH
b i tPI
b i tPI
P
P
???????
?????
?????
?
?
1-7 对于二电平数字信号, 每秒钟传输 300个码元, 问此传码率 RB
等于多少？ 若该数字信号 0和 1出现是独立等概的, 那么传信率 Rb
等于多少？
)/(3002l o g2
)(30011
2 sb i tRR
B
TT
nR
Bb
b
B
??
???
）（
）解：（
1-9 如果二进独立等概信号, 码元宽度为 0.5ms,求 RB和 Rb；有
四进制信号, 码元宽度为 0.5ms,求传码率 RB和独立等概时的
传信率 Rb。
)/(40004l o g
)(2000
105.0
11
2
)/(20002l o g
)(2000
105.0
11
1
244
34
222
32
sb i tRR
B
T
R
sb i tRR
B
T
R
Bb
b
B
Bb
b
B
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?
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??
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??
?
?
）（
）解：（
2-2 设是一随机过程, 若 X1和 X2是
彼此独立且具有均值为 0,方差为 σ2的正态随机变量, 试求：
（ 1） E[z(t)],E[z2(t)]；
（ 2） z(t)的一维分布密度函数 f(z);
（ 3） B(t1,t2)与 R(t1,t2)。
tXtXtz 0201 c o ss i nc o s)( ?? ??
???
?????
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????
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0
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21212121
0
2
120
2
201012201021
2010
2
22010
2
1
202201102101
2121
2
2
222
21
2
0
2
0
22
0
22
200210
22
1
2
0201
2
0201
0201
0201
c o s),()]([)]([),(),(
c o s)](c o s [
c o ss i n][][s i nc o s][][
s i ns i n][c o sc o s][
)]s i nc o s)(s i nc o s[(
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2
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2
1
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)]([)]([)]([0)]([
)(2
0)s i n( c o s
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])s i nc o s[()]([
0s i n][c o s][
]s i n[]c o s[
]s i nc o s[)]([1
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ttXEttXE
tXtXtXtXE
tztzEttR
z
zf
tzEtzEtzDtzE
tzXX
tt
tXEttXEXEtXE
tXtXEtzE
tXEtXE
tXEtXE
tXtXEtzE
）（
所以
，又
也为正态分布，为正态分布，所以、）因为（
）解：（
2-3 求乘积 z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数 。 已知 X(t)与 Y(t)是统计独立
的平稳随机过程, 且它们的自相关函数分别为 RX(τ),RY(τ)。
)()()]()([)]()([
)]()()()([)]()([),(
2121
22112121
?? YX RRtYtYEtXtXE
tYtXtYtXEtztzEttR
??
??解：
2-6 ξ(t)是一个平稳随机过程, 它的自相关函数是周期为 2s的周期
函数 。 在区间 (-1,1)s上, 该自相关函数 R(τ)=1-?τ?。 试求 ξ(t)的功率
谱密度 Pξ(ω),并用图形表示 。
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?
?
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Sadef
T
XsR
dtetf
T
V
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()
2
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)
2
()(
1
(:)1,1()(
)(
1
)(2)]([
2
2
2/
2/
2/
2/
0
0
0
???
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?
?
???
?
?
?
????
????
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??
?
则
）的一个周期在
变换为：解：周期信号的傅立叶
2-7 将一个均值为 0,功率谱密度为 n0/2的
高斯白噪声加到一个中心频率为 ωc,带宽为
B的理想带通滤波器上, 如图 P2-1所示 。
（ 1） 求滤波器输出噪声的自相关函数；
（ 2） 写出输出噪声的一维概率密度函数 。
图 P 2 - 1
0
)(?H
c??
B?2B?2
c?
?
)
2
ex p (
2
1
)(
)]([0)()0(
,0)]([)(
)2(
c o s)(
c o s)(2
2
)]([)(
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2/
)(
1
0
2
0
000
2
0
01
0
Bn
x
Bn
xf
BntnDBnBnRR
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BB S an
BB S a
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??????
?
???
?
密度为：故输出噪声的一维概率
，所以，
。又，所以输出仍为高斯噪声因为输入是高斯噪声，
故
其余
噪声的功率谱密度为：）经过滤波器后，输出解：（
2-8 设 RC低通滤波器如图
P2-2所示, 求当输入均值为 0、
功率谱密度为 n0/2的白噪声时,
输出过程的功率谱密度和自相
关函数 。
图 P 2 - 2
R
C
)ex p (
4
)]([)(
)(1
1
2
)()()(
1
1
)(
01
2
0
2
RCRC
n
PFR
RC
n
HPP
RCj
H
nono
nino
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??
?
???
?
?
???
?
????
?
?
?
故
声的功率谱密度为：经过滤波器后，输出噪
函数为解：低通滤波器的传输
2-14 一噪声的功率谱
密度如图 P2-6所示, 试求
其自相关函数 。
图 P 2 - 1
0
)(?
n
P
0
??
?
0
?
?
?
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K?
???
???
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?
??
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0
2/
2/0
1
c o s)2/(
c o s
1
)(
1
)(
)(
)s i n) ( c o s(
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1
)(
2
1
)]([)(
0
0
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K S a
d
K
dePR
P
djP
dePPFR
j
nn
n
n
j
nnn
为偶函数，则
解：