第九章 静电场中的导体和电介质一、导体的静电平衡
1、金属导体的结构带负电的自由电子 +带正电的晶格点阵特点
（ 1）导体不带电，在不受外力场作用下，正负电荷中和，导体呈中性，自由电子作微观热运动，宏观上不表现出电荷运动
（ 2）导体在外电场作用下，产生静电感应，最终达到静电平衡
2、静电感应导体中的电子，在外电场作用下，将相对于晶格点阵作宏观运动，引起导体上电荷密度的重新分布
3、静电平衡导体内部和表面都没有定向的宏观电荷移动
oE
E=0
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
9-1 静电场中的导体二、静电平衡时导体中的电场特性
1、导体内部的场强处处为零。导体表面的场强垂直于导体的表面。
2、导体内部和导体表面处处电势相等，整个导体是个等势体。
导体表面是个等势面解释 导体内没有电荷的宏观移动，导体内电子所受电场力必为零，则内部电场为零。
导体表面紧邻处的场强必定和导体表面垂直，否则场强沿表面的分量将使自由电子作表面的定向运动。
E= 0
三、静电平衡态下导体的带电特性
1、在静电平衡下，导体所带的电荷只能分布在导体的表面，导体内部没有净电荷。
（ 1）实心导体在静电平衡时的电荷分布
S iS o qSdE?
1
00 iqE
导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体表面。
+
+
+
+
+
+ + + +
+
++++ ++
+
+ +
+
结论：
（ 2）空心导体，空腔内无电荷
E= 0 S
iS
o
qSdE
1
00 iqE
电荷分布在导体外表面，导体内部和内表面没净电荷
（ 3）空心导体，空腔内有电荷 q
+q -
- -
---
-
-
00 iqE
qq
电荷分布在导体内外两个表面，内表面带电荷 -q。
E= 0
2、处于静电平衡的导体，其表面上各点的电荷密度与表面邻近处场强的大小成正比。
dS
E
高斯定理：
o
dSE dS
o
E
+++
+++
++ + + + +
+ +
+ + + +
+
+
+
+
++
+ +
++
++ R
RR
R
R
3、静电平衡下的孤立导体，其表面处面电荷密度?与该表面曲率有关，曲率（ 1/R）越大的地方电荷密度也越大，曲率越小的地方电荷密度也小。
四、尖端放电
++ +
+ + +
+++ + -
- +
+
五、静电屏蔽
1、空腔导体，腔内没有电荷空腔导体起到屏蔽外电场的作用。
+
+
+
++
+
+
+
接地的空腔导体 可以屏蔽内、外电场的影响。
一个接地的空腔导体可以隔离内外电场的影响。
静电屏蔽：
--
-
---
-
-
+q2、空腔导体，腔内存在电荷六 有导体存在时静电场的分析计算
Q
1? 2?
3? 4?
例 9-1、一块大金属板，面积为 S，带电量为 Q，现在其近旁平行放置第二块大金属板，此板原来不带电。求静电平衡时，金属板的电荷分布。如果把第二块金属板接地，情况又如何？（忽略金属板的边缘效应）
IE?E IIIE
I II III
p
解：导体内部无净电荷，电荷只能分布在金属板表面由电荷守恒得：
S
Q
21
043
又金属板内电场为零，由高斯定理得 0
23
金属板内任意点 p的场强由叠加定律得
02222
0
4
0
3
0
2
0
1
pE
S
Q
21 S
Q
22 S
Q
23 SQ24
场强分布为
S
QE
02?
I
S
QE
02?
S
QE
02?
II I
I
II
III
方向向左方向向右方向向右
（ 2）接地情况
1? 2?
3? 4?
E
I II III
Q
04
S
Q
21
第一块板电荷守恒又金属板内电场为零，由高斯定理得
023
金属板内一点的场强为零得：
0321
01
04
S
Q?
2?
S
Q
3?
0?IE
0?IIIE
S
QE
0?
9-2 电容 电容器一,孤立导体的电容一带电为 q 的孤立导体达到静电平衡时为一等势体，具有确定的电势值，实验表明，导体的电势随着带电量的增加而成正比的增大，其比值为一定值，称为电容 C。
V
qC?
如一孤立 导体球 （注意与均匀带电球体区别），带电为 q时，
R
qV
04
C=40R
电容值只与导体本身的形状、大小及周围介质有关电容单位：法拉
pFFVCF 1010][1 ][11）（
+
+
++
+
+
二、电容器的电容两个靠得很近的导体带上一定电量时，外界对两导体间的电势差的影响很小，当它们分别带上等量异号电荷时，就构成电容器。
,VVU
U
qC
d
S
-Q
+Q
U
U
E
电容反映了电容器储存电荷的能力用途,交流电路中电流和电压的控制发射机中振荡电流的产生接收机中的调谐整流电路中的滤波电子线路中的时间延迟
1、平行板电容器的电容
EdE d lUE
0?
q=?S
d
S
U
qC 0
2、圆柱形电容器解：先设带电密度为?,求板间的场强
r
E
2
1
2
22
2
1
2
1
2
1
R
R
n
r
dr
r
E d rrdEU
R
R
R
R
R
R
L
2R
r?
r
)(
2
1
2
R
R
n
L
U
L
U
Q
C
3、球形电容器
RA
RB2
4 r
q
E
o
BAo
R
R
o
R
R RR
q
r
qdr
rdEU
B
A
B
A
11
44 2
AB
BA
o RR
RR
U
qC
4
例 9-2 两根平行的“无限长”均匀带电直线，相距为 d,导线半径为 R
(R<<d)，设导线上单位长度上带电为 +?和 -?,求该导体组单位长度上的电容,
d
R
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
E
P
r d-r
)(22 00 rdr
E
R
RdE d rU Rd
R
2ln
2
2
0
2
R
RdU
C
2
ln
0
四、电容器的串、并联
1、电容器的并联
C1 C2 C3U
,,2211 UCqUCq
总电量,UCCCqqqq nn 2121
等效电容：
nCCCU
qC
21
并联电容器的等效电容等于各个电容器电容之和。
结论：
2、电容器的串联
C1 C2 Cn
U
设各电荷带电量为 q
,,
2
2
1
1 C
qU
C
qU
q
CCC
UUUU
n
n
111
21
21
等效电容：
nCCCq
U
C
1111
21
串联电容器的等效电容的倒数等于各电容的倒数之和。
结论：
电阻率很大，导电能力很差的物质。即绝缘体。
分子中的正负电荷束缚的很紧，介质内部几乎没有自由电荷。
电介质的特点：
电介质：
9-3 静电场中的电介质电介质静电场电介质极化介质中电场变化一 电介质对电场的影响 Q-Q Q-Q
实验：两平行带电板之间的电压可用静电计测得，比较平行板之间充入介质前后的电压 U情况。
结果 充入介质前 0U
充入介质后 U
d
充入介质
EdU?
UU
0?
dEU 00?
r
EE
0?
r?
电介质的相对电容率电介质 相对介电常数真空 1
空气 1.00059
水 80
变压器油 2.24
云母 4-7
瓷
,UQCUQC CC
0 r?
电容率二、电介质的微观机制和极化过程两大类电介质分子结构：
分子的正、负电荷中心在无外场时重合。不存在固有分子电偶极矩。
分子的正、负电荷中心在无外场时不重合，分子存在固有电偶极矩。
(1)、有极分子：
-q
+q
=O
--
H+ H+
H2O
(2)、无极分子：
= ±C--
H+
H+
H+H+
H4C
+
1、无极分子的位移极化
±
±
±
±
±
± ±
±
± ±
±
± ±
±
±
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+- E
p?
在外电场的作用下，介质表面产生电荷的现象称为 电介质的极化 。
由于极化，在介质表面产生的电荷称为 极化电荷 或称 束缚电荷 。
2、有极分子的转向极化
+- E
o
F
F
+
- p? Eo
无极分子在外场的作用下正负电荷中心发生偏移而产生的极化称为 位移极化 。
有极分子在外场中发生偏转而产生的极化称为 转向极化 。
说明：
（ 1）两种类型的分子在外场作用下极化微观机制不同，但效果一样
（ 2） 介质内部,正负电荷仍相等，因而仍表现为电中性。
介质表面,出现束缚电荷（极化电荷）,束缚电荷越多,极化程度越大
（ 3）以上讨论的介质系指各向同性介质三、电介质的极化强度定义：极化强度有极分子
V
ipP
无极分子
pP n?
介质中某处体积元
n为介质中分子数密度
+ + + + ++++
- - - - - - -
0
0
S?
在平板电容器中有均匀电介质，在介质内取长为 l，底面积为?S的柱体
Slp
SlSlVpP
实验证明：当外场 E0不太强时，各向同性的电介质的电极化强度 P
与合电场 E成正比，方向相同
E1)(P 0
注,E为介质内实际场强，是介质极化后的合场强。称为 电极化率
EP 0,1取四、介质中电场强度、极化电荷与自由电荷的关系
+ + + + ++++
- - - - - - -
0
0
- - - - -
+ + + + +
E0 E’
r
EEEE
0
0
0
1
EE
r
r
0
1?
r
r SP dQ
9-4 电介质中的高斯定理 (这部分内容见 P234)
电介质外场 束缚电荷 q’
自由电荷 q0
电场 E’
电场 E0
介质中
EEE 0
介质中高斯定理
)(Q1SE 0
0
Qd?
SP dQ
00 S)PE( Qd?
引入电位移矢量
PED 0
0SD Qd
Q0为自由电荷
QSdD
（ 1）介质中的高斯定理虽说是从平板电容器这一特例推导出，但它普遍适用于任何情况。
（ 2）介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理。
说明：
（ 3）电位移矢量 是一个辅助量，没有实际的物理意义。描写电场的基本物理量是电场强度 。
D?
E?
真空中,0?P? EPED
oo
所以：
iS oS qSdESdD
i
o
S
qSdE
1
与 的关系D? E?
EP oe
对于各向同性的电介质：
EEEPED oeoeoo 1
er 1令
r,相对电容率
ED ro
ro令 ED
或
D
E
：电容率注：
PED o
是定义式，普遍成立。
ED 只适用于各向同性的均匀介质。
真空中：
oo ED
介质中,ED
ro
EE roEE rooo
电容：
or
o
r C
dE
q
Ed
qC
结论,介质中的场强 E比真空中的场强 Eo小。而有介质电容器的电容 C比真空电容器的电容 Co大。
（ 3） D,E,P三者与电荷的关系
+ + + + ++++
- - - - - - -
+ + + + ++++
- - - - - - -
D线 E线 P线
D矢量仅与自由电荷有关
P矢量仅与束缚电荷有关
E与所有的电荷有关例、一个带正电荷的金属球，半径为 R，电量为 q，浸入大油箱中，油的相对介电常数为?r，求球外的电场分布以及贴近金属球表面的油面上的束服电荷总量
+ +
+ +
++
E
D
q
q’
P
解：油为各向同性介质，根据球对称性,求介质中球外一点的场强，由高斯定理得
qrDd 24SD?
r
qD
4?
2
0
r
0 4
eDE
r
q
又：
20
r
4
eE
r
q
EEE 0
2
0
0 4 r
eqE
qq )1-(
例 在自由电荷面密度为0的平行板电容器中充了两层相对介电常数分别为?r1,?r2的电介质，厚度各为 d1,d2，求该电容器的电容。
d1,?r1
d2,?r2
解：由于两层介质均匀，故场强在两介质中分别是均匀的
S1 S2
分别取如图的两个高斯柱面
1011
1
SSDSdD
S
1
0
10
1
101
rr
DED
0
同理
r20
0
20
2
2?
r
DE
)(
2
2
1
1
0
0
2211
dddEdEU
1221
2100
dd
S
U
QC
rr
rr
S
例 9-4：设内外半径为 R1,R3的同心球面组成的球形电容器，中间充以相对介电常数分别为?r1,?r2的电介质，分界面为半径为 R2
的球面，求此电容器的电容
r1
r2
R1
R3
—
+解：先求电场的空间分布
0,1 1ERr
2
2
44 r
qDrDSdD
2r
qDERrR
rr 1010
221 4,
2r
qDERrR
rr 2020
332 4,
3221 RRRRRR rdErdErdEU 3231
U
qC
3
2
2
1 2221 44
R
R
ro
R
R
ro r
qdr
r
qdr
U
321321
23111232
4 RRR
RRRRRRq
rrr
rr
23111232
321214
RRRRRR
RRR
U
qC
rr
rro
一、电容器的能量
C
qdqUdqdW
-q +q
U
+ +dq
C
Qdq
C
qdWW Q 2
0 2
1
CUQ?
QUCUCQW e 2121 2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1 CUQU
C
QW
e
电容器的电能：
9-5 电容器的能量和静电场的能量二、电场的能量，能量密度电能是储存在（定域在）电场中。
2
2
1 CUW
e?
d
SC EdU?
SdEW e 2
2
1 （电容器体积,V=Sd）
电场的能量密度,单位体积电场所具有的能量。
2
2
1 Ew
e
dVwW e
例 9-5,球形电容器带电 q，内外半径分别为 R1和 R2，
极板间充满介电常数为?的电介质。计算电场的能量。
R1
R2
rdr
解：
24 r
qD
24 r
qDE
drrdV 24
42
2
2
322
1
r
qEw
e
dVwdW ee?
21
2
2
2 11
88
2
1 RR
q
dr
r
q
dVwW
R
Ree
12
214
RR
RR
C
C
qW
e
2
2
1
21
2 11
8 RR
q
例 9-6、在真空中均匀带电的球体，半径为 R，体电荷密度为?。试求此带电体系的静电能
r
RP
解：利用高斯定理可的带电体系的电场分布
)(,3
0
1 Rr
rE
)(,3 2
0
3
2 Rrr
RE
利用静电能公式得
52
0
22
2
0
3
02
0
2
0
0
2
2
202
0
2
10
21
15
4
4)
3
(
2
4)
3
(
2
4
2
4
2
Rdrr
r
R
drr
r
drr
E
drr
E
dVdVdVW
R
R
R
R
Rr
e
Rr
e
334 Rq?
R
qW
e20
23
例 9-7 一平行板电容器其极板面积 S，间距为 d，用电源充电至两板分别带上电量 Q，现断开电源后再把两板距离拉至为 2d,求外力克服两板吸引力所做的功。
解：两板间距为 d和 2d时的电容各为
d
SC
01 d
SC
202
这时电容器储存的电能分别为
2C
QW?
2
2
2 2C
QW?
S
dQWWWA
2?
A=Fd SQF
0
2
2?
带电体系的的静电能：一般说，由多个带电体组成的体系的静电能由以下两部分组成 （ 1）每个带电体的自能，定义为让它的每一小块无限远离时电场力作的功；（ 2）各个带电体的互能，定义为令各个带电体无限远离时电场力作的功。
下面推导 N个点电荷体系的互能公式：
详见 P73
1、金属导体的结构带负电的自由电子 +带正电的晶格点阵特点
（ 1）导体不带电，在不受外力场作用下，正负电荷中和，导体呈中性，自由电子作微观热运动，宏观上不表现出电荷运动
（ 2）导体在外电场作用下，产生静电感应，最终达到静电平衡
2、静电感应导体中的电子，在外电场作用下，将相对于晶格点阵作宏观运动，引起导体上电荷密度的重新分布
3、静电平衡导体内部和表面都没有定向的宏观电荷移动
oE
E=0
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
9-1 静电场中的导体二、静电平衡时导体中的电场特性
1、导体内部的场强处处为零。导体表面的场强垂直于导体的表面。
2、导体内部和导体表面处处电势相等，整个导体是个等势体。
导体表面是个等势面解释 导体内没有电荷的宏观移动，导体内电子所受电场力必为零，则内部电场为零。
导体表面紧邻处的场强必定和导体表面垂直，否则场强沿表面的分量将使自由电子作表面的定向运动。
E= 0
三、静电平衡态下导体的带电特性
1、在静电平衡下，导体所带的电荷只能分布在导体的表面，导体内部没有净电荷。
（ 1）实心导体在静电平衡时的电荷分布
S iS o qSdE?
1
00 iqE
导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体表面。
+
+
+
+
+
+ + + +
+
++++ ++
+
+ +
+
结论：
（ 2）空心导体，空腔内无电荷
E= 0 S
iS
o
qSdE
1
00 iqE
电荷分布在导体外表面，导体内部和内表面没净电荷
（ 3）空心导体，空腔内有电荷 q
+q -
- -
---
-
-
00 iqE
电荷分布在导体内外两个表面，内表面带电荷 -q。
E= 0
2、处于静电平衡的导体，其表面上各点的电荷密度与表面邻近处场强的大小成正比。
dS
E
高斯定理：
o
dSE dS
o
E
+++
+++
++ + + + +
+ +
+ + + +
+
+
+
+
++
+ +
++
++ R
RR
R
R
3、静电平衡下的孤立导体，其表面处面电荷密度?与该表面曲率有关，曲率（ 1/R）越大的地方电荷密度也越大，曲率越小的地方电荷密度也小。
四、尖端放电
++ +
+ + +
+++ + -
- +
+
五、静电屏蔽
1、空腔导体，腔内没有电荷空腔导体起到屏蔽外电场的作用。
+
+
+
++
+
+
+
接地的空腔导体 可以屏蔽内、外电场的影响。
一个接地的空腔导体可以隔离内外电场的影响。
静电屏蔽：
--
-
---
-
-
+q2、空腔导体，腔内存在电荷六 有导体存在时静电场的分析计算
Q
1? 2?
3? 4?
例 9-1、一块大金属板，面积为 S，带电量为 Q，现在其近旁平行放置第二块大金属板，此板原来不带电。求静电平衡时，金属板的电荷分布。如果把第二块金属板接地，情况又如何？（忽略金属板的边缘效应）
IE?E IIIE
I II III
p
解：导体内部无净电荷，电荷只能分布在金属板表面由电荷守恒得：
S
Q
21
043
又金属板内电场为零，由高斯定理得 0
23
金属板内任意点 p的场强由叠加定律得
02222
0
4
0
3
0
2
0
1
pE
S
Q
21 S
Q
22 S
Q
23 SQ24
场强分布为
S
QE
02?
I
S
QE
02?
S
QE
02?
II I
I
II
III
方向向左方向向右方向向右
（ 2）接地情况
1? 2?
3? 4?
E
I II III
Q
04
S
Q
21
第一块板电荷守恒又金属板内电场为零，由高斯定理得
023
金属板内一点的场强为零得：
0321
01
04
S
Q?
2?
S
Q
3?
0?IE
0?IIIE
S
QE
0?
9-2 电容 电容器一,孤立导体的电容一带电为 q 的孤立导体达到静电平衡时为一等势体，具有确定的电势值，实验表明，导体的电势随着带电量的增加而成正比的增大，其比值为一定值，称为电容 C。
V
qC?
如一孤立 导体球 （注意与均匀带电球体区别），带电为 q时，
R
qV
04
C=40R
电容值只与导体本身的形状、大小及周围介质有关电容单位：法拉
pFFVCF 1010][1 ][11）（
+
+
++
+
+
二、电容器的电容两个靠得很近的导体带上一定电量时，外界对两导体间的电势差的影响很小，当它们分别带上等量异号电荷时，就构成电容器。
,VVU
U
qC
d
S
-Q
+Q
U
U
E
电容反映了电容器储存电荷的能力用途,交流电路中电流和电压的控制发射机中振荡电流的产生接收机中的调谐整流电路中的滤波电子线路中的时间延迟
1、平行板电容器的电容
EdE d lUE
0?
q=?S
d
S
U
qC 0
2、圆柱形电容器解：先设带电密度为?,求板间的场强
r
E
2
1
2
22
2
1
2
1
2
1
R
R
n
r
dr
r
E d rrdEU
R
R
R
R
R
R
L
2R
r?
r
)(
2
1
2
R
R
n
L
U
L
U
Q
C
3、球形电容器
RA
RB2
4 r
q
E
o
BAo
R
R
o
R
R RR
q
r
qdr
rdEU
B
A
B
A
11
44 2
AB
BA
o RR
RR
U
qC
4
例 9-2 两根平行的“无限长”均匀带电直线，相距为 d,导线半径为 R
(R<<d)，设导线上单位长度上带电为 +?和 -?,求该导体组单位长度上的电容,
d
R
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
E
P
r d-r
)(22 00 rdr
E
R
RdE d rU Rd
R
2ln
2
2
0
2
R
RdU
C
2
ln
0
四、电容器的串、并联
1、电容器的并联
C1 C2 C3U
,,2211 UCqUCq
总电量,UCCCqqqq nn 2121
等效电容：
nCCCU
qC
21
并联电容器的等效电容等于各个电容器电容之和。
结论：
2、电容器的串联
C1 C2 Cn
U
设各电荷带电量为 q
,,
2
2
1
1 C
qU
C
qU
q
CCC
UUUU
n
n
111
21
21
等效电容：
nCCCq
U
C
1111
21
串联电容器的等效电容的倒数等于各电容的倒数之和。
结论：
电阻率很大，导电能力很差的物质。即绝缘体。
分子中的正负电荷束缚的很紧，介质内部几乎没有自由电荷。
电介质的特点：
电介质：
9-3 静电场中的电介质电介质静电场电介质极化介质中电场变化一 电介质对电场的影响 Q-Q Q-Q
实验：两平行带电板之间的电压可用静电计测得，比较平行板之间充入介质前后的电压 U情况。
结果 充入介质前 0U
充入介质后 U
d
充入介质
EdU?
UU
0?
dEU 00?
r
EE
0?
r?
电介质的相对电容率电介质 相对介电常数真空 1
空气 1.00059
水 80
变压器油 2.24
云母 4-7
瓷
,UQCUQC CC
0 r?
电容率二、电介质的微观机制和极化过程两大类电介质分子结构：
分子的正、负电荷中心在无外场时重合。不存在固有分子电偶极矩。
分子的正、负电荷中心在无外场时不重合，分子存在固有电偶极矩。
(1)、有极分子：
-q
+q
=O
--
H+ H+
H2O
(2)、无极分子：
= ±C--
H+
H+
H+H+
H4C
+
1、无极分子的位移极化
±
±
±
±
±
± ±
±
± ±
±
± ±
±
±
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+- E
p?
在外电场的作用下，介质表面产生电荷的现象称为 电介质的极化 。
由于极化，在介质表面产生的电荷称为 极化电荷 或称 束缚电荷 。
2、有极分子的转向极化
+- E
o
F
F
+
- p? Eo
无极分子在外场的作用下正负电荷中心发生偏移而产生的极化称为 位移极化 。
有极分子在外场中发生偏转而产生的极化称为 转向极化 。
说明：
（ 1）两种类型的分子在外场作用下极化微观机制不同，但效果一样
（ 2） 介质内部,正负电荷仍相等，因而仍表现为电中性。
介质表面,出现束缚电荷（极化电荷）,束缚电荷越多,极化程度越大
（ 3）以上讨论的介质系指各向同性介质三、电介质的极化强度定义：极化强度有极分子
V
ipP
无极分子
pP n?
介质中某处体积元
n为介质中分子数密度
+ + + + ++++
- - - - - - -
0
0
S?
在平板电容器中有均匀电介质，在介质内取长为 l，底面积为?S的柱体
Slp
SlSlVpP
实验证明：当外场 E0不太强时，各向同性的电介质的电极化强度 P
与合电场 E成正比，方向相同
E1)(P 0
注,E为介质内实际场强，是介质极化后的合场强。称为 电极化率
EP 0,1取四、介质中电场强度、极化电荷与自由电荷的关系
+ + + + ++++
- - - - - - -
0
0
- - - - -
+ + + + +
E0 E’
r
EEEE
0
0
0
1
EE
r
r
0
1?
r
r SP dQ
9-4 电介质中的高斯定理 (这部分内容见 P234)
电介质外场 束缚电荷 q’
自由电荷 q0
电场 E’
电场 E0
介质中
EEE 0
介质中高斯定理
)(Q1SE 0
0
Qd?
SP dQ
00 S)PE( Qd?
引入电位移矢量
PED 0
0SD Qd
Q0为自由电荷
QSdD
（ 1）介质中的高斯定理虽说是从平板电容器这一特例推导出，但它普遍适用于任何情况。
（ 2）介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理。
说明：
（ 3）电位移矢量 是一个辅助量，没有实际的物理意义。描写电场的基本物理量是电场强度 。
D?
E?
真空中,0?P? EPED
oo
所以：
iS oS qSdESdD
i
o
S
qSdE
1
与 的关系D? E?
EP oe
对于各向同性的电介质：
EEEPED oeoeoo 1
er 1令
r,相对电容率
ED ro
ro令 ED
或
D
E
：电容率注：
PED o
是定义式，普遍成立。
ED 只适用于各向同性的均匀介质。
真空中：
oo ED
介质中,ED
ro
EE roEE rooo
电容：
or
o
r C
dE
q
Ed
qC
结论,介质中的场强 E比真空中的场强 Eo小。而有介质电容器的电容 C比真空电容器的电容 Co大。
（ 3） D,E,P三者与电荷的关系
+ + + + ++++
- - - - - - -
+ + + + ++++
- - - - - - -
D线 E线 P线
D矢量仅与自由电荷有关
P矢量仅与束缚电荷有关
E与所有的电荷有关例、一个带正电荷的金属球，半径为 R，电量为 q，浸入大油箱中，油的相对介电常数为?r，求球外的电场分布以及贴近金属球表面的油面上的束服电荷总量
+ +
+ +
++
E
D
q
q’
P
解：油为各向同性介质，根据球对称性,求介质中球外一点的场强，由高斯定理得
qrDd 24SD?
r
qD
4?
2
0
r
0 4
eDE
r
q
又：
20
r
4
eE
r
q
EEE 0
2
0
0 4 r
eqE
qq )1-(
例 在自由电荷面密度为0的平行板电容器中充了两层相对介电常数分别为?r1,?r2的电介质，厚度各为 d1,d2，求该电容器的电容。
d1,?r1
d2,?r2
解：由于两层介质均匀，故场强在两介质中分别是均匀的
S1 S2
分别取如图的两个高斯柱面
1011
1
SSDSdD
S
1
0
10
1
101
rr
DED
0
同理
r20
0
20
2
2?
r
DE
)(
2
2
1
1
0
0
2211
dddEdEU
1221
2100
dd
S
U
QC
rr
rr
S
例 9-4：设内外半径为 R1,R3的同心球面组成的球形电容器，中间充以相对介电常数分别为?r1,?r2的电介质，分界面为半径为 R2
的球面，求此电容器的电容
r1
r2
R1
R3
—
+解：先求电场的空间分布
0,1 1ERr
2
2
44 r
qDrDSdD
2r
qDERrR
rr 1010
221 4,
2r
qDERrR
rr 2020
332 4,
3221 RRRRRR rdErdErdEU 3231
U
qC
3
2
2
1 2221 44
R
R
ro
R
R
ro r
qdr
r
qdr
U
321321
23111232
4 RRR
RRRRRRq
rrr
rr
23111232
321214
RRRRRR
RRR
U
qC
rr
rro
一、电容器的能量
C
qdqUdqdW
-q +q
U
+ +dq
C
Qdq
C
qdWW Q 2
0 2
1
CUQ?
QUCUCQW e 2121 2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1 CUQU
C
QW
e
电容器的电能：
9-5 电容器的能量和静电场的能量二、电场的能量，能量密度电能是储存在（定域在）电场中。
2
2
1 CUW
e?
d
SC EdU?
SdEW e 2
2
1 （电容器体积,V=Sd）
电场的能量密度,单位体积电场所具有的能量。
2
2
1 Ew
e
dVwW e
例 9-5,球形电容器带电 q，内外半径分别为 R1和 R2，
极板间充满介电常数为?的电介质。计算电场的能量。
R1
R2
rdr
解：
24 r
qD
24 r
qDE
drrdV 24
42
2
2
322
1
r
qEw
e
dVwdW ee?
21
2
2
2 11
88
2
1 RR
q
dr
r
q
dVwW
R
Ree
12
214
RR
RR
C
C
qW
e
2
2
1
21
2 11
8 RR
q
例 9-6、在真空中均匀带电的球体，半径为 R，体电荷密度为?。试求此带电体系的静电能
r
RP
解：利用高斯定理可的带电体系的电场分布
)(,3
0
1 Rr
rE
)(,3 2
0
3
2 Rrr
RE
利用静电能公式得
52
0
22
2
0
3
02
0
2
0
0
2
2
202
0
2
10
21
15
4
4)
3
(
2
4)
3
(
2
4
2
4
2
Rdrr
r
R
drr
r
drr
E
drr
E
dVdVdVW
R
R
R
R
Rr
e
Rr
e
334 Rq?
R
qW
e20
23
例 9-7 一平行板电容器其极板面积 S，间距为 d，用电源充电至两板分别带上电量 Q，现断开电源后再把两板距离拉至为 2d,求外力克服两板吸引力所做的功。
解：两板间距为 d和 2d时的电容各为
d
SC
01 d
SC
202
这时电容器储存的电能分别为
2C
QW?
2
2
2 2C
QW?
S
dQWWWA
2?
A=Fd SQF
0
2
2?
带电体系的的静电能：一般说，由多个带电体组成的体系的静电能由以下两部分组成 （ 1）每个带电体的自能，定义为让它的每一小块无限远离时电场力作的功；（ 2）各个带电体的互能，定义为令各个带电体无限远离时电场力作的功。
下面推导 N个点电荷体系的互能公式：
详见 P73
