大学物理学电子教案武警学院教学课件静电场的性质与计算
8-4 电场强度通量 高斯定理电场强度通量高斯定律高斯定律应用举例
8-5 密立根测定电子电荷的实验复 习
电荷的量子化
电荷守恒定律
库仑定律
静电场的概念
电场强度
电场强度叠加原理
电场强度的计算
8-4 电场强度通量 高斯定理
1,定义一、电场线电场线上每一点的场强的方向与该点切线方向相同,而且电场线箭头的指向表示场强的方向 。
E?q?
2、几种典型的电场线分布
E?q?
E?
q? q?
3、电场线密度定义：经过电场中任一点，作一面积元
dS，并使它与该点的场强垂直，若通过 dS面的电场线条数为 dN，则电场线密度为 dN/dS。
S
NE
d
d＝
4、静电场的电场线特点
电场线总是起始于正电荷（或来自于无穷远），终止于负电荷（或终止于无穷远），不是闭合曲线；
任何两条电场线都不能相交。
5、关于电场线的几点说明
电场线是人为画出的，在实际电场中并不存在；
电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况 ;
电场线图形可以用实验演示出来。
对于匀强电场，电场线密度处处相等，而且方向处处一致。
二、电场强度通量
1、定义通过电场中某一面的电场线的条数叫做通过这一面元的 电场强度通量 。
2、匀强电场的电通量平面 S与 B平行时
ESe＝?
平面 S与 B有夹角 θ时
co sESe＝?
en
引入 面积矢量
neSS
SeESE ne ＝
dS
dS
ne
E?
3、非均匀电场的电通量微元 dS
SdEd e
S
e SdE
对封闭曲面
S
e SdE
4、方向的规定
闭合曲面外法线方向 (自内向外 ) 为正。
0 ed
E?
ne
非闭合曲面的边界绕行方向与法向成右手螺旋法则
0 ed
E?
ne
E?
0 ed
ne
S
n
dS
E?
ne?
E?
ne?
ne?
三、高斯定律高斯（ Carl Friedrich Gauss 1777~1855）
德国数学家、
天文学家和物理学家。高斯在数学上的建树颇丰，有
“数学王子”
美称。
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：
(1)物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）
法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。
(2)光学,利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。
(3)天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。
(4)试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，
引入高斯误差曲线。
(5)高斯还创立了电磁量的绝对单位制。
1、高斯定律的内容通过任一闭合曲面的电场强度的通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 ε0，与封闭曲面外的电荷无关。
i
iSe qSdE
0
1
2、证明出发点：库仑定律和叠加原理球面上各点的场强方向与其径向相同。
球面上各点的场强大小由库仑定律给出。
通过一个与点电荷 q 同心的球面 S的电通量
neR
qE
2
04
nedSSd?
q dS
E
r
S
dSR qEd SSdEd e 2
04
1
0
2
0
2
0 44
qdS
R
qdS
R
qd
S S See
此结果与球面的半径无关。或者说，通过各球面的电场线总条数相等。 从 q发出的电场线连续的延伸到无穷远。
q
r?
E?
包围点电荷 q的任意封闭曲面 S'
q
S
S?
电场线对于任意一个闭合曲面 S’，只要电荷被包围在 S’面内，由于电场线是连续的，
在没有电荷的地方不中断，因而穿过闭合曲面 S’与 S的电场线数目是一样的。
由于 电场线的连续性 可知，穿入与穿出任一闭合曲面的电通量应该相等。所以当闭合曲面无电荷时，电通量为零。
通过不包围点电荷的任意闭合曲面的电通量为零
多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的电通量的代数和
iq
2q
1q
利用 场强叠加原理 可证
00
1
)()(
i
ii
qq
SdESdESdE
0?
dq
SdE
连续分布
q
S?
电场线
S
q
3、关于高斯定理的说明
高斯定理是反映静电场性质（ 有源性 ）的一条基本定理；
高斯定理是在 库仑定律 的基础上得出的，但它的应用范围比库仑定律更为广泛；
高斯定理中的 电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产生 的，并非只有曲面内的电荷确定；
若高斯面内的电荷的电量为零，则通过高斯面的电通量为零，
但高斯面上各点的电场强度并不一定为零；
通过任意闭合曲面的电通量只决定于它所包围的电荷的代数和，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭合面上各点处的场强大小和方向；
高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面 。
四、高斯定律应用举例高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。实际上，只有在场强分布具有一定的对称性时，才能比较方便应用高斯定理求出场强。求解的关键是选取适当的高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：
球对称分布,包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等无限大平面电荷,包括无限大的均匀带电平面，平板等。
轴对称分布,包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等；
步骤：
1.进行对称性分析,即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布
（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）；
2.根据场强分布的特点，作 适当的高斯面,要求：
①待求场强的场点应在此高斯面上，
②穿过该高斯面的电通量容易计算。
一般地，高斯面各面元的法线矢量 n与 E平行或垂直,n与
E平行时,E的大小要求处处相等，使得 E能提到积分号外面；
3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和,最后由高斯定理求出场强。
例 1、均匀带电球壳的场强。
设有一半径为 R、均匀带电为 Q的薄球壳。求球壳内部和外部任意点的电场强度。
解：以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为
ErdSESdE
SS
e
2 4
根据高斯定理，通过球面的电通量为球面内包围的电荷
0/?qe
当场点在球壳外时 Qq?
2
04 r
QE
＝
当场点在球壳内时 0?q 0＝E
高斯面高斯面
E?
Q
均匀带电球壳
R
r
E?
Q R
r结果表明,均匀带电球壳外的电场强度分布象球面上的电荷都集中在球心时所形成的点电荷在该区的电场强度分布一样。
例 2、均匀带电球体的场强。
设有一半径为 R、均匀带电为 Q的球体。
求球体内部和外部任意点的电场强度。
E?
Q
均匀带电球体
R
r
解：以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为
ErdSESdE
SS
e
2 4
根据高斯定理，通过球面的电通量为球面内包围的电荷
0/?qe
E?
Q
R r
当场点在球体外时
Qq?
2
04 r
QE
＝
当场点在球体内时
3
3
3
3 3
4
3
4 R
Qr
r
R
Q
q
3
04 R
QrE
＝
例 3、无限长均匀带电直线的场强设有一无限长均匀带电直线，电荷线密度为 λ，求距离直线为 r 处的电场强度。
解：以带电直导线为轴，作一个通过 P点，
高为 h的圆筒形封闭面为高斯面 S，通过 S
面的电通量为圆柱侧面和上、下底面三部分的通量。
E?
h
S
O
r p
下上侧面 SdESdESdESdESe
其中上、下底面的电场强度方向与面平行，电通量为零。
所以式中后两项为零。
侧面侧面 rhEdSESdEe?2
hq i?
此闭合面包含的电荷总量
hrhEe?
0
12
r
E
02
其方向沿求场点到直导线的垂线方向。正负由电荷的符号决定。
解：由于电荷分布对于求场点 P到平面的垂线 OP 是对称的，所以 P点的场强必然垂直于该平面。
例 4、无限长均匀带电平面的场强。
设有一无限长均匀带电平板，单位面积上的电荷，即电荷面密度为 σ，求距离平板为 r处的电场强度。
o
P
E?
S
ESSdESdESdESe 2 右左
电场强度的方向垂直于带电平面。
高斯面所包围的电量为
Sq
由此可知，电场强度为
0/2 SES?
由高斯定理可知
02?
E
电场强度方向离开平面0
电场强度方向指向平面0
例 5、两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场设面电荷密度分别为 σ1=+σ 和 σ2= -σ
解：该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用高斯定律。
然而每一个带电平面的场强先可用高斯定律求出,然后再用叠加原理 求两个带电平面产生的总场强。
BA
C由图可知，在 A区和 B区场强均为零。 C
区场强的方向从带正电的平板指向带负电的平板。 场强大小为一个带电平板产生的场强的两倍。
A BC
002
2
EEE C
8－ 5 密立根测定电子电荷的实验
1909年密立根测量电子电荷； 1923年获得诺贝尔物理奖。
方法：观察均匀电场中带电油滴的运动。
不加电场时油滴在重力和阻力的作用下，最后得到终极速度。
0 6 1 rvmg
r
mgv
61＝
由此式可从实验中测量油滴的质量。
加电场时油滴在重力、阻力和电场力的作用下，最后也得到终极速度。
0 6 2 qErvmg －
r
qEmgv
62
＝
因而可得油滴的电荷为
E
vvrq 216
密立根油滴实验的结果
电子电荷的值为 e=1.603× 10-19C，称为基元电荷；
油滴的电荷总是等于同一基元电荷的整数倍
q=ne,n=1,2,….,
即电荷是量子化的。
小 结
电场强度通量 高斯定理
电场线
电场强度通量
高斯定律
高斯定律应用举例
密立根测定电子电荷的实验作业：
思考题：
P49 10,13,15,16
习 题：
P52 13,15,16,20
预 习：
8-6,8-7
8-4 电场强度通量 高斯定理电场强度通量高斯定律高斯定律应用举例
8-5 密立根测定电子电荷的实验复 习
电荷的量子化
电荷守恒定律
库仑定律
静电场的概念
电场强度
电场强度叠加原理
电场强度的计算
8-4 电场强度通量 高斯定理
1,定义一、电场线电场线上每一点的场强的方向与该点切线方向相同,而且电场线箭头的指向表示场强的方向 。
E?q?
2、几种典型的电场线分布
E?q?
E?
q? q?
3、电场线密度定义：经过电场中任一点，作一面积元
dS，并使它与该点的场强垂直，若通过 dS面的电场线条数为 dN，则电场线密度为 dN/dS。
S
NE
d
d＝
4、静电场的电场线特点
电场线总是起始于正电荷（或来自于无穷远），终止于负电荷（或终止于无穷远），不是闭合曲线；
任何两条电场线都不能相交。
5、关于电场线的几点说明
电场线是人为画出的，在实际电场中并不存在；
电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况 ;
电场线图形可以用实验演示出来。
对于匀强电场，电场线密度处处相等，而且方向处处一致。
二、电场强度通量
1、定义通过电场中某一面的电场线的条数叫做通过这一面元的 电场强度通量 。
2、匀强电场的电通量平面 S与 B平行时
ESe＝?
平面 S与 B有夹角 θ时
co sESe＝?
en
引入 面积矢量
neSS
SeESE ne ＝
dS
dS
ne
E?
3、非均匀电场的电通量微元 dS
SdEd e
S
e SdE
对封闭曲面
S
e SdE
4、方向的规定
闭合曲面外法线方向 (自内向外 ) 为正。
0 ed
E?
ne
非闭合曲面的边界绕行方向与法向成右手螺旋法则
0 ed
E?
ne
E?
0 ed
ne
S
n
dS
E?
ne?
E?
ne?
ne?
三、高斯定律高斯（ Carl Friedrich Gauss 1777~1855）
德国数学家、
天文学家和物理学家。高斯在数学上的建树颇丰，有
“数学王子”
美称。
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：
(1)物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）
法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。
(2)光学,利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。
(3)天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。
(4)试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，
引入高斯误差曲线。
(5)高斯还创立了电磁量的绝对单位制。
1、高斯定律的内容通过任一闭合曲面的电场强度的通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 ε0，与封闭曲面外的电荷无关。
i
iSe qSdE
0
1
2、证明出发点：库仑定律和叠加原理球面上各点的场强方向与其径向相同。
球面上各点的场强大小由库仑定律给出。
通过一个与点电荷 q 同心的球面 S的电通量
neR
qE
2
04
nedSSd?
q dS
E
r
S
dSR qEd SSdEd e 2
04
1
0
2
0
2
0 44
qdS
R
qdS
R
qd
S S See
此结果与球面的半径无关。或者说，通过各球面的电场线总条数相等。 从 q发出的电场线连续的延伸到无穷远。
q
r?
E?
包围点电荷 q的任意封闭曲面 S'
q
S
S?
电场线对于任意一个闭合曲面 S’，只要电荷被包围在 S’面内，由于电场线是连续的，
在没有电荷的地方不中断，因而穿过闭合曲面 S’与 S的电场线数目是一样的。
由于 电场线的连续性 可知，穿入与穿出任一闭合曲面的电通量应该相等。所以当闭合曲面无电荷时，电通量为零。
通过不包围点电荷的任意闭合曲面的电通量为零
多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的电通量的代数和
iq
2q
1q
利用 场强叠加原理 可证
00
1
)()(
i
ii
SdESdESdE
0?
dq
SdE
连续分布
q
S?
电场线
S
q
3、关于高斯定理的说明
高斯定理是反映静电场性质（ 有源性 ）的一条基本定理；
高斯定理是在 库仑定律 的基础上得出的，但它的应用范围比库仑定律更为广泛；
高斯定理中的 电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产生 的，并非只有曲面内的电荷确定；
若高斯面内的电荷的电量为零，则通过高斯面的电通量为零，
但高斯面上各点的电场强度并不一定为零；
通过任意闭合曲面的电通量只决定于它所包围的电荷的代数和，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭合面上各点处的场强大小和方向；
高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面 。
四、高斯定律应用举例高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。实际上，只有在场强分布具有一定的对称性时，才能比较方便应用高斯定理求出场强。求解的关键是选取适当的高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：
球对称分布,包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等无限大平面电荷,包括无限大的均匀带电平面，平板等。
轴对称分布,包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等；
步骤：
1.进行对称性分析,即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布
（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）；
2.根据场强分布的特点，作 适当的高斯面,要求：
①待求场强的场点应在此高斯面上，
②穿过该高斯面的电通量容易计算。
一般地，高斯面各面元的法线矢量 n与 E平行或垂直,n与
E平行时,E的大小要求处处相等，使得 E能提到积分号外面；
3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和,最后由高斯定理求出场强。
例 1、均匀带电球壳的场强。
设有一半径为 R、均匀带电为 Q的薄球壳。求球壳内部和外部任意点的电场强度。
解：以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为
ErdSESdE
SS
e
2 4
根据高斯定理，通过球面的电通量为球面内包围的电荷
0/?qe
当场点在球壳外时 Qq?
2
04 r
QE
＝
当场点在球壳内时 0?q 0＝E
高斯面高斯面
E?
Q
均匀带电球壳
R
r
E?
Q R
r结果表明,均匀带电球壳外的电场强度分布象球面上的电荷都集中在球心时所形成的点电荷在该区的电场强度分布一样。
例 2、均匀带电球体的场强。
设有一半径为 R、均匀带电为 Q的球体。
求球体内部和外部任意点的电场强度。
E?
Q
均匀带电球体
R
r
解：以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为
ErdSESdE
SS
e
2 4
根据高斯定理，通过球面的电通量为球面内包围的电荷
0/?qe
E?
Q
R r
当场点在球体外时
Qq?
2
04 r
QE
＝
当场点在球体内时
3
3
3
3 3
4
3
4 R
Qr
r
R
Q
q
3
04 R
QrE
＝
例 3、无限长均匀带电直线的场强设有一无限长均匀带电直线，电荷线密度为 λ，求距离直线为 r 处的电场强度。
解：以带电直导线为轴，作一个通过 P点，
高为 h的圆筒形封闭面为高斯面 S，通过 S
面的电通量为圆柱侧面和上、下底面三部分的通量。
E?
h
S
O
r p
下上侧面 SdESdESdESdESe
其中上、下底面的电场强度方向与面平行，电通量为零。
所以式中后两项为零。
侧面侧面 rhEdSESdEe?2
hq i?
此闭合面包含的电荷总量
hrhEe?
0
12
r
E
02
其方向沿求场点到直导线的垂线方向。正负由电荷的符号决定。
解：由于电荷分布对于求场点 P到平面的垂线 OP 是对称的，所以 P点的场强必然垂直于该平面。
例 4、无限长均匀带电平面的场强。
设有一无限长均匀带电平板，单位面积上的电荷，即电荷面密度为 σ，求距离平板为 r处的电场强度。
o
P
E?
S
ESSdESdESdESe 2 右左
电场强度的方向垂直于带电平面。
高斯面所包围的电量为
Sq
由此可知，电场强度为
0/2 SES?
由高斯定理可知
02?
E
电场强度方向离开平面0
电场强度方向指向平面0
例 5、两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场设面电荷密度分别为 σ1=+σ 和 σ2= -σ
解：该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用高斯定律。
然而每一个带电平面的场强先可用高斯定律求出,然后再用叠加原理 求两个带电平面产生的总场强。
BA
C由图可知，在 A区和 B区场强均为零。 C
区场强的方向从带正电的平板指向带负电的平板。 场强大小为一个带电平板产生的场强的两倍。
A BC
002
2
EEE C
8－ 5 密立根测定电子电荷的实验
1909年密立根测量电子电荷； 1923年获得诺贝尔物理奖。
方法：观察均匀电场中带电油滴的运动。
不加电场时油滴在重力和阻力的作用下，最后得到终极速度。
0 6 1 rvmg
r
mgv
61＝
由此式可从实验中测量油滴的质量。
加电场时油滴在重力、阻力和电场力的作用下，最后也得到终极速度。
0 6 2 qErvmg －
r
qEmgv
62
＝
因而可得油滴的电荷为
E
vvrq 216
密立根油滴实验的结果
电子电荷的值为 e=1.603× 10-19C，称为基元电荷；
油滴的电荷总是等于同一基元电荷的整数倍
q=ne,n=1,2,….,
即电荷是量子化的。
小 结
电场强度通量 高斯定理
电场线
电场强度通量
高斯定律
高斯定律应用举例
密立根测定电子电荷的实验作业：
思考题：
P49 10,13,15,16
习 题：
P52 13,15,16,20
预 习：
8-6,8-7
