大学物理学电子教案武警学院教学课件电势及其计算
8-6 静电场的环路定理 电势能
8-7 电势复 习
8－ 4 电场强度通量 高斯定理
电场线
电场强度通量
高斯定律
高斯定律应用举例
8－ 5 密立根测定电子电荷的实验一、静电场力所作的功
8-6 静电场的环路定理 电势能点电荷 q固定于原点 O，试验电荷 q0
在 q的电场中由 A点沿任意路径 ACB
到达 B点，取微元 dl，电场力对 q0的元功为
Br
B
Ar
A
1、点电荷电场
q
C
r?
r
dr
ld?
re
E
ldEqldFdW 0
rer
qE
2
04
1
drrqqlderqqdW r 2 0
0
2
0
0 4
1
4
1
)11(
44 0
0
2
0
0
BA
r
r rr
qqdr
r
qqW B
A
在点电荷的非匀强电场中，电场力对试验电荷所作的功与其移动时起始位置与终了位置有关，
与其所经历的路径无关。
2、任意带电体电场任意带电体都可以看成由许多点电荷组成的点电荷系，根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷场强的叠加
21 EEE
任意点电荷系的电场力所作的功为
lll
ldEqldEqldEqW 20100
每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与路径无关。
3、结论在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场力对它所作的功，仅与试验电荷的电量,起始与终了位置有关,
而与试验电荷所经过的路径无关。
静电场力也是保守力，静电场是保守场。
二、静电场的环路定理在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移到一周时，电场力所作的功为
ll
ldEqldEqW 00 ＝＝ A
B
C
D
C D AA B C
ldEqldEqW 00＝
A D CC D A
ldEldE
A B CA D C
ldEqldEq 00
00 ＝＝ ldEqW
0＝ ldE
电场力作功与路径无关定义,电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电场强度的环流。
静电场环路定理,在静电场中，
电场强度的环流为零。
三、电势能电荷在电场的一定位置上，具有一定的能量，叫做 电势能 。
A
B
静电场力对电荷所作的功等于电势能增量的负值。
PBPAPAPBAB EEEEW )(
PBPAAB EEldEq
0
电势能的参考点选择也是任意的，若 EPB=0，则电场中 A
点的电势能为：
ABPA ldEqE0 结论：试验电荷 q0在电场中点 A的电势能，在取值上等于把它从点 A
移到到零电势能处的电场力所作的功。
8－ 7 电势一、电势
1、电势比值 (EpA-EPB)/ q0与 q0无关，只决定于电场的性质及场点的位置，所以这个比值是反映电场本身性质的物理量，
可以称之为 电势静电场中带电体所具有的电势能与该带电体的电量的比值定义为电势。
0/ qWV PAA? 0/ qWV PBB?
BABA VldEV
当电荷分布在有限空间时，无限远处的电势能和电势为零
AA ldEV
电场中某点的电势在数值上等于放在该点的单位正电荷的电势能
电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷从该点移到势能为零的点时，电场力所作的功。
2、说明：
电势是标量，有正有负；
电势的单位：伏特 1V=1J.C-1；
电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；
在实际工作中，通常选择地面的电势为零。
但是对于“无限大”或“无限长”的带电体，只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差 在静电场中，任意两点 A和点 B之间的电势之差，称为 电势差,也叫 电压 。
ABBAAB ldEVVU
静电场中任意两点 A,B之间的电势差，在数值上等于把单位正电荷从点 A移到点 B时，静电场力所作的功。
BAAB
B
A
VVqUqldEqW 000
三、电势叠加原理
1、点电荷系电场的电势电场由几个点电荷 q1,q2,…,qn
产生
iEE
ii
i
VldE
ldEldEV
＝＝
点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该点的电势的代数和。这个结论叫做静电场的 电势叠加原理 。
2、连续分布电荷电场的电势
P
r
dq
r
dqdV
04
rdqV
04
线分布
l rdlV
04
面分布
S rdSV
04
体分布
V rdVV
04
二、点电荷电场的电势
r
qdr
r
qldEV
rr 0
2
0 44
正电荷的电势为正，离电荷越远，电势越低；
负电荷的电势为负，离电荷越远，电势越高。
3、电势的计算计算电势的方法有两种：
利用电势的定义式
BABA VldEV
要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限的空间时，
才能选无穷远点的电势为零；
积分路径上的电场强度的函数形式要求已知或可求。
利用电势的叠加原理
rdqV
04
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，在场中选择某点为电势的零点。
步骤：
(1)先算场强
(2)选择合适的路径 L
(3) 积分 (计算 )
步骤
(1)把带电体?分为无限多 dq
(2)由 dq? d?
(3)由 d =? d?
例题 1，均匀带电圆环轴线的电势。
x
R
r
P
qd
已知电荷 q 均匀地分布在半径为 R的圆环上，
求圆环的轴线上与环心相距 x 的点的电势。
解：在圆环上取一电荷元
dlRqdq?2?
它在场点的电势为
dlRqrrdqdV 24 14
00
积分得场点的电势为
22000 4
1
424
1
xR
q
r
qdl
R
q
rV l
O x
例题 2，均匀带电圆盘轴线的电势。
已知电荷 q均匀地分布在半径为 R的圆盘上，
求圆盘的轴线上与盘心相距 x的点的电势。
x
R
r
P
qd
解：在圆盘上取一半径为 r，宽度为 dr
的圆环，其电量为 dq=σ2πrdr，在场点的电势为
220220 22
1
4
1
rx
r d rr d r
rxdV
积分得场点的电势为
xax
rx
r drV a
22
00
22
0 22?
当 x>>a时 )2/(222 xaxax
x
q
x
a
a
q
x
aV
0
2
0
2
2
0 42222
把圆盘当作一个点电荷例题 3，均匀带电球体的电势。
已知电荷 q均匀地分布在半径为 R的球体上，求空间各点的电势。
解：由高斯定理可求出电场强度的分布
Rr
R
qr
Rr
r
q
E
4
4
3
0
2
0
＝ 方向沿径向当 r>R时
r
qdr
r
qV
r 0
2
0 44
＝
当 r≤R时
R
q
R
rRqdr
r
qdr
R
qrV
R
R
r 0
3
0
22
2
0
3
0 48
)(
44
＝
例题 4，均匀带电球壳的电势。
已知电荷 q均匀地分布在半径为 R的球壳上，求空间各点的电势。
解：由高斯定理可求出电场强度的分布
Rr
Rr
r
q
E
0
4 20＝
方向沿径向当 r>R时
r
qdr
r
qV
r 0
2
0 44
＝
当 r≤R时
R
qdr
r
qdrV
R
R
r 0
2
0 44
0
＝
R r
V
例题 5，求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。
rE 02
解,假设电荷线密度为?，则 场强为,
drrldEU Br
r
B
P
02
r
r Bln
2 0
由此例看出，当电荷分布扩展到无穷远时，
电势零点不能再选在无穷远处。
若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线为 rB的 B点为电势零点，则距带电直线为 r的 P点的电势：
P
B
Br
r
方向垂直于带电直线。
小 结
8－ 6 静电场的环路定理 电势能
静电场力所作的功
静电场的环路定理
电势能
8－ 7 电势
电势
点电荷电场的电势
电势叠加原理 作业：
思考题,P50 24,25
习 题,P54 23,25,26
预 习,8-8,8-9
8-6 静电场的环路定理 电势能
8-7 电势复 习
8－ 4 电场强度通量 高斯定理
电场线
电场强度通量
高斯定律
高斯定律应用举例
8－ 5 密立根测定电子电荷的实验一、静电场力所作的功
8-6 静电场的环路定理 电势能点电荷 q固定于原点 O，试验电荷 q0
在 q的电场中由 A点沿任意路径 ACB
到达 B点，取微元 dl，电场力对 q0的元功为
Br
B
Ar
A
1、点电荷电场
q
C
r?
r
dr
ld?
re
E
ldEqldFdW 0
rer
qE
2
04
1
drrqqlderqqdW r 2 0
0
2
0
0 4
1
4
1
)11(
44 0
0
2
0
0
BA
r
r rr
qqdr
r
qqW B
A
在点电荷的非匀强电场中，电场力对试验电荷所作的功与其移动时起始位置与终了位置有关，
与其所经历的路径无关。
2、任意带电体电场任意带电体都可以看成由许多点电荷组成的点电荷系，根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷场强的叠加
21 EEE
任意点电荷系的电场力所作的功为
lll
ldEqldEqldEqW 20100
每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与路径无关。
3、结论在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场力对它所作的功，仅与试验电荷的电量,起始与终了位置有关,
而与试验电荷所经过的路径无关。
静电场力也是保守力，静电场是保守场。
二、静电场的环路定理在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移到一周时，电场力所作的功为
ll
ldEqldEqW 00 ＝＝ A
B
C
D
C D AA B C
ldEqldEqW 00＝
A D CC D A
ldEldE
A B CA D C
ldEqldEq 00
00 ＝＝ ldEqW
0＝ ldE
电场力作功与路径无关定义,电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电场强度的环流。
静电场环路定理,在静电场中，
电场强度的环流为零。
三、电势能电荷在电场的一定位置上，具有一定的能量，叫做 电势能 。
A
B
静电场力对电荷所作的功等于电势能增量的负值。
PBPAPAPBAB EEEEW )(
PBPAAB EEldEq
0
电势能的参考点选择也是任意的，若 EPB=0，则电场中 A
点的电势能为：
ABPA ldEqE0 结论：试验电荷 q0在电场中点 A的电势能，在取值上等于把它从点 A
移到到零电势能处的电场力所作的功。
8－ 7 电势一、电势
1、电势比值 (EpA-EPB)/ q0与 q0无关，只决定于电场的性质及场点的位置，所以这个比值是反映电场本身性质的物理量，
可以称之为 电势静电场中带电体所具有的电势能与该带电体的电量的比值定义为电势。
0/ qWV PAA? 0/ qWV PBB?
BABA VldEV
当电荷分布在有限空间时，无限远处的电势能和电势为零
AA ldEV
电场中某点的电势在数值上等于放在该点的单位正电荷的电势能
电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷从该点移到势能为零的点时，电场力所作的功。
2、说明：
电势是标量，有正有负；
电势的单位：伏特 1V=1J.C-1；
电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；
在实际工作中，通常选择地面的电势为零。
但是对于“无限大”或“无限长”的带电体，只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差 在静电场中，任意两点 A和点 B之间的电势之差，称为 电势差,也叫 电压 。
ABBAAB ldEVVU
静电场中任意两点 A,B之间的电势差，在数值上等于把单位正电荷从点 A移到点 B时，静电场力所作的功。
BAAB
B
A
VVqUqldEqW 000
三、电势叠加原理
1、点电荷系电场的电势电场由几个点电荷 q1,q2,…,qn
产生
iEE
ii
i
VldE
ldEldEV
＝＝
点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该点的电势的代数和。这个结论叫做静电场的 电势叠加原理 。
2、连续分布电荷电场的电势
P
r
dq
r
dqdV
04
rdqV
04
线分布
l rdlV
04
面分布
S rdSV
04
体分布
V rdVV
04
二、点电荷电场的电势
r
qdr
r
qldEV
rr 0
2
0 44
正电荷的电势为正，离电荷越远，电势越低；
负电荷的电势为负，离电荷越远，电势越高。
3、电势的计算计算电势的方法有两种：
利用电势的定义式
BABA VldEV
要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限的空间时，
才能选无穷远点的电势为零；
积分路径上的电场强度的函数形式要求已知或可求。
利用电势的叠加原理
rdqV
04
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，在场中选择某点为电势的零点。
步骤：
(1)先算场强
(2)选择合适的路径 L
(3) 积分 (计算 )
步骤
(1)把带电体?分为无限多 dq
(2)由 dq? d?
(3)由 d =? d?
例题 1，均匀带电圆环轴线的电势。
x
R
r
P
qd
已知电荷 q 均匀地分布在半径为 R的圆环上，
求圆环的轴线上与环心相距 x 的点的电势。
解：在圆环上取一电荷元
dlRqdq?2?
它在场点的电势为
dlRqrrdqdV 24 14
00
积分得场点的电势为
22000 4
1
424
1
xR
q
r
qdl
R
q
rV l
O x
例题 2，均匀带电圆盘轴线的电势。
已知电荷 q均匀地分布在半径为 R的圆盘上，
求圆盘的轴线上与盘心相距 x的点的电势。
x
R
r
P
qd
解：在圆盘上取一半径为 r，宽度为 dr
的圆环，其电量为 dq=σ2πrdr，在场点的电势为
220220 22
1
4
1
rx
r d rr d r
rxdV
积分得场点的电势为
xax
rx
r drV a
22
00
22
0 22?
当 x>>a时 )2/(222 xaxax
x
q
x
a
a
q
x
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0
2
0
2
2
0 42222
把圆盘当作一个点电荷例题 3，均匀带电球体的电势。
已知电荷 q均匀地分布在半径为 R的球体上，求空间各点的电势。
解：由高斯定理可求出电场强度的分布
Rr
R
qr
Rr
r
q
E
4
4
3
0
2
0
＝ 方向沿径向当 r>R时
r
qdr
r
qV
r 0
2
0 44
＝
当 r≤R时
R
q
R
rRqdr
r
qdr
R
qrV
R
R
r 0
3
0
22
2
0
3
0 48
)(
44
＝
例题 4，均匀带电球壳的电势。
已知电荷 q均匀地分布在半径为 R的球壳上，求空间各点的电势。
解：由高斯定理可求出电场强度的分布
Rr
Rr
r
q
E
0
4 20＝
方向沿径向当 r>R时
r
qdr
r
qV
r 0
2
0 44
＝
当 r≤R时
R
qdr
r
qdrV
R
R
r 0
2
0 44
0
＝
R r
V
例题 5，求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。
rE 02
解,假设电荷线密度为?，则 场强为,
drrldEU Br
r
B
P
02
r
r Bln
2 0
由此例看出，当电荷分布扩展到无穷远时，
电势零点不能再选在无穷远处。
若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线为 rB的 B点为电势零点，则距带电直线为 r的 P点的电势：
P
B
Br
r
方向垂直于带电直线。
小 结
8－ 6 静电场的环路定理 电势能
静电场力所作的功
静电场的环路定理
电势能
8－ 7 电势
电势
点电荷电场的电势
电势叠加原理 作业：
思考题,P50 24,25
习 题,P54 23,25,26
预 习,8-8,8-9
