第 1 章 静止电荷的电场
一, 电荷
二, 库仑定律
三, 电场
四, 点电荷电场强度
五, 电场线和电通量
六, 高斯定律
七, 高斯定律应用举例
一,电荷
1.带电
?公元前约 585年希腊学者 泰勒斯 观察到用布
摩擦过的 琥珀 能吸引轻微物体 。
?,电, (electricity) 希腊文 琥珀 。
?把带电体所带的电称为 电荷 。
一,电荷
?英国的威廉 · 吉尔伯特在 1600年出版的, 论
磁, 磁体和地球作为一个巨大的磁体, 一书中
描述了对电现象所做的研究, 把琥珀, 金刚石,
蓝宝石, 硫磺, 树脂等物质摩擦后会吸引轻小
物体的作用称为, 电性, 。
一,电荷
2.电荷的种类
?电荷有两种,正 电, 负 电 。
1750 年, 美 国 物 理 学 家 富兰克林
（ B.FrankLin)首先命名 。
?同性电荷相斥, 异性电荷相吸 。
?带电体所带电荷的多少叫 电量 。
单位,库仑 （ C） 。
一,电荷
3.物质的电结构理论
?物质由原子组成, 原子由原子核和核外电子
组成, 原子核又由中子和质子组成 。 中子不带
电, 质子带正电, 电子带负电 。 质子数和电子
数相等, 原子呈 电中性 。
一,电荷
?物体带电的本质是两种物体间发生了电子的
转移 。 即一物体失去电子带正电, 另一物体得
到电子带负电 。
?一个带电体所带总电量为其所带正负电的代
数和 。
?电荷是实物粒子的一种属性, 它描述了实物
粒子的电性质 。
一,电荷
4.电荷的量子性
?实验证明, 在自然界中, 电荷总是以一个 基
本单元 的整数倍出现,
即
neq ? ?,3,2,1?n
?电荷的这种只能取分立的, 不连续量值的特
性叫做电荷的 量子性 。
一,电荷
?1890年 斯通尼 引入了, 电子, (electron)这
一名称来表示带有负的基元电荷的粒子 。
?电荷的基本单元
Ce 19106 0 2.1 ???
?1913年 密立根 设计了有名的 油滴试验, 直接
测定了此基元电荷的量值 。
一,电荷
?许多基本粒子都带有正的或负的基元电荷 。
微观粒子所带的基元电荷数常叫做它们各自的
电荷数, 都是正整数或负整数 。
?近代物理从理论上预言基本粒子由若干种 夸
克 或反夸克组成, 每一个夸克或反夸克带有的
电量为：
?至今尚未从实验中直接发现单独存在的夸克
或反夸克, 仅在一些间接的实验中得到验证 。
ee 3231 ?? 或
一,电荷
5.电荷的连续分布
?电磁现象的宏观规律
大量电荷
电荷在带电体上连续分布
一,电荷
6.电荷守恒定律
?由摩擦生电的实验可见, 当一种电荷出现时,
必然有相等量值的异号电荷同时出现；一种电
荷消失时, 必然有相等量值的异号电荷同时消
失 。
因此, 在孤立系统中, 不管其中的电荷如何迁
移, 系统的电荷的代数和保持不变, 这就是 电
荷守恒定律 。
一,电荷
?现代物理研究已表明, 在粒子的相互作用过
程中, 电荷是可以产生和消失的 。 然而电荷守
恒并未因此而遭到破坏 。
?电子对的, 产生,
?电子对的, 湮灭, ?2?? ?? ee
?? ?? ee)( 光子?
正电子
一,电荷
7.电荷的相对论不变性
?实验表明, 电荷的电量与它的运动状态无关 。
?在不同的参考系中, 同一带电粒子的电量不
变 。
二、库仑定律
1.点电荷
?当一个带电体本身的线度比所研究的问题中
所涉及的距离小得多时, 该带电体的形状与电
荷在其上的分布状况均无关紧要, 该带电体就
可看作为一个带电的点, 叫做 点电荷 。
电子
质子
二、库仑定律
2.库仑定律
?实验表明：在真空中, 两个静止的点电荷之
间的相互作用力, 其大小与它们电荷的乘积成
正比, 与它们之间距离的二次方成反比；作用
力的方向沿着两点电荷的连线, 同号电荷相斥,
异号电荷相吸 。
二、库仑定律
2
21
21
21 r
qqF ?
2
21
21
0
21 4
1
r
qqF
???
? 称为 真空电容率 。
212120 1085.8 ????? mNC?
212
21
21
0
21 4
1
rer
qqF ??
???
单位制的有理化
q1
q2
r21
21F
?
12F
?
21re?
二、库仑定律
?当 q1 和 q2 同号时, 作用力表现为排斥力；
当 q1 和 q2 异号时, 表现为吸引力 。
?静止电荷间的电作用力, 又称为 库仑力 。
212
21
21
0
21 4
1
rer
qqF ??
???
?两静止点电荷之间的库仑力遵守牛顿第三定
律 。
1221 FF
?? ??
二、库仑定律
?例题
书 P.10
?实验证实, 库仑定律在 r 从
广大范围内正确有效 。
m1717 1010 ??
二、库仑定律
3.电力的叠加原理
?两个点电荷之间的作用力并不因为第三个点
电荷的存在而有所改变 。 这就是 电力的叠加原
理 。
电荷之间的库伦作用力服从力的矢量合成法则 。
三、电场
1.场的基本概念
?所谓, 场, 是指某种物理量在空间的一种分
布 。?物理上的, 场, 是指物质存在的一种特殊形
态 。 实物和场是物质的两种存在形态 。
?实物是由原子分子组成的, 一种实物占据的
空间, 不能同时被其他实物所占据 。
?场是一种弥漫在空间的特殊物质, 它遵从叠
加性, 即一种场占据的空间, 能为其他场同时
占有, 互不发生影响 。
三、电场
2.静电场
?超
电场 q
2q1
?超距作用和近距作用（场的观点）
?电荷在其周围空间产生 电场,电场对
处于其中的其他电荷施以 电场力 的作
用 。
三、电场
0q
FE
??
?
3.电场强度
q0 →0,几何线度 → 0,q0 > 0
?进入电场的任何带电体都将受到电场
的作用力。
?试探电荷 q0 的条件：
?电场强度的矢量定义
三、电场
0q
FE
??
?
?在已知电场强度分布的
电场中, 电荷 q 在场
中某点处所受的力为 EF ?? q?
?电场强度的单位：
牛顿 /库仑 (N?C-1)
?电场强度是由电场本身的性质决定的，
与试探电荷无关。
四、点电荷电场强度
1.单个点电荷的电场
rer
qq ??
2
0
04
1
???F q
q0
+
E?
q
q0
-
E?
rer
q ??
2
04
1
???E
四、点电荷电场强度
2.场强叠加原理
??
i
iEE
??
i0i EqF
?? ?
?? ??
i
i
i
i EqFF
???
0
Eq ?0?
四、点电荷电场强度
3.任意带电体的电场
?? rerdqE ?? 2
04
1
??
rer
dqEd ??
2
04
1
???
?任何带电体都可以看成是
许多电荷元的集合，在电场
中任一场点 P 处，每一电荷
元在 P 点产生的场强为
?整个带电体在 P 点的场强为,
四、点电荷电场强度
4.例题
?例 1,（ 均匀带电圆环轴线上一点的场强 ） 试
计算均匀带电圆环轴线上任一给定点 P 处的场
强, 设圆环半径为 R,圆环所带电量为 q,P 点
与环心的距离为 x 。
?解：建立如图坐标系,
取电荷元 dq 为
dlRqdldq ?? 2??
四、点电荷电场强度
dq 在 P 点产生
的场强大小为,204 1 rdqdE ???
各 dq 在 P 点产生的场强大小相等, 方
向各异 。
四、点电荷电场强度
由对称性可知：
??? EdEdEd
???
//
0?? ? ?? EdE ??
四、点电荷电场强度
?? //EdE P ?
2
0
2
02
0 4
c o s
4
c o s
r
qdl
r
R
??
?
??
?? ? ?? ?
2/322
0 )(4
1
Rx
qx
?? ??
?? 2
04
c o s
r
dq
??
??? dE?c o s
R
q
?? 2?
四、点电荷电场强度
讨论：
?当 x >>R 时,
?PE
2/322
0 )(4
1
Rx
qx
???
? 当 x = 0 时,
0?PE
?相当于全部电荷集中在环心的一个点电荷
所产生的电场 。
2
04
1
x
q
???
四、点电荷电场强度
例 2,（ 均匀带电薄圆盘的电场 ） 设有
一均匀带电薄圆盘, 半径为 R,单位面积
所带电量为 σ, 试计算圆盘轴线上场强
的分布 。
四、点电荷电场强度
解：建立如图坐标系, 在轴上任取一点 P
。 将圆盘分成许多半径连续变化的同心
带电细圆环, 求它们在 P 点产生的场强
的矢量和 。
四、点电荷电场强度
任取半径为 ρ, 宽度为 dρ 的细圆环, 其
电荷元为：
dSdq ??
???? dRq 22?
??2
?d
四、点电荷电场强度
dq 在 P点产生的场强的大小为：
2/322
0 )(4
1
??? ?? x
x d qdE
P 2/322
0 )(
2
4
1
?
????
?? ?? x
dx
四、点电荷电场强度
?? ??? RPP x dxdEE 0 2/322
0 )(
2
4
1
?
????
??
??
?
??
?
?
?? 2/122
0 )(
1
2 xR
x
?
?
四、点电荷电场强度
讨论：
?当 x <<R 时,
02?
??
PE
为无限大均匀带电
平板附近的电场分
布，是匀强电场。
0)( 2/122 ?? xR x
四、点电荷电场强度
如果将两块无限大平板平行放置，板间距离
远小于板面线度，当两板带等量异号电荷，
面密度为 σ 时，
000 22 ?
?
?
?
?
? ???
BA EEE ??
两板内侧场强为
两板外侧场强为 0???
BA EEE
四、点电荷电场强度
2
0
2
2
0 4
1
2
111
2 x
q
x
RE
???
? ?
?
?
?
?
?
? ??? ）（
2/1
2
22/122
)1(
1
)(
x
RxR
x
?
?
?
2
2
2
11
x
R??
?当 x >>R 时,
相当于电荷集中在盘心的一个点电荷所
产生的电场 。
四、点电荷电场强度
例 P.17
?规定：
（ 1） 曲线上每一点的切线方向表示该点场强
的方向；
五、电场线和电通量
1,电场线
?规定：
（ 2） 曲线的疏密表示该点场强的大小, 即该点
附近垂直于电场方向的单位面积所通过的电力
线条数满足
五、电场线和电通量
?
??
dS
dE e
垂直于电场方
向上的面积元
:?dS
通过面积元的电力线条数:ed?
?特点：
（ 1） 电场线总是始于正电荷, 终止于负电荷,
在真空中和无电荷处不中断 。
（ 2） 不形成闭合曲线；
（ 3） 任何两条电场线都不能相交 。
（ 4） 电力线密集处电场强, 电力线稀疏处电场
弱 。
五、电场线和电通量
?电力线图例,
五、电场线和电通量
?通过电场中某一个面的电场线总数叫做通过
这个面的 电场强度通量 。
五、电场线和电通量
2,电通量
其中 θ为面元 dS
的法线与 E 的夹
角, 则 cos?dS 即
是 dS 在垂直于 E
方向上的投影面
积 。
ne?
dS
E?
?co sE d SE d Sd e ??? ?
五、电场线和电通量
SdEE d Sd e ?? ???? ?c o s
S
ne?
ne?
E? E?
dSeSd n?? ?
令
?? ??? Se SE ?? d
对闭合曲面，规定 法线 的方向指向曲面外部，
则通过整个闭合曲面 S 的电通量
ne?
五、电场线和电通量
S
ne?
ne?
E? E?
:0,2 ??? ed??
:0,2 ??? ed??
电场线从曲面内部穿出
电场线穿入曲面内部
?? ??? Se SE ?? d
也就是 净穿出闭合曲面 的电场线的总条数。
dSEd e ?co s??
六、高斯定律
1,点电荷的电场
?点电荷 q 处于半径为 r 的
球面中心时, 通过闭合曲面
S 的电通量
0
2
2
0
2
0
2
0
4
4
1
4
1
4
1
?
?
??
????
q
r
r
q
r
q
r
q
SE
SS
SS
e
??
??
????
????
????
dSdS
E d Sd
?
r
q S
Een ??
六、高斯定律
q 不在球心时, 从 q 发出的电场线仍会全部穿
出球面 S,并且, 即使 S 不是球面而使任意闭
合曲面时也是如此, 故
0?
qSE
S
????
??
d
对包含电荷 q 的任意闭合
曲面都成立。
六、高斯定律
任意闭合曲面内有多个点电荷时, 由场强叠加
原理
??
i
iEE
??
故
????S SE ?? d ?? ? ?
S i SE
?? d
i
0?
?
? ?? ??? i
i
i
S
q
SE
??
di
六、高斯定律
?闭合曲面外的电荷电场线穿入 S 后又从 S 穿
出, 故其对 S 面的 净 电通量为零 。
q
S
六、高斯定律
2.高斯定理
在真空中的静电场中,通过任意闭合曲面 S 的
电通量，等于该闭合曲面所包围的全部电量的代
数和除以 ε 0，而与 S 外的电荷无关。
??? ??
内S
iS qSE
0
1
?
??
d
闭合曲面 S 通常称为 高斯面 。
六、高斯定律
3.对高斯定理 的理解
（ 1） 闭合曲面上各点的场强是闭合面内, 外全
部电荷共同产生的合场强, 而非仅由闭合面内电
荷所产生 。
（ 2） 高斯定理表明通过闭合曲面的电通量与闭
合曲面所包围的电荷之间的量值关系, 而非闭合
曲面上的电场强度与闭合面包围的电荷之间的关
系 。
六、高斯定律
（ 3） 通过闭合曲面的总电通量只由它所包围的
电荷所决定 。 闭合面外的电荷对总通量无贡献 。
（ 4） 若闭合曲面内存在正 （ 负 ） 电荷, 则通过
闭合曲面的电通量为正 （ 负 ）, 表明有电场线从
面内 （ 面外 ） 穿出 （ 穿入 ） 。
（ 5） 若闭合曲面内没有电荷, 则通过闭合曲面
的电通量为零, 意味着有多少电场线穿入就有多
少电场线穿出, 说明在没有电荷的区域内电场线
不会中断 。
六、高斯定律
（ 6） 高斯定理与库仑定律并不是互相独立的规
律, 而是用不同形式表示的电场与源电荷关系的
同一客观规律：
库仑定律把场强和电荷直接联系起来,
高斯定理将场强的通量和某一区域内的电荷联系
在一起 。
库仑定律只适用于静电场, 而高斯定理不仅适用
于静电场, 也适用于变化的电场 。
七、高斯定律应用举例
1,应用高斯定律的要点
?利用高斯定理, 可简洁地求得具有 对称性 的带
电体场源 （ 如球型, 圆柱形, 无限长和无限大平
板型等 ） 的空间场强分布 。 计算的关键在于依据
对称性选取合适的闭合 高斯面, 以便能够把积分
进行下去, 最终求得电场强度 。
七、高斯定律应用举例
2,应用高斯定律
例题 1：求无限大均匀带电平面的场强分布, 已
知面电荷密度为 σ 。
解,由电荷分布对称性
可知, 与带电面等距离
处的场强大小均相等,
方向垂直平面 。
+σ
E? E?
七、高斯定律应用举例
取高斯面为 柱面, 其 +σ
E? E?
SS1 S2
侧面,与带电平面垂直
底面, S1 和 S2与平面平
行且等距离
??? ??
内S
iS qSE
0
1
?
??
d
七、高斯定律应用举例
0
0
2121
2
2
?
?
?
?
?
?
????
E
S
ES
EEESSS
故
有
????S SE d?
0
22110 ?
? SSESE ????
?????? ????? 21 SS SESESE ?????? ddd 21侧面
+σ
E? E?
SS1 S2
七、高斯定律应用举例
例题 2,已知半径为 R, 带电量为 q 的均匀带
电球面, 求空间场强分布 。
解,由对称性分析知, 的分布
为球对称, 即离开球心距离为 r
处各点的场强大小相等, 方向
沿各自的矢径方向 。
E?
以 O 为球心，过 P 点作半径为 r 的闭合球面
S（高斯面），各点处面积元的法线方向与该点
处的 方向相同。E?
七、高斯定律应用举例
? r ? R 时
????S SE ?? d ??SEd S
24 rE ??
??? SdSE
0?
q?
2
04
1
r
qE
????
七、高斯定律应用举例
? r < R 时
?? ?S SE ?? d 24 rE ?? 0
0
?? ?q
0?? E
? E ? r 曲线
?内部场强处处为零；外
部场强分布与将球面上
电荷集中于球心的点电
荷场强分布相同；场强
分布在球面处不连续,
产生突变 。
七、高斯定律应用举例
例题 3,求无限长均匀带电直线的空间电场分布
。 已知直线上线电荷密度为 λ 。
解, 由对称性分析, 分布
为轴对称性, 即与带电直线
距离相等的同轴圆柱面上各
点场强大小相等, 方向均沿
径向 。
E?
作过 P 点以带电直线为轴, 半径为 r,高为 l
的圆柱形高斯面 S 。
七、高斯定律应用举例
通过 S 的电通量为
????S SE d? ?????? ????? 下底上底侧面 SESESE ?????? ddd 21
00 ??? ?? 侧面 SE d
??? 侧面 SE d
rl E ?2?
0?
?l?
rE
?
?? 02
1??
七、高斯定律应用举例
例 P.32
七、高斯定律应用举例
3,应用高斯定律 解题的步骤
（ 1） 根据电荷分布的对称性分析电场分布的对
称性 。
（ 2） 在待求区域选取合适的封闭积分曲面 （ 称
为 高斯面 ） 。
要求：
曲面必须通过待求场强的点, 曲面要简单易计
算面积；
七、高斯定律应用举例
面上或某部分曲面上各点的法线与该处的电场
方向一致或垂直或是成恒定角度, 以便于计算
。
（ 3） 应用高斯定律求出电场的大小 。
（ 4） 说明电场的方向 。
面上或某部分曲面上各点的场强大小相等；
一, 电荷
二, 库仑定律
三, 电场
四, 点电荷电场强度
五, 电场线和电通量
六, 高斯定律
七, 高斯定律应用举例
一,电荷
1.带电
?公元前约 585年希腊学者 泰勒斯 观察到用布
摩擦过的 琥珀 能吸引轻微物体 。
?,电, (electricity) 希腊文 琥珀 。
?把带电体所带的电称为 电荷 。
一,电荷
?英国的威廉 · 吉尔伯特在 1600年出版的, 论
磁, 磁体和地球作为一个巨大的磁体, 一书中
描述了对电现象所做的研究, 把琥珀, 金刚石,
蓝宝石, 硫磺, 树脂等物质摩擦后会吸引轻小
物体的作用称为, 电性, 。
一,电荷
2.电荷的种类
?电荷有两种,正 电, 负 电 。
1750 年, 美 国 物 理 学 家 富兰克林
（ B.FrankLin)首先命名 。
?同性电荷相斥, 异性电荷相吸 。
?带电体所带电荷的多少叫 电量 。
单位,库仑 （ C） 。
一,电荷
3.物质的电结构理论
?物质由原子组成, 原子由原子核和核外电子
组成, 原子核又由中子和质子组成 。 中子不带
电, 质子带正电, 电子带负电 。 质子数和电子
数相等, 原子呈 电中性 。
一,电荷
?物体带电的本质是两种物体间发生了电子的
转移 。 即一物体失去电子带正电, 另一物体得
到电子带负电 。
?一个带电体所带总电量为其所带正负电的代
数和 。
?电荷是实物粒子的一种属性, 它描述了实物
粒子的电性质 。
一,电荷
4.电荷的量子性
?实验证明, 在自然界中, 电荷总是以一个 基
本单元 的整数倍出现,
即
neq ? ?,3,2,1?n
?电荷的这种只能取分立的, 不连续量值的特
性叫做电荷的 量子性 。
一,电荷
?1890年 斯通尼 引入了, 电子, (electron)这
一名称来表示带有负的基元电荷的粒子 。
?电荷的基本单元
Ce 19106 0 2.1 ???
?1913年 密立根 设计了有名的 油滴试验, 直接
测定了此基元电荷的量值 。
一,电荷
?许多基本粒子都带有正的或负的基元电荷 。
微观粒子所带的基元电荷数常叫做它们各自的
电荷数, 都是正整数或负整数 。
?近代物理从理论上预言基本粒子由若干种 夸
克 或反夸克组成, 每一个夸克或反夸克带有的
电量为：
?至今尚未从实验中直接发现单独存在的夸克
或反夸克, 仅在一些间接的实验中得到验证 。
ee 3231 ?? 或
一,电荷
5.电荷的连续分布
?电磁现象的宏观规律
大量电荷
电荷在带电体上连续分布
一,电荷
6.电荷守恒定律
?由摩擦生电的实验可见, 当一种电荷出现时,
必然有相等量值的异号电荷同时出现；一种电
荷消失时, 必然有相等量值的异号电荷同时消
失 。
因此, 在孤立系统中, 不管其中的电荷如何迁
移, 系统的电荷的代数和保持不变, 这就是 电
荷守恒定律 。
一,电荷
?现代物理研究已表明, 在粒子的相互作用过
程中, 电荷是可以产生和消失的 。 然而电荷守
恒并未因此而遭到破坏 。
?电子对的, 产生,
?电子对的, 湮灭, ?2?? ?? ee
?? ?? ee)( 光子?
正电子
一,电荷
7.电荷的相对论不变性
?实验表明, 电荷的电量与它的运动状态无关 。
?在不同的参考系中, 同一带电粒子的电量不
变 。
二、库仑定律
1.点电荷
?当一个带电体本身的线度比所研究的问题中
所涉及的距离小得多时, 该带电体的形状与电
荷在其上的分布状况均无关紧要, 该带电体就
可看作为一个带电的点, 叫做 点电荷 。
电子
质子
二、库仑定律
2.库仑定律
?实验表明：在真空中, 两个静止的点电荷之
间的相互作用力, 其大小与它们电荷的乘积成
正比, 与它们之间距离的二次方成反比；作用
力的方向沿着两点电荷的连线, 同号电荷相斥,
异号电荷相吸 。
二、库仑定律
2
21
21
21 r
qqF ?
2
21
21
0
21 4
1
r
qqF
???
? 称为 真空电容率 。
212120 1085.8 ????? mNC?
212
21
21
0
21 4
1
rer
qqF ??
???
单位制的有理化
q1
q2
r21
21F
?
12F
?
21re?
二、库仑定律
?当 q1 和 q2 同号时, 作用力表现为排斥力；
当 q1 和 q2 异号时, 表现为吸引力 。
?静止电荷间的电作用力, 又称为 库仑力 。
212
21
21
0
21 4
1
rer
qqF ??
???
?两静止点电荷之间的库仑力遵守牛顿第三定
律 。
1221 FF
?? ??
二、库仑定律
?例题
书 P.10
?实验证实, 库仑定律在 r 从
广大范围内正确有效 。
m1717 1010 ??
二、库仑定律
3.电力的叠加原理
?两个点电荷之间的作用力并不因为第三个点
电荷的存在而有所改变 。 这就是 电力的叠加原
理 。
电荷之间的库伦作用力服从力的矢量合成法则 。
三、电场
1.场的基本概念
?所谓, 场, 是指某种物理量在空间的一种分
布 。?物理上的, 场, 是指物质存在的一种特殊形
态 。 实物和场是物质的两种存在形态 。
?实物是由原子分子组成的, 一种实物占据的
空间, 不能同时被其他实物所占据 。
?场是一种弥漫在空间的特殊物质, 它遵从叠
加性, 即一种场占据的空间, 能为其他场同时
占有, 互不发生影响 。
三、电场
2.静电场
?超
电场 q
2q1
?超距作用和近距作用（场的观点）
?电荷在其周围空间产生 电场,电场对
处于其中的其他电荷施以 电场力 的作
用 。
三、电场
0q
FE
??
?
3.电场强度
q0 →0,几何线度 → 0,q0 > 0
?进入电场的任何带电体都将受到电场
的作用力。
?试探电荷 q0 的条件：
?电场强度的矢量定义
三、电场
0q
FE
??
?
?在已知电场强度分布的
电场中, 电荷 q 在场
中某点处所受的力为 EF ?? q?
?电场强度的单位：
牛顿 /库仑 (N?C-1)
?电场强度是由电场本身的性质决定的，
与试探电荷无关。
四、点电荷电场强度
1.单个点电荷的电场
rer
qq ??
2
0
04
1
???F q
q0
+
E?
q
q0
-
E?
rer
q ??
2
04
1
???E
四、点电荷电场强度
2.场强叠加原理
??
i
iEE
??
i0i EqF
?? ?
?? ??
i
i
i
i EqFF
???
0
Eq ?0?
四、点电荷电场强度
3.任意带电体的电场
?? rerdqE ?? 2
04
1
??
rer
dqEd ??
2
04
1
???
?任何带电体都可以看成是
许多电荷元的集合，在电场
中任一场点 P 处，每一电荷
元在 P 点产生的场强为
?整个带电体在 P 点的场强为,
四、点电荷电场强度
4.例题
?例 1,（ 均匀带电圆环轴线上一点的场强 ） 试
计算均匀带电圆环轴线上任一给定点 P 处的场
强, 设圆环半径为 R,圆环所带电量为 q,P 点
与环心的距离为 x 。
?解：建立如图坐标系,
取电荷元 dq 为
dlRqdldq ?? 2??
四、点电荷电场强度
dq 在 P 点产生
的场强大小为,204 1 rdqdE ???
各 dq 在 P 点产生的场强大小相等, 方
向各异 。
四、点电荷电场强度
由对称性可知：
??? EdEdEd
???
//
0?? ? ?? EdE ??
四、点电荷电场强度
?? //EdE P ?
2
0
2
02
0 4
c o s
4
c o s
r
qdl
r
R
??
?
??
?? ? ?? ?
2/322
0 )(4
1
Rx
qx
?? ??
?? 2
04
c o s
r
dq
??
??? dE?c o s
R
q
?? 2?
四、点电荷电场强度
讨论：
?当 x >>R 时,
?PE
2/322
0 )(4
1
Rx
qx
???
? 当 x = 0 时,
0?PE
?相当于全部电荷集中在环心的一个点电荷
所产生的电场 。
2
04
1
x
q
???
四、点电荷电场强度
例 2,（ 均匀带电薄圆盘的电场 ） 设有
一均匀带电薄圆盘, 半径为 R,单位面积
所带电量为 σ, 试计算圆盘轴线上场强
的分布 。
四、点电荷电场强度
解：建立如图坐标系, 在轴上任取一点 P
。 将圆盘分成许多半径连续变化的同心
带电细圆环, 求它们在 P 点产生的场强
的矢量和 。
四、点电荷电场强度
任取半径为 ρ, 宽度为 dρ 的细圆环, 其
电荷元为：
dSdq ??
???? dRq 22?
??2
?d
四、点电荷电场强度
dq 在 P点产生的场强的大小为：
2/322
0 )(4
1
??? ?? x
x d qdE
P 2/322
0 )(
2
4
1
?
????
?? ?? x
dx
四、点电荷电场强度
?? ??? RPP x dxdEE 0 2/322
0 )(
2
4
1
?
????
??
??
?
??
?
?
?? 2/122
0 )(
1
2 xR
x
?
?
四、点电荷电场强度
讨论：
?当 x <<R 时,
02?
??
PE
为无限大均匀带电
平板附近的电场分
布，是匀强电场。
0)( 2/122 ?? xR x
四、点电荷电场强度
如果将两块无限大平板平行放置，板间距离
远小于板面线度，当两板带等量异号电荷，
面密度为 σ 时，
000 22 ?
?
?
?
?
? ???
BA EEE ??
两板内侧场强为
两板外侧场强为 0???
BA EEE
四、点电荷电场强度
2
0
2
2
0 4
1
2
111
2 x
q
x
RE
???
? ?
?
?
?
?
?
? ??? ）（
2/1
2
22/122
)1(
1
)(
x
RxR
x
?
?
?
2
2
2
11
x
R??
?当 x >>R 时,
相当于电荷集中在盘心的一个点电荷所
产生的电场 。
四、点电荷电场强度
例 P.17
?规定：
（ 1） 曲线上每一点的切线方向表示该点场强
的方向；
五、电场线和电通量
1,电场线
?规定：
（ 2） 曲线的疏密表示该点场强的大小, 即该点
附近垂直于电场方向的单位面积所通过的电力
线条数满足
五、电场线和电通量
?
??
dS
dE e
垂直于电场方
向上的面积元
:?dS
通过面积元的电力线条数:ed?
?特点：
（ 1） 电场线总是始于正电荷, 终止于负电荷,
在真空中和无电荷处不中断 。
（ 2） 不形成闭合曲线；
（ 3） 任何两条电场线都不能相交 。
（ 4） 电力线密集处电场强, 电力线稀疏处电场
弱 。
五、电场线和电通量
?电力线图例,
五、电场线和电通量
?通过电场中某一个面的电场线总数叫做通过
这个面的 电场强度通量 。
五、电场线和电通量
2,电通量
其中 θ为面元 dS
的法线与 E 的夹
角, 则 cos?dS 即
是 dS 在垂直于 E
方向上的投影面
积 。
ne?
dS
E?
?co sE d SE d Sd e ??? ?
五、电场线和电通量
SdEE d Sd e ?? ???? ?c o s
S
ne?
ne?
E? E?
dSeSd n?? ?
令
?? ??? Se SE ?? d
对闭合曲面，规定 法线 的方向指向曲面外部，
则通过整个闭合曲面 S 的电通量
ne?
五、电场线和电通量
S
ne?
ne?
E? E?
:0,2 ??? ed??
:0,2 ??? ed??
电场线从曲面内部穿出
电场线穿入曲面内部
?? ??? Se SE ?? d
也就是 净穿出闭合曲面 的电场线的总条数。
dSEd e ?co s??
六、高斯定律
1,点电荷的电场
?点电荷 q 处于半径为 r 的
球面中心时, 通过闭合曲面
S 的电通量
0
2
2
0
2
0
2
0
4
4
1
4
1
4
1
?
?
??
????
q
r
r
q
r
q
r
q
SE
SS
SS
e
??
??
????
????
????
dSdS
E d Sd
?
r
q S
Een ??
六、高斯定律
q 不在球心时, 从 q 发出的电场线仍会全部穿
出球面 S,并且, 即使 S 不是球面而使任意闭
合曲面时也是如此, 故
0?
qSE
S
????
??
d
对包含电荷 q 的任意闭合
曲面都成立。
六、高斯定律
任意闭合曲面内有多个点电荷时, 由场强叠加
原理
??
i
iEE
??
故
????S SE ?? d ?? ? ?
S i SE
?? d
i
0?
?
? ?? ??? i
i
i
S
q
SE
??
di
六、高斯定律
?闭合曲面外的电荷电场线穿入 S 后又从 S 穿
出, 故其对 S 面的 净 电通量为零 。
q
S
六、高斯定律
2.高斯定理
在真空中的静电场中,通过任意闭合曲面 S 的
电通量，等于该闭合曲面所包围的全部电量的代
数和除以 ε 0，而与 S 外的电荷无关。
??? ??
内S
iS qSE
0
1
?
??
d
闭合曲面 S 通常称为 高斯面 。
六、高斯定律
3.对高斯定理 的理解
（ 1） 闭合曲面上各点的场强是闭合面内, 外全
部电荷共同产生的合场强, 而非仅由闭合面内电
荷所产生 。
（ 2） 高斯定理表明通过闭合曲面的电通量与闭
合曲面所包围的电荷之间的量值关系, 而非闭合
曲面上的电场强度与闭合面包围的电荷之间的关
系 。
六、高斯定律
（ 3） 通过闭合曲面的总电通量只由它所包围的
电荷所决定 。 闭合面外的电荷对总通量无贡献 。
（ 4） 若闭合曲面内存在正 （ 负 ） 电荷, 则通过
闭合曲面的电通量为正 （ 负 ）, 表明有电场线从
面内 （ 面外 ） 穿出 （ 穿入 ） 。
（ 5） 若闭合曲面内没有电荷, 则通过闭合曲面
的电通量为零, 意味着有多少电场线穿入就有多
少电场线穿出, 说明在没有电荷的区域内电场线
不会中断 。
六、高斯定律
（ 6） 高斯定理与库仑定律并不是互相独立的规
律, 而是用不同形式表示的电场与源电荷关系的
同一客观规律：
库仑定律把场强和电荷直接联系起来,
高斯定理将场强的通量和某一区域内的电荷联系
在一起 。
库仑定律只适用于静电场, 而高斯定理不仅适用
于静电场, 也适用于变化的电场 。
七、高斯定律应用举例
1,应用高斯定律的要点
?利用高斯定理, 可简洁地求得具有 对称性 的带
电体场源 （ 如球型, 圆柱形, 无限长和无限大平
板型等 ） 的空间场强分布 。 计算的关键在于依据
对称性选取合适的闭合 高斯面, 以便能够把积分
进行下去, 最终求得电场强度 。
七、高斯定律应用举例
2,应用高斯定律
例题 1：求无限大均匀带电平面的场强分布, 已
知面电荷密度为 σ 。
解,由电荷分布对称性
可知, 与带电面等距离
处的场强大小均相等,
方向垂直平面 。
+σ
E? E?
七、高斯定律应用举例
取高斯面为 柱面, 其 +σ
E? E?
SS1 S2
侧面,与带电平面垂直
底面, S1 和 S2与平面平
行且等距离
??? ??
内S
iS qSE
0
1
?
??
d
七、高斯定律应用举例
0
0
2121
2
2
?
?
?
?
?
?
????
E
S
ES
EEESSS
故
有
????S SE d?
0
22110 ?
? SSESE ????
?????? ????? 21 SS SESESE ?????? ddd 21侧面
+σ
E? E?
SS1 S2
七、高斯定律应用举例
例题 2,已知半径为 R, 带电量为 q 的均匀带
电球面, 求空间场强分布 。
解,由对称性分析知, 的分布
为球对称, 即离开球心距离为 r
处各点的场强大小相等, 方向
沿各自的矢径方向 。
E?
以 O 为球心，过 P 点作半径为 r 的闭合球面
S（高斯面），各点处面积元的法线方向与该点
处的 方向相同。E?
七、高斯定律应用举例
? r ? R 时
????S SE ?? d ??SEd S
24 rE ??
??? SdSE
0?
q?
2
04
1
r
qE
????
七、高斯定律应用举例
? r < R 时
?? ?S SE ?? d 24 rE ?? 0
0
?? ?q
0?? E
? E ? r 曲线
?内部场强处处为零；外
部场强分布与将球面上
电荷集中于球心的点电
荷场强分布相同；场强
分布在球面处不连续,
产生突变 。
七、高斯定律应用举例
例题 3,求无限长均匀带电直线的空间电场分布
。 已知直线上线电荷密度为 λ 。
解, 由对称性分析, 分布
为轴对称性, 即与带电直线
距离相等的同轴圆柱面上各
点场强大小相等, 方向均沿
径向 。
E?
作过 P 点以带电直线为轴, 半径为 r,高为 l
的圆柱形高斯面 S 。
七、高斯定律应用举例
通过 S 的电通量为
????S SE d? ?????? ????? 下底上底侧面 SESESE ?????? ddd 21
00 ??? ?? 侧面 SE d
??? 侧面 SE d
rl E ?2?
0?
?l?
rE
?
?? 02
1??
七、高斯定律应用举例
例 P.32
七、高斯定律应用举例
3,应用高斯定律 解题的步骤
（ 1） 根据电荷分布的对称性分析电场分布的对
称性 。
（ 2） 在待求区域选取合适的封闭积分曲面 （ 称
为 高斯面 ） 。
要求：
曲面必须通过待求场强的点, 曲面要简单易计
算面积；
七、高斯定律应用举例
面上或某部分曲面上各点的法线与该处的电场
方向一致或垂直或是成恒定角度, 以便于计算
。
（ 3） 应用高斯定律求出电场的大小 。
（ 4） 说明电场的方向 。
面上或某部分曲面上各点的场强大小相等；
