第 3 章 电势
一, 静电场环路定理
二, 电势差和电势
三, 电势叠加原理
四, 电势梯度
五, 电势能
六, 静电场的能量
b
一、静电场环路定理
?与引力场相类似, 静电 场也是 保守场, 静电力
是保守力, 即静电力作功与具体路径无关 。
1.静电场力所作的功
Edrq0?
dlEqlEqdA ?c o s00 ??? ?? d
?? ?? barrL E d rqdAA 0
)11(4
0
0
ba rr
qq ??
??
点电荷电场：
rer
qE ??
2
04
1
???
一、静电场环路定理
?在点电荷电场中, 电场力对试验电荷所作的
功, 只取决于试验电荷 q0 及其始末位置, 与连
接始末位置的具体路径无关 。 这个性质称为 静电
场的保守性 。
2.静电场的保守性
一、静电场环路定理
任意带电体可以看作是由无穷多个点电荷组成的
,由场强叠加原理
??
i
iEE
??
? ?? ???? L
i
iL ldEqldEqA
????
00
?????? ? ????? L L ldEqldEq 2010
? ? ??
i L
i ldEq
??
0
3.静电场的环路定理
一、静电场环路定理
?上式中每一项均与路径无关, 其和也必与路径
无关, 故对任意闭合回路
0???L lE ?? d
?即,在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积
分等于零。
?上式称为 静电场的环路定理 。
二、电势差和电势
?静电力作功与具体路径无关, 只 取决于试验电
荷 的 始末位置 。
1.电势差
000 qldEqldEqA
b
a
b
a
r
r
r
r ????? ??
????
?定义
电势差
? ???? b
a
r
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ldEqA
??
0
??
二、电势差和电势
则：电场中 a 点的电势 ?
?? b
a
r
ra ldE
???
? ???? barrab ldE ????
即 ldEd ?? ????
?若
,0?? bbrr ?时，
称为 电势零点
,0??? bbr ?时，
?通常
电势 ??
??
ar
a ldE
???
2.电势
二、电势差和电势
电势 ??
?? r ldE ???
?上式表明, 电场中某点的电势, 等于把单位正
电荷从该点经任意路径移到无限远处电场力所作
的功 。
?电势单位,焦尔 /库仑, 称为 伏特, 简称 伏
(V)。 量纲 L2MT-3I-1
b
二、电势差和电势
?点 电荷经任意路径移 动 电场力所作的功
? ?? barr ldEqA ??0
)(0 baq ?? ??
? ???? b
a
r
rba
ldEqA
??
0
??
)(0 abq ?? ???
电场力作正功, 电
场的电势降低 。
3.电场力作功
二、电势差和电势
?点 电荷 在空间任意一点的电势
3.单个点电荷在空间的电势
?? ?? r lE ?? d?
? ?? r drrq2
04
1
??
r
q
04
1
???
q pr
rer
q ??
2
04
1
???E
积分路径沿位矢方向
二、电势差和电势
在正电荷的电场中, 各点的电势均为正
值, 离电荷越远的点, 电势越低；
在负电荷的电场中, 各点的电势均为负
值, 离电荷越远的点, 电势越高 。
r
q
04
1
??? ?
二、电势差和电势
?明确电势零点,
?求出电场分布,
?选一条积分路径积分 。
4.求 空间的电势 分布
?例题 P.66
三、电势叠加原理
1.多个电荷的电场在空间 中 的电势
?在由多个点电荷产生的电场中, 任意一点的电
势等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电势
的代数和 。 这个结论称为 电势的叠加原理 。
??
i
iEE
??
? ?? 0PP ldE ??? ?????? ? ????? 0 0 21PP PP ldEldE? ? ?? 0PP i ldE ??
?21 ?? ?? ?? i?
三、电势叠加原理
2.多个 点 电荷电场 中 的电势
?? i??
r
q
04
1
??? ?
??
i
i
r
q
04
1
??
?单个点 电荷 的电势
?多个点 电荷 的总电势
三、电势叠加原理
3.任意带电体电场中的电势
r
dqd
04
1
??? ?
?任意带电体 可以看作由无穷多个电荷元组成,
每个电荷元可以看成 点 电荷, 则
?? L rdl????
04
1电荷线分布
?? rdq
04
1
???
???? V rdV????
04
1电荷体分布
??? S rdS????
04
1电荷面分布
三、电势叠加原理
4.例题
[例 1] 求均匀带电球面内外的电势 。 已知球半径
为 R,带电荷为 Q。
r
R
Q
r
解,先用高斯定理求出球
面内外的电场分布 。
在球面内外做与带电
球面同心的高斯球面 S
三、电势叠加原理
r
R
Q
r
时Rr ?
?? ??? 04 2rES ?内内 ?? dE
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0
24
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Qd rES
外外
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2
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1
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Q
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三、电势叠加原理
由电势定义可得
Rr ?
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r
Qdr
r
Q
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2
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R
Q
04
1
???
球内为等势
区, 球面为
等势面 。
三、电势叠加原理
E
O rR
关系曲线rE ?
O rR
?
关系曲线r??
三、电势叠加原理
[例 2]求均匀带电圆盘轴线上任一点的电势 。 已
知盘半径为 R,电荷面密度 σ 。
x
r
O
dr
R
22 rx ?
P
三、电势叠加原理
x
r
O
dr
R
22 rx ?
P
)(
24
2
2
4
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0
0 22
0
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xRx
rx
r d r
r d rdS
rx
dS
R
S
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?
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?
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?
?
三、电势叠加原理
讨论
x
R
x
x
R
x
x
R
xRx
Rx
2
)
2
1
1()1()(
)1(
2
2
2
2
1
2
2
2
1
22
??
??????
??
?
时
x
Q
x
Rx
x
Rx
00
22
0 44
)2(2 ???????? ?????
此时圆盘相当于一个点电荷 。
三、电势叠加原理
讨论
0
22
0 2
)(
2
0)2(
?
?
?
?
?
R
xRx
x
????
? 时
它表明把单位正电荷从无穷远处沿任意路径移到
盘中心所需做的功 。
三、电势叠加原理
?例题 P.69
四、电势梯度
1.等势面
在电场中电势相等的点所连成的曲面称为 等势 面
。
规定, 相邻等势面之间电势差相等 。
等势面用来形象表示电场中电势的分布 。
等势面密的地方场强大, 等势面稀疏的地方场
强小 。
四、电势梯度
点电荷电场及等势面 均匀电场及等势面
等量异号电
荷电场及等
势面
四、电势梯度
2,等势面与电力线的关系
（ 1） 等势面与电力线处处正交 。
（ 2） 电力线方向, 指向电势降落的方向 。
（ 3） 等势面在电力线密集处场强大, 稀疏处
场强小 。
a
b
Δ n
?
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E?
n
E
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b
a
?
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四、电势梯度
3.电势梯度
θ
a
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lElE l??????? ?? Δ?
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)(lim
0
0
lE l ?
??? ?
? 为等势面的法线方向, 指向电势升高的方
向, 与 反向 。 对任意方向,有l?E?
n?
?co sEE l ?
四、电势梯度
?电场中给定点的场强在任一方向的分量, 等于
电势沿该方向的变化率的负值 。 负号表示场强指
向电势降低的方向 。
dl
dEE
l
?? ??? c o s
?电场强度
θ
a
c b
Δ n Δ l ?? ??
?
E?
l?
n?
dl
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max
dn
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四、电势梯度
?定义 电势梯度 (gradient)矢量：
θ
a
c b
Δ n Δ l ?? ??
?
E?
l?
n?
?? ??ra dg
?电势梯度的大小等于
电势在该点的最大空
间变化率；方向沿等
势面法向, 指向电势
增加的方向 。
ndnd ???
四、电势梯度
即电场强度大小为电势的梯度, 但是方向相反 。
????E?
4.电场强度与电势的关系
ndnd ??? ??dndE ???
由于
四、电势梯度
在直角坐标系中
电场还有另一个单位, 即 伏特 /米 （ V/m）, 与
牛顿 /库仑 （ N/C ） 同量纲 。
)( kzjyix
???
?
??
?
??
?
??? ???
)( kEjEiEE zyx ???? ????
zEyExE zyx ?
??
?
??
?
?? ???,,
四、电势梯度
例题 P.75
五、电势能
1.定义
静电场是保守场, 可引进静电势能的概念 。 试验
电荷 q0 在静电场中从 a 点移到 b 点电场力作正
功, 电势能减少 。
定义电势能增量 Δ W
ab WWW ??? ?? ????? b
a
r
rL lEqdA d
?
0
)(0 abq ?? ??
? ???? barrab ldE ????
m g hE P ?
五、电势能
定义电势能
?0qW ?
即：一个电荷在电场中某点的 电势能 等于它的电
量与电场中该点电势的乘积 。
一般取 r→∞ 时为势能零点，则空间任一点的电
势能为
? ? ?? r lEqW ?? d0
五、电势能
2.注意
（ 1） 电势能是属于系统的, 为场源电荷和电荷
所共有, 它是验电荷与电场之间的相互作用能 。
（ 3） 电势能的单位 （ SI）,焦耳 （ J） ；电子伏
特 （ eV）, 1eV＝ 1.6× 10-19J
（ 2） 电势能的量值只有相对意义, 它与电势能
零点的选择有关 。
五、电势能
（ 5） 当 时, 电势能增加, 电
场力作负功 。
0???? ab WWW
（ 4） 当 时, 试验电荷从 a 运
动到 b 过程中, 电势能减少, 电场力作正功；
0???? ab WWW
例题 P.77
六、静电场的能量
以后再讲
一, 静电场环路定理
二, 电势差和电势
三, 电势叠加原理
四, 电势梯度
五, 电势能
六, 静电场的能量
b
一、静电场环路定理
?与引力场相类似, 静电 场也是 保守场, 静电力
是保守力, 即静电力作功与具体路径无关 。
1.静电场力所作的功
Edrq0?
dlEqlEqdA ?c o s00 ??? ?? d
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0
0
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点电荷电场：
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2
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1
???
一、静电场环路定理
?在点电荷电场中, 电场力对试验电荷所作的
功, 只取决于试验电荷 q0 及其始末位置, 与连
接始末位置的具体路径无关 。 这个性质称为 静电
场的保守性 。
2.静电场的保守性
一、静电场环路定理
任意带电体可以看作是由无穷多个点电荷组成的
,由场强叠加原理
??
i
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3.静电场的环路定理
一、静电场环路定理
?上式中每一项均与路径无关, 其和也必与路径
无关, 故对任意闭合回路
0???L lE ?? d
?即,在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积
分等于零。
?上式称为 静电场的环路定理 。
二、电势差和电势
?静电力作功与具体路径无关, 只 取决于试验电
荷 的 始末位置 。
1.电势差
000 qldEqldEqA
b
a
b
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r
r
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????
?定义
电势差
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二、电势差和电势
则：电场中 a 点的电势 ?
?? b
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即 ldEd ?? ????
?若
,0?? bbrr ?时，
称为 电势零点
,0??? bbr ?时，
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2.电势
二、电势差和电势
电势 ??
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?上式表明, 电场中某点的电势, 等于把单位正
电荷从该点经任意路径移到无限远处电场力所作
的功 。
?电势单位,焦尔 /库仑, 称为 伏特, 简称 伏
(V)。 量纲 L2MT-3I-1
b
二、电势差和电势
?点 电荷经任意路径移 动 电场力所作的功
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电场力作正功, 电
场的电势降低 。
3.电场力作功
二、电势差和电势
?点 电荷 在空间任意一点的电势
3.单个点电荷在空间的电势
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积分路径沿位矢方向
二、电势差和电势
在正电荷的电场中, 各点的电势均为正
值, 离电荷越远的点, 电势越低；
在负电荷的电场中, 各点的电势均为负
值, 离电荷越远的点, 电势越高 。
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二、电势差和电势
?明确电势零点,
?求出电场分布,
?选一条积分路径积分 。
4.求 空间的电势 分布
?例题 P.66
三、电势叠加原理
1.多个电荷的电场在空间 中 的电势
?在由多个点电荷产生的电场中, 任意一点的电
势等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电势
的代数和 。 这个结论称为 电势的叠加原理 。
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i
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三、电势叠加原理
2.多个 点 电荷电场 中 的电势
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?单个点 电荷 的电势
?多个点 电荷 的总电势
三、电势叠加原理
3.任意带电体电场中的电势
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1
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?任意带电体 可以看作由无穷多个电荷元组成,
每个电荷元可以看成 点 电荷, 则
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1电荷线分布
?? rdq
04
1
???
???? V rdV????
04
1电荷体分布
??? S rdS????
04
1电荷面分布
三、电势叠加原理
4.例题
[例 1] 求均匀带电球面内外的电势 。 已知球半径
为 R,带电荷为 Q。
r
R
Q
r
解,先用高斯定理求出球
面内外的电场分布 。
在球面内外做与带电
球面同心的高斯球面 S
三、电势叠加原理
r
R
Q
r
时Rr ?
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0
24
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三、电势叠加原理
由电势定义可得
Rr ?
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球内为等势
区, 球面为
等势面 。
三、电势叠加原理
E
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关系曲线rE ?
O rR
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关系曲线r??
三、电势叠加原理
[例 2]求均匀带电圆盘轴线上任一点的电势 。 已
知盘半径为 R,电荷面密度 σ 。
x
r
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R
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三、电势叠加原理
x
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三、电势叠加原理
讨论
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此时圆盘相当于一个点电荷 。
三、电势叠加原理
讨论
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R
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x
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? 时
它表明把单位正电荷从无穷远处沿任意路径移到
盘中心所需做的功 。
三、电势叠加原理
?例题 P.69
四、电势梯度
1.等势面
在电场中电势相等的点所连成的曲面称为 等势 面
。
规定, 相邻等势面之间电势差相等 。
等势面用来形象表示电场中电势的分布 。
等势面密的地方场强大, 等势面稀疏的地方场
强小 。
四、电势梯度
点电荷电场及等势面 均匀电场及等势面
等量异号电
荷电场及等
势面
四、电势梯度
2,等势面与电力线的关系
（ 1） 等势面与电力线处处正交 。
（ 2） 电力线方向, 指向电势降落的方向 。
（ 3） 等势面在电力线密集处场强大, 稀疏处
场强小 。
a
b
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b
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四、电势梯度
3.电势梯度
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向, 与 反向 。 对任意方向,有l?E?
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四、电势梯度
?电场中给定点的场强在任一方向的分量, 等于
电势沿该方向的变化率的负值 。 负号表示场强指
向电势降低的方向 。
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四、电势梯度
?定义 电势梯度 (gradient)矢量：
θ
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?电势梯度的大小等于
电势在该点的最大空
间变化率；方向沿等
势面法向, 指向电势
增加的方向 。
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四、电势梯度
即电场强度大小为电势的梯度, 但是方向相反 。
????E?
4.电场强度与电势的关系
ndnd ??? ??dndE ???
由于
四、电势梯度
在直角坐标系中
电场还有另一个单位, 即 伏特 /米 （ V/m）, 与
牛顿 /库仑 （ N/C ） 同量纲 。
)( kzjyix
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?
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)( kEjEiEE zyx ???? ????
zEyExE zyx ?
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四、电势梯度
例题 P.75
五、电势能
1.定义
静电场是保守场, 可引进静电势能的概念 。 试验
电荷 q0 在静电场中从 a 点移到 b 点电场力作正
功, 电势能减少 。
定义电势能增量 Δ W
ab WWW ??? ?? ????? b
a
r
rL lEqdA d
?
0
)(0 abq ?? ??
? ???? barrab ldE ????
m g hE P ?
五、电势能
定义电势能
?0qW ?
即：一个电荷在电场中某点的 电势能 等于它的电
量与电场中该点电势的乘积 。
一般取 r→∞ 时为势能零点，则空间任一点的电
势能为
? ? ?? r lEqW ?? d0
五、电势能
2.注意
（ 1） 电势能是属于系统的, 为场源电荷和电荷
所共有, 它是验电荷与电场之间的相互作用能 。
（ 3） 电势能的单位 （ SI）,焦耳 （ J） ；电子伏
特 （ eV）, 1eV＝ 1.6× 10-19J
（ 2） 电势能的量值只有相对意义, 它与电势能
零点的选择有关 。
五、电势能
（ 5） 当 时, 电势能增加, 电
场力作负功 。
0???? ab WWW
（ 4） 当 时, 试验电荷从 a 运
动到 b 过程中, 电势能减少, 电场力作正功；
0???? ab WWW
例题 P.77
六、静电场的能量
以后再讲
