第 8 章 磁场的源
一, 比奥 -萨伐尔定律
二, 安培环路定理
三, 利用安培环路定理求磁场的分布
四, 与变化电场相联系的磁场
五, 平行电流间的相互作用力
一,比奥 -萨伐尔定律
1,比奥 -萨伐尔定律
I
lId?
Pr?
?
?
Bd?
?1820年 10月
载流导线上任一电流元在真空中某点 P 处产
生的磁感强度
2
0
4 r
elIdBd r?
??
??
?
?
称为 真空中的磁导率
270 /104 AN??? ??
I
lI ?d
P?r
?
?
B?d
真空中的磁导率
70 10π4 ???? H/m
大小：
2
0
π4
s i n
r
lIB ?? dd ??
方向,rlI ???d 如图所示
既垂直电流元 又垂直矢径
一,比奥 -萨伐尔定律
2
0
4 r
elIdBd r?
??
??
?
?
一,比奥 -萨伐尔定律
B?
I??电流元的磁场
的磁感线是圆心
在电流元轴线上
的同心圆 。
2
0
4 r
elIdBd r?
??
??
?
?
叠加原理, ?
???
i
i BBBB
???? d,
P
lI ?d
O
?
B?d
?
l?d
P
I
r?
?
B?d
电流元的磁感应线在垂直于电流元的平面内
磁感应线绕向与电流流向成右手螺旋关系
是圆心在电流元轴线上的一系列同心圆
一,比奥 -萨伐尔定律
2,磁通连续定理
?磁场的磁感线都是闭合的曲线。
? ??S SdB 0??
?任何磁场中通过任意
封闭曲面的磁通量总
等于零。
?不存在磁单极子或
,磁荷, 。
B = ?dB = ? ?04? Idl sin?r2
·
P
a
r
Idl ?
?2
?1
?
dBo
l
例 1 长直电流的磁场
·任取一电流元 Idl，它
在 P点产生的磁场大小为
方向如图dB = ?04? Idl sin?r2
·把直电流分为无数电流元
·本例中，所有电流元在 P点产生的
磁场方向相同，于是 P点 B的大小为
一,比奥 -萨伐尔定律
B?
I?
?1 = 0 ； ?2 = ?, 有
·利用 r=a/sin?； l=-acot?； dl=a d?/sin2?，可得
B = ?0I4?a (cos?1 - cos?2)
·特例：（ 1）对无限长直电流,
·
P
a
r
Idl ?
?2
?1
?
dB
o
l
B = ?dB = ? ?04? Idl sin?r2
?????
?
ds i naIB ?? 2
1 4
0
a2
IB 0
π
μ?
（ 3）场点在直电流延长线上
0?B0? ?? rlI ?d
I P
（ 2）半无限长载流导线
l ? ?
P?
B?
a
IBB
?
?
42
1 0??
无限半无限
)( 2104 ?? c o sc o saIB ?? πμ
无限长载流直导线的磁场,
a2
IB 0
π
μ?
01 ?? π?2?(因为 )
半无限长载流直导线的磁场,
a4
IB 0
π
μ?
直导线延长线上一点的磁场, 0B ?
(因为在 中 ) 20 rs i nI dl4dB απμ? 0?α
一段载流直导线的磁场,
21
?? ?(因为 )π?2?
有一边长为 L电阻均匀分布
的正三角形导线框 abc，与电
源相连的长直导线 1和 2彼此
平行并分别与导线框的 a点和 b点相连接，导线 1和
线框的 ac的延长线重合，导线 1和 2的电流为 I，如图
所示，令长直导线 1,2和导线框在线框中心 O点产
生的磁感应强度分别为 B1,B2和 B3，则 O点的磁感
应强度大小：
① B=0，因为 B1= B2= B3=0。
② B=0,因为 B1+ B2=0,B3=0。
③ B 0,因为虽然 B1+ B2=0，但 B3 0。
④ B 0,因为虽然 B3=0，但 B1+ B2 0。
o
c
b 2
a1 I
?
?
?
? 答案,（ 4）
课堂练习
例 2 圆电流轴线上任一点的磁场
I x
y
z
o
R
P
.x
圆电流的电流强度为 I 半径为 R
建如图所示的坐标系 设圆电流在 yz平面内
场点 P坐标为 x
I x
y
z
o
R
P
.x
解,第一步：在圆电流上任取一电流元
由毕－萨定律 知其在场点 P产生的磁感
强度
2
0
π4
?
r
rlIB ??
??
dd ?
lI ?d
lI ?d
r?
r?
B?d
组成的平面rlI ???d
I x
y
z
o
R
P
.x
第二步：分析各量关系 明确 B?d 的方向和大小
2
?? ?
组成的平面内
lI ?d
r?
r?
B?d?
且垂直 r?
由此可知
2
0
4 π r
lIB dd ???
rlI ???d 相互垂直 所以
rlI ???d在B
?d
rlI ???d
组成的平面rlI ???d
与
I R
P
.x
lI ?d
r?
r?
B?d?
2
0
4 π r
lIB dd ???
第三步：根据坐标 写分量式
xBd
r
R
r
lIBB
x ??? 2
0
π4s i n
ddd ??
yzBd?
?
组成的平面rlI ???d
x
y
z
o
?c o sBB yz dd ?
第四步：考虑所有电流元在 P点的贡献
I x
y
z
o
R
P
.x
lI ?d
r?
r?
B?d?
xBd
yzBd?
?
? ? ? ? ? ?
??? ????
I
ddd l
r
IR
r
R
r
lIBB
II
x 3
0
2
0
π4π4
s i n ??? 3
2
0
2 r
IR??
由对称性可知 每一对对称的电流元在 P点
的磁场垂直分量相互抵消 所以
组成的平面rlI ???d
结论：在 P点的磁感强度
方向：沿轴向 与电流成右手螺旋关系
? ? 2322
2
0
3
2
0
22 Rx
IR
r
IRBB
x
?
??? ??
? ?
0c o s ?? ?
I
yz BB ?d
R
P
.x
lI ?d
r?
r?
B?d?
xBd
yzBd?
?
组成的平面rlI ???d
I x
y
z
o
R
IB
2
0??（ 1）在圆心处
2
3
2
3
)(2)(2 22
0
22
2
0
xR
IS
xR
IR
B
?
?
?
??
?
??
讨论：
rxRx ???,（ 2）在远离线圈处
0?x
3
0
3
0
22 r
IS
x
ISB
?
?
?
? ??
3
0
2 r
pB m??
?
??
载流线圈
的磁矩
nm eISp
?? ?引入
载流圆线圈轴线上的磁场
例 3,载流直螺线管内部的磁场
设螺线管的半径为 R,电流为 I,每单位长度
有线圈 n匝 。
R
1A
l ld
2A
2?
?r1?
p B?d
由于每匝可作平面线圈处理, ndl匝线圈可作
Indl的一个圆电流, 在 P点产生的 磁感应强度,
2/322
2
0
)(2
dd
lR
lnIRB
?
? ?
R
1A
l ld
2A
2?
?r1?
p B?d
?? ??? LL lR
lnIRBB
2/322
2
0
)(2
d?d
?c o tRl ??
R
1A
l ld
2A
2?
?r1?
p B?d
?2222 c s cRlR ???又
? ?? L lR
lnIRB
2/322
2
0
)(2
d?
?? dc s cd 2Rl ???
? ? ??? ?
?
ds in
2
2
1
0 ? ?? nI
)c o s( c o s
2 12
0 ??? ?? nI
讨论：
nIB 0??
2/0 nIB ??
实际上, L>>R
时, 螺线管内部的
磁场近似均匀, 大
小为 nI
0?
)c o s( c o s2 120 ??? ?? nIB
（ 1） 螺线管无限长
（ 2） 半无限长螺线管的端点圆心处
0,21 ?? ???
nI0?
B
O
1A 2A
20nI?
练习,如下列各图示，求圆心 O点的磁感应强度。
OI R
O R
I
O
R I
O R
I3?2
R
μ
4
0 IB ?
?
)( 2 316 00 ??? RIRIB πμμ ?
R2
I
R4
IB 00
π
μμ ??
?
?
R
μ
8
0 IB ?
例 一个半径 R为的塑料薄圆盘, 电量 +q均匀分布其上,
圆盘以角速度 ?绕通过盘心并与盘面垂直的轴匀速转动 。
求圆盘中心处的磁感应强度 。
解：带电圆盘转动形成圆电流, 取距盘心 r处宽度
为 dr的圆环作圆电流, 电流强度：
+ +
+ +
++
+ ++ ++
+
++
o
?
22
dd2
2
d
R
rqrrr
R
qI
?
??
??
? ??
r
IB
2
dd 0??
??
R
r
R
qB
02
0 d
2 ?
??
R
q
?
??
2
0?
例 亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆霍兹线圈产生所
需的不太强的均匀磁场。特征是由一对相同半径的同轴载流
线圈组成，当它们之间的距离等于它们的半径时，试计算两
线圈中心处和轴线上中点的磁感应强度。从计算结果将看到，
这时在两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。
R
O1
R
Q1 P O2Q2
R
解 设两个线圈的半径为 R，
各有 N匝, 每匝中的电流均
为 I,且流向相同 （ 如图 ） 。
两线圈在轴线上各点的场强
方向均沿轴线向右, 在圆心
O1,O2处磁感应强度相等,
大小都是
两线圈间轴线上中点 P处，磁感应强度大小为
? ?
R
NI
R
NI
RR
N I R
R
NI
B
00
2/322
2
00
0
6 7 7.0
22
1
1
2
22
??
??
??
?
?
?
?
?
??
?
??
R
NI
R
NI
R
R
N I R
B
P
0
0
2/3
2
2
2
0
716.0
22
1
1
55
8
2
2
2
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
此外，在 P点两侧各 R/4处的 O1,O2 两点处磁感应强度都
等于
R
NI
R
NI
R
R
N I R
R
R
N I R
B
Q
0
3
3
2/3
3
0
2/3
2
2
2
0
2/3
2
2
2
0
712.0
5
4
17
4
2
4
3
2
4
2
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介
乎 B0,BP 之间。由此可见，在 P点附近轴线上的场
强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。图
中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的场
强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加曲
线。
O1 Q1 P Q2 O2
例 在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运动相当
于一个圆电流，具有相应的磁矩，称为轨道磁矩。试
求轨道磁矩 μ与轨道角动量 L之间的关系，并计算氢
原子在基态时电子的轨道磁矩。
Lme
e2
??
2rneIS ?? ??
222 rnmr n rmvrmL eee ?? ???
解 为简单起见，设电子绕核作匀速圆周运动，圆
的半径为 r，转速为 n。电子的运动相当于一个圆电
流，电流的量值为 I=ne，圆电流的面积为 S=πr 2，
所以相应的磁矩为
角动量和磁矩的方向可分
别按右手螺旋规则确定。
因为电子运动方向与电流
方向相反，所以 L和 μ 的
方向恰好相反，如图所示。
上式关系写成矢量式为
Lme
e2
－??
这一经典结论与量子理论导出的结果相符。由于
电子的轨道角动量是满足量子化条件的，在玻尔
理论中，其量值等于（ h/2π ） d的整数倍。所以
氢原子在基态时，其轨道磁矩为
L
?
ee
B m
ehh
m
e
??
?
422
??
?
??
?
??
22410273.9 mAB ??? ??
它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。
将 e=1.602?10-19 C,me= 9.11?10-31kg,普朗
克常量 h= 6.626?10-34J·s代入，可算得
原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋，电子的
自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量，
电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。
二,安培环路定理
1,定理表述
?在恒定电流的磁场中, 磁感应强度沿任何闭
合路径一周的线积分 （ 即环路积分 ）, 等于闭
合路径内所包围并穿过的电流的代数和的 ?0
倍, 而与路径的形状大小无关 。
?? ?? i n t0 IrdBL ???
二,安培环路定理
?? ?? i n t0 IrdBL ???
??B 空间所有恒定电流 共同 产生的
?L 在磁场中任取的一 闭合 线，任意规定一个
绕行方向
注意
??rd L 上的任一线元
与 L套连的 闭合 恒定
电流, 与 L绕行方向
成右螺时取正, 反之
?intI
取负 。
?? rdBrdBrdB LL L ?? ? ??? ??? c o s
二,安培环路定理
2,特例验证
?如图, 真空中有一载流
无限长直导线, 在垂直于
电流 I 的平面上任取闭
合路径 L 为积分路径,
磁感应强度的环流为
rd?
L
I
B?
IdIrdrI
LL 0
00
22 ???
??
?
? ??? ??
? ?? ? 02 0 ???? ???? I
?????? ?? ??
212
0
LL
ddI ????
二,安培环路定理
?当电流反方向流动时, 磁感应强度反向, 闭
合路径 L 的绕行方向与电流不构 成右螺, 有
? ???L IrdB 0???
?若 I 在 L外 （ L未包围 I）
?? ? ????? 21 LL L rdBrdBrdB ??????
IdI
L 0
0
2 ???
? ?? ?
二,安培环路定理
?对非平面闭合路径, r 和 dr 可以正交分解
为平行于电流 I 分量和垂直于电流 I 的分量 。
? ?? ??????L LL rdBrdBrdB ?????? //
??? drrI
L ?
?
??? 20 0
?? ??? LL rdBdrB ?? ?c o s90c o s //
二,安培环路定理
?其他情况
NIrdBL 0?? ?? ??
)2(0 IrdBL ?? ?? ??
0? ??L rdB ??
二,安培环路定理
3,注意事项
?只有环路内的电流对环流有贡献 。
?闭合路径 L 上每一点的磁感 应 强度是所有
电流 （ 包括闭合曲线外的 ） 共同 产生的 。
?安培环路定理是描述磁场特性的重要规律 。
磁场中的环流一般不等于零, 说明磁场属于非
保守场 （ 称为 涡旋场 ） 。
?定理仅适用于稳恒电流的稳恒磁场 。
三、利用安培环路定理求磁场的分布
1,利用安培环路定理求磁场的步骤
?依据电流的对称性分析磁场分布的对称性；
?? ?? i n t0 IrdBL ???
?依据磁场分布的对称性选取合适的闭合路径
（ 又称为 安培环路 ）, 确保能使 B 以标量的形
式从积分号内提出来 。
安培环路定理的应用举例
? 例,求载流无限长圆柱面内外的磁场。设
圆柱面半径为 R，通有恒定电流 I。
R
I
B
r
L P
·
L
r
·
·
·P
dI1
俯视图
dB1
dB2 dB
dI2
R
对称性分析
·将圆柱面分为无限
多窄条，每个窄
条可看作是载有
电流 dI的无限长
直导线；
·任取一对相对于
图中 r对称的窄
条,,它们
在图中 P点产生的
磁场分别为
1dI
1dI 2dI
?, 其合磁场 dB垂直于 r方
向 (且在垂直于轴线的平面内，
下同 )；
? ·P点的磁场就是所有这样一对对
的窄条形成的，所以 P点的磁场 B
一定也垂直于 r方向如图。
? ·由于圆柱面上电流分布的轴对称
性，可知
? 柱面外任一点的 B均垂直于相应
的 r方向；且距离轴线同远的场
点，其 B的大小相同。
L
r ·
P
俯视图
B
R
dl
2dB1dB
载流无限长圆柱面内外的磁场
? 选合适的环路：由上
分析知，应选在垂直
于轴线的平面内的过 P
点的以 r为半径的圆形
环路 L，环路
? 正方向如图。
? 计算
L
r ·
P
俯视图
B
R
dl
?? ?? IrdB o
L
????
??????? rBdrBdrBrdB
LL
?2
?? ?? IrdB o
L
?
??? rR ? ? II
?
? IrB 02 ?? ??
r
IB o
?
?
2?
Rro ?? ? ? 0I
0?B?
三、利用安培环路定理求磁场的分布
2,安培环路定理 的应用举例
?例,无限长载流圆柱形导体的
磁场分布 。 设圆柱半径为 R,横
截面上均匀地通有总电流 I,沿
轴线流动 。 求磁场分布 。
解,由对称性分析，圆柱体内
外空间的磁感应线是一系列同
轴圆周线。在平行与轴线的直
线上各点的 B 相同。
三、利用安培环路定理求磁场的分布
（ 1） r > R
? ???L LdrBrdB ??
IrB 02 ?? ???
r
IB
?
?
2
0?
（ 2） r < R,同理
? ???L LdrBrdB ??
2
202 rR
IrB ?
??? ??? rR
IB
2
0
2?
??
三、利用安培环路定理求磁场的分布
?讨论
若电流为面分布，即电流 I 均匀分布在圆柱
面上，则由安培环路定理得空间的磁场分布为：
r
IBB
?
?
20
0??
外内,
三、利用安培环路定理求磁场的分布
?例 2,载流螺绕环的磁场分
布。环形螺线管称为螺绕环。
设螺绕环轴线半径为 R，环上
均匀密绕 N 匝线圈，通有电
流 I。求环内外磁场分布。
解, （ 1） 环管内
环内的 B 线为一系列与环同心的圆周线，在环
内任取一点 P，取过 P 点作以 O点为圆心，半径
为 r 的圆周为积分回路 L。
三、利用安培环路定理求磁场的分布
? ????L NIrBrdB 02 ????
r
NIB
?
?
2
0?
环管截面半径, R 时,
nIrNIBRr 002 ??? ???
其中 为螺绕环单位长度上的匝数 。
r
Nn
?2?
三、利用安培环路定理求磁场的分布
? ? ???L rBrdB ?2??
0?B
（ 2） 环管外 L?
0i n t0 ?? ? I?
三、利用安培环路定理求磁场的分布
?例 3.无限大均匀平面
电流的磁场分布 。
? ????L jllBrdB 02 ??? jB 021 ??
j?
B?
B?
Pa
b cl解,由 平面 对称性知道无限大平面 两侧为均匀
磁场,方向相反 (右手定则 ),令 j 代表 面电流密
度 矢量的大小, 为通过垂直电流方向的单位长度
上的电流 。 取回路 Pabc,使 aP 与 bc 以平面对
称, 长为 l,则
?取一闭合积分回路 L，使三根载流导线穿过它所
围成的面。现改变三根导线之间的相互间隔，但不
越出积分回路，则
（填, 不变或变, ）；
L上各点的 （填, 不变或
变, ）。
? ?
L
ldB
??
B?
答案,不变、变。
课堂练习
答案：
I; 00 ??
AB ?
pB
?
B?
?如图，平行的无限长直载流导线 A和 B，电流强度为 I，
垂直纸面向外，两根载流导线之间相距为 a，则
中点（ p点）的磁感应强度 ——————,
磁感应强度 沿图中环路 l的线积分
.__________ldBl? ?? ??
课堂练习
包含电阻、电感线圈的电
路,电流是连续的,
R
LI I
电流的连续性问题,
包含有电容的电流
是否连续 I I
++
++
++
四,与变化电场相联系的磁场
1,问题
?安培环路定理 在 恒定 电流的情况下 成立 。
IrdBL? ?? 0???
?? ?? 1S SdjI ??
?? ?? 2S Sdj ??
此时, 电流与闭合回路 铰链 。0?
IldB
l 0
???? ?
在电流非稳恒状态下,安培环路定理是否正确?
对 面S
对 面S? 0???
l ldB
?
矛盾
++
++
++
S
S?
II
l
电容器破坏了电路中传导电流的连续性。
+
+
+
+++
+
+
+
II
E0q? 0q?
电容器上极板在充放电过程中，造成极板上电荷
积累随时间变化。
S
QE
00 ??
? ?? 电通量
0?
QES
e ???
单位时间内极板上电荷增加（或减少）等于通入
（或流出）极板的电流
dt
dES
dt
d
dt
dQI e
00 ?? ?
???
?麦克斯韦把这种电流称为位移电流。
变化的电场象传导电流一样能产生磁场，从产生磁
场的角度看，变化的电场可以等效为一种电流。
SdtdEdtddtdQI e 00 ?? ????
+
+
+
+++
+
+
+
II
E0q? 0q?
麦克斯韦认为,变化的
电场产生磁场。
位移电流的方向, 位移电流与传导电流方向相同
定义
? （位移电流密度）
dt
EdJ
d 0??
dt
dI e
d
??
0?
(位移电流 )
SdEdtd
s
?? ??0?
+
+
+
+++
+
+
+
II
E0q? 0q?
dI
SdtdEdtddtdQI e 00 ?? ????
?
cI
R
dI位移电流与传导电
流连接起来恰好构
成连续的闭合电流
在普遍情形下，全电流在空间永远是连续
不中断的，并且构成闭合回路
四,与变化电场相联系的磁场
?全电流
dc III ??
?? ????? S c SdtEJ
??
)( 0?
???? ???? S dS c SdJSdJ ??
2,普遍的 安培环路定理
通过某一截面的全电流是通过这一截面的传导
电流、位移电流的 代数和,
在任一时刻,电路中的全电流总是连续的,
① 仅有传导电流存在时：
② 仅有位移电流存在时：
③ 位移电流和传导电流同时存在时：
??? ???? SL d SdEdtdIrdB
????
000 ???
? ??L cIrdB 0???
)( 00 ??? ????
SL c
SdEdtdIrdB
????
??
位移电流 Id全电流 I
?磁场由传导电流和变化电场共同产生
? ?dcL IIrdB ???? 0?
称 推广的或普遍的 安培环路定理 (全电流定律 )
四、与变化电场相联系的磁场
位移电流
密度 Jd
)SdEdtdI(rdB
SL c ???
????
????
00 ??
或
??? ?????? S cL Sd)tEJ(rdB
??
00 ??
或
物理意义,沿任意闭合曲线的线积分等于穿过
以该曲线为边界的曲面的全电流的 倍。
B
0?
五,平行电流间的相互作用力
1,对无限长平行载流直导线 1 和 2
d
I1
I2
B1
F1 F
2B
2
2
1
电流 I1 在电流 I2 处产生的磁场为
d
IB
?
?
2
10
1 ?
d
IIIBF
?
?
2
210
212 ??
同理
2
210
121 2 Fd
IIIBF ???
?
?
电流 I1 和电流 I2方向相同时，
两导线相吸；相反时，则相斥。
单位长度载流导线受力
五,平行电流间的相互作用力
2,电流的单位
d
I1
I2
B1
F1 F
2B
2
2
1
d
IIF
?
?
2
210?
规定,
d = 1 m
I1 = I2 同方向
F = 2 ? 10-7 N 时,
I1 = I2= 1A
dt
dqI ? 1 C = 1 A s由
[例 ]求载流导线 ab 在无限长载流直导线
磁场中所受力
已知,I1,I2,d,L
1I
2Ia b
d L
dlI2x
df
解：在 ab上任取电流元 dlI 2
电流元所受安培力如图
dlBIdf 2? dxx2 II 210πμ?
??
L
dff ? ?? Ldd 210 dxx2 IIπμ
d
Ldln
2
II 210 ??
π
μ
方向向上
五,平行电流间的相互作用力
3.电流秤
?线圈 C1,C2固定, 活
动线圈 CM吊在天平的一
个盘下面, 三个线圈通
有相同的电流 。 天平的
平衡由加减砝码来调节 。
?电流秤用来校准其它
更方便的测量电流的二
级标准 。 ?例 P.270
一, 比奥 -萨伐尔定律
二, 安培环路定理
三, 利用安培环路定理求磁场的分布
四, 与变化电场相联系的磁场
五, 平行电流间的相互作用力
一,比奥 -萨伐尔定律
1,比奥 -萨伐尔定律
I
lId?
Pr?
?
?
Bd?
?1820年 10月
载流导线上任一电流元在真空中某点 P 处产
生的磁感强度
2
0
4 r
elIdBd r?
??
??
?
?
称为 真空中的磁导率
270 /104 AN??? ??
I
lI ?d
P?r
?
?
B?d
真空中的磁导率
70 10π4 ???? H/m
大小：
2
0
π4
s i n
r
lIB ?? dd ??
方向,rlI ???d 如图所示
既垂直电流元 又垂直矢径
一,比奥 -萨伐尔定律
2
0
4 r
elIdBd r?
??
??
?
?
一,比奥 -萨伐尔定律
B?
I??电流元的磁场
的磁感线是圆心
在电流元轴线上
的同心圆 。
2
0
4 r
elIdBd r?
??
??
?
?
叠加原理, ?
???
i
i BBBB
???? d,
P
lI ?d
O
?
B?d
?
l?d
P
I
r?
?
B?d
电流元的磁感应线在垂直于电流元的平面内
磁感应线绕向与电流流向成右手螺旋关系
是圆心在电流元轴线上的一系列同心圆
一,比奥 -萨伐尔定律
2,磁通连续定理
?磁场的磁感线都是闭合的曲线。
? ??S SdB 0??
?任何磁场中通过任意
封闭曲面的磁通量总
等于零。
?不存在磁单极子或
,磁荷, 。
B = ?dB = ? ?04? Idl sin?r2
·
P
a
r
Idl ?
?2
?1
?
dBo
l
例 1 长直电流的磁场
·任取一电流元 Idl，它
在 P点产生的磁场大小为
方向如图dB = ?04? Idl sin?r2
·把直电流分为无数电流元
·本例中，所有电流元在 P点产生的
磁场方向相同，于是 P点 B的大小为
一,比奥 -萨伐尔定律
B?
I?
?1 = 0 ； ?2 = ?, 有
·利用 r=a/sin?； l=-acot?； dl=a d?/sin2?，可得
B = ?0I4?a (cos?1 - cos?2)
·特例：（ 1）对无限长直电流,
·
P
a
r
Idl ?
?2
?1
?
dB
o
l
B = ?dB = ? ?04? Idl sin?r2
?????
?
ds i naIB ?? 2
1 4
0
a2
IB 0
π
μ?
（ 3）场点在直电流延长线上
0?B0? ?? rlI ?d
I P
（ 2）半无限长载流导线
l ? ?
P?
B?
a
IBB
?
?
42
1 0??
无限半无限
)( 2104 ?? c o sc o saIB ?? πμ
无限长载流直导线的磁场,
a2
IB 0
π
μ?
01 ?? π?2?(因为 )
半无限长载流直导线的磁场,
a4
IB 0
π
μ?
直导线延长线上一点的磁场, 0B ?
(因为在 中 ) 20 rs i nI dl4dB απμ? 0?α
一段载流直导线的磁场,
21
?? ?(因为 )π?2?
有一边长为 L电阻均匀分布
的正三角形导线框 abc，与电
源相连的长直导线 1和 2彼此
平行并分别与导线框的 a点和 b点相连接，导线 1和
线框的 ac的延长线重合，导线 1和 2的电流为 I，如图
所示，令长直导线 1,2和导线框在线框中心 O点产
生的磁感应强度分别为 B1,B2和 B3，则 O点的磁感
应强度大小：
① B=0，因为 B1= B2= B3=0。
② B=0,因为 B1+ B2=0,B3=0。
③ B 0,因为虽然 B1+ B2=0，但 B3 0。
④ B 0,因为虽然 B3=0，但 B1+ B2 0。
o
c
b 2
a1 I
?
?
?
? 答案,（ 4）
课堂练习
例 2 圆电流轴线上任一点的磁场
I x
y
z
o
R
P
.x
圆电流的电流强度为 I 半径为 R
建如图所示的坐标系 设圆电流在 yz平面内
场点 P坐标为 x
I x
y
z
o
R
P
.x
解,第一步：在圆电流上任取一电流元
由毕－萨定律 知其在场点 P产生的磁感
强度
2
0
π4
?
r
rlIB ??
??
dd ?
lI ?d
lI ?d
r?
r?
B?d
组成的平面rlI ???d
I x
y
z
o
R
P
.x
第二步：分析各量关系 明确 B?d 的方向和大小
2
?? ?
组成的平面内
lI ?d
r?
r?
B?d?
且垂直 r?
由此可知
2
0
4 π r
lIB dd ???
rlI ???d 相互垂直 所以
rlI ???d在B
?d
rlI ???d
组成的平面rlI ???d
与
I R
P
.x
lI ?d
r?
r?
B?d?
2
0
4 π r
lIB dd ???
第三步：根据坐标 写分量式
xBd
r
R
r
lIBB
x ??? 2
0
π4s i n
ddd ??
yzBd?
?
组成的平面rlI ???d
x
y
z
o
?c o sBB yz dd ?
第四步：考虑所有电流元在 P点的贡献
I x
y
z
o
R
P
.x
lI ?d
r?
r?
B?d?
xBd
yzBd?
?
? ? ? ? ? ?
??? ????
I
ddd l
r
IR
r
R
r
lIBB
II
x 3
0
2
0
π4π4
s i n ??? 3
2
0
2 r
IR??
由对称性可知 每一对对称的电流元在 P点
的磁场垂直分量相互抵消 所以
组成的平面rlI ???d
结论：在 P点的磁感强度
方向：沿轴向 与电流成右手螺旋关系
? ? 2322
2
0
3
2
0
22 Rx
IR
r
IRBB
x
?
??? ??
? ?
0c o s ?? ?
I
yz BB ?d
R
P
.x
lI ?d
r?
r?
B?d?
xBd
yzBd?
?
组成的平面rlI ???d
I x
y
z
o
R
IB
2
0??（ 1）在圆心处
2
3
2
3
)(2)(2 22
0
22
2
0
xR
IS
xR
IR
B
?
?
?
??
?
??
讨论：
rxRx ???,（ 2）在远离线圈处
0?x
3
0
3
0
22 r
IS
x
ISB
?
?
?
? ??
3
0
2 r
pB m??
?
??
载流线圈
的磁矩
nm eISp
?? ?引入
载流圆线圈轴线上的磁场
例 3,载流直螺线管内部的磁场
设螺线管的半径为 R,电流为 I,每单位长度
有线圈 n匝 。
R
1A
l ld
2A
2?
?r1?
p B?d
由于每匝可作平面线圈处理, ndl匝线圈可作
Indl的一个圆电流, 在 P点产生的 磁感应强度,
2/322
2
0
)(2
dd
lR
lnIRB
?
? ?
R
1A
l ld
2A
2?
?r1?
p B?d
?? ??? LL lR
lnIRBB
2/322
2
0
)(2
d?d
?c o tRl ??
R
1A
l ld
2A
2?
?r1?
p B?d
?2222 c s cRlR ???又
? ?? L lR
lnIRB
2/322
2
0
)(2
d?
?? dc s cd 2Rl ???
? ? ??? ?
?
ds in
2
2
1
0 ? ?? nI
)c o s( c o s
2 12
0 ??? ?? nI
讨论：
nIB 0??
2/0 nIB ??
实际上, L>>R
时, 螺线管内部的
磁场近似均匀, 大
小为 nI
0?
)c o s( c o s2 120 ??? ?? nIB
（ 1） 螺线管无限长
（ 2） 半无限长螺线管的端点圆心处
0,21 ?? ???
nI0?
B
O
1A 2A
20nI?
练习,如下列各图示，求圆心 O点的磁感应强度。
OI R
O R
I
O
R I
O R
I3?2
R
μ
4
0 IB ?
?
)( 2 316 00 ??? RIRIB πμμ ?
R2
I
R4
IB 00
π
μμ ??
?
?
R
μ
8
0 IB ?
例 一个半径 R为的塑料薄圆盘, 电量 +q均匀分布其上,
圆盘以角速度 ?绕通过盘心并与盘面垂直的轴匀速转动 。
求圆盘中心处的磁感应强度 。
解：带电圆盘转动形成圆电流, 取距盘心 r处宽度
为 dr的圆环作圆电流, 电流强度：
+ +
+ +
++
+ ++ ++
+
++
o
?
22
dd2
2
d
R
rqrrr
R
qI
?
??
??
? ??
r
IB
2
dd 0??
??
R
r
R
qB
02
0 d
2 ?
??
R
q
?
??
2
0?
例 亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆霍兹线圈产生所
需的不太强的均匀磁场。特征是由一对相同半径的同轴载流
线圈组成，当它们之间的距离等于它们的半径时，试计算两
线圈中心处和轴线上中点的磁感应强度。从计算结果将看到，
这时在两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。
R
O1
R
Q1 P O2Q2
R
解 设两个线圈的半径为 R，
各有 N匝, 每匝中的电流均
为 I,且流向相同 （ 如图 ） 。
两线圈在轴线上各点的场强
方向均沿轴线向右, 在圆心
O1,O2处磁感应强度相等,
大小都是
两线圈间轴线上中点 P处，磁感应强度大小为
? ?
R
NI
R
NI
RR
N I R
R
NI
B
00
2/322
2
00
0
6 7 7.0
22
1
1
2
22
??
??
??
?
?
?
?
?
??
?
??
R
NI
R
NI
R
R
N I R
B
P
0
0
2/3
2
2
2
0
716.0
22
1
1
55
8
2
2
2
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
此外，在 P点两侧各 R/4处的 O1,O2 两点处磁感应强度都
等于
R
NI
R
NI
R
R
N I R
R
R
N I R
B
Q
0
3
3
2/3
3
0
2/3
2
2
2
0
2/3
2
2
2
0
712.0
5
4
17
4
2
4
3
2
4
2
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介
乎 B0,BP 之间。由此可见，在 P点附近轴线上的场
强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。图
中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的场
强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加曲
线。
O1 Q1 P Q2 O2
例 在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运动相当
于一个圆电流，具有相应的磁矩，称为轨道磁矩。试
求轨道磁矩 μ与轨道角动量 L之间的关系，并计算氢
原子在基态时电子的轨道磁矩。
Lme
e2
??
2rneIS ?? ??
222 rnmr n rmvrmL eee ?? ???
解 为简单起见，设电子绕核作匀速圆周运动，圆
的半径为 r，转速为 n。电子的运动相当于一个圆电
流，电流的量值为 I=ne，圆电流的面积为 S=πr 2，
所以相应的磁矩为
角动量和磁矩的方向可分
别按右手螺旋规则确定。
因为电子运动方向与电流
方向相反，所以 L和 μ 的
方向恰好相反，如图所示。
上式关系写成矢量式为
Lme
e2
－??
这一经典结论与量子理论导出的结果相符。由于
电子的轨道角动量是满足量子化条件的，在玻尔
理论中，其量值等于（ h/2π ） d的整数倍。所以
氢原子在基态时，其轨道磁矩为
L
?
ee
B m
ehh
m
e
??
?
422
??
?
??
?
??
22410273.9 mAB ??? ??
它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。
将 e=1.602?10-19 C,me= 9.11?10-31kg,普朗
克常量 h= 6.626?10-34J·s代入，可算得
原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋，电子的
自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量，
电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。
二,安培环路定理
1,定理表述
?在恒定电流的磁场中, 磁感应强度沿任何闭
合路径一周的线积分 （ 即环路积分 ）, 等于闭
合路径内所包围并穿过的电流的代数和的 ?0
倍, 而与路径的形状大小无关 。
?? ?? i n t0 IrdBL ???
二,安培环路定理
?? ?? i n t0 IrdBL ???
??B 空间所有恒定电流 共同 产生的
?L 在磁场中任取的一 闭合 线，任意规定一个
绕行方向
注意
??rd L 上的任一线元
与 L套连的 闭合 恒定
电流, 与 L绕行方向
成右螺时取正, 反之
?intI
取负 。
?? rdBrdBrdB LL L ?? ? ??? ??? c o s
二,安培环路定理
2,特例验证
?如图, 真空中有一载流
无限长直导线, 在垂直于
电流 I 的平面上任取闭
合路径 L 为积分路径,
磁感应强度的环流为
rd?
L
I
B?
IdIrdrI
LL 0
00
22 ???
??
?
? ??? ??
? ?? ? 02 0 ???? ???? I
?????? ?? ??
212
0
LL
ddI ????
二,安培环路定理
?当电流反方向流动时, 磁感应强度反向, 闭
合路径 L 的绕行方向与电流不构 成右螺, 有
? ???L IrdB 0???
?若 I 在 L外 （ L未包围 I）
?? ? ????? 21 LL L rdBrdBrdB ??????
IdI
L 0
0
2 ???
? ?? ?
二,安培环路定理
?对非平面闭合路径, r 和 dr 可以正交分解
为平行于电流 I 分量和垂直于电流 I 的分量 。
? ?? ??????L LL rdBrdBrdB ?????? //
??? drrI
L ?
?
??? 20 0
?? ??? LL rdBdrB ?? ?c o s90c o s //
二,安培环路定理
?其他情况
NIrdBL 0?? ?? ??
)2(0 IrdBL ?? ?? ??
0? ??L rdB ??
二,安培环路定理
3,注意事项
?只有环路内的电流对环流有贡献 。
?闭合路径 L 上每一点的磁感 应 强度是所有
电流 （ 包括闭合曲线外的 ） 共同 产生的 。
?安培环路定理是描述磁场特性的重要规律 。
磁场中的环流一般不等于零, 说明磁场属于非
保守场 （ 称为 涡旋场 ） 。
?定理仅适用于稳恒电流的稳恒磁场 。
三、利用安培环路定理求磁场的分布
1,利用安培环路定理求磁场的步骤
?依据电流的对称性分析磁场分布的对称性；
?? ?? i n t0 IrdBL ???
?依据磁场分布的对称性选取合适的闭合路径
（ 又称为 安培环路 ）, 确保能使 B 以标量的形
式从积分号内提出来 。
安培环路定理的应用举例
? 例,求载流无限长圆柱面内外的磁场。设
圆柱面半径为 R，通有恒定电流 I。
R
I
B
r
L P
·
L
r
·
·
·P
dI1
俯视图
dB1
dB2 dB
dI2
R
对称性分析
·将圆柱面分为无限
多窄条，每个窄
条可看作是载有
电流 dI的无限长
直导线；
·任取一对相对于
图中 r对称的窄
条,,它们
在图中 P点产生的
磁场分别为
1dI
1dI 2dI
?, 其合磁场 dB垂直于 r方
向 (且在垂直于轴线的平面内，
下同 )；
? ·P点的磁场就是所有这样一对对
的窄条形成的，所以 P点的磁场 B
一定也垂直于 r方向如图。
? ·由于圆柱面上电流分布的轴对称
性，可知
? 柱面外任一点的 B均垂直于相应
的 r方向；且距离轴线同远的场
点，其 B的大小相同。
L
r ·
P
俯视图
B
R
dl
2dB1dB
载流无限长圆柱面内外的磁场
? 选合适的环路：由上
分析知，应选在垂直
于轴线的平面内的过 P
点的以 r为半径的圆形
环路 L，环路
? 正方向如图。
? 计算
L
r ·
P
俯视图
B
R
dl
?? ?? IrdB o
L
????
??????? rBdrBdrBrdB
LL
?2
?? ?? IrdB o
L
?
??? rR ? ? II
?
? IrB 02 ?? ??
r
IB o
?
?
2?
Rro ?? ? ? 0I
0?B?
三、利用安培环路定理求磁场的分布
2,安培环路定理 的应用举例
?例,无限长载流圆柱形导体的
磁场分布 。 设圆柱半径为 R,横
截面上均匀地通有总电流 I,沿
轴线流动 。 求磁场分布 。
解,由对称性分析，圆柱体内
外空间的磁感应线是一系列同
轴圆周线。在平行与轴线的直
线上各点的 B 相同。
三、利用安培环路定理求磁场的分布
（ 1） r > R
? ???L LdrBrdB ??
IrB 02 ?? ???
r
IB
?
?
2
0?
（ 2） r < R,同理
? ???L LdrBrdB ??
2
202 rR
IrB ?
??? ??? rR
IB
2
0
2?
??
三、利用安培环路定理求磁场的分布
?讨论
若电流为面分布，即电流 I 均匀分布在圆柱
面上，则由安培环路定理得空间的磁场分布为：
r
IBB
?
?
20
0??
外内,
三、利用安培环路定理求磁场的分布
?例 2,载流螺绕环的磁场分
布。环形螺线管称为螺绕环。
设螺绕环轴线半径为 R，环上
均匀密绕 N 匝线圈，通有电
流 I。求环内外磁场分布。
解, （ 1） 环管内
环内的 B 线为一系列与环同心的圆周线，在环
内任取一点 P，取过 P 点作以 O点为圆心，半径
为 r 的圆周为积分回路 L。
三、利用安培环路定理求磁场的分布
? ????L NIrBrdB 02 ????
r
NIB
?
?
2
0?
环管截面半径, R 时,
nIrNIBRr 002 ??? ???
其中 为螺绕环单位长度上的匝数 。
r
Nn
?2?
三、利用安培环路定理求磁场的分布
? ? ???L rBrdB ?2??
0?B
（ 2） 环管外 L?
0i n t0 ?? ? I?
三、利用安培环路定理求磁场的分布
?例 3.无限大均匀平面
电流的磁场分布 。
? ????L jllBrdB 02 ??? jB 021 ??
j?
B?
B?
Pa
b cl解,由 平面 对称性知道无限大平面 两侧为均匀
磁场,方向相反 (右手定则 ),令 j 代表 面电流密
度 矢量的大小, 为通过垂直电流方向的单位长度
上的电流 。 取回路 Pabc,使 aP 与 bc 以平面对
称, 长为 l,则
?取一闭合积分回路 L，使三根载流导线穿过它所
围成的面。现改变三根导线之间的相互间隔，但不
越出积分回路，则
（填, 不变或变, ）；
L上各点的 （填, 不变或
变, ）。
? ?
L
ldB
??
B?
答案,不变、变。
课堂练习
答案：
I; 00 ??
AB ?
pB
?
B?
?如图，平行的无限长直载流导线 A和 B，电流强度为 I，
垂直纸面向外，两根载流导线之间相距为 a，则
中点（ p点）的磁感应强度 ——————,
磁感应强度 沿图中环路 l的线积分
.__________ldBl? ?? ??
课堂练习
包含电阻、电感线圈的电
路,电流是连续的,
R
LI I
电流的连续性问题,
包含有电容的电流
是否连续 I I
++
++
++
四,与变化电场相联系的磁场
1,问题
?安培环路定理 在 恒定 电流的情况下 成立 。
IrdBL? ?? 0???
?? ?? 1S SdjI ??
?? ?? 2S Sdj ??
此时, 电流与闭合回路 铰链 。0?
IldB
l 0
???? ?
在电流非稳恒状态下,安培环路定理是否正确?
对 面S
对 面S? 0???
l ldB
?
矛盾
++
++
++
S
S?
II
l
电容器破坏了电路中传导电流的连续性。
+
+
+
+++
+
+
+
II
E0q? 0q?
电容器上极板在充放电过程中，造成极板上电荷
积累随时间变化。
S
QE
00 ??
? ?? 电通量
0?
QES
e ???
单位时间内极板上电荷增加（或减少）等于通入
（或流出）极板的电流
dt
dES
dt
d
dt
dQI e
00 ?? ?
???
?麦克斯韦把这种电流称为位移电流。
变化的电场象传导电流一样能产生磁场，从产生磁
场的角度看，变化的电场可以等效为一种电流。
SdtdEdtddtdQI e 00 ?? ????
+
+
+
+++
+
+
+
II
E0q? 0q?
麦克斯韦认为,变化的
电场产生磁场。
位移电流的方向, 位移电流与传导电流方向相同
定义
? （位移电流密度）
dt
EdJ
d 0??
dt
dI e
d
??
0?
(位移电流 )
SdEdtd
s
?? ??0?
+
+
+
+++
+
+
+
II
E0q? 0q?
dI
SdtdEdtddtdQI e 00 ?? ????
?
cI
R
dI位移电流与传导电
流连接起来恰好构
成连续的闭合电流
在普遍情形下，全电流在空间永远是连续
不中断的，并且构成闭合回路
四,与变化电场相联系的磁场
?全电流
dc III ??
?? ????? S c SdtEJ
??
)( 0?
???? ???? S dS c SdJSdJ ??
2,普遍的 安培环路定理
通过某一截面的全电流是通过这一截面的传导
电流、位移电流的 代数和,
在任一时刻,电路中的全电流总是连续的,
① 仅有传导电流存在时：
② 仅有位移电流存在时：
③ 位移电流和传导电流同时存在时：
??? ???? SL d SdEdtdIrdB
????
000 ???
? ??L cIrdB 0???
)( 00 ??? ????
SL c
SdEdtdIrdB
????
??
位移电流 Id全电流 I
?磁场由传导电流和变化电场共同产生
? ?dcL IIrdB ???? 0?
称 推广的或普遍的 安培环路定理 (全电流定律 )
四、与变化电场相联系的磁场
位移电流
密度 Jd
)SdEdtdI(rdB
SL c ???
????
????
00 ??
或
??? ?????? S cL Sd)tEJ(rdB
??
00 ??
或
物理意义,沿任意闭合曲线的线积分等于穿过
以该曲线为边界的曲面的全电流的 倍。
B
0?
五,平行电流间的相互作用力
1,对无限长平行载流直导线 1 和 2
d
I1
I2
B1
F1 F
2B
2
2
1
电流 I1 在电流 I2 处产生的磁场为
d
IB
?
?
2
10
1 ?
d
IIIBF
?
?
2
210
212 ??
同理
2
210
121 2 Fd
IIIBF ???
?
?
电流 I1 和电流 I2方向相同时，
两导线相吸；相反时，则相斥。
单位长度载流导线受力
五,平行电流间的相互作用力
2,电流的单位
d
I1
I2
B1
F1 F
2B
2
2
1
d
IIF
?
?
2
210?
规定,
d = 1 m
I1 = I2 同方向
F = 2 ? 10-7 N 时,
I1 = I2= 1A
dt
dqI ? 1 C = 1 A s由
[例 ]求载流导线 ab 在无限长载流直导线
磁场中所受力
已知,I1,I2,d,L
1I
2Ia b
d L
dlI2x
df
解：在 ab上任取电流元 dlI 2
电流元所受安培力如图
dlBIdf 2? dxx2 II 210πμ?
??
L
dff ? ?? Ldd 210 dxx2 IIπμ
d
Ldln
2
II 210 ??
π
μ
方向向上
五,平行电流间的相互作用力
3.电流秤
?线圈 C1,C2固定, 活
动线圈 CM吊在天平的一
个盘下面, 三个线圈通
有相同的电流 。 天平的
平衡由加减砝码来调节 。
?电流秤用来校准其它
更方便的测量电流的二
级标准 。 ?例 P.270
