第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明
§1. 关于实数的基本定理
一 子列
定义1 在数列中，保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列，就称为的子列，记为。
子列的极限和原数列的极限的关系
定理1 若，则的任何子列都收敛，并且它的极限也等于。
注：该定理可用来判别不收敛。
例：证明 不收敛。
推论：若对任何：都有收敛，那么在的极限存在。
二 上确界和下确界
上确界的定义，下确界的定义
定理2 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界。
定理3 单调有界数列必收敛.
三 区间套定理
区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件
ⅰ> 对, 有 ;
ⅱ> .
则称该闭区间序列为为区间套 .
注：区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.
例：和都是区间套.但都不是.
定理4设是一闭区间套. 则存在唯一的点属于所有的区间。
注：区间套中的任何一个条件去掉，定理一般将不成立。
四 致密性定理
定理5 任一有界数列必有收敛子列。
推论 若是一个无界数列，则存在子列。
五 Cauchy收敛原理
定理6 数列收敛 当时，有。
注：定理可通过数列本身来判别它收敛还是发散。
例：设，证明发散。
例：设，证明收敛。
六 有限覆盖定理
复盖: 先介绍区间族.
定义 (复盖 )：设是一个数集,是区间族.若对使得, 则称区间族复盖了, 或称区间族是数集的一个复盖. 记为若每个都是开区间，则称区间族是开区间族.开区间族常记为.
定义 (开复盖 )：数集的一个开区间族复盖称为的一个开复盖,简称为的一个复盖.
子复盖、有限复盖、有限子复盖.
例：复盖了区间, 但不能复盖。
定理7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖。
注：在定理的条件中，若不是开区间集，或为非闭区间，则从中就不一定能选出有限个区间来覆盖。
闭区间上连续函数性质的证明
一 有界性定理
定理1 闭区间上的连续函数必定有界。
注：开区间上的连续函数既可能有界，也可能无界。
二 最大值和最小值定理
定理2 闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值。
三 零点存在定理
定理3 在闭区间连续，且，则在内至少有一个根。
证法一(用区间套定理)；
证法二(用确界原理)；
证法三 (用有限复盖定理)。
四 一致连续性定理
定理4 闭区间上的连续函数必定一致连续。
证法一 (用区间套定理)；
证法二 (用致密性定理)。
