第十一章 函数项级数、幂级数 §1 函数项级数的一致收敛 我们知道，可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数，下面将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数。 一 函数项级数的概念 设是定义在数集上的一个函数列，表达式 ， （1） 称为定义在上的函数项级数，记为。称 ， ， （2） 为函数顶级数（2）的次部分和。 若，数顶级数 （3） 收敛，即部分和当时极限存在，则称级数（1）在点收敛，称为级数（1）的收敛点，若级数（3）发散，则称级数（1）在点发散。若级数（1）在上每个点都收敛，则称级数（1）在上收敛，若为级数（1）全体收敛点的集合，这时则为级数（1）的收敛域。级数（1）在上每一点与其所对应的数项级数（3）的和构成一个定义在上的函数，称为级数（1）的和函数，并写作 ， 即。 也就是说，函数项级数（1）的收敛性就是指它的部分和函数列（2）的收敛性。 例：定义在上的函数项级数（几何级数）  （4） 的部分和函数为。故当时， 。 所以几何级数（4）在内收敛于和函数；当时，几何级数是发散的。 二 一致收敛的定义 定义1（函数项级数一致收敛性定义） 设有函数列（函数项级数）。若对任给的正数，总存在某一正整数，使得当时，对一切的，都有  （对函数项级数，此式可写为），则称（）在上一致收敛于。 定义2 设，如果，就称在上一致收敛于。 例：讨论在上的一致收敛性。 例：讨论在上的一致收敛性。 定义3 设是函数列。当在内任一闭区间上一致收敛时，则称在内闭一致收敛。 例：在非一致收敛，但内闭一致收敛。 定理1（函数列一致收敛的柯西准则） 函数列在数集上一致收敛的充要条件是：对任给的正数，总存在正数，使得当时，对一切，都有 。 定理2（函数项级数一致收敛的柯西准则）函数项级数在上一致收敛 对于，，使得当时，对一切和一切正整数，都有 。 特别地，当时，得到函数项级数收敛的必要条件： 推论 函数项级数在上一致收敛的必要条件是函数列在上一致收敛 于0。 三 一致收敛级数的性质 定理3（连续性）若在上，函数列一致收敛于，且对，在上连续，则在上也连续。 注：若各项为连续函数的函数列在区间上其极限函数不连续，则此函数列在区间上不一致收敛。 例：在上。 注：该定理指出：在一致收敛的条件下，两个极限运算可以交换顺序。 定理4（可积性）若函数列在上一致收敛，且每一项都连续，则 。 注：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序； 注：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。 例： 设函数 ，。 定理5（可微性）设为定义在上的函数列，若收敛于，的每一项在上有连续的导数，且在上一致收敛，则 。 注：在该定理的条件下可以证明在区间上一致收敛； 注：该定理指出：在一致收敛的条件下，求导运算与极限运算可以交换顺序； 注：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。 例：设函数列 ，。 下面讨论函数项级数的连续性，逐项求积与逐项求导的性质，它们都可由函数列的相应性质推出。 定理6（连续性）若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数也在区间上连续。 注：在一致收敛的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即 。 定理7（逐项求积）若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则 。 注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与积分运算可以交换顺序。 定理8（逐项求导）若函数项级数在区间上每一项都有连续导函数，函数项级数在上收敛，且在区间上一致收敛，则 。 注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与求导运算可以交换顺序。 四 函数项级数的一致收敛性判别法 1．用定义； 2．柯西准则； 3．定理6； 4．定理9（魏尔斯特拉斯判别法，也称M判别法或优级数判别法） 设函数项级数定义在数集上，若，有 ，， 且收敛，则函数项级数在上一致收敛。 注：（1）应用此判别法的关键是：从出发找到所需的。 （2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的。 5. 定理10 若在有限区间上连续函数序列收敛于连续函数，而对上每一，是单调序列，则在上一致收敛于。 定理11 若在有限区间上连续函数所组成的级数收敛于连续函数，而对 上每一，级数的各项同号，则在上一致收敛于。 阿贝尔判别法 定理12 若在上一致收敛，又对上每一固定的，数列单调。而对任意的和中每个，有，那么在上一致收敛。 例：若收敛，则在上一致收敛。 6．狄立克莱判别法 定理13 若在上的部分和一致有界，又对上每一固定的，数列单调，并且在上一致收敛于0。那么在上一致收敛。 例：讨论在上的一致收敛性。 §2 幂级数 一 收敛半径 1 定义1 形如  （1） 的函数项级数称为幂级数。 特例：当，即在点零处展开的幂级数为  （2） 若在（1）中令，则（1）化为（2）的形式，故研究幂级数，一般研究在点零处的展开幂级数即可。 幂级数形式上的特点：一般项为，从而所求的和是多项式（最简单函数），是一种比较简单的函数项级数，因而具有一些特殊的性质。如收敛域一定是区间（退化区间——点）。又在收敛域内可任意次逐项求导和求积等，这些优点使其成为一类最常用的级数。 规定  定理1 （柯西-阿达玛定理） 幂级数在内绝对收敛，在内发散。 定义2 称为幂级数的收敛半径。 定理2（阿贝尔第一定理） 若幂级数在点收敛，那么它必在内绝对收敛，又若级数在点发散，那么它必在也发散。 定理3（阿贝尔第一定理） 若幂级数的收敛半径为，则此级数在内的任一个闭区间上一致收敛，也就是在内闭一致收敛；又若级数在点收敛，则它必在一致收敛。同理，当级数在收敛时可得类似结论。 例：求下列幂级数的收敛半径和收敛域：（1）；（2）；（3）。 例：证明在绝对收敛，在其它点发散。 二 幂级数的性质 性质1 设幂级数的收敛半径为，则其和函数在内连续。又若级数在点收敛，则其和函数在内连续。 性质2 设幂级数的收敛半径为，和函数为，则在上幂级数可以逐项积分和逐项微分，即：对上任一点，有  ， 并且逐项求导和逐项积分后的级数（仍为幂级数），其收敛半径仍为。 幂级数性质的应用 例: 求幂级数的和函数。 例: 求的和函数。 例: 求的和函数。 例: 求的和函数。 三 函数的幂级数展开 幂级数不仅形式简单，而且有很多特殊的性质（如收敛域是区间；在收敛域内部内闭一致收敛，在收敛域内可逐项积分、逐项微分等）。这就使我们想到，能否把一个函数表示为幂级数来研究？ 定理4 设在内有阶连续导数，则对一切，有 ， 其中. 在实际应用中,往往取,此时的Taylor级数  称为Maclaurin级数, 此时积分型余项为. 1 ,  ,  3 ,  4 ,  5 ,  6 ,  此处,,  7   例： 求下列函数按幂级数展开的Taylor级数. (1); (2); (3) 例： 求在的Taylor展开. 例： 将: (1)按幂级数展开; (2)按幂级数展开. §3 逼近定理 定理1 设是上的连续函数，那么，总存在多项式，使得 。 注：定理1也成为魏尔斯特拉斯定理，他在数学的不少分支中有着很重要的应用。