第十二章 富里埃级数 §1 富里埃级数 一 富里埃（Fourier）级数的引进 1 定义：设是上以为周期的函数，且在上绝对可积，称形如  的函数项级数为的 Fourier级数(的 Fourier展开式)，其中 ，，  称为的 Fourier系数，记为 说明 1）在未讨论收敛性，证明一致收敛到之前，不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示是的 Fourier级数，或者说的 Fourier级数是。2) 要求上的 Fourier级数，只须求出Fourier系数。 二 富里埃级数收敛性的判别 1. Riemann（黎曼）引理 设在（有界或无界）区间上绝对可积，则 ，  . 推论 在上绝对可积函数的Fourier系数 ； 2. Fourier级数收敛的充要条件 定理1 和, 使得当时成立  其中. 3. Fourier级数收敛的Dini判别法 推论: 设在上除去有限点外存在有界导数,则的Fourier级数点点收敛,且  特别地, 是的连续点时, ,即  例: 设是以为周期的函数，其在上可表示为,判定的Fourier级数的收敛性. 例：设是以为周期的函数,其在上等于,判定的 Fourier级数的收敛性 例：   4. Jordan判别法 设在上单调(或有界变差)，则 。 例：设是以为周期的函数，其在上可表示为 ,求的 Fourier展开式。 计算的 Fourier系数的积分也可以沿别的长度为的区间来积.如 ，， 例： 设是以为周期的函数,其在上等于,求的 Fourier级数. 如果仅定义在长为的区间上,例如定义在上, 此时不是周期函数, 从而不能按上述方法展开为Fourier级数.但可对在外补充定义,使其以为周期, 如定义 ,  它有下述性质: a) 时,； b) 以为周期. 例 :  三 正弦级数和余弦级数 1 定义 形如的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如的三角级数(函数项级数称为余弦级数. 2 如果是以为周期的函数,在上绝对可积, 若是奇函数,则有；若是偶函数,则有. 3设仅在上有定义, 如果按奇函数的要求,补充定义,然后再作周期延拓,必得奇函数, 所得Fourier级数必为正弦级数. 对应地, 补充定义后,再作周期延拓,必得偶函数, 所得Fourier级数必为余弦级数。 例:  ),将展开成余弦函数。 例：将在上展开为余弦级数。 四 一般周期函数的Fourier级数 设是周期为的函数,且在上绝对可积, 则有 , 其中，，  例: 求的Fourier展开式. 五 Fourier级数的复数表示形式 设, 则其复数表示形式为 , 其中, 复的Fourier系数. §2 富里埃变换 一 富里埃变换的概念 设在内绝对可积。 定义1 称是的富里埃变换，并把它记为或。即 。 富里埃变换的性质 （i）是内的连续函数； （ii）。 定义2 称是的富里埃逆变换。又称  是的富里埃变换积分公式。 例： 求衰减函数的富里埃变换。 例： 求函数的富里埃变换和富里埃变换积分公式。 二 富里埃变换的一些性质 富里埃变换有一些简单的性质，这些性质在偏微分方程和概率论等课程中有着很重要的应用。 性质1（线性），其中是两个任意给定的常数。 性质2（平移）对任何，设，那么。 性质3（导数）设，则。 性质4 。