第十六章 隐函数存在定理、函数相关 §1 隐函数存在定理 一 一个方程的情形 在前面,我们是在假定从方程中可以确定的前提下,给出求导数的方法。然而需要指出的是:并不是任一方程都能确定出隐函数。因此,我们必须知道方程在什么情况下才能确定隐函数? 例:设有方程,问在点,,,的附近是否确定为的函数? 定理1 (隐函数存在定理) 设二元函数满足下列条件:  注: (1)定理的几何意义:条件(1)表明曲面是光滑的;条件(2)表明曲面和坐标平面有一个交点,条件(3)(不妨设)表明在的附近,对固定的,设为正向,曲面是单调增加的。定理的结论是:在点的附近曲面和有一条唯一的光滑交线.(2)定理的结论是局部性的,即在点的某个邻域内由方程可以唯一确定一个可微的隐函数。例如:  在点(0,1)的某个邻域内由方程可以确定唯一的。在点(0,-1)的某个邻域内由方程可确定唯一的 (3) 定理的条件是充分的,非必要的。如上例中的函数:在(-1,0)和(1,0)两点,,破坏了定理中的条件(3),从而定理失效。从图中可以看出,对于一在右邻域或左邻域内的任何一个值,将获得两个值:  , 唯一性条件破坏。  定理1中的方程是含有两个变量和的,对于3个变量,甚至于多个变量,也有类似的结果。 二 多变量及方程组的情形 定理2 满足: 的一个邻域内对各个变元有连续的偏导数; (2)  (3) F,G关于的Jacobi矩阵 则:(1)存在点的一个邻域,在此邻域内由方程组 可以确定唯一的函数:满足: (2)在内连续; (3)在内有关于和的连续偏导数。 例:。问:(1)由方程确定的是关于和的可微函数? (2)由方程确定的都是关于和的可微函数? 例:函数在那些点近旁可唯一地确定胆汁连续,且又连续导数的函数? §2 函数行列式的性质、函数相关 一 函数行列式的性质 函数行列式不仅在隐含数存在定理中起着重要作用,而且在其它分析问题和应用中,也是经常出现的,它有以下主要性质: 性质1 设函数  定义于某一维区域中,且有关于一切变元的连续偏导数。又设  定义于某一维区域中,且有关于一切变元的连续偏导数。设的值域包含在中。则有 。 注:这个性质可看成复合函数求导公式的拓广。 性质2 设函数  定义于某一维区域中,且有关于一切变元的连续偏导数,并且它们的反函数  存在,且有关于一切变元的连续偏导数。则有 。