第九章 数 项 级 数 §1 预备知识：上极限和下极限 对于一个有界数列，去掉他的最初项以后，剩下来的依旧是一个有界数列，记  显然，数列是单调减少的，是单调增加的，所以这两个数列的极限存在。称的极限是的上极限，设它为。称的极限是的下极限，设它为。记为  显然：。 定理1 设  则（i）当为有限时，对于的任何邻域，在数列中有无穷多个项属于这个邻域，而在只有有限多个项。 （ii）当时，对任何数，在中波有无穷多项大于。 （iii）当时，数列以为极限。 定理2 设  则（i）当为有限时，对于的任何邻域，在数列中有无穷多个项属于这个邻域，而在只有有限多个项。 （ii）当时，对任何数，在中波有无穷多项小于。 （iii）当时，数列以为极限。 定理3 设为的上极限，那么，必是中所有收敛子列的极限中的最大值。设为的下极限，那么，必是中所有收敛子列的极限中的最小值。 推论1 的充分必要条件为 。 例：设，求它的上下极限。 例：设，求它的上下极限。 §2 级数的收敛性及其基本性质 一 级数概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如  从直观上可知，其和为1。 又如， 。 其和无意义； 若将其改写为：  则其和为：0； 若写为：  则和为：1。（其结果完全不同）。 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么。 定义1 给定一个数列，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式  （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中称为级数（1）的通项。级数记为：。 二 级数的收敛性 记 ，称之为级数的前项部分和，简称部分和。 定义2 若数项级数的部分和数列收敛于（即），则称数项级数收敛 ，记作 =。 若部分和数列发散，则称数项级数发散。当级数收敛时，又称  为级数的余和。 注：无穷级数的收敛问题，实质上是部分和数列的收敛问题。 例: 试讨论等比级数（几何级数） ， 的收敛性。 例:讨论级数  的收敛性。 三 收敛级数的性质 性质1 若级数都有收敛，则对任意常数，级数也收敛，且 。 性质2 若级数与都有收敛，则级数也收敛，且 。 即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。 性质3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。 如： 收敛，而级数  是发散的。 性质4 （收敛的必要条件）若级数收敛，则。 注：只是级数收敛的必要条件，不是充分条件。 例：级数发散，但。 敛散性是由它的部分和数列来确定的，因而也可以认为数项级数是数列的另一表现形式。反之，对于任意的数列，总可视其为数项级数  的部分和数列，此时数列与级数有 相同的敛散性，因此，有 定理1（Cauchy收敛原理） 级数收敛的充要条件是：任给正数，总存在正整数，使得当以及对任意的正整数，都有 。 注：级数发散的充要条件是：存在某个，对任何正整数N，总存在正整数，有 。 例：利用收敛原理来判断级数的收敛性。 例：利用收敛原理来判断调和级数的收敛性。 §3 正 项 级 数 一 正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由非负项数组成的级数——正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。 基本定理 正项级数收敛部分和数列有上界。 正项级数的比较判别法 定理1设和均为正项级数，如果存在某个正数N，使得对都有 ， 那么（1）若级数收敛，则级数也收敛； （2）若级数发散，则级数也发散。 例: 考察的收敛性。 推论（比较判别法的极限形式） 设和是两个正项级数，若 ， 则 （1） 当时，级数、同时收敛或同时发散； （2）当且级数收敛时，级数也收敛； （3）当且发散时，级数也发散。 例: 讨论级数  的收敛性。 例: 讨论级数的收敛性。 柯西判别法 定理2 设为正项级数，且存在某个正整数及正常数， （1）若对，有，则级数收敛； （2）若对，有，则级数发散。 推论（柯西判别法的极限形式）设为正项级数，且 ， 则 （1）当时，级数收敛； （2）当（可为）时，级数发散； （3）当时，级数可能收敛，也可能发散。如：，。 例：讨论级数 的敛散性。 达朗贝尔判别法 定理3设为正项级数，且存在某个正整数及常数： 若对，有 ，则级数收敛 ； 若对，有 ，则级数发散。 推论 设为正项级数，且 ， 则（1）当时，级数收敛； 当（可为）时，级数发散； 当时，级数可能收敛，也可能发散。如：，。 例：讨论级数的收敛性。 例：讨论级数的收敛性。 说明：因 ，这就说明凡能用达朗贝尔判别法判定收敛性的级数，也能用柯西判别法来判断，即柯西判别法较之达朗贝尔判别法更有效。但反之不能。 柯西积分判别法 定理4 设为[上非负减函数，则正项级数与反常积分同时收敛或同时发散。 例: 讨论下列级数  ，（2）， 的敛散性。 §4 任意项级数 一 绝对收敛级数 定义1 若级数各项绝对值所组成的级数收敛，则称原级数绝对收敛。若级数收敛，但级数发散，则称级数条件收敛。 定理1 绝对收敛的级数一定收敛。但反之不然。 注：例如. 说明：对于级数是否绝对收敛，可用正项级数的各判别法进行判别。 例：对任何实数，级数 是绝对收敛的。 若级数收敛，但级数发散，则称级数条件收敛。 例：是条件收敛的；和是绝对收敛的。 全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。 二 交错级数 定义2 若级数的各项符号正负相间，即 ， 称为交错级数。 定理2（莱布尼茨判别法） 若交错级数满足下述两个条件： （1） 数列单调递减； （2）。 则级数收敛。且此时有。 推论 若级数满足莱布尼茨判别法的条件，则其余和估计式为 。 例：判别下列级数的收敛性：（1）；（2）；（3）。 三 阿贝耳判别法和狄立克莱判别法 定理3（阿贝尔判别法）若为单调有界数列，且级数收敛，则级数  收敛。 例：根据阿贝尔判别法法可知，当级数收敛时，级数 ，  收敛。 定理4（狄立克莱判别法）若为单调递减数列，且，又级数的部分和数列有界，则级数  收敛。 例：若数列为单调递减，且，则级数 ，  对任何都收敛。 §5 绝对收敛技术和条件收敛级数的性质 定理1 对于级数，令   那么：（i）若级数绝对收敛，则级数和都收敛。 （ii）若级数条件收敛，则级数和都发散。 定义1 对于一个级数，他的更序级数就是把它的项重新排列后所得到的级数。 定理2 绝对收敛级数的更序级数仍为绝对收敛，且其和相同，= 。 定理3 若级数条件收敛，那么，总可以适当地更换原来级数的次序而组成一个级数，使它收敛于任何预先给定的数（包括的情形）。 注：（1）由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数。 如：设 ， 则 ， 而 ， 它正是第1个级数的重排。 级数的乘积 设有收敛级数 ， （1） 。 （2） 它们每一项所有可能的乘积为：    …  …    …  …    …  … （3） … … … … … …    …  … … … … … … … 定理4（柯西定理） 若级数（1）、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积按任意顺序排列所得到的级数也绝对收敛，且和等于AB。 例：等比级数 =，  是绝对收敛的，将按（3）的顺序排列。则得到 = = . 注：（3）中所有乘积可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序： ； 或对角线顺序： 。 （4） 定义2 称级数（4）为两级数和的柯西乘积。 例：证明  = 。