第十八章 含参变量的广义积分 一 一致收敛的定义 定义1 设函数定义在上，称含参变量的无穷积分。 定义2设函数定义在上，若, 当时,对一切，成立  或 。 就称含参无穷积分关于一致收敛。 定义3设对于上的每一值，以为奇点的积分存在。若, 当时，对一切，成立  或 ， 就称含参无穷积分关于一致收敛。 二 一致收敛积分的判别法 以下假定积分收敛。 定理1（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数，使得  如果积分收敛，那么关于一致收敛。 例：证明含参无穷积分在内一致收敛。 三 一致收敛积分的性质 1. 连续性定理 定理2 设函数在上连续，关于一致收敛，那么是上的连续函数。 注：在定理的条件下，有 ， 即极限运算可以通过积分号。 2.积分顺序交换定理. 定理3设函数在上连续，关于一致收敛，那么 。 注：在定理的条件下，累次积分可交换求积分的次序。 例：计算积分。 3. 积分号下求导定理. 定理4 设函数，在上连续，存在，关于一致收敛。那么 ， 也就是微分运算可以通过积分号。 例：计算积分。 例：证明含参量非正常积分在上一致收敛，其中。但在区间内非一致收敛。 4. 含参无穷积分与函数项级数的关系 定理5 积分在上一致收敛对任一数列, ↗, 函数项级数在上一致收敛。 四 欧拉（Euler）积分 介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数, 即和.它们统称为Euler积分.在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数 1. Beta函数 （1） Beta函数及其连续性： 称(含有两个参数的)含参积分为Beta函数。当和中至少有一个小于1 时, 该积分为瑕积分。下证对, 该积分收敛。由于时点和均为瑕点，故把积分分成和考虑。 : 时为正常积分; 当时, 点为瑕点。由被积函数非负,  和 , ( 由Cauchy判法) 积分收敛. ( 易见时积分发散 ). : 时为正常积分; 当时, 点为瑕点.由被积函数非负,  和 , ( 由Cauchy判法)  积分收敛. ( 易见时积分发散 ). 综上, 当时积分收敛. 设D, 于是, 积分定义了D内的一个二元函数.称该函数为Beta函数, 记为, 即 =  不难验证, 函数在D内闭一致收敛. 又被积函数在D内连续, 因此, 函数是D内的二元连续函数. （2）函数的对称性: . 由于函数的两个变元是对称的, 因此, 其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有. 2．Gamma函数 （1）Gamma函数 考虑无穷限含参积分  ,  当时, 点还是该积分的瑕点. 因此我们把该积分分为 来讨论其敛散性 . : 时为正常积分.时, .利用非负函数积的Cauchy判别法, 注意到当时积分收敛. (易见当时, 仍用Cauchy判别法判得积分发散). 因此, 时积分收敛. :  对R成立,.因此积分对R收敛. 综上, 时积分收敛. 称该积分为Euler第二型积分. Euler第二型积分定义了内的一个函数, 称该函数为Gamma函数, 记为, 即 = , . 函数是一个很有用的特殊函数. （2）函数的连续性和可导性: 在区间内非一致收敛.这是因为时积分发散. 这里利用了下面的结果: 若含参广义积分在内收敛, 但在点发散, 则积分在内非一致收敛.但在区间内闭一致收敛.即在任何上,一致收敛. 因为时, 对积分 , 有, 而积分收敛.对积分, , 而积分收敛.由M—判法,它们都一致收敛,  积分在区间上一致收敛. 作类似地讨论,可得积分也在区间内闭一致收敛.于是可得如下结论: 的连续性: 在区间内连续. 的可导性: 在区间内可导, 且 . 同理可得: 在区间内任意阶可导,且 . （3）的递推公式，函数表 的递推公式 : . 证  . . 于是, 利用递推公式得:  , ,  , …………, , 一般地有 . 可见, 在上, 正是正整数阶乘的表达式. 倘定义, 易见对,该定义是有意义的.因此,可视为内实数的阶乘.这样一来, 我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了内的所有实数上,于是, 自然就有, 可见在初等数学中规定 是很合理的. 例：计算积分 。